92-4-3全纯函数的Taylor展开(更新)

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常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式泰勒公式，泰勒公式[1]真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。

即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。

我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。

最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。

泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。

这也是我自学这么久总结出来的规律。

泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。

所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。

从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。

我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。

否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。

我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。

泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。

泰勒公式的定义我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。

但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。

举个例子：这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δx的减小，点P0 和P 也会越来越接近，这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。

当然，当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。

由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是(x-x0)^n 的高阶无穷小。

第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开

( n ) ( z ) (a n 1) f ( n1) ( z ),
令z 0，并由此递推关系，得 f (0) 1, f '(0) a , f "(0) a(a 1),
,
f ( n ) (0) a(a 1) (a n 1),
1 n 1 n 1 ( 1) nz ,( z 1) 2 (1 z ) n 1
2、间接展开法
利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质，以求得目标函数的展开式。
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解：
e iz e iz cos z 2 又， n n ( iz ) ( iz ) iz iz e , e n! n0 n ! n0 故 1 ( iz )n ( iz )n 1 i n ( i )n n z cos z 2 n! 2 n0 n ! n! n0

=
n0

f
(n)
(a ) ( z a )n n!
证毕
上式右端的级数称为f ( z )在点a 的Taylor级数，或 f ( n ) (a ) Taylor 展开式。cn 称为Taylor系数。 n!
若a 0，f ( z ) =
n0
+
f
( n)
(0) n z 称为f ( z )的Marclaurin级数。 n!
由于
k 2( 1) , n n i (i ) 0,
n 2k n 2k 1
故
1 2( 1)k 2 k ( 1)k 2 k z cos z z 2 k 0 (2k )! k 0 (2 k )!

多元函数的Taylor公式与极值问题课件

实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一个多元函数在某点附近的行为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是该函数在该点附近的一个多项式近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)

泰勒展式

第四章级数第二节泰勒展式4、解析函数泰勒展式：定理4.1、设函数f (z )在圆盘R z z U <-|:|0内解析，那么在U 内，...)(!)(...)(!2)(")(!1)(')()(00)(200000+-++-+-+=n n z z n z f z z z f z z z f z f z f证明：设D z ∈。

以0z 为心，在U 内作一个圆C ，使z 属于其内区域。

我们有⎰-=C d zf i z f ,)(21)(ζζζπ 由于当C ∈ζ时，100<=--q z z z ζ。

又因为 )1|...(|...1112<+++++=-αααααn 所以∑+∞=+--=---⋅-=---=-010000000)()(111)(11n n nz z z z z z z z z z z ζζζζζ 上式的级数当C ∈ζ时一致收敛。

把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα其中，)1!0,...;2,1,0(,!)()()(210)(1==⎰=-=+n n z f d z f i C n n n ζζζπα 由于z 是U 内任意一点，定理的结论成立。

定理4.2 函数f (z )在一点0z 解析的必要与充分条件是：它在0z 的某个邻域内有定理4.1中的幂级数展式。

注解：在定理4.1中，f (z )在U 内的幂级数展式我们称为它在U 内的泰勒展式。

系4.1 幂级数...)(...)()()(020201000+-++-+-+=∑-+∞=n n n n n z z z z z z z z ααααα是它的和函数f (z )在收敛圆内的泰勒展式，即,...).2,1,0(!)(),(0)(00===n n z f z f n n αα 因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理：系4.2 在定理4.1中，幂级数的和函数f (z )在U 内不可能有另一种形式的幂级数。

4-3泰勒Talor级数

)
(z

z0
)n
事实上，因为
|
f
(
)|<M，|

-z0|=，z

z0 z0
q1
1
RN (z) 2
C
n N
(
f () z0 )n1
(z

z0
)n
d
1

f ( )
n
z z0 ds 1
M 2qn MqN
2 C nN z0 z0
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f ' ( z ) a1 2a2 ( z z0 ) nan ( z z0 )n1 f ' ( z0 ) a1
, 依此类推得，an

