最新平面向量与空间向量知识点对比
高考数学总复习---平面向量知识与空间向量的应用
A、重心 外心 垂心
B、重心 外心 内心
10、在△OAB 中, OA =
a
a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( a
b b
) ，t∈R，则点
P 在(
)
A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上
B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上
a (1,0) m(0,1), m R Q b b (1,1) n(1,1), n R 是两个向量集
合，则 P Q = A． ｛〔1，1〕 ｝
B. ｛〔-1，1〕 ｝
C. ｛〔1，0〕 ｝
D. ｛〔0，1〕 ｝
9、已知 O、N、P 在 ABC 所在平面内，且满足| OA |＝| OB |＝| OC |， NA + NB + NC = 0 ，且
PA PB PB PC PC PA ，则点
O，N，P 依次是 ABC 的 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
平面向量与空间向量 专题强化练习
一、高考真题展示
1、设
a (4,3) ， a
在 b 上的投影为 5
2 B． 2, 7
2 2
， b 在 x 轴上的投影为 2，且 D． 2,8
b 14 ，则 b
为（
）
A． 2,14 2、设
2 C． 2, 7
a 1 e1 2 e2
。
a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y 2 ) ,则 a // b a b ( b 0 ) 或者
平面向量和空间向量的知识点对比
平面向量和空间向量的知识点对比知识点平面向量空间向量。
---定义既有大小又有方向的量，在平面内既有大小又有方向的量，在空间中。
表示方法通常用有向线段表示，如→AB，也可以用坐标表示(x,y)通常用有向线段表示，如→AB，坐标表示为(x,y,z)向量的模对于平面向量→a=(x,y)，|→a|=√(x^2)+y^{2}对于空间向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}相等向量大小相等且方向相同的向量，在平面内大小相等且方向相同的向量，在空间中。
平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，在平面内→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b方向相同或相反的非零向量，在空间中→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b加法运算三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)减法运算三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)数乘运算若→a=(x,y)，k∈ R，则k→a=(kx,ky)若→a=(x,y,z)，k∈ R，则k→a=(kx,ky,kz)数量积若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）向量的夹角设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，cosθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}·√(x_2)^2+y_{2 ^2}}，θ∈[0,π]设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，co sθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{√(x_1)^2+y_{1^2+z_1^2}·√(x_2)^2+y_{2^2+z_2^2}}，θ∈[0,π]向量垂直若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0L eftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0向量的应用在平面几何、物理（如力的合成与分解等）中有广泛应用在立体几何（如证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角等）、物理（如空间力的分析等）中有广泛应用。
(整理)平面向量空间向量知识点
平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x y x ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θ.3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=r r r r2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==r r r r4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=u u u r ， 则.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n r 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r ，如果n α⊥r，那么向量n r叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r .⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
2-1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个 向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面 的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量 垂直 该平面的法向量．
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：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一 的平面？ 提示 空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可 转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个 平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相 平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其 中一个平面内考虑即可．
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解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不 能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的 模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两 个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题， 与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
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(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角： 〈a， ＝ 2 时， 当 b〉 向量 a 与 b 垂直 ， 记作 a⊥b ； 当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行 ，记作 a∥b ．
6-2平面向量场与空间向量场_712106810
f ( x, y ) P ( x, y )dx g ( y ). 两边对y求导, 有 Q( x, y ) f y ( x, y ) P( x, y )dx g ( y ). y 于是g ( y ) Q( x, y ) P( x, y )dx, 解出g , 从而得f . y
Recall:有势场u : 无源场u : 无旋场u : 保守场u : 调和场u :
f , s.t., u f u 0 u 0 积分与路径无关 (有势场&无源场) f , f 0, s.t., u f
目标 : 一定条件下,保守场,有势场和无旋场三者相互等价. Remark:从定义上来看,保守场和有势场都不好验证,但 无旋场很容易验证.
