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数列求和裂项法,错位相减法,分组求和法.docx

数列求和的三种特殊求法例 1、已知数列 {a n } 的通公式 a n = 2n 1 +3n ，求个数列的前 n 和例 2、求下列数列的前 n 和：（1）1111 1 ，1 ⋯⋯1⋯⋯1，，，⋯⋯n，⋯⋯（ 2）1，81212 3 1 2 3n2 42n（ 3） 5， 55， 555．⋯⋯， 55⋯⋯ 5，⋯⋯（ 4）0.5,0.55,0.555，⋯⋯， 0.55⋯⋯ 5，⋯⋯ 例 3、已知数列的的通，求数列的前 n 和：（1） a n1（ 2） b n11)n( n 2)n(n（3）{a n } 足 a n =1，求 S n（ 4）求和： S n2 24 2 ⋯⋯ +(2n) 2nn 11335(2n 1)( 2n 1)（5）求和 S n111123234n(n 1)( n 2)例 4、求数列 a,2a 2 ,3a 3 , , na n , （ a 常数）的前n 和 S n 。

：求和：1 ， 3 ， 5 ，⋯⋯ 2n1，⋯⋯2 22 232n知演：1. （ 2009 年广第4 ）已知等比数列 { a n } 足 a n0, n 1,2,,且 a 5a2 n 522 n (n 3) ，当 n1 ， log2 a 1 log 2 a 1log 2 a 2 n 1A ． n(2n 1)B ． (n 1)2C ． n 2D ． (n 1)22. （ 2010 年山第 18）已知等差数列a n足： a 3 7 ， a 5a 7 26 ， a n 的前 n 和S n ．（Ⅰ）求 a n 及 S n ；（Ⅱ）令 b n =a n 1 ( n N * ) ，求数列b n 的前 n 和 T n ．2 13. （ 2005 年湖北第19 ）数列{ a n } 的前 n 和S n =2n 2 ， {b n } 等比数列，且a 1b 1 ,b 2 ( a 2 a 1 ) b 1.（Ⅰ）求数列{ a n } 和 { b n } 的通公式；（Ⅱ） c na n，求数列 { c n } 的前 n 和 Tnb n小结：数列求和的方法分求和，裂相消（分式、根式），位相减（差比数列）数列求和的思维策略：从通项入手，寻找数列特点。

数列求和方法总结

数列求和方法总结数列是数学中常见的一个概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。

在数列中，常常需要求和，即将数列中的所有元素相加得到一个总和。

求和是数列中的一个重要问题，有着多种方法和技巧，本文将对数列求和方法进行总结。

首先，我们来介绍一些常见的数列求和公式。

1.等差数列求和公式：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差，可以使用以下公式求和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中Sn表示前n项和。

2.等比数列求和公式：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，n为项数，r为公比，可以使用以下公式求和：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)其中Sn表示前n项和。

3.调和数列求和公式：调和数列是指an = 1/n，其中n为正整数。

调和数列没有一个简单的求和公式，但它满足以下性质：Sn=1+1/2+1/3+...+1/nSn = ln(n) + γ + O(1/n)接下来，我们将介绍一些常见的数列求和方法。

