最新奥数读物----不等式的秘密 20
奥数之解不等式
奥数之解不等式奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生创造力、逻辑推理和解决复杂数学问题能力的竞赛活动。
在奥数的题目中，解不等式是常见的一种题型。
解不等式需要我们找到一个变量的取值范围，使得不等式成立。
本文将介绍解不等式的方法以及一些常见技巧。
一、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个变量、一次方程的不等式。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，只是在求解的过程中需要注意不等式符号的转换。
例如，对于不等式3x-2<5，我们可以按照以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：3x-2=5；2. 解方程：3x=7；3. 求解出x的值：x=7/3；4. 检验解的有效性：将x=7/3带入不等式，验证不等式是否成立。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个变量、二次方程的不等式。
解一元二次不等式的方法相对来说较为复杂，需要我们掌握一些基本的技巧。
1. 图像法：首先将一元二次不等式转化为对应二次函数的图像形式，通过观察图像的开口方向和与x轴的交点来确定不等式的解集。
2. 化简法：对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过化简等式的方法来求解。
化简的关键是对不等式进行因式分解，然后找到各个因式的零点，并根据各个因式在某一区间上的取值情况确定不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指以绝对值形式表达的不等式，解绝对值不等式的关键在于找到绝对值函数的取值范围。
1. 绝对值的定义：|x|表示x与0之间的距离，所以对于一个绝对值不等式来说，可以将绝对值不等式分成两个部分，一个是x大于0，一个是x小于0，并根据不等式的符号确定解集。
2. 绝对值的性质：对于绝对值不等式来说，我们需要牢记绝对值的性质，即|a-b|<=c等价于-a+b<=c且a-b<=c。
通过以上的简单介绍，我们了解了一些解不等式的基本方法和技巧。
当然，在实际解题中，有时我们还需要运用其他的数学知识和技巧，如配方法、整体替换法等。
最新奥数读物----不等式的秘密 60
()()()22224228c b b c b c a c c a S S a b a b c a b++++=++++-++22222222420c a b a c a b ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+-++-+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()()()()222220a b c a b b c S b c S c a S a b S S b c S S a b -+-+-≥+-++-≥（ii）a b c ≥≥。
当然，41,1a c c S S a b c≥≥-+++，而且()()222242284212a b b c a b c b b a S S a c a b c a c++++=++++-++8422224440b a b a c a a b c a c a c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭如果2b a c ≥+，则我们有()()22228241644421a b c b c a b c b b a c S S S a c a b c a c++++++≥++++-++()()22222282441621310100b c a b c b c c a a c a c a a c++≥+++-≥++-≥->考虑下列情况如果2a c b +≤，当然()2b c a c -≥-。
如果0b S ≥，则不等式显然成立。
否则，假设0b S ≤，则()()()()()222240a b c a b c S b c S c a S a b S S S b c -+-+-≥++-≥如果2a c b +≥，我们将证明20c b S S +≥，即()()222242284()120b c a c c a b c g c a b a b c a b+++=++++-≥++注意到，()g c 是0c ≥和2c b a ≥-的增函数，所以（.）如果2a b ≥，我们有2284284()(0)1264a b b a a b b a b g c g b a b a b b a b b a +⎛⎫⎛⎫≥=+++-=+-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22124033a b b a b ⎛⎫⎛⎫+-+-+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（..）如果2a b ≤，我们很容易得到222284414()(2)033b a b a gc g b a a b a b ≥-=++--≥我们即得结论，因为()()()()()()()22222220a b c a b c b S b c S c a S a b S S b c S S a b -+-+-≥+-++-≥93、假设n 是一个大于2的正整数，12,,,n a a a 是n 个实数。
奥数书籍推荐
打星号的是强烈推荐的，其他的书也是非常值得一读的，但是时间有限的情况下，可以暂时搁置。