Pdx Qdy
( x, y )
( x0 , y0 )
Pdx Qdy
因积分与路径无关, 对后一积分任意取定一条以 ( x0 , y0 )为起点,以( x, y )为终点的逐段光滑曲线L, 对前一积分,其积分曲线从( x0 , y0 )先沿L至( x, y ), 再沿平行于oy轴的直线段L1从( x, y )到( x, y y ). 于是
(1) (2),(1) (3)
L Pdx Qdy 0.
Proof : (1) (2) 任取D中逐段光滑的有向闭曲线 L,在L上任取两点A, B, 将L分成有相同起点A和相 同终点B的两条逐段光滑的有向曲线L1和L2 (如图). 因v是保 x, y y) (其中0 1) Q( x, y) (当y 0时.)
高中数学中的空间向量重点知识点归纳
高中数学中的空间向量重点知识点归纳在高中数学中，空间向量是一个十分重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学等学科中起到关键作用。
掌握空间向量的相关知识对于解决现实生活和学习中的问题具有重要意义。
本文将对高中数学中空间向量的重点知识点进行归纳总结。
1. 空间向量的概念空间向量是指空间中的有方向的线段，它由起点和终点确定，并且可以平移。
空间向量常用字母表示，如AB、CD等。
空间向量具有大小和方向两个重要特征，可以用坐标表示，也可以用向量的箭头和尾巴表示。
2. 向量的坐标表示向量的坐标表示是指用数值表示向量在坐标系中的位置。
在三维直角坐标系中，空间向量可以用三个有序实数表示。
通常我们用尖括号 < a, b, c > 表示一个向量，其中a、b、c分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
例如向量AB可以表示为< x2-x1, y2-y1, z2-z1 >，其中A的坐标为(x1, y1, z1)，B的坐标为(x2, y2, z2)。
3. 向量的运算(1) 向量的加法向量的加法是指将两个向量相连接形成一个新的向量的运算。
假设有向量AB和向量BC，将它们的起点和终点相连得到一条新的向量AC，表示为向量AC = 向量AB + 向量BC。
向量的加法满足“平行四边形法则”，即将两个向量的起点相连得到的向量与两个向量终点相连得到的向量是相等的。
(2) 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，将其与实数k相乘得到一个新的向量kAB。
当k>1时，新向量与原向量的方向相同；当0<k<1时，新向量与原向量的方向相反；当k<0时，新向量与原向量的方向相反。
(3) 向量的点积向量的点积是指将两个向量进行数量乘法后再求和得到一个实数的运算。
假设有向量AB和向量AC，将它们的数量乘法相加得到一个实数AB·AC，表示为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ表示两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别表示两个向量的模长。
2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 OP xOA yOB zOC （其中
x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
2.共线向量定理:对空间任意两个向
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在 直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 l a OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量.
A E B C
D
(1) AC x( AB BC CC )
' '
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' D ( 2) AE AA x AB y AD
高二数学平面向量与空间向量的向量积与混合积
高二数学平面向量与空间向量的向量积与混合积向量是数学中重要的概念之一，它在平面几何和空间几何中都有广泛的应用。
在高二数学中，我们学习了平面向量与空间向量的向量积与混合积，这两个概念在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍向量积与混合积的定义、性质以及应用。
一、向量积的定义与性质1. 向量积的定义平面向量a和b的向量积（也称为叉乘）定义为一个新的向量c，表示为c=a×b，其大小为|c|=|a||b|sinθ，其中θ为a和b的夹角（0°≤θ≤180°）。
2. 向量积的性质（1）向量积的方向垂直于原来两个向量所在的平面。
（2）向量积满足反交换律，即a×b=−b×a。
（3）向量积满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
二、向量积的几何意义与应用1. 向量积的几何意义向量积具有几何上的重要意义，它的大小表示了平行四边形的面积，而方向则垂直于所表示的平行四边形。
2. 向量积的应用向量积在物理、工程和几何等领域都有广泛的应用。
在物理中，向量积可以用来计算力矩和力矩矩阵；在工程中，可以用来计算力的方向和大小；在几何中，可以用来判断两个向量是否共线以及判断三点是否共面等。
三、混合积的定义与性质1. 混合积的定义空间向量a、b和c的混合积定义为一个数值，表示为V=a·(b×c)，其大小等于有向体积V。
2. 混合积的性质（1）混合积满足交换律，即a·(b×c)=b·(c×a)=c·(a×b)。
（2）混合积满足分配律，即a·(b×c+d×e)=a·(b×c)+a·(d×e)。
四、混合积的几何意义与应用1. 混合积的几何意义混合积具有几何上的重要意义，它的绝对值等于有向体积的六倍，其正负号表示有向体积的方向。
高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲
高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。
X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。
0a 0=λ=λ时，。
运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。
θ>=<b a ,。
运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。
高中数学平面空间向量知识点总结
平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=121y x +当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质空间向量与立体几何 1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：()//0,a b b x R a xb ≠⇒∃∈=（2）空间中的共面条件：,,a b c 共面（,b c 不共线）,,x y R a xb yc ⇔∃∈=+推论：对于空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，OP xOA yOB zOC =++ ()1x y z ++=，则四点O 、A 、B 、C 共面（3）空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++ （4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±()111,,a x y z λλλλ= 121212a b x x y y z z ⋅=++注1：数量积不满足结合律； 注2：空间中的基底要求不共面。
