三年级下册数学讲义-竞赛专题：第四讲-周期问题(含答案解析)人教版

周期问题知识概述1、在日常生活的数学中，我们常常看到有些事物按一定的顺序反复出现的现象，比如一年四季，“春、夏、秋、冬”的顺序交替更换的。

“星期日、星期一、星期二、。

星期六”交替出现，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题，此类现象称为“周期现象”它们都具有“周期性”。

2、研究周期问题就是要发现问题的周期性和确定周期，而从解决有关问题。

我们可以通过枚举法、图表法等方法确定一个周期和周期的长度，将某一变化过程按要求继续进行下去，从而找到变化的周期。

3、解决周期问题的基本步骤：（1）确定周期的长度；（2）确定第一周期；（3）确定指定的事物在周期中的位置。

1.使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的物体或图形。

2.使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略以及逐步实现方法的优化。

3.使学生能熟练解决各种常见周期问题。

名师点题我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。

已知如果1940年是龙年，那么，2000年是什么年？ 【解析】我们把1940年作为第一年，那么第一个周期的生肖为龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔，2000-1940+1=61，所以2000年是第61年或者说是周期中的第61个数，61÷12=5……1，所以2000年是龙年。

至慧兔和迷你猫玩跳跳毯，每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，至慧兔从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了 100 步，落在一个圆圈里．迷你猫也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 200 步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里的数乘积是多少？【解析】不论顺时针还是逆时针都是 7 步一个周期，那么顺时针跳100步：100 ÷ 7 = 14……2 ，相当于顺时针跳 2 步，落在3 号圈中；逆时针跳200步：200 ÷ 7 = 28……4 ，相当于逆时针跳 4 步，落在 4 号圈中， 乘积为3×4= 12．【巩固拓展】1、我国用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。

那么公元3000年是什么年？ 【解析】2000年是龙年做为周期的第一个数，第一个周期为龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔，那么公元3000年就是第100011001+=个数，100112835÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以公元3000年是猴年。

例1例21234 5672、钟表被平均分成12份，按顺时针方向从正上方开始依次标号为12，1，2，3，4，⋯，10，11．现在时针正对着数字2，那么100小时后时针正对的数字是几？200小时后时针正对着数字是几？【解析】100÷12=8……4 ，也就是转了8圈回到数字2后再往后数4格，所以是2+4=6．200÷12=16……8 ，再往后数8格，所以是2+8=10．3、小丁把同样大小的灰、白、黑珠子按先2个灰的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？【解析】从上图可以看出，珠子是按“两灰一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。

32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为灰色。

在一根绳子上依次穿2个红珠、3个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第77颗，那么其中白珠比黑珠少多少颗？【解析】第一周期是2个红珠、3个白珠、5个黑珠，共10颗珠子，每个周期内白珠比黑珠少532-=，那么771077÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，共有7个这样的周期白珠比黑珠少2714⨯=（颗），而剩下的7个珠子是2个红珠、3个白珠、2个黑珠，白珠比黑珠多1，那么这77颗珠子中白珠比黑珠少14113-=（颗）。

【巩固拓展】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？【解析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。

因为例1中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。

红花有：5×9+5=50（朵），黄花有：9×9+1=82（朵），绿花有：13×9=117（朵）。

（第六届“希望杯”第二试第8题）已知一列数：5、4、7、1、2、5、4、3、7、1、2、5、4、3、7、1、2、5、4、3、7、1⋅⋅⋅⋅⋅⋅，由此可推出第2008个数是多少？【解析】观察数据发现，除前面5、4、7、1、2这5个数外，其余均以5、4、3、7、1、2这样6个数为一个周期循环出现，因此(20085)63335-÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，而每个周期的第5个数是1，故第2008个数是1。

【巩固拓展】（第10届中环杯初赛）下面一组图形是按一定规律排列的：○○○○△△△□□○○○○△△△□□○○○○△△△□□……问：（1）第205个图形是什么？（2）前205个图形中，○有几个？△有几个？□有几个？【解析】此题属于典型的“周期性问题”。

根据题目可知每9个图形为一个周期：（1）205÷9=22（组）……7（个）第205个图形是每组的第7个：三角形（2）22×4+4=92（个）在前205个图形中共有92个圆形；22×3+3=69（个）在前205个图形中共有69个三角形；22×2=44（个）在前205个图形中共有44个正方形。