1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理：设 f(z) 在区域D内解析，z0∈D，d为z0到D的边界上各点的最短距离，则当|z-z0|<d时，有

f ( z ) cn ( z z0 )n (4) n0
D Z0
成立。其中
1 f ( z )
cn 2i C ( z z0 )n1 dz
z
dz

z
dz
z zdz
z (1)n zndz
0 1 z 0
0
0
ln(1 z) z z2 1 z3 (1)n zn1 z 1

20.Taylor级数展开定理

f ( n) (0) ( 1)( n 1),
于是
(1 z )
1z
( 1)
2!
z
2
( 1)( 2)
3! zn
z
3
( 1)( n 1)
n!
z 1 .
Taylor级数展开定理
实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具.
对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛
圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析
函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数 —Taylor级数. 这是解析函数的重要特征.
f ( z ) Байду номын сангаас ( 1)e( 2)ln(1 z ) ,

f ( n) ( z ) ( 1)( n 1)e( n)ln(1 z ) ,

令z=0, 有
f (0) 1, f (0) , f (0) ( 1), ,
D
n 0, 1, 2, .
系数cn按上述表示的幂级数称为
f ( z ) 在 z0 点的Taylor级数.
z f ( z ) e 在 z 0的Taylor展开式. 例1 求
e 在复平面上解析，且因为 f ( z ) MATLAB 解运行下面的语句.
z
>> syms z; f ( n ) (0) (e z )( n ) z 0 e z z 0 1, >> f=exp(z); 所以它在 z 0 处的Taylor级数为 >> taylor(f,z,8) % 这里8是展开的项数 ( n) n ans = e z f (0) z n z n! n 0 n 0 n ! 1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5+1/720 z2 zn 1 z , *z^6+1/5040*z^7 2! n! >> taylor(f,z) % 展开的默认值是6项并且收敛半径 R . ans =

泰勒级数课件

e , 例如 f ( x ) 0,
1 x2
x0 x0
(n)
在x=0点任意可导, 且 f
(0) 0 ( n 0,1,2,)
f ( x )的麦氏级数为 0 x n
n 0

该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x ) 的麦氏级数处处不收敛 f ( x ). 于
例5 将函数
1 (1) n x n ( 1 x 1 ) 解: f ( x) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x (1) n n 1 ln(1 x) (1) n x n d x x , 1 x 1 1 x 1 n 0 n 0 n 1 0
如果函数 f ( x )
a n ( x x0 ) n ，即
n 0

f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 )
n
易得a0 f ( x0 ),
逐项求导任意次,得
f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n1
令 S n 1 ( x)
k 0

n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x ( x0 )
二、函数展开成幂级数
x
例8 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4

泰勒公式ppt课件

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泰勒(Taylor)中值定理如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和:
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x x0 )
2! 4!
(2m) !
(1)m1 cos( x)
x2m2
(0 1)
(2m 2) !
又 cos2 x 1 1 cos 2x,
22
机动目录上页下页返回结束
所以 cos2 x 1 1 1 1 2x2 1 2x4
2 2 2!
4!
1m
1 2m
!
2
x
2
m
1 2m
2!
2
x
2m2
所以 f 0 f ' 0 f '' 0 f n 0 1.

解析函数的Taylor展式

设复变函数项级数的各项均在点集上有定义且在上存在一个函数则称级数42在上一致收敛于内收敛但不一致收敛
第四章解析函数的幂级数表示方法
§1 、复级数的基本性质
1.复级数的基本性质 2.复函数项级数
§3 、解析函数的Taylor展式
1. Taylor定理 2. f (x)在z=a的泰勒展式的收敛
半径的确定 3.一些初等函数的泰勒展式 4.解析函数的幂级数展开
0,N N , s.t. 对一切 ,
均有 fn1 z fn2 z fn p z