《从平面向量到空间向量》
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，也可以用空间向量表示，包括 大小和方向。
解决实际问题的应用
物理问题
空间向量在解决物理问题 中有着广泛的应用，如力 的平衡、动量守恒、机械 能守恒等。
航天工程
在航天工程中，空间向量 被广泛应用于火箭发射、 卫星轨道计算、重力场研 究等方面。
机器人技术
在机器人技术中，空间向 量被用于描述机器人的运 动轨迹、姿态控制、传感 器数据等方面。
混合积
$overrightarrow{AB} cdot (overrightarrow{CD} times overrightarrow{EF})$表示一个 标量，其值为$left| overrightarrow{AB} right| cdot left| overrightarrow{CD} right| cdot left| overrightarrow{EF} right| cdot sintheta$。
转动惯量
描述物体转动惯性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。转动惯 量的方向与转动轴的方向一致，大小等于质量与质点到转动轴距离平方的乘积。
电场与磁场的研究
电场
描述电场中电荷受力情况的物理量，由电荷分布和电场强度矢量共同决定。在空间向量中，电场强度矢量是一个 既有大小又有方向的矢量，遵循矢量运算法则。
03
空间向量在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据力的平行四边形法则，两个 力可以合成一个合力，合力的大 小和方向由平行四边形的边长和 夹角确定。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的大小和方向由平行四 边形的边长和夹角确定。
速度和加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 可以用空间向量表示，包括大小和方 向。
平面向量空间向量知识点
平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，它的长度和方向规定如下：⑴=⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x y x ,=+=.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴()2121,y y x x ++=+，⑵()2121,y y x x --=-，⑶()11,y x λλλ=，⑷1221//y x y x b a =⇔.2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θ.3、 2a =.4、 =.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式2c o s a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=， 则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
新高考数学-立体几何与空间向量考点说明
新高考数学-立体几何与空间向量考点说明考点说明详细立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系．本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念．学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用．1．基本图形位置关系①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明．◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．◆两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．2．基本立体图形①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图．3．空间向量及其运算①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．4．向量基本定理及坐标表示①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．③掌握空间向量的数量积及其坐标表示．④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）．5．空间直角坐标系①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．②借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标．探索并得出空间两点间的距离公式．6．空间向量的应用①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识板块。
它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法，使复杂的空间关系能够通过代数运算得以清晰展现。
接下来，让我们一起深入探索空间向量的奥秘。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
与平面向量类似，空间向量也由起点和终点来确定。
但由于是在三维空间中，其表现形式更加丰富。
空间向量用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的模，也就是向量的大小。
而向量的方向则由有向线段的指向来确定。
在空间直角坐标系中，我们通常用坐标来表示空间向量。
若向量的起点坐标为$（x_1, y_1, z_1)＄，终点坐标为$（x_2, y_2, z_2)＄，则该向量的坐标为$（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＄。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法遵循三角形法则或平行四边形法则。
两个向量相加或相减，其结果仍然是一个空间向量。
例如，若有向量$＼overrightarrow{a}＝（x_1, y_1, z_1)＄，＄＼overrightarrow{b}＝（x_2, y_2, z_2)＄，则$＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＄，＄＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1 z_2)＄。
