平面几何问题与证明
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排中律的公式是： A A 1
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例如：要证明 2 不是有理数，只要证明 2 是有理数 不真就可以了。
充足理由律是指在论证过程中，任何结论的得出，必 须有充分的理由，即不能凭借“直观”、“想当然”等 主观上的“臆想” 得出结公论式。是：A B. 它的涵义是：在一个论证中，要断定论题 B 真，必须满 足：第一，论据 A 真；第二，从论据 A 能推出论题 B 。 二、证明中的三种典型错误 1. 偷换论题 把命题的条件或结论中的某些涵义加以 扩大、缩小或改变，违反“同一律”。
所以 Bi Ai (i 1，2，L ，n).
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7.1.2 推理与证明 从已知的旧知识出发，通过实践、推想、验证，可
获得前所未有的新知识，这种推陈出新的思维过程， 叫做推理。
推理的过程一般为：三段论。
大前提（一般性） 三段论 小前提（特殊）
结论
推理一般包括：演绎推理和归纳推理。
所以 CDB ADB CBD ABD, 所以 D B, 又 B B, 所以 D B. 上述过程错在哪里？
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循环论证：违反“充足理由律”，使用待证的结论。
例3 如图，设AD=2DC，C 45, ADB 60, 则AB为圆之切线。 误证：因为 C 45, 所以 B»D 90. 又ADB 60， 所以BDC 120，即 B¼EC 240.
第七章
第七 章 平面几何问题与证明
§7.1几何逻辑 §7.2几何证题的推理方法 §7.3几何证题
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§7.1 几何逻辑 7.1.1 命题 一、命题 表达对某一事物的性质作出判断的词语。 命题有真假命题之分。符合客观实际的是真命题。 我们主要关注的是几何真命题。真命题称为定理。 包括：几何原始命题（公理或公设）和几何基本定理。 二、命题的基本关系
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演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、 公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理 过程。 是一般到特殊的推理。 归纳推理是由特殊事理的成立来推出一般事理的成立。
证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明。数学结论 的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的 基础上，通过正确使用推理规则得出结论。
A 1 [B¼EC B»D] 75, 2
命题的基本关系是指四种命题“原命题、逆命题、否 命题、逆否命题”之间的关系，其中原命题与逆否命题 等价，逆命题与否命题等价。
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一般情况下原命题与逆命题不等价，但有两种命题 除外。 即同一性命题和分断式命题 。 三、两种特殊命题 1. 同一性命题 命题的条件和结论所含事项都是唯一存在的命题。
都把事物的可能性一一到尽，双方各自彼此互斥，那么
这样的命题 称为分断式命题。
例：设CM为△ABC的中线， 则
当C < 90 时， CM 1 AB ； 2
当C
=
90
时，
CM
1 2
AB ；
当C > 90 时，
CM 1 AB , 2
是分断式命题。
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分断式命题与它的逆命题是等价命题。
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一、逻辑规律 同一律 矛盾律 排中律 充足理由律 同一律是指在同一个论证过程中，要求所涉及的任何要素 （概念，范围，性质等）保持同一性。 如在同一思维过程中，概念必须保持同一。 同一律的公式通常是：Ａ＝Ａ。 违反这一要求的逻辑错误,称为“混淆概念”或“偷换概念 例如： 世间万物中，人是第一个可宝贵的。 我是人。因此，我是世间万物中第一个可宝贵的。
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2. 违反“充足理由律”：使用虚假或预期的理由。
例2 已知在ABCD中，AB＞CD，BC＞AD，
求证： D＞B。
C
误证：
B
D
①连接A、C，并作AC的垂直
平分线l；
A
B/
②作ABC, 它与△ABC关于l对称；
③连接D、B′， 在四边形ADCB′中 ，因为 CDB CBD, ADB ABD,
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例1 设△ABC边BC的中垂线与 A 的平分线交于E点，
如图所示：
A
过E点分别向AB、AC作垂线EF、
EG，并连接EB、EC， 则由条件易得 △AEF≌△AEG , △BEF≌△CEG ,从而AB=AC,
F E
B
G C
即△ABC为等腰三角形。
上述过程是针对任意三角形，但结果却能得出 △ABC是等腰三角形，这是为什么？是什么地方存在问 题？
设一个分断式命题含有n个命题，其条件和结论各为 Ai 及 Bi (i 1，2，L ，n)，并且 Ai Bi. 下证 Bi Ai. 证： 从这n个命题中，取出n-1个来， 不失一般性， 设为 Aj Bj ( j 2，L ，n). 由分断式命题的特性，这 n -1个命题联合起来实在无异议说 A1 B1, 由此得 B1 A1. 同理可得 Bk Ak (k 2，3，L ，n).