推论(优级数准则):若 fn z Mn, n 1, 2,

,z E 而 Mn 收敛, 则 n1
复函数项级数 fn z 在点集 E上绝对收敛且一致收敛.
n1
n1

定理4.6：设级数 fn z 的各项均在点集 E上连续, 并且一致收敛于 f z , n 1 则和函数 f z fn z 也在 E上连续。 n1

定理4.7: 设级数 fn z 的各项在曲线 C上连续,并且在C 上一致收敛于 f z , n 1
但非一致收敛。
§2 幂级数
1.幂级数的敛散性
1.1 基本概念

定义: 具有 cn z an c0 c1 z a c2 z a2 n0

(4.3) cn zn c0 c1z c2z2 n0
a 形式的复函数项级数称为幂级数.其中 c0 , c1, c2 和都是复常数.

n 1
M n 称为 fn z 的优级数.
n1
n 1

例4:证明 1 zn zn1 在 z r 1 上一致收敛. n1 证明: 因为 zn zn1 z n z n1 rn rn1 2rn1;

泰勒公式与函数展开的操作方法

泰勒公式与函数展开的操作方法01说在前面的话传说早在亚里士多德时代（相当于我国的战国），就有人在探寻将一般函数展开成简单多项式的方法，但因为条件所限，一直未能成功。

不过在漫长的历史长河中，在具体数值求解方面仍有很多经典实例让后世的我们眼前一亮，比如古人制定十二平均律规范了音律。

另外，通过割圆术计算圆周率更可以认为是近似计算的经典范例。

古人在长期观测中注意到天体运行轨道速率与加速度变化产生的视运动变化，在天文历算（主要是编订历法）过程中引入了内插法。

东汉时，刘洪编订《乾象历》引入一次内插。

隋朝刘焯编订《皇极历》引入二次内插。

唐代僧一行（俗名张遂）编订《大衍历》时，修正了刘焯的方法。

元代郭守敬、王恂在编订《授时历》过程中引入了三次内插，辅以差分表计算，并将此法命名为“招差”（南宋秦九韶称之为“招法”），即“招差术”之由来。

元朝的朱世杰在《四元玉鉴》中，讨论了更一般情况下的“招差法”。

从《九章算术》盈不足术的直线内插法历经东汉刘洪、隋刘焯、唐一行与徐昂, 到元郭守敬与朱世杰的四次招差术, 实质上已到达了牛顿的一般插值公式,此时实际上距离泰勒展开式已只一步之遥。

300多年后的1712年（相当于中国清朝康熙51年），传说牛顿的门生英国人泰勒（Brook.Taylor），找到了一个方法，成功将函数展开为多项式。

下面，我们探讨从微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）出发，通过运用分部积分法把函数展开。

因为是科普文所以这里不做严格的推导、论证，且遣词用句可能有乡间哩语。

鉴于此文俗不可耐的文风，可能须要您在摇头叹息中才能读完全文。

但还是希望既使您已完全忘了微积分的内容也可从这篇科普文里有所收获！02函数的展开式根据微积分基本公式：这个∫符号就大名鼎鼎的积分号啦，她其实是个拉长的S，是著名的莱布尼茨大神在与牛顿大叔骂战前就开始使用的，在她右上侧的x叫做积分上限，她下面的a自然就名叫下限啦（因为人家是s形身材所以称“她”，有任何人不服气吗？），当然如果你感觉她旁站这两个字母不够帅气的话也可以换另外两个，随便你！接下来的ƒ代表一个函数（相信你仍然记得），这个右上面的小撇就代表导函数了（简称导数），u代表自变量（不喜欢的话你也可以换成t、l、v、w、z，总之你随意），后面我看到了d这个字母是代表微分符号。

函数展开成幂级数泰勒公式

经济数学
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!

x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!

x

x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
经济数学
例如
f
(x)

e

1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2,)

f ( x)的麦氏级数为 0 xn
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x) 的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
33
3
3
x1 3
经济数学
x 1 ( x 1) 1
4 x
4 x

1(x 3

1)

( x 1)2 32

(x
1)3 33

(x
1)n 3n

于是
f
(n) (1) n!

