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清华大学数学试题及答案

清华大学数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是实数集的子集？A. 空集B. 复数集C. 整数集D. 有理数集答案：A2. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是多少？A. 0B. 1C. 4D. 8答案：B3. 以下哪个选项是矩阵的特征值？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A4. 以下哪个选项是二元一次方程组的解？A. \( (1, 2) \)B. \( (2, 3) \)C. \( (3, 4) \)D. \( (4, 5) \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( y = \sin(x) \) 的周期是 ________。

答案：\( 2\pi \)2. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式是 ________。

答案：-23. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 ________。

答案：\( e^x \)4. 函数 \( y = \ln(x) \) 的反函数是 ________。

答案：\( e^x \)三、解答题（每题30分，共60分）1. 证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处取得极小值。

证明：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得到\( x = \pm 1 \)。

然后求二阶导数 \( f''(x) = 6x \)，当 \( x =1 \) 时，\( f''(1) = 6 > 0 \)，说明 \( x = 1 \) 处函数 \( f(x) \) 取得极小值。

2. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成矩阵形式 \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \)，通过高斯消元法求解得到 \( x = 2 \)，\( y = 3 \)。

清华自主招生数学创新试题汇编

1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥L L 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证： 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L只要证：112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++L L …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++L令'()0g x =得12ka a a x k+++=L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++L 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++L故12()[0,]k a a a g x k +++L 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时，的最小值为12()ka a a g k+++L ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++L L L L L =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n nk k knk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++L K L =11212(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a k a a a k -++++-+++L L =1112121(1)[()()]n n n n n n k kn k k a a a a a a k ---++++-+++L L 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥L L 故12()0ka a a g k+++≥L故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L即: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .…………………………..14分2、用类比推理的方法填表答案：5354321b b b b b b =••••3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则K ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

清华自主招生数学创新习题汇总

精心整理1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:((0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nnn k ka a a a a a a a ++++++++≥成立(当a 11231()11n n k k a a a a a k ++++++++≥+．（Ⅰ）令'(f x 当0当x故（只要证：112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++…………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k +++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++故12()[0,]ka a a g x k+++在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞在递增所以12()ka a a x g x k+++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++………………10分121212()]()nk k k a a a a a a k k+++-++++ 121)()]n k k a a a ++++12)()]n n k k a k a a a -+++=111212(1)[()()]n n n n n n k k k k a a a a a a --++++-+++ 0故()0ka a g +++≥123(a a a ≥++++11231()n n k k a a a a a ++++++++≥.答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于 A ．n B ．n +1 C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____ 答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

清华自主招生数学创新试题汇编

1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nnn k ka a a a a a a a kk++++++++≥成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++只要证：112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++…………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++= (8)分当0x ≤≤12k a a a k+++时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]ka a a g x k+++在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞在递增所以12()ka a a x g x k+++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n nnn n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++=11212(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a k a a a k -++++-+++=1112121(1)[()()]n n n n n n k kn k k a a a a a a k ---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n nnn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++.…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

清华大学自主招生试题数学 Word版含解析

一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（）（A ）{n a }可能为等差数列（B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（）(A)13 (B)23(C)22 (D)6313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2m α2m α),12b =(2n β2n β)，记θ=α−β，则（）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2mn θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（）（A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则22x y + ）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()333(cossin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]663i ππ-+- 31sin )6623i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅2211221111(1)(1)x x x x ++2121111x x +++11122||||x x +⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OA OB ⋅22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离2111()1x x -+1，正确。

清华自主招生数学创新试题汇编

1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nnn k ka a a a a a a a kk++++++++≥创建(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你结构一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈． (5)分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++只要证：112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++…………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++= (8)分当0x ≤≤12ka a a k+++时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]ka a a g x k+++在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞在递增所以12()ka a a x g x k+++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n nnn n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++=11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++=1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n nnn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++.…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =••••3、10．界说一种运算“*”：对付自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1便是A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的列位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