通用书籍：中等数学（无论是刚入门还是国家队）第零阶段知识拓展《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修3-X（忘了哪本）：初等数论初步》第一阶段：全国高中数学联赛各赛区预赛1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用高中数学联赛备考手册华东师范大学出版社*3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社*4、单樽《解题研究》*5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几）6、《平面几何》浙江大学出版社7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著第二阶段：全国高中数学联合竞赛第一部分：一试《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社*《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选*12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社第二部分：加试（我怎么可能会说二试这种词语呢）平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选*2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选*3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》4、浙大小红皮《平面几何》5、沈文选《三角形的五心》6、田廷彦《三角与几何》7、田廷彦《面积与面积方法》不等式1、《初等不等式的证明方法》韩神2、9、命题人讲座《代数不等式》计神3、10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》苏淳19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲第三部分：通用《中等数学增刊：高中数学联赛模拟题》*《多功能题典：高中数学竞赛》《数学奥林匹克研究教程》单樽奥林匹克小丛书第二版《高中数学竞赛中的解题方法与策略》第三阶段：中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上（本渣不自量力，竟然敢给这个阶段的大神推荐书籍，如果大神们虐题审美疲劳的话，也不妨一看）命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》今天仔细看了看。
最新奥数读物----不等式的秘密 22
由排序不等式，我们推断2222x xyz y xyt z xzt t yzt a bc b cd c da d ab⋅+⋅+⋅+⋅≥+++根据AM-GM 不等式，我们也有()21()()44x xyz y xyt z xzt t yzt xy zt xz yt xy xz yt zt ⋅+⋅+⋅+⋅=++≤+++≤因为()21()()44xy xz yt zt x z y t x y z t +++=++≤+++=。
等号成立的条件是1a b c ===或者2,1,0a b c c ====或其排列。
例5.2.7设,,,0a b c d >，证明222249a b c d a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Pham Kim Hung ）证明：不失一般性，我们可以假设1a b c d +++=。
又设(,,,)x y z t 是(,,,)a b c d 的一个排列，满足x y z t ≥≥≥，则1111x y z x y t x z t y z t≥≥≥++++++++。
由排序不等式，我们推断222222222()()()()cyc a x y z t a b c x y z x y t x z t y z t ⎛⎫≥+++ ⎪++++++++++⎝⎭∑22222222(1)(1)(1)(1)x y z t t z y x =+++----记2222,,(1)(1)x t m x t n xt s t x =+==+--，当然，我们仅需考虑12s ≤的情况。
如果1m =，则0y z ==，结果是显然的。
因为2222222222222(1)(1)(1)(1)x y z t x t t z y x x t +++=+=----否则，我们有11,2m s <≤。
简短的计算之后，我们有222(2)2(1)(21)(1)()0n s n m m s m m s -----+--=这个恒等式表明函数222()(2)2(1)(21)(1)()f s m m s m m s ααα=-----+--至少有一个实数根。
最新奥数读物----不等式的秘密 23
算，得14l -+=，这样，我们最终的结果为2221()2k x y z -++≥注意：下列更多的一般的问题，可以使用相同的方法解决。
★设,,0x y z >，且满足1xy yz zx ++=，,k l 是两个正常数。
则下列表达式的最小值222kx ly z ++是02t ，这里0t 是下列方程的唯一正根。
32(1)0t k l t kl +++-=采用相同的方法，我们将解决一些有关的中间变量的其他问题。
例6.1.2设实数,,,x y z t 满足条件1xy yz zt tx +++=，求下列表达式的最小值2222545x y z t +++解：我们选择正数5l <，并应用AM-GM 不等式，有下列不等式222lx y +≥，222y lz +≥，221(5)2l z t -+≥，221(5)2t l x +-≥。
