三角形面积1
2021年九年级中考数学 一轮专题训练：三角形的面积(一)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2021年中考数学一轮专题训练：三角形的面积（一）1．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，则S△DEF等于（）A．2cm2B．1cm2C．2D．22．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，E、F分别是AD、BE的中点，若△BFD的面积为1，则△ABC的面积为（）A．3 B．8 C．4 D．63．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．54．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（）A．角平分线B．中线C．高D．A、B、C都可以5．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.56．如图，将三角形ABC沿直线AB向右平移后得到三角形BDE，连接CD，CE，若三角形ACD的面积为10，则三角形BCE的面积为（）A．4 B．5 C．6 D．107．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm28．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是△ACD中AD边上的中线，如果△ABC的面积是20，那么△ACE的面积是（）A．10 B．6 C．5 D．49．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，BA的中点，△ABC的面积为32，则△DEB 的面积为（）A．条件不足，无法确定B．4C．8 D．1610．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ACD的面积为20，则△ABE 的面积为（）A．5 B．10 C．15 D．1811．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD═2BD，BE＝CE，设△ADF 的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1﹣S2＝（）A．1.5 B．2 C．3 D．0.512．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点P，四边形与△ABP的面积分别记为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．以上都有可能13．如图，△ABC的面积为10，点D为线段BC的中点，将△ABD沿着射线BC的方向平移使得点B与点D重合，得到△EDC，则△EDC的面积为（）A．2.5 B．4 C．5 D．1014．如图在8×5的正方形网格中，AB、AC是经过格点的线段，如果能找到这样的格点M，使得S＝S△ABM，这样的点M的个数是（）△ACMA．1 B．2 C．3 D．415．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，BC＝6，△BCD的面积为9，则点D到AB的距离为（）A．3 B．4.5 C．6 D．916．如图所示，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且AD：BD＝3：4，AE：CE＝2：1．连接DE，那么S：S四边形BCED＝（）△ADEA．B．C．D．17．如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AF＝FD，CE＝EF，则△DEF 的面积为（）A．B．C．D．18．如图，在△ABC中，E是BC上一点，BC＝3BE，点F是AC的中点，若S△ABC＝a，则S△ADF﹣S△BDE＝（）A．a B．a C．a D．a19．如图，A、B、C的坐标分别为：A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），在线段AB 或线段BC上找一点P，使△ACP面积为整数且S△ACP≤S△ABC，则满足条件的点P 的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．1020．已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标是（）A．（﹣4，0）B．（3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣4，0）或（6，0）参考答案1．解：∵点D是BC的中点，∴S△ADC＝S△ABC，∵点E是AD的中点，∴S△DCE＝S△ADC＝S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S△DEF＝S△DCE＝S△ABC＝×4＝（cm2），故选：C．2．解：∵F是BE的中点，∴BF＝EF，∴S△EFD＝S△BFD，又∵S△BDE＝S△EFD+S△BFD，∴S△BDE＝2S△BFD＝2×1＝2．同理，S△ABC＝2S△ABD＝2×2S△BDE＝4×2＝8．故选：B．3．解：∵△ABC的面积为12，∴×AE×BC＝12，∴BC＝＝6，∵AD是边BC上的中线，∴CD＝BC＝3．故选：B．4．解：三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形，面积相等，所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．