(word版)清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)历年自主招

2021年清华大学自主招生暨领军方案试题1．函数f(x)(x2a)e x有最小值，那么函数g(x)x22xa的零点个数为〔〕A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)e x g(x)，答案C．2．ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．以下条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有〔〕A．a1,b2,c ZB．A1500,asinA csinC2asinCbsinB C．cosAsinBcosC cos(B C)cosBsinC0,C600 D．a3,b1,A600【答案】AD．3．函数f(x) x21,g(x) lnx，以下说法中正确的有〔〕A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点开心快乐每一天【答案】BD【解析】注意到y x1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线y 2 4x 的焦点F 作直线交抛物线于 A,B 两点，M 为线段AB 的中点．以下说法中正确的有〔〕A ．以线段AB 为直径的圆与直线x3一定相离2B ．|AB|的最小值为 4C ．|AB|的最小值为 2D ．以线段BM 为直径的圆与 y 轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线x1的距离为1(|AF||BF|)1|AB|，于是以线段AB 为直径3 2212, 1的圆与直线x1一定相切，进而与直线x 一定相离；对于选项B ，C ，设A(4a 2,4a)，那么B( )，124aa于是 |AB|4a22，最小值为 4AB 中点到准线的距离的 2 倍去得到最小值；4a．也可将|AB|转化为2对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与1|BM|不一定相等，因此命题错误．22 25．F 1,F 2是椭圆C:x2y21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．以下说法中正确的有ab〔〕A ．a 2b 时，满足 F 1PF 2900的点P 有两个B ．a2b 时，满足 F 1PF 2900的点P 有四个C ． PF 1F 2的周长小于4aa 2 D ． PF 1F 2的面积小于等于2开心快乐每一天【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周长为2a2c4a；选项D，F1PF2的面积为1|PF1|1|PF1||PF2|21a2．|PF2|sin F1PF222226．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．AB为圆O的一条弦〔非直径〕，OC AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有〔〕A．O,M,B,P四点共圆B．A,M,B,N四点共圆C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OBM OAM OPM即得；对于选项B，假设命题成立，那么MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MBN MOP MAN即得．答案：AC．8．sinA sinB sinC cosA cosB cosC是ABC为锐角三角形的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件开心快乐每一天【答案】B【解析】必要性：由于sinB sinCsinB sin(2B)sinB cosB1，类似地，有sinC sinA1,sinB sinA1，于是sinA sinB sinC cosA cosBcosC．不充分性：当A,B C4时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．29．x,y,z为正整数，且x y z，那么方程1111的解的组数为〔〕x y z2A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于11113，故3x6．2x y z x假设x3，那么(y6)(z6)36，可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；假设x4，那么(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；假设x5，那么3112,y20,y5,6，进而解得(x,y,z)(5,5,10)；10y z y3假设x6，那么(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6))．答案：B．10．集合A{a1,a2, ,a n}，任取1 i j k n,a i a j A,a j a k A,a k a i A这三个式子中至少有一个成立，那么n的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】B11．10,610,1210，那么以下各式中成立的有〔〕A．tan tan tan tan tan tan3开心快乐每一天B ．tan tantan tantan tan3C ．tantan tan3tan tan tanD ．tantantan3tan tan tan【答案】BD【解析】令xtan ,ytan,ztan，那么yx z y x z3，所以1 xy 1 yz 1 zxyz3(1 xy),z y 3(1 yz),xz 3(1zx)，以上三式相加，即有xyyzzx3．类似地，有113(11),11 3(11),11 3(11)，以上三式相加，即有xyxy yzyzzxzx1 11xy z3．答案BD ．xyyz zx xyz12．实数a,b,c 满足a bc1，那么4a 14b14c 1的最大值也最小值乘积属于区间〔〕A ．(11,12)B ．(12,13)C ．(13,14)D ．(14,15)【答案】B【解析】设函数f(x)4x1，那么其导函数f /(x)2 ，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x 14x13处的切线y221(x1) 21，以及函数f(x)的图象过点(1,0)和(3,7)的割线73342y4x1 ，如图，于是可得 4x 14x12 21(x 1)21 ，左侧等号当 x1 或77777 3 34x3时取得；右侧等号当x1时取得．因此原式的最大值为21，当ab c1时取得；最小值为233开心快乐每一天7，当ab 1,c3时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73(144,169)．答案B．4213．x,y,z R,x y z1,x2y2z21，那么以下结论正确的有〔〕A．xyz的最大值为0B．xyz的最大值为4 27C．z的最大值为2D．z的最小值为1 33【答案】ABD14．数列{a n}满足a11,a22,a n26a n1a n(n N*)，对任意正整数n，以下说法中正确的有〔〕A．a n21a n2a n为定值B．a n1(mod9)或a n2(mod9)C．4a n1a n7为完全平方数D．8a n1a n7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为a n22a n3an1a n22(6a n2an1)an1a n226an2an1a n21a n2(a n26a n1)a n21a n21a n2a n，选项A正确；由于a311，故a n21a n2a n a n21(6a n1a n)a n a n216a n1a n a n27，又对任意正整数恒成立，所以4a n1a n7(a n1a n)2,8a n1a n7(a n1a n)2，应选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错误．