将上述不等式相加，我们得到2222545))x y z t xy tz zt tx +++≥+++条件1xy yz zt tx +++=，建议我们选择一个数(05)l l ≤≤，满足=简单的计算，得到1l =，因此表达式2222545x y z t +++的最小值是。
注意：下列一般的问题可以采用相同的方法解决。
★假设,,,x y z t 是任意实数。
证明2222)x ky z lt xy yz zx tx +++≥+++例6.1.3设,,0x y z >，且满足3x y z ++=，求下列表达式的最小值223x y z ++（Pham Kim Hung ）解：设a 和b 是两个正实数。
由AM-GM 不等式，我们有222x a ax+≥222y a ay +≥，33323z b b b z ++≥。
组合这些不等式，得到2232322()2()3x y z a b a x y b z ++++≥++，等号成立的条件是,x y a z b ===。
此时，我们必有23a b x y z +=++=（*）。
不等式的17种解法
不等式的17种解法今天咱们来一起探索不等式的那些解法，可有趣啦！有一种简单的情况，就像比较两个数谁大谁小一样。
比如说，3 + x > 5。
那我们就想呀，3加上几会比5大呢？很容易就知道x得大于2。
这就像分糖果，本来有3颗糖，再加上一些糖要比5颗糖多，那加上的糖肯定得是2颗以上啦。
还有一种呢，要是不等式两边都有数字和字母，像2x + 3 < 5x - 1。
我们可以把带x的都移到一边，数字移到另一边。
就像把小玩具分类一样，2x就像蓝色的小玩具，5x像红色的小玩具。
那我们把2x搬到5x那边，3搬到 - 1那边，就变成2x - 5x < - 1 - 3。
算出来 - 3x < - 4。
这时候x前面是负号，就像小怪兽前面有个减号，有点麻烦。
那我们就把两边都除以 - 3，不过要记住哦，除以一个负数的时候，不等号的方向要变，就像本来向左走的箭头，现在要向右走啦，所以x > 4/3。
再说说有分数的不等式，像1/2x + 1/3 > 1/4x - 1/6。
我们可以先把分数的分母变得一样，就像把不同大小的饼干切成一样大的小块。
通分之后变成6/12x +4/12 > 3/12x - 2/12。
然后再按照前面的方法把带x的放一边，数字放一边，就可以算出x的值啦。
还有一种情况，假如不等式里有括号，就像(2 + x)×3 > 15。
我们要先把括号打开，就像打开一个神秘的小盒子。
打开之后变成6 + 3x > 15，然后再按照之前的办法来解。
我再给大家讲个故事吧。
有一天，小猴子和小兔子分桃子。
小猴子说，我分到的桃子数x加上3个，比小兔子分到的桃子数的2倍还多呢。
小兔子分到了5个桃子。
那就是x + 3 > 2×5，也就是x + 3 > 10。
小猴子想知道自己最少能有几个桃子，那就是x > 7，小猴子知道自己最少得有8个桃子才比小兔子的2倍多呢。
最新奥数读物----不等式的秘密 40
21、假设,,0a b c ≥，且满足1ab bc ca ++=，证明：11152a b b c c a ++≥+++（Berkeley Mathematics Circle ）证明：我们记,x a b c z abc =++=，则不等式变成()22()()5()625cyc cyc cyca b a c a b a a b c abc ++≥+⇔+≥++-∑∏∑225250(2)(21)50x x z x x z ⇔-++≥⇔--+≥如果2x ≥，则不等式显然成立。
否则，假定2x <，由于()()()()()()222a b c b c a c a b x a x b x c abc+-+-+-=---≤我们得到394z x x ≥-。
于是，只需证明()()()()342215021895209x x x x x x x x ---+≥⇔---+≥⎡⎤⎣⎦()()225890x x x ⇔--+-≥，这是成立的，因为2x ≤。
等号成立的条件是1,0a b c ===或其排列。
注意：我们有下列类似的漂亮的结果◆设,,0a b c ≥，且1ab bc ca ++=，证明11113a b b c c a a b c+++≥+++++证明：如果2a b c ++≤，则由上面的结果可知，不等式成立。
现在我们假定2a b c ++≥并且a b c ≥≥，则1111cyc ab bc ca ab bc ca a b c a b a b b c c a a b c+++++=+++++++++++∑()21(1)1111c ab a b a b c a b c a b c a b a b c+=++++≥+++++++++++111113442a b a b c a b c a b a b c +++++⎛⎫⎛⎫≥++++≥++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭等号成立的条件是1,0a b c ===或其排列。
22、证明下列不等式()()()()()()1223112323412nn n a a a a a a a a a a a a a a a +++≤++++++ 其中12,,,n a a a 是任意正实数（Russia MO ）证明：根据下列不等式()()()2123122322a a a a a a a ++≥++()()()2221221121212222252a a a a a a a a a a ++=++≥+，我们立即可以得出结果，因为()()()()()2121221122322222n cyc cyc cyca a a a a a a a a a +≤++=++∏∏∏()2123cyc a a a ≤++∏23、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，证明：33333333336ab bc ca a b c a b b c c a ++++≥++（Pham Kim Hung ，MYM ）证明：不失一般性，我们假定a b c ≥≥。
