2020 最新中考数学复习 第21讲第1课时 矩形

第21讲特殊的平行四边形

第1课时矩形

知识点1矩形的定义及性质

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)

A．∠ABC＝90°B．AC＝BD

C．OA＝OB D．OA＝AD

第1题图第2题图

2．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC等于(C) A．8 B．10 C．12 D．18

3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AO＝BO.

又∵AB＝AO，∴AB＝AO＝BO.

∴△ABO为等边三角形．

∴∠ABD＝60°.

知识点2矩形的判定

4．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．

5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB.求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵OA＝OB，

∴OA＝OB＝OD＝OC.

∴BD＝AC.

∴四边形ABCD是矩形．

重难点 矩形的性质与判定

如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至点F ，使CF ＝BE ，连接AF ，DE ，DF.

(1)求证：四边形AEFD 是矩形；

(2)若AB ＝6，DE ＝8，BF ＝10，求AE 的长．

【思路点拨】 (1)先证明四边形AEFD 是平行四边形，再证明∠AEF ＝90°即可；(2)利用勾股定理逆定理证明△ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE 的长．

【自主解答】 (1)证明：∵CF ＝BE ， ∴CF ＋EC ＝BE ＋EC ，即EF ＝BC. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC 且AD ＝BC. ∴AD ∥EF 且AD ＝EF.

∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°.

∴四边形AEFD 是矩形．

(2)∵四边形AEFD 是矩形，DE ＝8，∴AF ＝DE ＝8.

∵AB ＝6，BF ＝10，∴AB 2＋AF 2＝62＋82＝100＝BF 2.∴∠BAF ＝90°. ∵AE ⊥BF ，

∴S △ABF ＝12AB·AF ＝1

2BF·AE.

∴AE ＝AB·AF BF ＝6×810＝24

5

.

【变式训练】 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，对角线AC ，BD 交于点O ，

DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE.

(1)求证：四边形ABCD 是矩形； (2)若AB ＝2，求△OEC 的面积．

解：(1)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°.

∵∠ABC ＝90°，∴∠BAD ＝90°.

∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠ADC ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)作OF ⊥BC 于F.

∵四边形ABCD 是矩形，

∴CD ＝AB ＝2，∠BCD ＝90°，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ＝BD. ∴AO ＝BO ＝CO ＝DO.

∴BF ＝FC.∴OF 为△BCD 的中位线．∴OF ＝1

2CD ＝1.

∵DE 平分∠ADC ，∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝45°. ∴EC ＝CD ＝2， ∴S △OEC ＝1

2EC·OF ＝1.,

方法指导

1．判定矩形的基本思路：

(1)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角； (2)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；

(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．Ｋ

2．应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系.

1．(2017·兰州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB ＝30°，AB ＝4，则OC ＝(B )

A ．5

B ．4

C ．3.5

D ．3

第1题图 第2题图 2．(2017·山西)如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC′D ，C ′D 与AB 交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(A )

A ．20°

B ．30°

C ．35°

D ．55°

3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 在AD 上，且BE 平分∠AEC ，则△ABE 的面积为(D )

A ．2.4

B ．2

C ．1.8

D ．1.5

第3题图 第4题图

4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则EF ＝2.5cm .

5．如图，为了检查平行四边形书架ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC ，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理对角线相等的平行四边形是矩形．