故选：B．5．解：灰色三角形的面积为：4×4﹣﹣﹣＝7，故选：A．6．解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AB＝BD，BC∥DE，∴S△ABC＝S△BCD＝S△ACD＝×10＝5，∵DE∥BC，∴S△BCE＝S△BCD＝5．故选：B．7．解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，∴S△BEC＝S△ABC＝6cm2．∵EF＝2FC，∴S△BEF＝S△BCE，∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2．故选：C．8．解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是20，∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝10，∵CE是△ACD中AD边上的中线，∴S△ACE＝S△CED＝S△ACD＝5．故选：C．9．解：∵D、E分别是BC，AB的中点，∴S△DEB＝S△ABD，S△ABD＝S△ABC，∴S△DEB＝S△ABC＝×32＝8．故选：C．10．解：∵AD是△ABC的中线，△ACD的面积为20，∴S△ABD＝S△ACD，＝20，∵BE是△ABD的中线，∴S△ABE＝S△DBE，而S△ABE＝20÷2＝10．故选：B．11．解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝6．∵AD＝2BD，S△ABC＝12，∴S△BCD＝S△ABC＝4，∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝6﹣4＝2．故选：B．12．解：连接DE，∵△ABC的中线AD、BE相交于点P，∴DE∥AB，∴S△ABD＝S△ABE，∴S△PBD＝S△PAE，∵S△ABE＝S2+S△PAE＝S△BCE＝S△PBD+S1，∴S1＝S2，∴S1与S2的大小关系为相等，故选：B．13．解：∵△ABC的面积为10，点D为线段BC的中点，∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝5，∵将△ABD沿着射线BC的方向平移使得点B与点D重合，得到△EDC，∴△EDC的面积＝△ABD的面积＝5，故选：C．14．解：如图所示：故使得S△ACM＝S△ABM的格点M的个数是3个．故选：C．15．解：作DH⊥BC于H，DE⊥BA交BA的延长线于E．∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE⊥BE，DH⊥BC，∴DE＝DH，∵S△DBC＝•BC•DH＝6，∴×6×DH＝9，∴DH＝3，∴DE＝3，故选：A．16．解：连接BE，设△ABC的面积为S，∵AE：CE＝2：1．∴S△ABE＝S，∵AD：BD＝3：4，∴S△ADE＝S△ABE＝×S＝S，∴S△ADE：S四边形BCED＝2：5，故选：B．17．解：∵△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，∴S△ACD＝S△ABC＝，∵AF＝FD，∴DF＝AD，∴S△CDF＝S△ACD＝×＝，∵CE＝EF，∴S△DEF＝S△CDF＝×＝，故选：D．18．解：∵BC＝3BE，∴S△AEC＝S△ABC＝a，∵点F是AC的中点，∴S△BCF＝S△ABC＝，∴S△AEC﹣S△BCF＝a，即S△ADF+S四边形CEDF﹣（S△BDE+S四边形CEDF）＝a，∴S△ADF﹣S△BDE＝a，故选：C．19．解：∵A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴AB＝6，OC＝6，∴，∵S△ACP≤S△ABC，∴S△ACP≤，当P点在AB边上时，设P（x，0），则AP＝x+4，∴，∴x≤﹣，∵△ACP面积为整数，∴为整数，又∵x+4≤∴x+4＝或或1或，即x＝﹣或﹣或﹣3或﹣，故在AB上存在4个点，使得△ACP面积为整数且S△ACP≤S△ABC，过点4个点作AC的平行线与BC有四个交点，所得四个交点为P点，也满足△ACP面积为整数且S△ACP≤S△ABC，∴满足条件的点P的个数有8个，故选：C．20．解：如图，设P（m，0）．由题意：•|1﹣m|•2＝5，解得m＝﹣4或6，∴P（﹣4，0）或（6，0）．故选：D．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
五年级上册数学教案-三角形的面积1 西师大版
五年级上册数学教案-三角形的面积1一、教学目标1. 让学生理解三角形面积的含义，掌握三角形面积的计算公式。
2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流的意识，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 三角形面积的含义2. 三角形面积的计算公式3. 三角形面积的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形面积的计算公式。
2. 教学难点：三角形面积公式的推导过程。
四、教学过程1. 导入新课通过复习长方形、正方形的面积，引导学生思考：如何计算三角形的面积？2. 探究新知（1）让学生观察三角形，思考三角形的面积与哪些因素有关。
（2）引导学生将三角形转化为已知面积计算公式的图形，如平行四边形、长方形等。
（3）通过实际操作，让学生发现三角形面积与底和高的关系。