2、数乘运算实数$＼lambda$与空间向量$＼overrightarrow{a}＝（x, y, z)＄的乘积$＼lambda\overrightarrow{a}＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＄。
数乘运算改变向量的大小，但不改变向量的方向（当$＼lambda ＞0$时）或使向量反向（当$＼lambda ＜ 0$时）。
平面向量与空间向量知识点对比
平面向量与空间向量知识点对比内容平面向量空间向量定义既有大小，又有方向既有大小，又有方向表示方法 （1）用有向线段AB 表示； （2）用c b a ,,或a,b,c 表示 模 向量的长度，用|AB |或|a|表示 零向量 长度为0的向量，记为a 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等，方向相同的向量叫做相等向量相反向量 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA夹角范围 0≤θ≤π0≤θ≤π数乘 平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λa.空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λa.共线向量定理 向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=向量共线向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使（共面） b y a x p +=点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四点共面数量积 θcos b a b a⋅=⋅ θcos b a b a⋅=⋅运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律向量的运算线性运算坐标运算线性运算坐标运算加法三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB =+平行四边形法则：同起点，对角线()2121,y y x x b a ++=+三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB =+()212121,,z z y y x x b a +++=+减法三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如：CB AC AB =+()2121,y y x x b a --=-三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如：CB AC AB =+()212121,,z z y y x x b a ---=-数乘倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与x a x x a a x 00<> ()11,y x a λλλ=倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与x a x x a a x 00<>()11,y x a λλλ=1122(,)(,),a x y b x y ==若，则有111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==若，，则有数量积模夹角平行1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=212121,,//z z y y x x b a b a λλλλ===⇔=⇔垂直向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=()z y x k z j y i x a ,,=++=坐标运算 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --= 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()121212,,z z y y x x AB ---=.常用结论22a a =cos a b a b θ⋅=cos a b a b θ⋅=1212a b x x y y ⋅=+121212a b x x y y z z ⋅=++a a a=⋅2211a x y =+a a a=⋅222111a x y z =++cos a b a bθ⋅=121222221122cos x x y y x y x y θ+=++cos a b a bθ⋅=121212222222111222cosx x y y z z x y z x y z θ++=++++(0)a b b λ=≠1112222220x y z x y z x y z ==≠（）(0)a b b λ=≠1122220x y x y x y =≠（）0a b ⋅=12120x x y y +=0a b ⋅=1212120x x y y z z ++=Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
平面向量的矩阵运算和向量空间
平面向量的矩阵运算和向量空间平面向量是二维空间中的有向线段，可以使用矩阵运算进行计算。
本文将介绍平面向量的矩阵表示法以及矩阵运算的应用，并探讨向量空间的概念和性质。
一、平面向量的矩阵表示法平面向量可以使用行向量或列向量表示，行向量表示法如下：$$\mathbf{a} = \left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \end{array} \right) $$列向量表示法如下：$$\mathbf{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)$$其中$a_1$和$a_2$分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
二、平面向量的矩阵运算1. 加法运算设有两个平面向量$\mathbf{a} = \left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \end{array} \right) $和$\mathbf{b} = \left( \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \end{array} \right) $，它们的加法运算定义为：$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_1+b_1 & a_2+b_2 \end{array} \right)$$即向量的相应分量相加。
2. 数乘运算设有一个平面向量$\mathbf{a} = \left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \end{array} \right) $和一个实数$k$，它们的数乘运算定义为：$$k\mathbf{a} = k\left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} ka_1 & ka_2 \end{array} \right)$$即向量的每个分量分别乘以实数$k$。
