大学文科数学全部公式

y P ( x ) y Q( x )
ye
P ( x )dx
P ( x )dx dx C ] [ Q ( x )e
例．求方程 ( x y4 )dy ydx 0 的通解.
解： ydx ( xx当作自变量，把 y 当作 未知函数， y 4 )dy ， 分析：若仍把
4、用初等变换求矩阵的秩的方法: 1）将A用初等变换化为行阶梯矩阵； 2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。
5、用初等变换求线性方程组的解
6、用初等变换求行列式
| A |
d11 d1n
d11 d nn
d nn
线性方程组
(一) 齐次线性方程组Ax=0 (1)
设A是m×n矩阵,则:


2、用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:
1) A B 行 E A1 B
A E 1) 列 1 B BA


2) X A1 B
3、用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:
2) X BA1
x 1 (2)d( ) x dx; 1
(1) 0dx C ;
a (6)d( ) a xdx; ln a
x
ax (6) a xdx C; ln a
(7)d(e ) e dx;
(8)d(sin x ) cos xdx;
x
x
(7) e x dx e x C;
（3）求出积分，得通解：G( y ) F ( x ) C ， 1 , f ( x ) 的原函数。 其中 G ( y ), F ( x ) 分别是 g( y )
（4）根据初始条件求方程的特解.
（5）若有 g ( y0 ) 0 ，则 y y0 也是方程的解，称为常数解.
（二）一阶线性非齐次方程的解法
x x0 x x0
（极值存在的必要条件）
称为可能极值点. 导数不存在的点 驻点
定理
( 设 y f ( x ) 在 [a , b] 上连续，在a , b) 内二阶可导，则
（1）若 在 ( a , b ) 内， f ( x ) 0 ，则曲线弧 y f ( x )在 ( a , b ) 内是向下凸的； （2）若
变限求导公式
（1） [ f ( t )dt ] f ( x ) ；
a x
（2） [
b x
f ( t )dt ] f ( x ) ；
（3） [
（4） [
（5） [
(x)
a
f ( t )dt ] f [ ( x )] ( x ) ；
b g( x )
f (t )dt ] f [ g( x )] g( x ) ；
（1）齐次方程组(1)只有零解 R( A) n (未知量的个数). （2）齐次方程组(1)有非零解 R( A) n (未知量个数). 有n个未知数n个方程的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式 A 0.
求解齐次线性方程组的一般步骤：
① 对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵； ② 由行最简矩阵写出对应的同解方程组； ③令同解方程组中的自由未知量分别为 c1 , c2 ,, cnr ,
tan xdx ln cos x C . cot xdx ln sin x C .
不定积分的分部积分法
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x na x dx ， x n sin xdx ， x n arctan xdx Байду номын сангаас e x cos xdx 等.
f (t )dt ] f [ ( x )] ( x ) f [ g( x )] g( x ) .
( x)
g( x )
（1）
a
a
f ( x ) dx [ f ( x ) f ( x )] dx ；
0 a a a a
a
（2）当 f ( x ) 为偶函数，则 （3）当 f ( x ) 为奇函数，则
sin x 1 . 1．重要极限 lim x0 x
特点:
lim
sin
0
1
2．重要极限
①特点:
1 x lim (1 ) e x x
lim (1

1
) e
定义 3
设 lim lim 0 ，
（1）若 lim 0 ，则称 是 的高阶无穷小量， 记为 o( ) ；而称 是 的低阶无穷小量. （2）若 lim k 0 ，则称 与 是同阶无穷小量， 记为 O( ) ； （3）若 lim 1 ，则称 与 是等价无穷小量， 记为 ～ ；
A B A B A B A B
A B AB A AB
3. 概率的计算方法
直接计算 P(A) A中包含的样本点个数
f ( x ) dx 2
a o
f ( x ) dx ；
f ( x ) dx 0 .
奇偶函数在对称区间上的积分性质
可分离变量方程的一般形式为
dy f ( x ) g( y ) dx
求解步骤：
dy （1）分离变量： f ( x )dx ( g( y ) 0) ； g( y )
dy f ( x )dx ； （2）两边积分： g( y )
1.积分公式
(1)d(C ) 0;
x 1 (2) x dx C ( 1); 1 1 1 (3) dx ln x C; (3)d(ln x ) dx; x x 1 1 dx arctan x C; (4)d(arctan x ) dx; (4) 2 1 x 1 x2 1 1 dx arcsinx C; (5)d(arcsinx ) dx; (5) 1 x2 1 x2
(11) csc2 xdx cot x C;
(12)d(sec x ) sec x tan xdx; (12) sec x tan xdx sec x C;
(13 )d( csc x ) csc x cot xdx . (13) csc x cot xdx csc x C .