（4）推导三角形面积计算公式：面积 = 底× 高÷ 2。
3. 巩固练习（1）计算给定底和高的三角形的面积。
（2）计算给定底和一个角的三角形的面积。
（3）解决实际问题，如计算三角形的周长、面积等。
4. 拓展延伸（1）让学生尝试计算等腰三角形、直角三角形等特殊三角形的面积。
（2）引导学生思考：如何计算不规则三角形的面积？5. 课堂小结让学生回顾本节课所学内容，总结三角形面积的计算方法和应用。
6. 课后作业（1）完成教材相关练习题。
（2）思考：如何计算四边形、多边形的面积？五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、操作情况，了解学生对三角形面积计算公式的掌握程度。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成情况，了解学生对三角形面积计算公式的运用能力。
3. 单元测试：通过单元测试，评估学生对三角形面积知识的掌握程度。
六、教学反思1. 本节课通过引导学生观察、思考和动手操作，让学生掌握了三角形面积的计算公式。
2. 在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。
3. 课后要加强与学生的沟通，了解学生的学习需求，调整教学方法，提高教学质量。
四年级数学三角形的面积计算1
平行四边形的面积=底×高
（两个三角形的面积）
（一个）三角形的面积=底×高÷2
S=ah ÷2Βιβλιοθήκη 平行四边形的面积是它等底等高 的三角形的面积的2倍。 三角形的面积是它等底等高的平 行四边形的面积的一半。
例1 一种零件有一面是三角 形，三角形的底是5.6 厘米， 高是4 厘米。这个三角形的 面积是多少平方厘米？
三、判断题
1、三角形的面积是平行四边形面积的一半。
… …（ ） 2、有两个形状不同的三角形，它们的底、 高都相等，那么它们的面积一定相等。 ……（ ） 3、三角形的底越长，它的面积就越大。 ……（ ） 4、两个三角形的高相等，它们的面积就相 等。 … …（ ）
×
√
× ×
四、应用题
一块三角形菜地，底2.1米，高是底的
五年级数学教学课件
三角形的面积计算
授课老师 林耀奎 课件制作 林耀奎
长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 平行四边形的面积=底×高
» 复习
计算下面长方形和平行四边形的面积。
7米 4 米 4 米 7米
7×4=28（平方米）
2 厘 米 3厘米
三角形的面积计算
思考与讨论：
拼成的平行四边形的底和高与原来 的三角形的底和高有什么关系？平行四 边形的面积是怎样的？得出的三角形的 面积又是怎样的？
3、有一个三角形，它的面积是50平方厘米， 如果把它的底扩大4倍，那么它的面积应是 （ 200 ）平方厘米。
二、选择题
1、有一块三角形铁皮，底4.2米，高2米，它 的面积是（ C ） A、8.4平方米 B 、4.2米 C、4.2平方米 2、右图平行四边形的面 积是12平方厘米，那么画 斜线部分的面积是（ ） B A、12平方厘米 B、6平方厘米 C、无法解答
三角形面积计算公式详解
三角形面积的计算公式有以下几种：
1. 三角形面积=1/2*底*高（三边都可做底）。
2. 三角形面积=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
3. 三角形面积=abc/4R(其中R是三角形外接圆半径）。
4. 三角形面积S＝√x*(x-a)*(x-b)*(x-c)（其中＂√＂是大根号，＂x＂为三角形周长的一半，a,b,c为边长）。
1. 第一个公式：S=1/2*底*高，这是最常用的三角形面积计算公式。
它基于将三角形划分为一个矩形和一个三角形，然后使用矩形面积公式和三角形面积公式计算总面积。
该公式适用于任何三角形，只要知道底和高就可以计算面积。
2. 第二个公式：S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA，这个公式是根据三角形边长和角度来计算面积的。
其中a、b、c是三角形的边长，A、B、C是对应的角度。
这个公式需要知道三角形的三个边长和至少一个角度才能计算面积。
3. 第三个公式：S=abc/4R，这个公式是根据三角形周长和外接圆半径来计算面积的。
其中
a、b、c是三角形的边长，R是三角形外接圆半径。
这个公式需要知道三角形的三个边长和外接圆半径才能计算面积。
4. 第四个公式：S=√x*(x-a)*(x-b)*(x-c)，这个公式是根据三角形周长的一半和三个边长来计算面积的。
其中x为三角形周长的一半，a、b、c为三角形的边长。
这个公式需要知道三角形的三个边长才能计算面积。
这个公式是基于海伦公式（Heron's formula）推导出来的，它适用于任何三角形，包括非直角三角形。
人教版小学数学五年级上册《三角形的面积》(1)
平行四边形。
这个平行四边形的底等于 三角形的底
这个平行四边形的高等于 三角形的高
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11
从前面的实验中可以看出：
每个三角形的面积等于拼成的平行四边 形的面积的一半。
因为：
平行四边形的面积=底 ×高
所以：
三角形的面积 = 底 ×高÷2
S = a X h ÷2
S = a h ÷ 2 精选课件ppt
精选课件ppt
1
还认识他们么？？？
A
C
C
B
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
精选课件pApt
B2
面积S怎么求的呢？
b d
Hale Waihona Puke a精选课件ppt3
同学们我们先来回顾一下长方形、正方 形、平行四边形的面积的计算公式.
