最新完美版清华大学自主招生数学试题

2015年清华大学自主招生数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2

1a i w i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭

，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）

A 、3

2-

B 、12

-

C 、

12

D 、

32

2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ⋅=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ）

A 、2

B

C 、1

D

3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：α

β，m α⊂，n β⊂，A α∈，B β∈，且AB 与α

所成的角为

4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3

π

，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8

π

4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD

的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3

5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan

tan 22

A C

的值为（ ） A 、1

5

B 、14

C 、12

D 、

23

6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，

过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2

7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点

Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1

B

C 、2

e

D 、2

4

e

A

E C

O

G

H B

D

F

8. 设双曲线1C ：22

24x y k a -=（2a >，0k >）

，椭圆2C ：22214

x y a +=.若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）

A 、

B 、2

C 、

D 、4

9. 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的

三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9

10. 设定点A 、B 、C 、D 是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表

示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ．则ω可以表示为（ ） A 、στστσ B 、στστστ C 、τστστ D 、στσστσ

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11. （本题满分14分）

在ABC △中，已知2

2sin cos212

A B

C +==，外接圆半径2R =． （1）求角C 的大小；

（2）求ABC △面积的最大值．

12. （本小题满分14分）

设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛

物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d +=． （1）判断ABC △是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由： （2）若ABC △的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程．

13. （本小题满分14分）

（1）正四棱锥的体积V =

（2）一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．

14. （本小题满分14分）

假定亲本总体中三种基因型式：AA ，Aa ，aa 的比例为:2:u v w （0u >，0v >，0w >，21u v w ++=）且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （1）求子一代中，三种基因型式的比例；

（2）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．

15. （本小题满分14分）

设函数()1x m f x x +=

+，且存在函数()s t at b φ==+（12t >，0a ≠），满足2121

()t s f t s

-+=． （1）证明：存在函数()t s cs d ψ==+（0s >），满足2121

()s t f s t +-=

； （2）设13x =，1()n n x f x +=，1,2,n =….证明：1

123n n x --≤．