1 3n
,
x1 3
故
f
(n) (1)
n! 3n .
经济数学
例8 将
展成 x－1 的幂级数.
-----拉格朗日中值定理
2、若 Rn (x) o[( x x0 )]n ，则称为皮亚渃型余项
3、当 x0 0 时，泰勒公式称为麦克劳林公式
f (x)

4-3泰勒展示

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•多项式系数的确定
ak = 1 f (k ) ( x0 ) ( k = 0 , 1 , 2 , , n ) . k! 于是所求多项式为
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n
= f(x0)+ f (x0)(x-x0) + 1 f ( x0 )(x-x0)2 2! + + 1 f (n) ( x0 )(x-x0) n . n!
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f (0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f (0) x + x + + x + Rn ( x ) , 2! n! 例1 写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式. 解因为 f(x)=f (x)=f (x)= =f ( n)(x)=ex, 所以 f(0)=f (0)=f (0)= =f ( n)(0)=1,
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•多项式Pn(x)的确定设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: f(x0)=Pn(x0), f (x0)=Pn(x0), , f (n)(x0)=Pn(n)(x0). f (x0)=Pn(x0), f (x0)=Pn(x0),
ex
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常用泰勒公式

常用泰勒公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1简介在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。

如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。

当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。

为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。

上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。

例如，分段函数f(x) = exp(1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。

而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(1/z2) 并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。

但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。

例如，f(x) = exp(1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。

Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。

这个定理是对Picard iteration一个推广。

[编辑]泰勒级数列表下面我们给出了几个重要的泰勒级数。

它们对于复参数x依然成立。

泰勒展开.ppt

解：（1）梯长
l (x a)2 b 2 (1 a )2 a l
x
b
a 8,b 27
x
>>L='sqrt((x+8)^+2+27^2*(1+8/x)^2)';
>>ezplot(L,10,60)
>>[xmin,Lmin]=fminbnd(l,15,20)
xmin = 18.0000
[例2] 分别求函数
y 1 u 1 x
在 x 0 和 u 0 处的泰勒展开式的前
3 项。
>>syms x u; >>taylor((1/(1+x))^u,x,3,0) ans =
1-u*x+(u+1/2*u*(u-1))*x^2 >>taylor((1/(1+x))^u,u,3,0) ans =
f1 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3
f2 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4
f3 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3 +1/24*x^4-1/120*x^5
yy = 0.9048 0.9048 0.9048 0.9048
e= 1.0e-005 * -0.4085 0.0082 -0.0001
（3）计算 sin 0.5 的近似值，并比较误差。
3、求函数
y 2x 的极值。 1 x2
二、应用型实验
1、一幢楼房的后墙紧靠一个温室，温室宽 a 2m, 高 b 3m, 现用一梯子越过温室，一头
放在地平面，一头靠在楼房墙上，问梯子的

泰勒Taylor级数展开

| z |
| z | 1
将两式按对角线相乘，得
ez 1 1 1 2 1 1 z 1 z 1 z 1! 1! 2! 1 1 1 3 1 z ... 1! 2! 3! | z | 1
1 例6：把函数 2 展开成z的幂级数，即在 (1 z )
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆
证明：由柯西公式
1 f ( ) f ( z) d C 2i R1 z 1 将 z 展开为幂级数
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 ( z z0 ) /( z0 )
k 0
讨论：
1. 收敛范围：
对给定z0点，找f(z)最靠近z0的奇点z1 ，一般
即|z1-z0|为收敛半径。 2. 解析函数的又一充要条件： f(z)在区域B内解析，当且仅当f(z)在B内任一点的某邻域内可展开成幂级数。 3. 展开系数的唯一性。
二、将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出 f(n)(z0)代入即可，这种方法称为直接展开法。
zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k

z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2：将cosz、sinz在z=0处展开利用ez的展开式，可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k cos(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z来自 | R)k 0