在这个推理中，两个前提中的“人”不是同一概念。 第一个“人”是集合概念，第二个“人”是非集合概念， 因此，犯了“混淆概念”或“偷换概念”的错误。
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矛盾律是指在论证过程中，一个判断Ａ与其相矛盾 的判断Ｂ不能同时成立，即相互矛盾的判断至多有一个 成立。其中至少有一个是假的。 矛盾律的公式通常是： A B 0
例：中国是世界上人口最多的国家。 世界上人口最多的国家是中国。
例：等腰三角形底边上的高是顶角的平分线。 (真命题) 对象“高”是唯一的，对象“平分线”也是唯一的。 逆命题：等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。
(也是真命题)
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2. 分断Baidu Nhomakorabea命题
在一个命题中，若假设与结论有相同的款数，并且双方
例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。 两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。
注意：矛盾律只是指两个矛盾的判断不能同时为真，但 是两个矛盾的判断可能同假。例如“空间两直线必相交” 与“空间两直线必平行”。
排中律是指在论证过程中，一个判断与其互斥的判断 必有其一成立，即相互排斥的判断不能都不成立。 必有一真。
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例如：要证明 2 不是有理数，只要证明 2 是有理数 不真就可以了。
充足理由律是指在论证过程中，任何结论的得出，必 须有充分的理由，即不能凭借“直观”、“想当然”等 主观上的“臆想” 得出结公论式。是：A B. 它的涵义是：在一个论证中，要断定论题 B 真，必须满 足：第一，论据 A 真；第二，从论据 A 能推出论题 B 。 二、证明中的三种典型错误 1. 偷换论题 把命题的条件或结论中的某些涵义加以 扩大、缩小或改变，违反“同一律”。
所以 Bi Ai (i 1，2，L ，n).
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7.1.2 推理与证明 从已知的旧知识出发，通过实践、推想、验证，可
获得前所未有的新知识，这种推陈出新的思维过程， 叫做推理。
推理的过程一般为：三段论。
大前提（一般性） 三段论 小前提（特殊）
结论
推理一般包括：演绎推理和归纳推理。
所以 CDB ADB CBD ABD, 所以 D B, 又 B B, 所以 D B. 上述过程错在哪里？
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循环论证：违反“充足理由律”，使用待证的结论。
例3 如图，设AD=2DC，C 45, ADB 60, 则AB为圆之切线。 误证：因为 C 45, 所以 B»D 90. 又ADB 60， 所以BDC 120，即 B¼EC 240.