长方形的面积公式
:
a
S=axb
b
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4
正方形 a
正方形的面积公式
:
a S=axa
X
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5
h
平行四边形的面积 公式:
a
S=axh
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6
S长=长X宽
S平=底x高
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7
直角三角形的拼图：
长 高
底
宽
高 底
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8
锐角三角形的拼图：
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9
钝角三角形的拼图：
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通过实验，你学到了什么知识？
两个完全一样的三
角形都可以拼成一个
三角形面积公式是什么
三角形面积公式是什么在数学中解决问题，通常公式是很重要的一部分，记住公式可以很方便的去解决问题，大大减少了工作量和工作时间，一个公式就可以解决一类问题，那么，三角形的面积公式是什么呢？三角形面积公式是什么1面积公式1.三角形面积=1/2×底×高；或者说，三角形面积=(底×高)÷22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（S=（a+b+c）/2）S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]2判定方法若一个三角形的三边a，b，c（a<b<c）满足a^2+b^2>c^2，则这个三角形是锐角三角形；a^2+b^2=c^2，则这个三角形是直角三角形；a^2+b^2<c^2，则这个三角形是钝角三角形。
3相关定理中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。
中线定理三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
勾股定理勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容为：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长平方之和一定等于斜边长的平方。
几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB^2+BC^2=AC^2;勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形。
几何语言：在△ABC中∵AB²+BC²=CA²∴∠ABC=90°。
小学五年级数学(人教版)《三角形的面积(第1课时)》-教学设计、课后练习、学习任务单
教学设计积。
15分钟二、操作探究（一）利用两个三角形探究三角形的面积计算公式1.明确用“转化”的方法研究。
师：你们打算怎么研究？预设：像研究平行四边形的面积那样，把三角形转化成学过的图形来研究。
配合课件演示，引导学生回忆平行四边形的面积计算公式的推导过程。
2.思考转化图形的方法。
师：想一想，怎样把三角形转化成学过的图形？预设：试着用两个三角形拼成学过的图形。
下面请你们动手试一试，看看能不能推导出三角形的面积计算公式？3.独立探究。
出示活动建议。
①选择三角形，转化成学过的图形，并贴在纸上。
②找一找原来的三角形和转化后的图形之间有哪些等量关系。
③试着推导出三角形的面积计算公式。
4. 汇报交流。
（1）通过错例交流，明确用两个一样的三角形才能拼成学过的图形。
（2）用两个一样的直角三角形拼成学过的图形。
预设1：两个一样的直角三角形拼成长方形，观察发现三角形的底和长方形的长相等，三角形的高和长方形的宽相等，长方形面积等于2个三角形的面积，长方形面积＝长×宽，所以三角形面积＝底×高÷2。
预设2：用两个一样的直角三角形拼成一个平行四边形。
组织学生观察拼摆方法，并经历推导出三角形的面积计算公式的过程。
师小结：都用两个完全一样的直角三角形拼成学过的图形，拼的方法不同，拼成的图形也不同，但都得到同样的结论。
（3）用两个一样的锐角三角形拼成一个平行四边形，推导公式。
（4）用两个一样的钝角三角形拼成一个平行四边形，推导公式。
5.归纳小结。
呈现以上四种拼摆转化的方法，组织学生观察，看看有什么发现？预设1：只要是2个一样的三角形，就可以拼成长方形或平行四边形。
预设2：长方形是特殊的平行四边形，所以用两个一样的三角形就可以拼成平行四边形。
预设3：发现三角形的底和平行四边形的底相等，三角形的高和平行四边形的高相等。
三角形的面积等于平行四边形面积的一半，因为平行四边形面积＝底×高，由此推出三角形面积＝底×高÷2。
等边三角形面积公式
等边三角形面积公式
等边三角形面积的计算公式：S=√3/4a²。
