三年级下册数学讲义-竞赛专题：第四讲-周期问题(含答案解析)人教版

周期问题

知识概述

1、在日常生活的数学中，我们常常看到有些事物按一定的顺序反复出现的现象，

比如一年四季，“春、夏、秋、冬”的顺序交替更换的。“星期日、星期一、星期

二、。。星期六”交替出现，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题，此类现

象称为“周期现象”它们都具有“周期性”。

2、研究周期问题就是要发现问题的周期性和确定周期，而从解决有关问题。我们

可以通过枚举法、图表法等方法确定一个周期和周期的长度，将某一变化过程按要求继续进行下去，从而找到变化的周期。

3、解决周期问题的基本步骤：

（1）确定周期的长度；

（2）确定第一周期；

（3）确定指定的事物在周期中的位置。

1.使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定

某个序号所代表的物体或图形。

2.使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题

的不同策略以及逐步实现方法的优化。

3.使学生能熟练解决各种常见周期问题。

名师点题

我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。已知如果1940年是龙年，那么，2000年是什么年？ 【解析】

我们把1940年作为第一年，那么第一个周期的生肖为龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔，2000-1940+1=61，所以2000年是第61年或者说是周期中的第61个数，61÷12=5……1，所以2000年是龙年。

至慧兔和迷你猫玩跳跳毯，每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，至慧兔从标有数“1”

的

圆圈按顺时针方向跳了 100 步，落在一个圆圈里．迷你猫也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 200 步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里的数乘积是多少？

【解析】不论顺时针还是逆时针都是 7 步一个周期，

那么顺时针跳100步：100 ÷ 7 = 14……2 ，相当于顺时针跳 2 步，落在3 号圈中；

逆时针跳200步：200 ÷ 7 = 28……4 ，相当于逆时针跳 4 步，落在 4 号圈中， 乘积为3×4= 12．

【巩固拓展】

1、我国用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。那么公元3000年是什么年？ 【解析】

2000年是龙年做为周期的第一个数，第一个周期为龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔，那么公元3000年就是第100011001+=个数，100112835÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以公元3000年是猴年。 例1

例2

1

2

3

4 5

6

7

2、钟表被平均分成12份，按顺时针方向从正上方开始依次标号为12，1，2，3，4，⋯，10，11．现在时针正对着数字2，那么100小时后时针正对的数字是几？200小时后时针正对着数字是几？

【解析】100÷12=8……4 ，也就是转了8圈回到数字2后再往后数4格，所以是2+4=6．

200÷12=16……8 ，再往后数8格，所以是2+8=10．

3、小丁把同样大小的灰、白、黑珠子按先2个灰的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？

【解析】从上图可以看出，珠子是按“两灰一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为灰色。

在一根绳子上依次穿2个红珠、3个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第77颗，那么其中白珠比黑珠少多少颗？

【解析】

第一周期是2个红珠、3个白珠、5个黑珠，共10颗珠子，每个周期内白珠比黑珠少532

-=，那么771077

÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，共有7个这样的周期白珠比黑珠少2714

⨯=（颗），而剩下的7个珠子是2个红珠、3个白珠、2个黑珠，白珠比黑珠多1，那么这77颗珠子中白珠比黑珠少14113

-=（颗）。

【巩固拓展】

有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？

【解析】

这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。因为例1

中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。红花有：5×9+5=50（朵），黄花有：9×9+1=82（朵），绿花有：13×9=117（朵）。

（第六届“希望杯”第二试第8题）

已知一列数：5、4、7、1、2、5、4、3、7、1、2、5、4、3、7、1、2、5、4、3、7、1⋅⋅⋅⋅⋅⋅，由此可推出第2008个数是多少？

【解析】

观察数据发现，除前面5、4、7、1、2这5个数外，其余均以5、4、3、7、1、2这样6个数为一个周期循环出现，因此(20085)63335

-÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，而每个周期的第5个数是1，故第2008个数是1。

【巩固拓展】

（第10届中环杯初赛）

下面一组图形是按一定规律排列的：○○○○△△△□□○○○○△△△□□○○○○△△△□□……问：（1）第205个图形是什么？（2）前205个图形中，○有几个？△有几个？□有几个？

【解析】

此题属于典型的“周期性问题”。根据题目可知每9个图形为一个周期：

（1）205÷9=22（组）……7（个）

第205个图形是每组的第7个：三角形

（2）22×4+4=92（个）

在前205个图形中共有92个圆形；

22×3+3=69（个）

在前205个图形中共有69个三角形；

22×2=44（个）

在前205个图形中共有44个正方形。

例2

例3