数学破题36计(19-27)

第19计 模式开门 请君入瓮●计名释义数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.● 典例示范【例1】 实数x ，y 满足x 2+(y -1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是 （ ） A .［-12-，2-1］ B .［2-1，+∞) C .( 2-+1，2-1) D .(-∞，2--1)【分析】 容易看出：x 2+(y -1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x 2+(y -1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？ 【解答】 如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x 2+(y -1)2=1于A ，B ， 交y 轴于M ，N .连AB ， 则AB 过圆心C （1，0）.等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ）， 必-c =1-2，得M （0，1-2）.当且仅当-c ≤1-2时，圆x 2+(y -1)2=1 例1题解图 上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选 B .【例2】 正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++2222222224331531x zx z z y y xy x ，则xy +2yz +3xz 的值是 .【分析】从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.【解答】 将原方程组改写如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=︒∙-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒∙∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222222224120cos 23315150cos 31231xz z x z y y x y x ， 构造如图的直角三角形ABC ，使AB =5， AC =4，BC =3.又在△ABC 内取一点P ， 使∠APB =150°，∠APC =120°， ∠BPC =90°.显然符合题设条件. ∵S △APB +S △BPC +S △CP A =S △ABC ， 而S △APB =21x ²31y ²sin150=341xy ， S △APC =21xz ²sin120°=43xz ， 例2题解图S △BPC =21z ²31y =321yz ，S △ABC =6. ∴341xy +43xz +321yz =6，∴xy +2yz +3xz =24.3.【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a 个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x 个标段的新路和n 个道路交叉口，n 与x 满足关系n=ax+b ，其中b 为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k 万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n 越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=)1(21β+.(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的 25％，求新建的x 个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p 的取值范围.(Ⅲ)当b =4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p 最高时，问原有道路标段为多少个？ 【解答】 （Ⅰ）新建x 个标段，则应建n=ax+b 个道口，建x 个标段需kx 万元，建（ax+b ）个道口需y=k β(ax+b )(万元). (Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］, ∴0.05≤)1(21β+≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,又p =y kx =)4()41(41)(2b a a b a a a b ax x +=+∙=+βββ. ∵p >0,β>0，∴ba a 42+>0，当β∈［4,9］时，β1∈［91，41］，所求p 的范围是： )4(4)4(922b a ap b a a +≤≤+. (Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大， 故β=9，又b =4. ∴p =721162911691)16(92=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a a a a ，当且仅当a =a 16. a >0，即a =4时，造价比p =721为最高. ∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n 、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小? 【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来. 【解答】 设扇形OAB 的半径为R ，中心角为2α. (1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，则S □CDEF ＝DE ²EF =Rsin θ²ααθα2sin 22sin )2sin(2R R =-²［cos2(α-θ)-cos2α］当2(α-θ)=0，即θ=α时，S □CDEF 有最大值22R tan α.（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF ＝OE ＝R cos θ，则S □CDEO =DE ² EF =R sin θ²R cos θ=22R sin2θ，当2θ=2π即θ=4π=α，S □CDEO 有最大值22R . (3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF 为扇形的内接矩形，取B A的中点M ，连结OM ，则∠BOM =α,∠DEO =π-α，令∠DOM =θ，则矩形面积S=CD ²DE =2R ²sin θααθαθαθαsin sin )sin(sin 2sin )sin(22R R R =-=-［cos (2θ-α)-cos α］，当cos(2θ-α)=1. 即θ=2α时，S max =2tan sin )cos 1(22αθαR R =- .此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF ，再沿其周界切开即可.例4题解图●对应训练1.已知a<b<c ，求证：a 2b +b 2c+c 2a <ab 2+bc 2+ca2.2.已知a ，b ，c ，d 为实数，求证：.)()(222222d b c a d c b a ++±≥+++3.设n 是大于1的自然数，求证：.2121211511311+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 4.若a ，b ≠0，且a 2+b 2=1，求证：.91122≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a5.α,β,γ均为锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，求证：tan αtan βtan γ≤.426.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x -221x (万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（百台）. (1)把利润l 表示为产量x 的函数L (x); (2)年产量为多少时，企业所得利润得大？ （3）年产量为多少时，企业才不会亏本？7.在边长为5cm ，6cm ，7cm 的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm 2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论 ●参考答案1．原题即证：a 2b +b 2c +c 2a -ab 2-bc 2-ca 2<0或a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c )<0.设f (a )=a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c ) (a<b<c ),这里b-c <0，且Δ=(b+c )2(b-c )2-4bc (b-c )2=(b-c )4>0. ∴f (a )的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x =2c b +，而2cb +>b>a ，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-2,c b •上递增， ∴f (a )<f (b )，但f (b )=0, ∴f (a )<0，故a 2b +b 2c +c 2a <ab 2+bc 2+ca 2.2 如图所示，在直角坐标系中, 设有A (a ,b )，B (c ,d )两点， 连接AO ，OB ，显然|OA |+|OB |≥|AB |(当A 、O 、B 共线时等式成立).∴222222)()(d b c a d c b a -+-≥+++若将点B 的坐标改为 (-c ,-d )，则有：222222)()(d b c a d c b a +++≥+++. 第2题解图3 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1211511311111n A , 即122563412-∙∙=n n A, 则nn A 212674523+∙∙∙∙> . 两式相乘：A 2>2n +1，∴A =121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 2. 即2121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n . 4.在坐标平面内设有两点A (a ，b ), B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--b •a1,1，则|AB |=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a设过A 的直线l ：ax+by -1=0.∵a ²a +b ²b -1=a 2+b 2-1=0, ∴点A (a ，b )符合条件a 2+b 2=1. 作BC ⊥l 于C ，则|AB |≥|BC | （当直线l ⊥AB 时等式成立）.∵|BC |=,3|111|22=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ba b b a a 第4题解图∴2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥3. 即2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥9.5 如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，连接BD 1，设∠BD 1B 1=α, ∠BD 1A =β，∠BD 1C =γ.∵BD 1=222c b a ++，B 1D 1=22b a +, AD 1=22c b +, CD 1=22a c +，∴满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图 于是 tan α²tan β²tan γ=222222ca b cb a ba c +∙+∙+≤221222=∙∙ac bc ab abc故 tan α²tan β²tan γ≤.42 6.（1）年产量在500台以内（即0≤x ≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x >5）.只能售出500台，x (百台)的生产成本为C (x )=0.25x +0.5(万元). 故利润函数L (x )=R (x )-C (x ).当0≤x ≤5时，L (x )=(5x -21x 2)-(0.25x +0.5)= -21x 2+4.75x -0.5. 当x >5时，由于只能售出500台，∴L (x )=(5³5-21³52)-(0.5+0.25x )=12-0.25x .于是⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-≤≤⋅-⋅+=)5(25012)50(50754211)(2x x •x x x x L .(2)为使利润最大，须求L (x )的最大值，显然x >5时不可取（会造成积压）.当0≤x ≤5时，∵L ′(x )=-x +4.75，命L ′(x )=0，得x =4.75，L (x )的图像为开口向下的抛物线，∴当x =4.75时，［L (x )］max=3234521419212=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ =10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.(3)为使企业不亏本，必须L (x )≥0.显然，0≤x ≤5时，应使-21x 2+4.75x -0.5≥0. 即2x 2-19x +2≤0，解得0.11≤x ≤14，综合得：0.11≤x ≤5.x >5时，应使12-0.25x ≥0，得5<x ≤48.于是，为使企业不亏本，产量应在11台至4800台之间. 7.可以办到.如图所示，证明如下： 设△ABC 内切圆半径为r ，则S △ABC =21(5+6+7)r=9r ① ∵cos B =51652493625=∙∙-+∴sin B =6522511=- ∴S △ABC =21²5²6²652=66（cm 2） ② 第7题解图 比较①，②：9r =66得r =632（cm ），于是 S ⊙O =338383622⨯>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=8（cm ）2. 第20计 讨论开门 防漏防重●计名释义为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”.分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使: ①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.●典例示范【例1】 已知a ∈R ，函数f (x )=x 2|x-a |.(1)当a =2时，求使f (x )=x 成立的x 的集合； （2）求函数y =f (x )在区间［1，2］上的最小值.【分析】 (1)只需分两种情况讨论； （2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.【解答】 (1)当a =2时，f (x )=x 2|x -2|=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2)2(2)2(22•x x x •x x x当f (x )=x 时，即x 2(x -2)=x (x ≥2)或x 2(2-x )=x (x <2) x 3-2x 2-x =0，x (x 2-2x -1)=0, x 1=0(舍去），x 2=1-2(舍去），x 3=1+2.当x 2(2-x )=x 时，∴x 3-2x 2+x =0，x (x 2-2x +1)=0，x =0或x =1. 综上所述：a =2时，f (x )=x 成立的x 的集合为{0，1，1+2}.(2)f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-a•x x a x a •x a x x )()(22若a ≤1时，即a <1≤x ≤2，f (x )=x 3-ax 2.