等边三角形的边长为a。
边长公式：C=3a。
等边三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°。
S=(√3)a²/4，（S是三角形的面积，a是三角形的边长）
1、三角形面积公式为：S=(1/2)ah （S是三角形的面积，a是三角形的一条边，h是这条边上的高）
2、正三角形，三条边相等，三条边上的高也对应相等，边长为a，高为h，则h=(√3)a/2所以可推导出正三角形的面积
S=(1/2)ah=(√3)a²/4
等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
《三角形的面积》教学设计_1
《三角形的面积》教学设计《三角形的面积》教学设计1学习内容：第9页的例4、例5、及“试一试”、“练一练”练习二中相关题。
学习目标：1、经历操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动，探索并掌握三角形的面积公式，能正确地计算三角形的面积，并应用公式解决简单的实际问题。
2、进一步体会转化方法的价值，培养应用已有知识解决新问题的能力，发展空间观念和初步的推理能力。
学习重点：理解并掌握三角形面积的计算公式学习难点：理解三角形面积公式的推导过程学习过程：一、先学探究■先学提纲（另见《补充习题》、《当堂反馈》相关练习，有记号标明）1、出示一个底是4分米，高是3分米的平行四边形。
这是一个什么图形？它的面积如何计算？■学情预判：学生对三角形面积公式的推导过程可能有点困惑，这一点要加强教学。
二．交流共享■后教预设：出示二个板块的挂图，通过讨论交流，解决问题。
【板块一】学习例4：仔细观察这3个平行四边形，请说出如何求每个涂色的三角形的面积？先自己想，随后在小组中交流。
你是怎样求出每个涂色的三角形的面积？三角形与平行四边形究竟有怎样的关系？三角形的面积应当如何计算？【板块二】学习例5：（1）出示例5：用例5中提供的三角形拼成平行四边形。
（注意：组内所选的三角形都要齐全）（2）小组交流：你认为拼成一个平行四边形所需要的两个三角形有什么特点？（3）测量数据计算拼成的平行四边形的面积和一个三角形的面积并填表。
小组交流：如何计算一个三角形的面积？从表中可以看出三角形与拼成的平行四边形还有怎样的关系？得出以下结论：这两个的三角形，无论是直角、锐角，还是钝角三角形，都可以拼成这个平行四边形的底等于这个平行四边形的高等于因为每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的所以三角形的面积＝（4）用字母表示三角形面积公式：三、反馈完善1、完成试一试：2、完成练一练：（1）先回忆拼得过程，再回答。
（2）你是如何想的。
3.判断。
（1）两个形状一样的三角形，可以拼成一个平行四边形.……(2)平行四边形面积一定比三角形面积大.……(3)一个平行四边形与一个三角形等底等高,那么平行四边形的面积一定是三角形的2倍.………(4)底和高都是0.2厘米的三角形,面积是0.2平方厘米…….4．完成课本第17页第6题。
第3课时 三角形的面积(1) 五年级上册数学西师版
课堂练习
1.谁说得对？
（教材第83页“练习二十”第1题）
两个直角三角形一定能拼
成一个长方形。
×
三角形面积一定比平行四
边形面积小。
×
（教材第83页“练习二十”第1题）
两个面积相等的三角形一定能
拼成一个平行四边形。 ×
2
1
2
4
两个形状一样、大小相等的三角
形，能拼成一个平行四边形。 √
（教材第84页“练习二十”第2题）
义务教育西师大版五年级上册
五 多边形面积的计算
第3课时 三角形的面积（1）
情境导入
猜谜语 一块布料三角样， 颜色鲜红真漂亮。 少先队员才能有， 每天佩戴不要忘。
谜底：红领巾
你会计算红领巾 的面积吗？
探究新知
1 探讨三角形面积计算公式。
前面是怎样探讨平行四边形面积 的计算公式的？
可以先将平行四边形转化成 长方形，再进行计算。
三角形面积 = 底×高÷2
高 底
试一试
一块三角形纸板的底是5 cm，高 是4 cm。求三角形纸板的面积。
三角形面积=底×高÷2 5×4÷2=10(cm²) 答：三角形纸板的面积是10 cm²。
4 cm 5 cm
下面哪两个三角形能拼成长方形？哪两个三角 形能拼成正方形？
①
②③
④
⑤⑥
②和⑤能拼成长方形；①和③能拼成正方形。
38×28÷2×1.2=638.4（千克）
答：这块地可以收小麦638.4千克。
大约在2000年前，我国数学名著《九章算 术》中的“方田章”就论述了平面图形面积的 算法。书中说：“方田术曰，广从(zhòng)步数 相乘得积步。”其中“方田”是指长方形田地， “广”和“从”是指长和宽，也就是说：长方 形面积=长×宽。还说：“圭田术曰，半广以乘 正从。”就是说：三角形面积=底×高÷2。
三角形面积公式推导过程6种
1.已知三角形底a，高h，则等腰三角形的面积为S=ah/2。
2..已知三角形三边a,b,c，则S=√p(p-a)(p-b)(p-c) [p=(a+b+c)/2]
3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=(a*b*sinC)/2