∴ sin x ～ tan x ～arcsin x ～arctan x ～x
1 2 ； 1cosx ～ x （ x0 ） 2 x n 1 x 1 ～ （ x0 ）. n 连续的概念
x x0
(x0 )；
lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x )
在(a ,b )
内， f ( x ) 0 ，则曲线弧
y f ( x )在 ( a , b )
内是向上凸的.
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) y f ( x ) lim lim lim x 0 x x 0 x x0 x x x0
1 dy 3 y
1 3 dy C ] y[ y C ] ， 3
1 4 故原方程的通解为 x y Cy . 3
行列式的计算
三种常用方法
三角法 ： 根据行列式的特点，利用行列式的性 质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。
降阶法 ： 利用行列式按行（列）展开法则降阶， 把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需 结合化简性质运用。 通过降阶法建立起行列式与其同形的 递推法 ： 较低阶的行列式的关系式--------递推关系式，然后由 递推关系式求解其值。
dx 1 含x yy 3，则它不是线性方程，为此， 由于方程中 y 有 4 ， dy
这是一个关于未知函数 x 可把 x 当作是y 的函数. x( y ) 的一阶线性非齐次方程，
其中
1 P ( y ) ， Q( y ) y 3 ，代入通解公式，得 y
1 y dy
xe
[ y e

CH9 随机事件及其概率
注:当P(A),P(B)>0两者不
1. 基本概念
能同时成立
随机试验,样本空间, 样本点,随机事件,概率,条件概率, 几何概率;事件的互不相容,事件的独立性.
A与B互不相容 A∩B= A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)
2. 事件间的基本运算
A( B C ) ( AB ) ( AC ), A ( B C ) ( A B) ( A C )
(8) cos xdx sin x C ;
(9)d( cos x ) sin xdx;
(9) sin xdx cos x C ;
(10)d(tan x) sec2 xdx;
(11)d( cot x) csc2 xdx;
(10) sec2 xdx tan x C;
x
dt ，则
2 t 1 1 e 1 ln C ln C . x 2 t 1 1 e 1
三角函数代换.
当被积函数含有
（1） a 2 x 2 时，令 x a sin t ；
（2） x 2 a 2 时，令 x atant ；
（3） x 2 a 2 时，令 x asect .
2．常用凑微分式子
（1） dx
1 d(ax b) ； a
（2） xdx
1 （3） dx d(ln x ) ； x
1 （5） dx 2d( x ) ； x
1 d( x 2 ) ； 2 1 1 （4） dx d( ) ； 2 x x
（6）
1 1 x
2
dx d(arctan x ) ；
初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的 初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于 用一个相应的初等阵右乘矩阵A. 初等变换的应用： 1、用初等变换求逆矩阵的方法: 行 A E E A1 1)构造:(A E); 2)做初等行变换
基本初等函数和常数的求导公式
（1） (c ) 0 ；
（2）( x )x1 ；
（4）(e x )e x ；
（3） (a x )a x lna ；
1 （5） (loga x) ； xlna
（7） (sin x ) cos x ；
1 （6） (lnx) ； x
（8）(cosx ) sin x ；
解非齐次线性方程组Ax=b的一般步骤为：
(1) 对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观
察R(A)= R(B) ， 若R(A)≠R(B)，则方程组无解，解题完毕； ？ 若R(A)= R(B) ，转向2）步； (2) 对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简形矩阵；
(3)由行最简形矩阵写出同解方程组； (4)求出同解方程组的全部解。
从而得出原方程组的全部解.
设矩阵A与矩阵B分别是非齐次线性方程方程组Ax=b的系数 矩阵与增广矩阵,则 (1) Ax=b有唯一解 r(A)= r(B)=n(未知量的个数).
(2) Ax=b有无穷多解 (3) Ax=b有无解
r(A)= r(B) <n (未知量的个数).
r(A)
r(B) (未知量的个数).
（4）若 lim
x 是 x 的 k 阶无穷小量.
k
L ( L 0, k 0) ，则称 x0 时，
重要结论：
1 x, 当 x 0 时, loga (1 x) ～ lna
ln( 1 x ) ～ x ,
e x 1 ～ x ,
a 1 ～ x lna ,
x
(1 x) 1 ～ x.
分部积分法是乘积微分公式的逆运算.
一、分部积分公式
即
udv uv vdu .
反对幂指三
（一）简单根式代换
例 10.求 1 1 e x
x
dx
x 2
解：令 1e t ，e t 1 ，
x ln( t 1) ， dx
2
2t

t 2 1 1 1 2t 1 dx dt 2 dt x t t 2 1 t 2 1 1 e