高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式
不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 切比雪夫不等式★ ★ ★§1。
柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时成立。
本不等式称为柯西不等式。
思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1∴右-左=当且仅当定值时，等式成立。
思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明2当时等式成立；当时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明3 构造函数。
由于恒非负，故其判别式即有等式当且仅当常数时成立。
若柯西不等式显然成立。
例1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证①注意到欲证①,即需证②此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真(11)再证, ③欲证③,只需证④而④即要证⑤(注意)由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是．§２．排序不等式定理２设有两组实数，满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。
不等式的秘密：只论前世，不计今生
不等式的秘密：只论前世，不计今生从古至今，'比较'都是人类生活中必不可少的部分。
有了比较，就有了像 '多、少、一样'等用于描述物体间数量关系的词语，这些词语抽象到数学中，就是我们从小学就熟知的'大于、小于、相等'（其中'大于和小于'我们称之为不等关系）。
不等关系与不等式“比较”如果总停留在'多与少'，那生活就永远是一个模糊的概念。
但人类文明是在不断进步的，从定性到定量是必然。
首先是一、二等数字的引入，然后是数的概念形成，数学中的不等关系变得更清晰了，人们可以借助数来表达物体间的数量关系。
如上图中，苹果个数的大小关系的本质蕴含在不等式中：2<6（少）,6=6（相等）,6>2（多）.这是单一的、独立存在的不等关系。
17世纪，伽利略引入函数的概念以后，数学家们使用函数来描述两个变量间的关系y=f(x),函数所体现的是'等量关系'。
另一方面，为了处理函数值域的上下界等问题，也有数学家开始使用表达式来描述常量、变量内部及变量间的一类'不等关系'，这样的表达式通常用符号'>'或'<'连结（如|x|>0），现在我们称之为不等式。
早期的'不等式'由于早期的数学并没有函数的概念、也没有形成'>'或'<'等符号，因此当时的不等式都是以文字来表述、使用'不足''超过'等词语体现的，也有部分不等式是后人根据早期数学家发现的等量关系去掉某些部分得到的。
（一）.圆周率π的近似值阿基米德（Archimedes，前287—前212年）使用'穷竭法'计算圆周率π的近似值是早期不等式运用的典型。
阿基米德从圆的内接和外接正六边形出发，逐步对边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。
最新-不等式证明20法 精品
不等式证明20法不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样，技巧性强，笔者通过探索获得以下体会，供同行参考。
1、比较法（作差法）在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断。
步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。
变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2。
证明：02)(2222≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ，故得ab b a ≥+2。
2、分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证：15175+>+。
证明：要证15175+>+，即证1521635212+>+，即15235+>，1541935+>，16154<，415<，1615<，由此逆推即得15175+>+。
3、综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。
例3、已知：a ，b 同号，求证：2≥+ab b a 。
证明：因为a ，b 同号，所以0>b a ，0>a b ，则22=∙≥+ab b a a b b a ，即2≥+a b b a 。
4、作商法（作比法）在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助1>b a 或1<ba 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。
例4、设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >。
证明：因为0>>b a ，所以1>b a ，0>-b a 。
而1>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a a b b a b a b a b a ，故a b b a b a b a >。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i 1