4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r,则三角形面积S=[(a+b+c)r]/2
5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R,则三角形面积S=abc/4R
6.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
7.已知三角形的三条边为a,b,c,三角形的角为A,B,C，则三角形面积为S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA 2三角形面积公式的推导过程两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积等于这两个三角形的面积之和，底等于三角形的底，高等于三角形的高，所以一个三角形的面积=这个平行四边形的面积的一半，因为平行四边形的面积=底×高，三角形的面积×2=底×高。
所以：三角形的面积=底×高÷2，即S=ah÷2。
三角形的字母公式面积
三角形的面积公式字母
三角形的面积公式字母：s=ah÷2。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小叫做该物体的面积，面积可以是平面的也可以是曲面的。
平方米，平方分米，平方厘米，是公认的面积单位，用字母可以表示为 （m ²，dm²，cm²）。
直角三角形面积的另一种算法
直角三角形面积的另一种算法
直角三角形的面积可以通过使用两条直角边长度的乘积再除以2来计算。
也可以使用勾股定理求出直角边长度之后，再利用面积公式计算。
具体步骤如下：
1. 通过勾股定理求出直角边的长度。
如果三角形直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有a²+b²=c²。
2. 根据已知数据计算出直角边的长度。
例如，如果已知直角边的长度为3和4，则斜边的长度为5，可以使用公式a²+b²=c²来验证。
3. 利用已知数据计算三角形的面积。
三角形的面积公式为
S=1/2×底×高，对于直角三角形来说，其中一条直角边可以作为底，另一条直角边可以作为高。
所以，直角三角形的面积可以表示为S=1/2×a×b。
4. 将已知数据代入公式计算出三角形的面积。
例如，假设直角边的长度为3和4，则面积为S=1/2×3×4=6。
如何计算一个三角形的面积
如何计算一个三角形的面积在数学中，计算三角形面积是一个基本的但非常重要的概念，因为三角形是我们日常生活中几何图形的基础。
掌握计算三角形面积的方法是数学基础知识的必修内容。
本文将介绍两种计算三角形面积的常见方法。
方法一：海伦公式海伦公式也称为赫罗公式，可以用来计算任意三角形的面积，不仅适用于普通三角形，也适用于等腰三角形和等边三角形。
海伦公式可以表示为：$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$其中，$S$表示三角形的面积，$a$、$b$、$c$分别表示三角形的三条边长，$p$表示半周长，即$p=\frac{a+b+c}{2}$。
下面用一个具体的例子来说明如何用海伦公式计算三角形面积。
已知三角形的三边分别为3cm、4cm和5cm，求其面积。
解：首先求出半周长$p=\frac{3+4+5}{2}=6$，然后代入公式得到：$$S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}=\sqrt{6\times3\times2\times1}=3\sqrt{2}$$所以，三角形的面积为$3\sqrt{2}$平方厘米。
方法二：正弦公式正弦公式只适用于计算锐角三角形的面积。
对于锐角三角形，可以使用正弦公式：$$S=\frac{1}{2}ab \sin C$$其中，$S$表示三角形的面积，$a$、$b$分别表示三角形中两边的长度，$C$表示两边夹角的度数。
下面同样用一个具体的例子来说明如何用正弦公式计算三角形面积。
已知三角形的两边分别为3cm、4cm，夹角为$60°$，求其面积。
解：首先将角度转换为弧度，即$\frac{\pi}{3}$，然后代入公式得到：$$S=\frac{1}{2}\times3\times4\times\sin\frac{\pi}{3}=3\sqrt{3}$$所以，三角形的面积为$3\sqrt{3}$平方厘米。
综上所述，通过海伦公式和正弦公式，都可以计算三角形的面积。
三角形面积的变形
三角形面积的变形
嘿，小伙伴们！咱们来聊聊三角形面积的那些事儿。
咱们都知道，三角形面积最常见的公式就是底乘以高除以 2 啦，也就是 S = 1/2 × 底× 高。
这个公式简单又好用，比如说一个三角形，底是 6 厘米，高是 4 厘米，那面积就是1/2 × 6 × 4 = 12 平方厘米。
由常见公式变形出的其他形式
要是知道三角形的两边和它们夹角的正弦值，那面积还可以写成
S = 1/2 × a × b × sinC 。
举个例子，如果三角形的两条边分别是 5 和 6，夹角是 60 度，那面积就是 1/2 × 5 × 6 ×
sin60° ，算出来也能轻松得到面积值。