1.逐项相加法：这是最简单的求和方法，即将数列中的每一项逐个相加得到和。

例如，对于数列1,2,3,4,5，可以逐项相加得到152.折半相加法：这是一种针对特定数列的求和方法。

对于一些具有对称性质的数列，可以将数列折半后再进行求和。

例如，对于数列1,2,3,4,5，可以将其折半为1,5,3，再相加得到93.和差法：这是一种将数列拆分为两个子数列，并利用数列之间的关系求和的方法。

例如，对于等差数列1,2,3,4,5，可以将其拆分为两个等差数列1,3,5和2,4，并利用等差数列求和公式求和后再相加。

4.差分法：对于一些特定数列，其前后项之间存在一定的差值关系。

通过求得这种差值关系，我们可以将数列转化为差分数列，并利用差分数列的性质进行求和。

例如，对于数列1,4,9,16,25，可以发现相邻项之间的差值为3,5,7，可以将其转化为差分数列3,5,7，并利用等差数列求和公式求和后再进行相加。

数列求和的各种方法

数列求和的各种方法一、等差数列求和1.1 基本公式等差数列求和有个很实用的公式，那就是和等于首项加末项的和乘以项数再除以2。

这就像我们分东西，把一头一尾的数看成是两个特殊的家伙，把它们加起来然后乘以一共有多少个数，再平均一下就得到总和了。

比如说数列1，3，5，7，9，首项是1，末项是9，项数是5，按照公式来算就是(1 + 9)×5÷2 = 25。

这公式就像一把万能钥匙，很多等差数列求和的问题都能轻松搞定。

1.2 实际应用在生活里也有等差数列求和的影子。

就像我们堆木头，最底下一层有10根，往上每层少1根，一共堆了10层。

这就是个等差数列，首项10，末项1，项数10。

用求和公式一算，(10 + 1)×10÷2 = 55根，一下子就知道木头总数了。

这就叫学以致用嘛。

二、等比数列求和2.1 公式及推导等比数列求和公式稍微复杂一点。

当公比不等于1的时候，和等于首项乘以1减去公比的n次方的差，再除以1减去公比。

这公式怎么来的呢？咱可以想象把等比数列的和乘以公比，然后和原来的和相减，就像玩消消乐一样，很多项就消掉了，最后就得到这个公式。

比如说等比数列2，4，8，16，首项2，公比2，项数4，按照公式算就是2×(1 2⁴)÷(1 2)=30。

2.2 特殊情况当公比等于1的时候就简单多啦，那就是首项乘以项数。

这就像大家都长得一样，直接数个数乘以每个的大小就成。

2.3 经济中的应用等比数列求和在经济领域也有用处。

比如银行利息按复利计算，本金1000元，年利率5%，存3年。

每年的本利和就是个等比数列，首项1000，公比1.05。

用等比数列求和公式就能算出3年后的本利和，这可关系到咱的钱袋子呢。

三、分组求和法3.1 适用情况有些数列看起来乱七八糟的，既不是等差数列也不是等比数列，但是可以把它的项分成几组，每组分别是我们熟悉的数列。

这就好比把一群混杂的小动物按照种类分开，然后分别计算。

数列求和常见解题思路及常见公式

数列求和常见解题思路及常见公式1.等差求和：2.等比求和：3.拆项求和：思路：将第n 项拆分再进行求解4.并项求和：思路：观察相邻项是否能通过简单计算后有联系（较少见）5.裂项求和：思路：分母中出现形如上式的基本上都可用裂项法6.错位求和：思路：等式左右两端同时乘以公比q 再错位相减7.倒序求和：思路：首项和尾项能够通过相加变得简单常见求和公式：（最好是能够记住推导方法）若{}n a 是公差为d 的等差数列，则和d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n a n ()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦ 1123....(1)2n n n ++++=+()()2221121216n n n n +++=++ 111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n ()11a b a b a b =--+的证明（非数学归纳法）： n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n2^3-1^3=2*2^2+1^2-23^3-2^3=2*3^2+2^2-34^3-3^3=2*4^2+3^2-4...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2三次方的证明道理同上（自己下去证明，提示：用4次方相减）：上面例题的答案：3. 4.5. 6.7.()()2221121216n n n n +++=++ nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则数列求和练习：1.数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 20022.求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值3.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和4.求数例1，3a ，5a 2，7a 3，…(2n －1)a n-1，…的前n 项和5.数列{a n }中，11++=n n a n , S n = 9，则n =6. ，求7.已知lgx+lgy=a ，且Sn=lgx n +lg(x n-1y)+lg(x n-2y 2)+…+lgy n , 求 Sn.s n一．5二．44.5三．四．主要考虑分类讨论，等差乘等比的方法求解五．99六．七．。

常见数列求和公式

常见数列求和公式数列求和，这可是数学里挺重要的一块儿呢！咱们先来说说等差数列的求和公式。

比如说有这么一个等差数列：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。

这数列每一项之间的差值都一样，是 2 ，这就是等差数列。

它的求和公式是：$S_n = \frac{n(a_1 +a_n)}{2}$ ，这里的 $n$ 表示项数，$a_1$ 表示首项，$a_n$ 表示末项。

我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，问：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他举了个例子。

咱们假设要把1 到100 所有的整数相加，那按照这个等差数列的求和思路，咱们把第一个数 1 和最后一个数 100 相加，得到 101 ；再把第二个数 2 和倒数第二个数 99 相加，还是 101 ；这样一对一对地加，一直到中间的 50 和 51 相加，也是 101 。