第七章
第七 章 平面几何问题与证明
§7.1几何逻辑 §7.2几何证题的推理方法 §7.3几何证题
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§7.1 几何逻辑 7.1.1 命题 一、命题 表达对某一事物的性质作出判断的词语。 命题有真假命题之分。符合客观实际的是真命题。 我们主要关注的是几何真命题。真命题称为定理。 包括：几何原始命题（公理或公设）和几何基本定理。 二、命题的基本关系
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演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、 公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理 过程。 是一般到特殊的推理。 归纳推理是由特殊事理的成立来推出一般事理的成立。
证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明。数学结论 的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的 基础上，通过正确使用推理规则得出结论。
A 1 [B¼EC B»D] 75, 2
命题的基本关系是指四种命题“原命题、逆命题、否 命题、逆否命题”之间的关系，其中原命题与逆否命题 等价，逆命题与否命题等价。
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一般情况下原命题与逆命题不等价，但有两种命题 除外。 即同一性命题和分断式命题 。 三、两种特殊命题 1. 同一性命题 命题的条件和结论所含事项都是唯一存在的命题。
都把事物的可能性一一到尽，双方各自彼此互斥，那么
这样的命题 称为分断式命题。
例：设CM为△ABC的中线， 则
当C < 90 时， CM 1 AB ； 2
当C
=
90
时，
CM
1 2
AB ；
当C > 90 时，
CM 1 AB , 2
是分断式命题。
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分断式命题与它的逆命题是等价命题。
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一、逻辑规律 同一律 矛盾律 排中律 充足理由律 同一律是指在同一个论证过程中，要求所涉及的任何要素 （概念，范围，性质等）保持同一性。 如在同一思维过程中，概念必须保持同一。 同一律的公式通常是：Ａ＝Ａ。 违反这一要求的逻辑错误,称为“混淆概念”或“偷换概念 例如： 世间万物中，人是第一个可宝贵的。 我是人。因此，我是世间万物中第一个可宝贵的。
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2. 违反“充足理由律”：使用虚假或预期的理由。
例2 已知在ABCD中，AB＞CD，BC＞AD，
求证： D＞B。
C
误证：
B
D
①连接A、C，并作AC的垂直
平分线l；
A
B/
②作ABC, 它与△ABC关于l对称；
③连接D、B′， 在四边形ADCB′中 ，因为 CDB CBD, ADB ABD,
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例1 设△ABC边BC的中垂线与 A 的平分线交于E点，
如图所示：
A
过E点分别向AB、AC作垂线EF、
EG，并连接EB、EC， 则由条件易得 △AEF≌△AEG , △BEF≌△CEG ,从而AB=AC,
F E
B
G C
即△ABC为等腰三角形。
上述过程是针对任意三角形，但结果却能得出 △ABC是等腰三角形，这是为什么？是什么地方存在问 题？
设一个分断式命题含有n个命题，其条件和结论各为 Ai 及 Bi (i 1，2，L ，n)，并且 Ai Bi. 下证 Bi Ai. 证： 从这n个命题中，取出n-1个来， 不失一般性， 设为 Aj Bj ( j 2，L ，n). 由分断式命题的特性，这 n -1个命题联合起来实在无异议说 A1 B1, 由此得 B1 A1. 同理可得 Bk Ak (k 2，3，L ，n).
在这个推理中，两个前提中的“人”不是同一概念。 第一个“人”是集合概念，第二个“人”是非集合概念， 因此，犯了“混淆概念”或“偷换概念”的错误。
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矛盾律是指在论证过程中，一个判断Ａ与其相矛盾 的判断Ｂ不能同时成立，即相互矛盾的判断至多有一个 成立。其中至少有一个是假的。 矛盾律的公式通常是： A B 0
例：中国是世界上人口最多的国家。 世界上人口最多的国家是中国。
例：等腰三角形底边上的高是顶角的平分线。 (真命题) 对象“高”是唯一的，对象“平分线”也是唯一的。 逆命题：等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。
(也是真命题)
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2. 分断Baidu Nhomakorabea命题
在一个命题中，若假设与结论有相同的款数，并且双方
例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。 两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。
注意：矛盾律只是指两个矛盾的判断不能同时为真，但 是两个矛盾的判断可能同假。例如“空间两直线必相交” 与“空间两直线必平行”。
排中律是指在论证过程中，一个判断与其互斥的判断 必有其一成立，即相互排斥的判断不能都不成立。 必有一真。