还有呢，如果知道三角形的周长和内切圆半径，面积就可以写成
S = 1/2 × 周长× 内切圆半径。
比如说三角形的周长是 15 厘米，内切圆半径是 2 厘米，那面积就是1/2 × 15 × 2 = 15 平方厘米。
变形公式在解题中的巧妙运用
这些变形公式在解题的时候可太有用啦！比如说，给了咱们三角形的两条边和夹角，用S = 1/2 × a × b × sinC 就能很快算出面积。
再比如，告诉了周长和内切圆半径，用S = 1/2 × 周长× 内切圆半径，也能轻松搞定面积。
三角形面积的变形公式让咱们解题有了更多的选择和思路，多掌握一些，解题就能更得心应手啦！。
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4探索活动:三角形的面积教学内容教材56页及57页部分习题教学目标1.经历三角形面积猜想与验证的探究活动,体验割补等方法在探究中的应用。
2.掌握三角形的面积计算公式,并能正确进行三角形面积的计算。
3.能运用三角形面积计算公式解决相关的实际问题。
教学重难点【重点】经历三角形的面积猜想与验证的探究活动,体验割补等方法在探究中的应用;掌握三角形的面积计算公式,并能正确进行三角形面积的计算。
【难点】能运用三角形面积计算公式解决相关的实际问题。
第1课时三角形的面积教学目标1.经历三角形面积猜想与验证的探究活动,体验割补等方法在探究中的应用。
2.掌握三角形的面积计算公式,并能正确进行三角形面积的计算。
3.能运用三角形的面积计算公式解决相关的实际问题。
教学重难点【重点】掌握三角形的面积计算公式,并能正确进行三角形面积的计算。
【难点】三角形面积计算公式的推导过程。
课前准备【教师准备】PPT课件;三角形纸板。
【学生准备】三角形纸片。
教学流程新课导入激发情趣,谈话导入。
师:同学们,上节课我们一起探究了怎样计算平行四边形的面积,大家还记得我们是用什么方法推导出平行四边形的面积计算公式的吗?预设生:把平行四边形转化成长方形来推导的。
师:谁来说一说推导过程?预设生:用割补法,沿着平行四边形的高剪下一个直角三角形,把这个直角三角形与另一部分拼在一起,拼成一个长方形,拼成的长方形的长等于原来平行四边形的底,长方形的宽等于原来平行四边形的高,因为长方形的面积=长×宽,所以平行四边形的面积=底×高。
师:表达得非常清楚!今天这节课,我们继续用转化的数学思想来探究三角形的面积怎样计算。
(板书课题:三角形的面积)探索新知一、求流动红旗的面积。
师:请同学们看大屏幕,我们怎样才能求出这面流动红旗的面积呢?(PPT课件出示)预设生1:我们可以用数方格的方法求三角形的面积。
生2:我想看看能不能把三角形转化成已学过的长方形或平行四边形。
师:这两名同学说得都非常好,但是在实际生活中,用数方格的方法既麻烦又不适用,看来我们必须要寻求一种既方便又适用的方法才行,我们就尝试第二种说法来探究一下。
二、把三角形转化成学过的图形。
师:我们怎样把三角形转化成已学过的图形呢?请同学们在小组内拼摆并研究后,汇报你们小组的转化方法。
方法一:用两个同样大小的三角形拼成一个平行四边形。
师:拼好了吗?预设生:拼好了。
师:说一说,你们是怎么拼的?预设生1:把两个完全一样的锐角三角形重合,再把其中一个重合的三角形以右下角顶点为中心旋转180°,将旋转后的三角形沿着另一个三角形的右边平移,两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。
(学生到前面边说边演示拼摆过程)生2:把两个完全一样的钝角三角形重合,再把其中一个重合的三角形以右下角顶点为中心旋转180°,将旋转后的三角形沿着另一个三角形的右边平移,两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。
(学生到前面边说边演示拼摆过程)生3:把两个完全一样的直角三角形重合,再把其中一个重合的三角形以右下角顶点为中心旋转180°,将旋转后的三角形沿着另一个三角形的右边平移,两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。
(教师随学生的回答用PPT课件演示过程)方法二:沿三角形两边中点剪开,再拼成一个平行四边形。
生4:我们小组是先找到三角形两边上的中点,然后沿着两边中点剪成一个三角形和一个梯形,再拼成一个平行四边形。
(教师随学生的回答用PPT课件演示过程)方法三:用添补法把三角形添补成已学过的长方形。
生5:以三角形的底边和高分别为长和宽把原三角形添补成长方形。
(教师随学生的回答用PPT课件演示过程)方法四:用回折方法把三角形转化成长方形。
把一个三角形沿长方形回折,相当于两个长方形的面积。
三、怎样计算三角形的面积?“想一想,说一说”。
师:我们找出了这么多办法把三角形转化成已学过的图形,现在请同学们仔细观察图片,转化前的三角形与转化后的图形有什么关系呢?预设生:我从方法一中发现:把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形,拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高分别相等。