那一共有多少对呢？很明显是 50 对。

所以总和就是 50×101 = 5050 。

从这个例子里，是不是能更清楚地理解这个求和公式啦？再说说等比数列的求和公式。

比如说有个等比数列：2，4，8，16，32 。

它每一项和前一项的比值都一样，是 2 。

等比数列的求和公式就稍微复杂点啦，当公比$q ≠ 1$ 时，$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ 。

给你们讲讲我曾经遇到的一个有趣的事儿。

有一次课堂小测验，我出了一道等比数列求和的题目，结果有个学生啊，愣是把公式记错了，算出了一个超级离谱的答案。

我一看他的解题过程，真是又好气又好笑。

还有一个比较特殊的数列，叫错位相减法求和的数列。

比如说：$1 + 2×2 + 3×2^2 + 4×2^3 + \cdots + n×2^{n - 1}$ 。

这种数列求和就得用错位相减法。

记得有一回，我让学生们自己动手推导这个数列的求和过程，大家都忙得不亦乐乎。

数列求和7种方法(方法全-例子多)精选全文

可编辑修改精选全文完整版数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

详解数列求和的方法+典型例题.docx

详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列的前 n 项和公式n( a 1 a n )na 1n(n1)d S n222、等比数列的前 n 项和公式na 1 (q 1)Sna 1 (1 q n ) a 1a n q (q 1)1 q1 q3、常用几个数列的求和公式n1n(n 1)（ 1）、 S nk 1 2 3nk 12n222221 (1)(21)（ 2）、 S nk 1 2 3 n nn nk 16nk 313 23 33n 3 [ 1n(n 1)] 2（ 3）、 S nk 12第二类：乘公比错项相减（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{ a n b n } 的前 n 项和，其中 { a n } ， { b n } 分别是等差数列和等比数列。

例 1：求数列 { nq n 1 } ( q 为常数 ) 的前 n 项和。

解：Ⅰ、若 q =0，则 S n =0Ⅱ、若q =1 ，则1 ( 1)12 3nn nS nⅢ、若 q ≠ 0 且 q ≠ 1，2则 S n1 2q 3q 2nq n 1①qS n q2q 2 3q3nq n②①式—②式： (1q) S n1q q 2q3q n 1nq nS n1q (1 q q 2q 3q n 1nq n )1S n1q (1q n nq n )11qS n1q n nq n(1q) 21q0(q0)综上所述： S n 1n(n1)(q1)2q n nq n1(1q) 21(q 0且 q 1)q解析：数列 { nq n 1} 是由数列n与 q n 1对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

经典数列求和公式

精心整理数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn 3、 4、[例 n x +⋅⋅[例 2n 2n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①②（错[例设nn S 222232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：*提示：不要觉得重复和无聊，乘公比错位相减的关键就是熟练！通项为{a n · b n },1、an 是自然数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列2、an 是正偶数数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列3、4、5、6、[例当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）222333 的. [例（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例8] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂。

数列的五种求和公式

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数列求和7种方法（方法全_例子多）

数列求和7种方法（方法全_例子多）一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求+++++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S ++++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+++++=……………………….② （设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--++++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----?+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232++++=…………………………………①14322226242221+++++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++证明：设nnn n n n C n C C C S )12(53210+++++=…………………………..① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S +++-++=- （反序）又由mn nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S +++-++=-1103)12()12(…………..……..② ①+②得n n n n n n n n n C C C C n S2)1(2))(22(2110?+=+++++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(?+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-++++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+++++++++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +++++++++++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) n nn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列++++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -+++-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++++++=n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解：∵ 211211n n n n n a n =++++++=∴ )111(82122+-=+?=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-++-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)1 11(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1?＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

数列求和的数学公式

数列求和的数学公式
数列是数学中常见的概念，它是指按照一定规律排列的一系列数。

对于一个数列，我们可以通过求和来得到它所有数的总和，这就是数列求和的问题。

在数学中，有许多公式可以用来求解数列的和，下面列举几个常见的公式：
1. 等差数列求和公式
对于一个公差为d的等差数列a1, a2, a3, …… an，它的前n
项和Sn可以通过如下公式求得：
Sn = n * (a1 + an) / 2
其中，n表示数列中的项数，a1和an分别表示数列的首项和尾项。