说明：假设数列{a n }满足an2pa n1a n，那么a2a a为定值．n1n2n15．假设复数z满足z 11，那么z可以取到的值有〔〕z开心快乐每一天1B．1C．51D．51A．222 2【答案】CD【解析】因为|z|1z11，故51|z|51，等号分别当z51i和z51i时|z|z2222取得．答案CD．16．从正2021边形的顶点中任取假设干个，顺次相连构成多边形，假设正多边形的个数为〔〕A．6552B．4536C．3528D．2021【答案】C【解析】从2021的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2021个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有2021个，因此所求的正多边形的个数就是2021的所有约数之和减去2021 k和1008．考虑到202125327，因此所求正多边形的个数为(12481632)(139)(17)202110083528．答案C．x2y21(a b0)与直线l1:y1xl2:y1x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，17．椭圆b22a22a分别交l1,l2于M,N两点．假设|MN|为定值，那么〔〕bA．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】设点P(x0,y0)，可得M(1x0y0,1x01y0),N(1x0y0,1x01y0)，成心242242|MN|1x024y02为定值，所以a2416,a2，答案：C．4b21b4说明：〔1〕假设将两条直线的方程改为y kxa1M,N，使得|MN|，那么；〔2〕两条相交直线上各取一点b k为定值，那么线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．18．关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为〔〕A．0B．1C．2D．3开心快乐每一天【答案】B 19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以假设干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c 相乘的时候，可以有 (ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有I n 种，那么〔〕A ．I 22B ．I 312C ．I 496D ．I 5120【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得n1n1n1I nC n1AnnC2n2n!(n1)!C 2n1．答案：AB ．关于卡特兰数的相关知识见?卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利? ．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是，乙击败丁的概率是．那么甲刻冠军的概率是．【答案】【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为 0.3(0.5 0.3 0.5 0.8) ．21．在正三棱锥PABC 中，ABC 的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线AB,CP 的距离为y ．那么limy ．x【答案】32开心快乐每一天【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为3．222．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，中心为O,BF 1BC,A1E1A1A，那么四面体OEBF 24的体积为．1【答案】96【解析】如图，V OEBF V OEBF 1V GEBF1V EGBF11V EBCCB1．2221611962sin2n x)dx23．(x)2n1(1．【答案】02)2n1(1sin2n x)dx x2n1(1sin2n x)dx0．【解析】根据题意，有(x24．实数x,y满足(x2y2)34x2y2，那么x2y2的最大值为．【答案】1【解析】根据题意，有(x2y2)34x2y2(x2y2)2，于是x2y21，等号当x2y21时取得，2因此所求最大值为1．25．x,y,z均为非负实数，满足(x1)2(t1)2(z3)227，那么xy z的最大值与最小值分别224为．【答案】223 2开心快乐每一天【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z) (1,1,0)时，xy z 取到最大值3．根据题意，有22x 2 y 2 z 2 x2y3z 13 ，于是 13 (x yz)23(x y z)y,解得x y z223 ．于是4 42x y z 的最小值当(x,yz)(0,0,22 3)时取得，为22 3．2226．假设O 为ABC 内一点，满足S AOB :S BOC :S COA4:3:2，设AOABAC ，那么．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有2 4 29 9 ．327．复数zco s 2isin 2 ，那么z 3z 2 z 2 2 ．3 3 z【答案】132i2【解析】根据题意，有z 3z 212z5 isin5 1 3 i ．z 2 z2zcos32 2328．z 为非零复数，z ,40的实部与虚部均为不小于1的正数，那么在复平面中，z 所对应的向量OP 的10 z端点P 运动所形成的图形的面积为.【答案】200 100 3300340z2，于是x1,y1,【解析】设zxyi(x,yR)，由于4010 1040y如图，弓形面积为z|z|40x 1,1,x 2y 22 y 2x开心快乐每一天(word 版)清华大学自主招生暨领军方案数学试题(精校word 版,带解析)历年自主招11 / 11111202(sin ) 100 100，四边形ABCD 的面积为21(10310)101003100.26 632于是所示求面积为2(100100)(1003100)2001003300.3329．假设tan4x3，那么sin4x sin2xsinxsinx ．3cos8xcos4x cos4xcos2xcos2xcosxcosx【答案】3【解析】根据题意，有sin4x sin2xsinx sinxcos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosx cosx(tan8x tan4x) (tan4x tan2x) (tan2xtanx)tanxtan8x 3．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个 4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合{1,2,3, ,14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，那么A中元素个数的最大值为．【答案】8【解析】一方面，设A {a 1,a 2,,a k }，其中kN *,1k 14．不妨假设a 1a 2a k．假设k 9，由题意，a 3 a 1 3,a 5 a 37，且a 5a 3 a 3 a 1，故a 5a 17．同理a 9a 57．又因为a 9 a 5 a 5 a 1，所以a 9a 1 15，矛盾！故k8．另一方面，取 A {1,2,4,5,10,11,13,14}，满足题意．综上所述， A 中元素个数的最大值为8．开心快乐每一天。

