概率的公理化定义

§2.4 概率的公理化定义
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n

P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000
250 2000 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 83 2000 由于 83 84, 得 P ( AB) 2000 24
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
1 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 11 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以事件A未必 一定发生.
S黄三角形 S蓝三角形
作业：
P16 7－11
解 设“用户订日报”事件为A,”用户订晚 A B 报”事件为B，则“订两种报中的一种”为 由已知， P A 50% , PB 65% , P A B 85%, 则所求概率为 P AB P A PB P A B 50% 65% 85% 30%. 即同时订两种报的用户占30%
解
(1) 由图示得 P ( B A) P ( B)
1 故 P ( B A) P ( B ) 2
A
B
B
A

( 2) 由图示得 P ( B A) P ( B) P ( A)
1 1 1 2 3 6
(3) 由图示得 A B A B A,
且 A BA
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率. 解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3
—— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
最大值在
—— 最大值
P( A B) P( B) 时取得
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1) P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
得 P ( B) P ( A) P ( B A)
B
A
于是 P ( B A) P ( B) P ( A)
又因 P ( B A) 0,
故 P ( A) P ( B)
( 4) 设 A 是 A 的对立事件，则P ( A) 1 P ( A)
证明 因为 A A , A A , P ( ) 1
1 3 / 4 2 / 6 7 / 12.
由题设得
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 / 2.
另一方面又可得
P( A B C ) 5 / 12.
于是得矛盾
P( A B) 1 / 2 5 / 12 P( A B C ).
0 P( A) 1
(1) (2)
P() 1
公理3 (完全可加性) 若事件A1, A2 ,…两两互不相容，
则有 P( A A 1 2
) P( A1 ) P( A2 )
(3)
则称P(A)为事件A的概率.
2. 概率的性质
(1) P ( ) 0.
证明

且A B ( B AB) B AB A A 故 P ( A B) P ( A) P ( B AB)
又由性质 3 得
因此得


P ( B AB) P ( B) P ( AB) A ( B AB) A ( B A)
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
又 P ( A B ) P ( A) P ( B) P ( AB )
P ( A AB) P ( A) P ( B A)
1 1 3 因而 P ( B A) P ( B) P ( AB) 2 8 8
A AB
B

例3 已知某城市中有50%的用户订日报，65% 的用户订晚，85%用户至少报中的一种，问同 时订两种报的用户占百分之几？
所以 1 P ( ) P ( A A)
P ( A) P ( A)
P ( A) 1 P ( A).
(5) (加法公式)对于任意两事件A，B有
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
证明 由图可得
A B A ( B AB ),

n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
( 3) 设 A, B 为两个事件 , 且 A B, 则 P ( B A) P ( B) P ( A). P ( A) P ( B),
证明
因为 A B
所以 B A ( B A)
又 ( B A) A
例4 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取 到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概 率是多少 ?
解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
“取到的数能被8整除”则所求概率为 P ( A B ).
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
{( x, y) 0 x 24,0 y 24} A {( x, y ) ( x, y ) ,
0 y x 1, 0 x y 2}
y 24
y=x
S 24 1 2 2 S A 23 22 2 SA P( A) 1 0.1207 S
由概率的可列可加性得
P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( )
P ( ) 0 P () 0.
( 2) 若A1 , A2 , , An
是两两互不相容事件
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
在学习几何和代数时，我们已经知道公理 是数学体系的基础。数学上所说的“公理”， 就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为 基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。
1.概率的公理化的定义:
设 是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一
事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：
公理1（非负性） 公理2（规范性）
第2周
问 题
已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题） .
一般会解出
P( A B C ) 1 P( A B C ) 1 P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC) P( BC ) P( ABC )
推广 ------ 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
250 83 3 333 1 . 2000 2000 2000 4