例2例3例如，第1组是（我，A ），第二组是（们，B ）， 至 慧 学 堂 至 慧 学 堂 至 慧 学 堂 …… ABCDEFABCDEF……第34组是什么？【解析】值得注意的地方是文字和字母的周期不一样，所以要分开求解： 文字：34÷4=8……2 所以第34组的文字是：慧 字母：34÷6=5……4 所以第34组的字母是：D 所以答案：（慧，D ）【巩固拓展】把自然数按下列规律排列后，可分为ABCDE 五列，例如，10在第3行B 列。

那么985在哪一行，哪一列？ 【解析】以8个数为一个周期，98581231÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以985在第124个周期的第一个数，也就是在A 列，而之前的123个周期，每个周期2行，所以985在12321247⨯+=行。

有11位小朋友分别标号为1-11，按左图所示围成一个圈，从1号开始发书，每次发一本书，按顺时针方向，依次隔2人，再隔3人；再隔2人，再隔3人⋅⋅⋅⋅⋅⋅这样的顺序发下去，共有2009本书，问最后一本书发给几号小朋友？【解析】例41110987654321AB C D E 123456789101112131415161234567891011√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√可以看出发放22本书后，发书顺序是重复出现的，也就是本题的周期是22。

因为200922917÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第2009本书应发给11号小朋友。

（方法二）我们把第一次发书看做涂三格颜色，那么第二次发书看做涂四格颜色，所以到第2008本书涂完的时候共涂了(34)(20082)710047028+⨯÷=⨯=（格），第2009本再涂1格，那么共涂了7029格，并且是以11为周期的，702911639÷=，所以最后第2009本书会发给11号小朋友。

【巩固拓展】有一只玩具电子跳蚤在图中1号位置上，它按顺时针方向作如下跳动：第1次跳1步，从1号跳到2号，第二次跳2步，从2号跳到4号位，第三次跳3步，从4号跳到7号位⋅⋅⋅⋅⋅⋅这样一直跳下去，当第100次跳100步后，这只电子跳蚤在几号位？【解析】根据题意，第1次跳1步，第二次跳2步⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第100次跳100步后，总共跳了123100(1100)10025050+++⋅⋅⋅+=+⨯÷=（步），由图可知每11步为1圈，505011459÷=（圈）1⋅⋅⋅⋅⋅⋅（步），所以当跳到第100次后，这只跳蚤在2号位上（第七届“希望杯”第一试第2题）2009年元旦是星期四，则2009年的“六一”儿童节是星期几？例11110987654321如果元旦算第一天，那么“六一”儿童节是31283130311152+++++=（天），1527215÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以儿童节是星期一。

我们对四位数1234 的各位数字进行如下方式的交换：第 1 次交换千位和百位，第2 次交换个位和十位，第 3 次交换千位和个位，第 4 次交换百位和十位，第5、6、7、8次的交换方式与第1、2、3、4 次的相同，并如此继续下去，那么经过100 次这样的交换后，所得的四位数是什么？【解析】按照规律，列一下表，1234①2134 ②2143 ③3142 ④3412⑤4312 ⑥4321 ⑦1324 ⑧12348 次交换一个周期，100 ÷ 8 = 12……4 ，所以与第4 次交换之后相同，应该是3412．甲、乙、丙、丁四大盗贼都各自收藏了一些宝石．每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石．分配的规则就是：宝石最多的人分给其他3人每人1 颗．如果第 1 天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10、7、5、4 颗宝石，那么第100 天早上分完宝石后，四个人手中各有几颗宝石？先试着算一下开始几天四人的宝石数量，可以用下面这个表格来表示，试着再往下填几行：例2例3第2天早上分配完之后是（7、8、6、5）， 第3天（8、5、7、6）， 第4天（5、6、8、7）， 第5天（6、7、5、8），第6天（7、8、6、5）与第2天相同，所以 4 天一周期．除去第1天还有 99 天， 99 ÷ 4 = 24……3 ，所以应该与周期中的第 3 个即第 4 天相同，即（5、6、8、7）．（第六届“希望杯”第二试第4题）小明按1-5循环报数，小花按1-6循环报数，当两个人都报了600个数时，小花报的数字之和比小明报的数之和多多少？ 【解析】（方法一）我们分别算出两个人所报数的和，小明所报数的和为(12345)(6005)1560051800++++⨯÷=⨯÷=，小花所报数的和为(123456)(6006)211002100+++++⨯÷=⨯=，小花比小明多报了21001800300-=。

（方法二）把前面的数写出来找周期，可以看出是以30为周期的，每个周期内小花报的数字之和比小明报的数之和多(123456)5(12345)62151561059015+++++⨯-++++⨯=⨯-⨯=-=，6003020÷=，总共有20个周期，所以小花报的数字之和比小明报的数字之和多2015300⨯=。