清华大学自主招生试题含答案

、选择题2( )(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)3.设A、B是抛物线y=x2上两点，0是坐标原点，若OAL 0B,则()(A)|OA| •|OB| > 2 (B)|OA|+|OB| (C)直线AB过抛物线y=x2的焦点(D)O至煩线AB的距离小于等于X yf (x) >0,x € (-1,0)；② f (X) + f (y) = f ( ) , X、y €1 xy(-1,1)，则f (x)为(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5. 如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)= f (x) - kx有(/ C=—，且sinC+sin(B - A) -2sin2A=0,则有(3(A)b=2 a (B) △ ABC的周长为2+2-. 3 (C) △ ABC的面积为一空(D) △ ABC的外接圆半径为37.设函数f(x) (x23)e x，则( )(A) f (x)有极小值，但无最小值(B) f (x)有极大值，但无最大值(C)若方程f (x) =b恰有一个实根，则b>-6| (D)若方程f (x) =b恰有三个不同实根，则0<b<£e e1.设复数z=cos -3+isin (A)0 (B)1 (C) 2 冲13 ，则仁(D)3211 z22.设数列｛aj为等差数列, p,q,k, l为正整数，则p+q>k+l ”是“ a p aqa k a l ”的()条件既不充分也不必要4.设函数f(x)的定义域为(-1,1)，且满足：①个极小值点(D)3个极小值点8.已知 A={(x,y) 1 x 22 2y r },B={(x,y)1 (x2 2 2a) (y b) r ,已知 A n B={(x 1,yJ ,( X 2,y 2)},则()(A)0< a 2 b 2 <2r 2(B)aXX 2) b(y1 y 2) 0(C)X 1 X 2 = a , y 1y 2=b (D)2a b 2 = 2ax 1 2by 19.已知非负实数x,y,z满足4x 24y 22z +2z=3, 则5x+4y+3z 的最小值为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ，若对任意正整数n ,总存在正整数 m,使得S n =a m ，则( )(A )｛ a n ｝可能为等差数列(B )｛ a n ｝可能为等比数列(c )｛a n ｝的任意一项均可写成｛a n ｝的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数 m 使得a n = S m 11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测： 3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名•比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1人猜对比赛结果，此人是( )(A)甲(B)乙(C)丙(D) 丁1(A)若S=4,则k 的值唯一(B) 若S=^，贝U k 的值有2个22(C)若D 为三角形，则0<k <(D)若D 为五边形，则312.长方体 ABCDAEGD 中,AB=2, AD=A A 1=1，贝U A 到平面 A BD 的距离为((A) - (B)3(D)13.设不等式组|x| |y| 2 y 2 k(x 1)所表示的区域为 D,其面积为S,U(k>414. △ ABC 勺三边长是 2,3,4，其外心为 0,则 uuu uuu OA AB uuu uuu uuur uuu OB BC 0C CA =((A)0 (B)-15 (C) -21(D)229 215. 设随机事件 A 与B 互相独立，且 P(B)=0.5(A)P(A)=0.4 (B)P(B -A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916. 过厶ABC 的重心作直线将厶 3(A)最小值为一(B)最小值为417. 从正15边形的顶点中选出,P(A- B)=0.2，则(ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的(4 4(C)最大值为一533个构成钝角三角形，5(D 最大值为一4则不同的选法有((A)105 种(B)225 种(C)315 种(D)420 种18. 已知存在实数r，使得圆周x2y2 r2上恰好有n个整点，则n可以等于(22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有(4 2 1 V2(A)最小值为一(B)最小值为一 (C)最大值为1 (D)最大值为--------------------5 5 3(A)4 (B)6 (C)8 (D)1219. 