2. 等比数列求和公式
对于一个公比为q的等比数列a1, a2, a3, …… an，它的前n
项和Sn可以通过如下公式求得：
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
其中，n表示数列中的项数，a1表示数列的首项，q表示公比。

3. 平方和公式
对于一般的数列a1, a2, a3, …… an，它的平方和S可以通过如下公式求得：
S = a1^2 + a2^2 + a3^2 + …… + an^2
4. 立方和公式
对于一般的数列a1, a2, a3, …… an，它的立方和S可以通过如下公式求得：
S = a1^3 + a2^3 + a3^3 + …… + an^3
通过以上公式，我们可以方便地求解各种数列的和，从而更好地理解和掌握数列的性质与规律。

数列的求和公式和递推公式

数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。

2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。

3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。

4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。

5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。

二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。

4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。

5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。

习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。

数列求和(讲)9种方法分类将

(1)求a1，a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式an；
1 式(S3n)＞设1数列loga(1a－naan)＋对2任的意前的n正项整和数为nS恒n，成不立等，求实数a3的取值范围．
五. 分组求和法
项的特征
cn=an+bn
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
例5.求下面数列的前n项和
21,41,6 1 , 4 8 16
来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法．
2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．
3．数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和．
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
七.奇偶法
通过分组，对n分奇偶讨论求和
例7.数列an 中, an
2n
3n
3(n为奇数) 1(n为偶数) ,
求an的前n项和Sn。
练习：求和
(1).Sn 1 2 3 4 (1)n1 n (2).S 1 32 52 72 ..... (1)n1(2n 1)2
＝121＋12－n＋1 1－n＋1 2＝34－2(n＋2n1＋)(n3＋2).
1．特别是对于 anacn＋1，其中{an}
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
相消法，即利用 anacn＋1＝dca1n－an1＋1
(其中d＝an＋1－an)．
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
变式探究2

数列求和常用公式

数列求和常用公式在数学中，数列是一组按照特定规律排列的数字。

数列求和常用公式是用来计算数列前n项和的公式，这些公式在数学中具有重要的作用。

下面将介绍几种数列求和常用公式。

1.等差数列求和公式：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，常用符号表示为{an}，其中 a1 表示首项，d 表示公差。

等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，an 表示第 n 项。

2.等比数列求和公式：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，常用符号表示为{an}，其中 a1 表示首项，r 表示公比。

当公比r不等于1时，等比数列的前n项和公式为：Sn=(a1*(1-r^n))/(1-r)当公比r等于1时，等比数列的前n项和公式为：Sn=a1*n其中Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。

3.平方数列求和公式：平方数列是指数列中每一项都是一个完全平方数的数列，常用符号表示为 {an}，其中 a 表示首项，d 表示公差。

平方数列的前n项和公式为：Sn=(n*(n+1)*(2n+1))/6其中Sn表示前n项和。

4.立方数列求和公式：立方数列是指数列中每一项都是一个完全立方数的数列，常用符号表示为 {an}，其中 a 表示首项，d 表示公差。

立方数列的前n项和公式为：Sn=(n^2*(n+1)^2)/4其中Sn表示前n项和。

5.斐波那契数列求和公式：斐波那契数列是一个递归数列，其中的每一项都是前两项之和。

斐波那契数列的前n项和公式为：Sn=F(n+2)-1其中Sn表示前n项和，F(n)是斐波那契数列的第n项。

以上是数列求和常用公式的简要介绍，这些公式在数学计算、数值分析、概率统计等领域都有广泛的应用。

通过使用这些公式，我们可以更方便地计算数列的前n项和，节省了大量时间和精力。

在实际应用中，我们可以根据数列的特点选择合适的公式，进行快速计算和分析。

常见数列求和

数列求和利用常用求和公式求和等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn)1(211+==∑=n n k S nk n)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n213)]1(21[+==∑=n n k S n k n1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 212、设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 2、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S倒序相加法求和1、求证：n nn n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- 又由mn nm n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-∴ n n n S 2)1(⋅+=2、求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 分组法求和1、求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos n n --=∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 02、在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝103、求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 4、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2)2()1(2++n n n裂项法求和常用公式)()1(n f n f a n -+=n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ 111)1(1+-=+=n n n n a n)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a nnn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 1、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n 2、在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 18+n n。