i 1
i 1
i 1
n1
0 bi (bi ai ) (b1 b2 )(b1 a1) (b2 b3 )(b1 b2 a1 a2 ) i 1
(bn
bn1
)
n i 1
bi
n i 1
ai
bn1
n1 i 1
bi
n1 i 1
ai
在上面的和式中，每一个排除了最后一个非正数（因为 k {1, 2,, n}，我们有 bk bk1
i 1
证明：记 ci i i 1, ai xi ，则不等式变成
a1c1 a2c2 ancn 2 a12 a22 an2
假设 b1,b2,,bn
是正数，且满足 b12
b22
bn2
1以及
n i 1
ai2
n i 1
bi2
n i 1
aibi
2
（序
列 (a1, a2 ,, an ) 和 (b1, b2 ,, bn ) 成比例）。我们只需证明
k
1
2
k
i1 i
然而，最后的不等式是显然成立的，因为
k
1
k
2
k
2 i i 1 2 k
i1 i i1 i i 1 i1
这也可以由 Abel 公式，
n
i 1
bi (2xi
bi )
(b1
b2 )(2x1
b1 )
(bn1
n1 bn ) 2 i1
xi
n1 i 1
bi
bn
2
n i 1
再次根据 Abel 公式，我们有
n
i 1
aibi
S1
S2 2
(b1
b2 )
S2 2
S3 3
(b1
b2
2b3 )
Sn1 n 1
Sn n
n1 i 1
bi
(n
1)bn
1 n
n i 1
ai
n i 1
bi
73
由题设，可得 S1 S2 Sn ，所以，只需证明
12
nห้องสมุดไป่ตู้
k
bi kbk1 k {1, 2,, n 1}
xi
n i 1
xi
n i 1
bi
bn bk1, k {1, 2,, n} ，所以所有项均为正。
例 5.1.4 设 a1, a2 ,, an 和 b1,b2 ,,bn 是实数，且满足
a1
a1 a2 2
a1 a2
an n
，
b1
b1
b2 2
b1
b2
bn n
。
证明下列不等式
a1b1
a2b2
i 1
这可直接由题设条件得到
1
k
k
bi
i 1
k
1
1
k 1 i 1
bi
例 5.1.5 设 x1, x2 ,, xn 是实数，满足 x1 x2 xn xn1 0 ，证明下列不等式
n
x1 x2 xn i xi xi1 （Romania MO and Singapore MO）
i 1
( yn1
yn )
n1 i 1
xi13
n1 i 1
xi
yn
n i 1
xi13
n i 1
xi
因为 yk yk1 k 1, 2,, n ，于是我们只需证明
k
k
k
xi13 xi xi (xi12 1) 0
i 1
i 1
i 1
应用 Abel 公式，可得
k
xi (xi12 1) (x1 x2 )(x112 1) (x2 x3 )(x112 x122 2)
i 1
an
n i 1
ai
n i 1
bi
0
这是成立的，因为对于 k 1, 2,, n ，我们有
k
k
ci bi
i 1
i 1
k
k bi
i 1
k
k
k i 1
bi2
0
例 5.1.6 设 a1, a2 ,, an 和 b1 b2 bn 是实数，且满足
74
a12 a22 ak2 b12 b22 bk2 , k 1, 2,, n ，证明： a1 a2 an b1 b2 bn
i 1
(xk1
xk
)
k 1 i 1
xi12
k
1
xk
k 1 i 1
xi12
k
j
注 意 到 xi [1,1], k 1, 2,, n ， 所 以 xi12 j ( j 1, 2,, k) ， 然 而 ， 由 于 i 1
证明：我们用归纳法来证明这个问题。当 n 1是显然的。假设问题对 n 是成立的，我 们将证明它对 n 1 也是成立的。实际上，由 Cauchy-Schwarz 不等式，我们有
a12
a22
a2 n1
b12
b22
b2 n1
a1b1 a2b2 an b 1 n1
2
n 1
n1
n1
n1
由假设 ai2 bi2 ，所以 bi2 aibi 。根据 Abel 公式，
x113 y1 x123 y2 x1n3 yn x1 y1 x2 y2 xn yn （Russia MO 2000) 证明：根据 Abel 公式，我们注意到
75
n
yi (xi13 xi ) ( y1 y2 )(x113 x1) ( y2 y3 )(x113 x123 x1 x2 )
a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 由 Abel 公式，上面的不等式可以变形为
n
ai (ci bi ) 0 (a1 a2 )(c1 b1) (a2 a3 )(c1 c2 b1 b2 )
i 1
(an1
an
)
n1 i 1
ai
n1
bi
anbn
1 n
a1
a2
an
b1
b2
bn
（改进的 Chebyshev 不等式）
证明：对于 k {1, 2,, n}，我们记 Sk a1 a2 ak , bn1 0 ，由 Abel 公式，我们
有
n
i 1
aibi
n i 1
(bi
bi1)Si
n i 1
i(bi
bi
1
)
Si i
a12 a22 ak2 b12 b22 bk2 k 1, 2,, n ，证明
b1
b2
bn
a12 b1
a22 b2
an2 bn
例 5.1.7 设 1 x1 x2 xn 1和 y1 y2 yn 是实数，且满足
x1 x2 xn x113 x123 x1n3 ，证明
k
k
以及 bi ai ，由归纳假设）。所以，我们必定有
i 1
i 1
bn1
n1
bi
i 1
n1
ai
i 1
0
n1
bi
i 1
n1
ai
i 1
注意：下列结果属于 Le Huu Dien Khue，是更强的结果，它可以直接由 Abel 公式得 到（不用归纳法）
★设 a1, a2 ,, an 和 b1 b2 bn 是实数，且满足