设复数z 满足2|z| w |z-1|，则(1(A)|z|的最大值为1 (B)|z| 的最小值为—(C)z321的虚部的最大值为2(D)z 的实部的最大值为13320.设 m,n 是大于零的实数， a =(mcos a ,msin a ),b =(ncos 3 ,nsin 3 )，其中 a , B€ [0,2 n ) a , B€r 1, _[0,2 n ) •定义向量 a 2 =( 、、. m cos — ,、. m sin 一 ), b 2=(、. n 2cos — 2 ，、齐 sin —)，记 9 = a - 3,贝U2r [ r 1 r r 1 r 1 ___ (A) a 2 • a 2 = a (B) a 2 b 2=、.mn cos — (C) 2r] r] … |a 2 b 2|4、一 mn sin 2 —4r 1 r] 2 _ 2 (D) |a 2 b 2 |24, mncos 2 —421.设数列｛ a n ｝满足：a 1=6, an 1，则((A) ? n € N?, a n <(n 1)3 (B) ? n € N?, a n 丰 2015 (C) ? n € N?, a n 为完全平方数(D)? n € N?, a n 为完全立方数1 (A )p=cos sin23. 设函数 f(x)s in x，则( x x 14(A ) f(x) w (B)| f (x) | w 5|x| (C)曲线 y= f (x)存在对称轴324. △ ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ ABC 为锐角三角形，则((B )p=—1(C ) 2 sin1p= —2 cos(D )(D) 1 1 2si n曲线y= f (x)存在对称中心(A)si nA>cosB (B)ta nA>cotB (C) a 2 b 2 c 2 (D) a 3 b 3 c 325.设函数f (x)的定义域是(-1,1), 若f(0) = f (0) =1,则存在实数 s€ (0,1)，使得()(A) f (x) >0, x € (- S , S) (B)f (x)在(-S , S )上单调递增 (C) f (x) >1, x € (0, S) (D)f (x)>1 , x € (- S ,0)26.在直角坐标系中，已知A(-1,0),B(1,0) •若对于y 轴上的任意n 个不同的点 P k (k=1,2，…,n)，总存在两个不同的点R ,P j ,1使得 |sin / A P j B-sin / A P j B| w —,贝V n 的最小值为( 3(A)3 (B)4(C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则 x+ x 2 y 2 的()128.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行)，则((A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数, 同的五位数有( (A)300 个(B)450其中有两个数字各用两次，例如 12231,则能得到的不 30.设曲线L 的方程为 (A)L 是轴对称图形 (C)L ? {(x,y) I ##A nswer##1.【解析】丄1-z) 个(C)900 y 4 (2x 2(B)L 个(D)1800 个 2 4 2 2)y (x 2x ) =0,则(是中心对称图形 1 (D)L ? {(x,y)zz 1 zz_______ 1 - 2. 21-cos i sin332 cos 3..2 i sin ___ 3 2 2i sin32sin 2 i 2sin cos —3 3 3 cos0 isinO 2sin — [cos( —) i sin(-)i sin(3、、3(cos —2-洽 2os(cos( i sin ) 27) i sin(67)]丄(cos — isi n —.3 6 6△ )=1,选 B22.【简解】 a p (a k Q )=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差 d 的符号有关，选 3.【解析】设A( 2X 1,X 1 ),B( 2 uuu uuu X 2,X 2 ), OA OB =X 1X 2(1 X 1X 2) =0 X 2 X1 答案(A), |0A| l OBI ^x^(1 好)4(1 —1^) = j1 X2 1 2 X 11 > /2 2|X 1 | 丄=2,正确; |X 1 | 答案(B),|OA|+|OB| > 2..|OA 「|OB| > 2 .2,正确；答案(C),直线 AB 的斜率为 2 22^=X 2 x 2 x 1X1程为 y- xj =( x 1 1)(x-x 1),焦点(0, 1)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(4X11)x-y+ 仁X 1的距离d=w 1,正确。