解析函数的Taylor展开

一个以ｂ为圆心的包含在该圆内的圆 C:
f ( )
b
内由 Cauchy 定理 0 R 使 z 包含于 C 内．由
f ( z)
2 i
1
C
z
1
dz 。
n
z b 又 ,所以 z b z b b n 0 b 1 f ( ) n k f ( z) z b d ak z b n 1 C 2 i b n 0 k 0
其中 C 为圆环域内的任意为圆环域内的任意一条简单曲线条简单曲线.
19
当 n 3 0 ，即 n 3 时，由于 e z 解析，故由柯西定理知 cn 0 ，西定理知，即 c3 0 ，c4 0 ， …; 当 n 2
z
n 3
时，由高阶导数公式知
1 e 1 ( n 2) cn d ( e ) n 3 2 i C (n 2)!
f ( z)
系数项
n

cn ( z z0 ) n
1 f ( ) cn d (n 0, 1, 2, ) ， n 1 2 i C ( z0 )
其中 C 为圆周 z z0
, r R 。
14
证明思路
设 z 为环域内任意一点, 则总可以作含于该环域内的两个圆 l1 :
1 1
ak
b 2 i
C
1
f ( )
n 1
d
f
(k )
(b) n!
2
几个重要的 Maclaurin i 级数

4.3 解析函数的泰勒展式

2! 4!
(2n)!
( z )
6) ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 ,
23
n1
(1)n zn1
n0
n1
( z 1)
7)(1 z) 1 z ( 1) z2 ( 1)( 2) z3
于是fz在较圆k大的同心圆注1纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点
§4.3 解析函数的泰勒展式
1、泰勒(Taylor)定理 2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况 3、一些初等函数的泰勒展式
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问题的引入
前面我们证明了: 一个收敛半径为正的幂级数，在其收敛圆内收敛于一个解析函数。
n0
(z2 )n,
z 1
所以 arctanz
z dz 0 1 z2

z (1)n (z2 )ndz
0 n0

(1)n
z2n1 ,
z 1.
n0
2n 1
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（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）例7 将 ez 展为麦克劳林级数 .
(n=0,1,2,…), 故展式是唯一的.
注1 定义4.6 (4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式, (4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.
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注（2）由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R内解析,则其泰勒系数cn满足柯西不等式
max f (z)

第四讲初等函数的泰勒展式

§4.5 初等函数的泰勒展示一、泰勒级数定理1（泰勒定理）设函数f(x)在点x 0的某一个邻域内存在直到n+1阶的连续导数,则对于这个邻域内的任何一点x,成立公式.定理2 （幂级数的系数与其和函数的关系）设幂级数R x f x x x x a n n n <-=∑-∞=||),(000)(在其收敛域内收敛于和函数f(x):)(00)(x f n n n x x a =∑-∞=则f （x ）在收敛域内有任意阶导数，并且成立系数公式定义1 设f(x)在点x 0的某邻域内有任意阶导数,称由（2）式所定义的数!)(0)(n x f a n n =为f(x)在点x 0的泰勒系数. 定理3 （展开定理）设f(x)在x 0的某邻域内有任意阶导数,则f(x)在的邻域内有任意阶的泰勒公式二、基本函数的泰勒展示1.f(x)=e x2.f(x)=sinx3.f(x)=cosx4.f(x)=ln(1+x)5.f(x)=（1+x ）a(a 为任何实数)三、求函数的泰勒展开式例 1 求下列函数在x=0处的泰勒展式:(1)f(x)=e -x(2)f(x)=x x21-解 (1) 在展开式(6)中用-x 代x 得 e -x ，⋯⋯+-+-===∑--∑∞=∞=x x x x x n n n n n n n 3200!31!211!!1)1()(x ∈(-∞,+∞) (2)f(x)=x x 211-⋅,在展开式(14)中以x 2代 x,得到 f(x)=⋯⋯++⋯⋯+++==⋅=⋅+∞-∞=+∞=∑∑∑x )(12n 530012202x x x x x x x x n n n nn n且由x 2 <1,得 -1<x<1.。