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中考专题3:材料阅读题

类型一：代数1（整除类）

1. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得

n b

a

=，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a

=3

，即n a 3=。

（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。

（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

2. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又

将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

1011031132332222222=+→=+→=+→，

1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．

3. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有

最大的对称数，因为数位是无穷的．

（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；

（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除； （3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？

4. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a n b

=，即a bn =，例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得

11

a

n =，即11a n =，一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”. ①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；

②若七位整数17562m n 能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数。

5. 我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）.显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。

（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和 （2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。

6. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数. 如22，797，12321都是对称数，最小的对称数是11,但没有最大的对称数，因为数位是无穷的.

（1）若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除；

（2）设一个三位对称数为______

aba （ 10a b +<），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数.

7. 观察下列等式：

12×231=132×21， 14×451=154×41， 32×253=352×23， 34×473=374×43，45×594=495×54，...

以上每个等式中的两边数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： 35× = ×53； ×682=286× 。 （2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m ，个位数字为n ，且，用含m ，n 的代数式表示数字

对称式左边的两位数与三位数的乘积P ，求出P 能被110整除时mn 的值。

8. 如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，被重

复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数．例如：252525，它由“25” 依次重复出现组成，所以252525是循环数，它是2阶6位循环数，再如：11，是1阶2位循环数；789789789是3阶9位循环数；473847384738是4阶12位循环数……

（1）请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的2阶4位循环数，设循环节为xy ，求y 与x 的函数关系．