而一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半,根据平行四边形的面积=底×高,我们可以推导出三角形的面积计算公式是三角形的面积=底×高÷2。
(板书公式)师:他是以第一种方法来验证的,那么,第二种、第三种和第四种方法是否也能得出如此结论呢?谁还有不同想法?说一说。
生1:第二种方法是沿着三角形两边上中点剪开的三角形和梯形拼成的平行四边形。
平行四边形的底等于原三角形的底,高是原三角形的一半,拼成的平行四边形面积=三角形的底×(三角形的高÷2),即三角形的面积=底×高÷2。
生2:第三种方法是把三角形添补成长方形后,长方形的面积正好是三角形面积的2倍,因为添补出的两个三角形分别和原来的三角形中以高分割开的两个三角形相同,而添补成长方形后的宽是原三角形的高,长方形的长是原三角形的底,所以,根据长方形的面积=长×宽,可以推导出三角形的面积计算公式是三角形的面积=底×高÷2。
生3:第四种方法是折成的长方形面积的2倍与原来的三角形面积相等,长方形的长是三角形底的一半,长方形的宽是三角形高的一半,所以可以推导出三角形的面积计算公式是三角形的面积=长方形的面积×2=(底÷2)×(高÷2)×2=底×高÷2。
师:如果我们用S表示三角形的面积,用a表示三角形的底,用h表示三角形中相对应的高,那么三角形的面积计算公式可以怎样表示?预设生:S=ah÷2。
(板书:字母公式:S=ah÷2)四、运用公式解决问题。
师:现在我们就可以运用推导出的三角形面积计算公式求出流动红旗的面积了。
(PPT课件出示)师:如果流动红旗的底边长是28 cm,高是25 cm,那么这面流动红旗的面积是多少平方厘米?预设生:28×25÷2=350(cm2)。
答:流动红旗的面积是350 cm2。
随堂练习1.填空。
(1)一个平行四边形的面积是48平方米,与它等底等高的三角形的面积是()平方米。
(2)一个三角形和一个平行四边形等底等高,平行四边形的面积与三角形的面积和是27平方厘米,这个三角形的面积是()平方厘米。
2.判断。
(对的打“√”,错的打“✕”)(1)两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。
()(2)两个面积相等的三角形形状一定相同。
()(3)三角形的底扩大为原来的3倍,高扩大为原来的5倍,面积就扩大为原来的8倍。
()3.解决问题。
我是小小设计师:有一块长方形红布料长1.8米,宽0.9米,用这块布料制作底边长90厘米,高30厘米的红领巾,最多能做多少条?(可以拼接)课堂小结师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?预设生:这节课,我们运用割补和拼凑的方法,把三角形转化为已学过的平行四边形,推导出了三角形的面积计算公式是:三角形的面积=底×高÷2,用字母表示为:S=ah÷2;并能运用推导出的三角形面积计算公式解决实际问题。
作业设计教材第57页“练一练”的第1,2题。
【基础巩固】1.(基础题)我会填。
(1)一块三角形草地,底边是3.5米,高是5米,它的面积是()平方米。
(2)一个三角形的面积是16平方厘米,与它等底等高的平行四边形的面积是()平方厘米。
2.(易错题)我是小法官。
(对的打“√”,错的打“✕”)(1)两个完全相同的三角形一定可以拼成一个平行四边形。
()(2)两个直角三角形一定可以拼成一个长方形。
()(3)平行四边形的面积等于三角形面积的2倍。
()(4)两个三角形的面积相等,形状一定也相同。
()(5)一个三角形的底不变,高扩大到原来的3倍,面积也扩大到原来的3倍。
()【提升培优】3.(基础题)计算下面图形的面积。
板书设计三角形的面积教学反思这节课的内容是在平行四边形面积计算的基础上进行教学的,主要是引导学生通过三角形面积公式的推导去理解和掌握三角形的面积计算公式。
因此,在教学中我注重学生自己动手操作,从操作中掌握方法,发现问题,解决问题。
1.动手操作,用拼摆法理解三角形面积计算公式。
在教学中,我让学生动手操作,分别将三组两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形,并比较每个三角形与拼成的平行四边形各部分间的关系,同时在操作中向学生渗透旋转、平移的方法,让学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。
在这个过程中,学生们表现出了浓厚的兴趣,个个都很积极、很投入地动手操作,极大调动了学生学习的积极性。
学生真正成为了学习的主体。
2.引导学生发现问题、思考问题,培养合作精神。
在这节课中,探讨平行四边形面积公式与三角形面积公式有何不同,三角形面积公式中的“除以2”是怎么来的?在探讨这个问题时,我采用小组讨论的方式,在讨论中发现问题,解决问题,既可培养学生的合作精神,又可活跃课堂气氛。
3.用割补和折叠的方法,培养学生的创造性思维。
由于本节课需要学生自己动手实践的地方很多,这样能更好地使学生理解公式的推导过程,为后面应用公式解决实际问题打好基础,但是感觉时间上有点不够。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。