平面向量与空间向量比较
平面向量与空间向量比较
空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容，是平面向量及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关 系，丰富了学生的认知结构．为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．下面从平面向量的基本公式类比总结空间向量的公式，熟记公式的区别与联系，使空间向量的理解与运用变得不再陌生。
一、 平面向量
1122(,)(,),a x y b x y ==若，则有
cos a b a b θ
⋅=a a a
=⋅1212
a b x x y y
⋅=+2
211
a x y
=+a b a b
⋅(0)
a b b λ=≠0
a b ⋅=11
2222
0y x y y =≠（）1222
2
22
y y x y ++120
y y +=
二、空间向量
1212a b x x y y z ⋅=++2221
1
1
a x y z
=++1212
22
1
22y y z z z
x y +++11
22222
0y z x y z y z =≠（）1212y y z z +=111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==若，，则有cos a b a b θ
⋅=a a a
=⋅a b a b
⋅(0)
a b b λ=≠0
a b ⋅=。
平面向量与空间向量
第八章 平面向量与空间向量§8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。
长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。
记作-。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知，。
在平面内任取一点，作=，=，则向量叫做与的和。
记作+.6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知，。
在平面内任取一点O ，作=，=，则向量叫做与的差。
记作-。
7.实数与向量的积：（1）定义： 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定：①λ的长度|λ|=|λ|·||；②当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ= （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μ)=(λμ) ②(λ+μ) =λ+μ ③λ(+)=λ+λ8.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ。
另外，设=（x 1 ,y 1）, = (x 2,y 2)，则//x 1y 2－x 2y 1=09.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使 ＝λ1＋λ2 ，其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
a a aa b AB ab a ba b a b BA a ba ba aa a aa aa aa 0a aa a aa ab ab a a b a b1e 2e aa 1e 2e 1e 2e10.定比分点设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ，λ叫做分有向线段所成的比。
若点P 1、P 、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x,y)，(x 2,y 2)，则有特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有 11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ规定：零向量与任一向量的数量积是0。
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0≤＜ a,b ＞≤ π
0≤＜ a,b ＞≤ π
结合律、交换律
平面向量 a 与一个实数的乘积是一个向量，记作 λa.
空间向量 a 与一个实数的乘积是一个向量，记作 λa.
向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数
，使 空间两个向量 a a 0 与 b 共线， 当且仅当有唯一一个实数
常用公式
AB x2 x1, y2 y1 .
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1 .
（a+b）（a-b ） =a2－b2 = |a| 2－ |b| 2, (a ?b) 2 =a2?2ab+b2
设 A x1, y1 , B x 2, y2 ，则：
(1)|a|= a a (2 ）a⊥b a· b=0 (3) cos a, b a b (a 0,b 0)
| a || b |
=
x1 x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a xi y j zk x, y, z
设 a x1, y1, z1 ,b x2 , y2 , z2 ，则：
=
x1x2 y1 y2
x12 y12
x22 y22
a xi y j x, y
设 a x1, y1 , b x2 , y2 ，则：
a b x1 x2 , y1 y2 ，
坐标运算
a b x1 x2, y1 y2 ， a x1, y1 ，
a / /b a b x1y2 x2 y1 0
ab
ab 0
x1 x2 y1 y 2 0
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内容
定义
表示方法
相同点 模的大小
夹角 加减运算律
数乘
共线向量定理
数量积 数量积的运算律
平面向量与空间向量知识点对比
平面向量
既有大小，又有方向 （1）用有向线段 AB 表示； （2）用 a, b,c 或 a,b,c 表示
用| AB | 或| a | 表示
空间向量
既有大小，又有方向 （1）用有向线段 AB 表示； （2）用 a, b,c 或 a,b,c 表示 自由向量（与起点无关）
，
ba
平面向量数量积是一个数，间向量数量积是一个数，即为 a b
a b cos
交换律、分配律
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数量积的性质
（1）|a|= a a (2 ）a⊥b a·b=0 (3) cos a, b a b ( a 0,b 0)
| a || b |
向量的正交分解及 坐标表示
a b x1 x2, y1 y2 , z1 z2
a b x1 x2, y1 y2, z1 z2
a
x1 , y1 ，
a // b a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 .
ab
ab 0
x1 x 2 y1 y 2 z1z 2 0
设 A x1, y1 , B x 2, y 2 ，则：
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