高三清华北大自主招生数学训练题含答案

数学自主招生训练题（2）1.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24，2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BEBC ，DFDC .若1AE AF，23CE CF，则（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）7123.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<4.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A ． 4.56% B ． 13.59% C ． 27.18% D ． 31.74%6.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ． ﹣或﹣ B ． ﹣或﹣ C ． ﹣或﹣ D ．﹣或﹣ 7.设函数f （x ）=，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（）A ．[，1]B ． [0，1]C ．[，+∞）D ． [1，+∞）8.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（A ） 02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 9．若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是．10.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

清华自主招生试题

清华自主招生试题一、数学题1. 某校有3000名学生，其中男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。

男女生中，有20%的人精通数学。

问：该校男女生中，精通数学的人数分别是多少？解析：根据题意得知男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。

所以男生总数为3000 * 60% = 1800，女生总数为3000 * 40% = 1200。

由于精通数学的人占男女生总数的20%，所以男生中精通数学的人数为1800 * 20% = 360，女生中精通数学的人数为1200 * 20% = 240。

答案：男生中精通数学的人数为360人，女生中精通数学的人数为240人。

2. 已知正方形ABCD的边长为2，点E是AD的中点，F是BC的中点。

连接AE、BF，交于点G。

问：三角形AEG的面积为多少？解析：根据题意，AE的长度为1，EG的长度为√2（正方形相邻两边长的一半），所以三角形AEG的面积为1/2 * 1 * √2 = √2/2。

答案：三角形AEG的面积为√2/2。

二、物理题1. 一辆汽车在匀速行驶时，刹车后停下需要的时间是20秒。

若汽车的质量为1000kg，刹车时产生的加速度为5m/s²，求：汽车刹车时作用在车体上的力大小为多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。

所以汽车刹车时作用在车体上的力大小为1000kg * 5m/s² = 5000N（牛顿）。

答案：汽车刹车时作用在车体上的力大小为5000N。

2. 物体A和物体B质量相同，在水平面上相互作用力F = 20N。

已知物体A的重力为30N，物体B的摩擦力为8N。

问：物体A和物体B 的加速度分别是多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。

所以物体A的加速度为(20N - 8N)/30kg = 12/30 = 0.4m/s²，物体B的加速度同样为0.4m/s²。

答案：物体A和物体B的加速度分别是0.4m/s²。

清华自主招生数学创新试题汇编

1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ 只要证：112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++= (8)分当0x ≤≤12ka a a k+++ 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]k a a a g x k +++ 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞ 在递增所以12()k a a a x g x k +++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n n k k knk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a k a a a k -++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n n nk kn k k a a a a a a k ---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

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