∴f ′(x )=3x 2-2ax =0，∴x 1=0，x 2=32a ∵1≤x ≤2，∴32a<x ，0<x . ∴x =0或x =32a 都不在［1，2］内，而x ∈［1，2］， f ′(x )>0，即f (x )在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a ，f (2)=8-4a . ∴f (x )min =1-a .若a ∈(1，2)，即f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-212323x •a ax x a x •ax x当1≤x ≤a 时，f (x )=-3x 2+2ax =0，x 1=0，x 2=32a . 若a <32时，1≤x<a ，f ′(x )<0. ∴f ′(x )=-x 3+ax 2在［1，a ］为减函数， ∴f (x )min =-a 3+a 3=0.当a ≤x ≤2时，f ′(x )=3x 2-2ax =0，x 1=0，x 2=32a . 当x ∈［a ，2］，f ′(x )>0. ∴f (x )在［a ，2］上为增函数. ∴f (x )min =0.当a >2时，x ∈［1，2］. f (x )=x 2(a-x )= ax 2-x 3. ∴f ′(x )=2ax -3x 2=0. ∴x 1=0，x 2=32a 若34<32a ≤2，f (x )在［1，32a ］上为增函数. f (1)=a -1，f (32a )=94a 3-278a 3=274a 3.f (x )在［32a ，2］为减函数，f (2)=4a -8. ∴f (x )min 为a -1，4a -8中的较小数. 即2<a <37时，f (x )min = 4a -8 37≤a ≤3，f (x )min =a -1 a >3时，x ∈［1，2］时，f ′(x )>0 ∴f (x )min =f (1)=a -1.综上所述，a ≤1时，f (x )min =1-a , a ∈(1，2)时，f (x )min =0, a ∈(2，37)时，f (x )min = 4a-8; a ∈［37，3］时，f (x )min =a -1; a ∈(3，+∞)时，f （x ）min =a -1. 【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x 的取值进行讨论，第（2）问中对a 的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.【例2】 设f (x )=g (x )-h (x )，其中g (x )=2x 3+x +5，h (x )=(3a +3)x 2-12a (1-a )x +x . (1)若x >0，试运用导数的定义求g ′(x );(2)若a >0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x )的单调递增区间与单调递减区间.【解答】 （1）g ′(x )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆++∆-∆+∙=∆-∆+→∆→∆x x x x x x x x x x g x x g x x 3300)(2lim )()(lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+∆∆+∆∆+∆+∆∙→∆)()()(332lim 3220x x x x xx x x x x x x =xx xx x x x x x x 216}1])()(33[2{lim 222+=+∆++∆+∆+→∆.(2)由f (x )=g (x )-h (x )=2x 3-(3a +3)x 2+12a (1-a )x +5得f ′(x )=6x 2-(6a +6)x +12a (1-a )=6(x -2a )(x-1+a ),令f ′(x )=0得x =2a 或x =1-a . ①当0<a <31时，0<2a <1-a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递增，在［2a ，1-a ］上单调递减，在［1-a ，6］上单调递增； ②当31≤a <1时，0<1-a ≤2a <6，于是函数f (x )在［0，1-a ］上单调递增，在［1-a ，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；③当1≤a <3时，1-a ≤0<2a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；④当a ≥3时，1-a <0<6≤2a ，于是函数f (x )在［0，6］上单调递减.【点评】 本题中对a 的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.●对应训练1.若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定:当且仅当A 1=A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是A 27B 26C 9D 82.若数列{a n }的通项公式为a n =2)23()1(23n n n n n ------++，n ∈N +，则)(l i m 21n n a a a ++∞→ 等于 （ ）A2411 B 2417 C 2419 D 24253. 如图，已知一条线段AB ， 它的两个端点分别在直二面角α-l-β的两个面内转动， 若AB 和平面α、β所成的角分别为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.第3题图●参考答案1. A 由于A ={a 1，a 2，a 3}=A 1∪A 2，以A 1为标准分类. A 1是，则A 2={a 1，a 2，a 3}，这种分拆仅一种，即 C 03²C 33=1;如A 1为单元素集，有C 13种可能,对其中每一种，例如A 1={a 1}，由于必有a 1，a 3∈A 2，且a 1∈A 2或a 1∉A 2都符合条件. 这种分拆有 C 13·C 12=6种.如A 1为双元素集，有C 23种可能,对其中每一种，不妨设A 1={a 1，a 2}，则必a 3∈A 2，此外对a 1，a 2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有 C 23²4=12种. 若A 1为三元素集，则A 2可以是{a 1，a 2，a 3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n 分奇数、偶数两种情况进行讨论.解析：根据题意，得a n =⎪⎩⎪⎨⎧--为偶数为奇数•n •n nn ,3,,2∴{a 2n -1}是首项为21，公比为41的等比数列，{a 2n }是首项为91，公比为91的等比数列. ∴)(lim )(lim )(lim 423121 +++++=++∞→∞→∞→a a a a a a a n n n n=.24191911219141=-+- 故选 C . 点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； （4）归纳总结：将各类情况总结归纳.3.分析：由于AB 于l 的位置关系不定，故需分类讨论. 解：（1）当AB ⊥l 时，显然θ1+θ2=90° .（2）当AB 与l 不垂直时，在平面α内作AC ⊥l ，垂足为C ，连结BC .∵平面α⊥平面β，∴AC ⊥平面β. ∴∠ABC 是AB 与平面β成的角，即∠ABC =θ2. 在平面β内作BD ⊥l ，垂足为D ，连结AD . 同理可得∠BAD =θ1. 在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，∵BD<BC ，∴ABBCAB BD <，即sin θ1<sin ∠BAC . ∵θ1与∠BAC 均为锐角，∴θ1<∠BAC . 而∠BAC +θ2=90°，∴0°<θ1+θ2<90°. （3）若线段AB 在直线l 上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°.点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.第21计 图表开门 信息传送●计名释义图表也是一种数学语言.这种语言以图形和表格的形式传送信息，它有立意新颖，设计灵活，构思精巧，内涵丰富，解法多样等特点，因而备受当今命题人的青睐，许多创新题型每每在图表上打主意.解图表型题目应在读图表，识图表和用图表上找窍点，通过观察找到其中的关键点，有效地实现图表语言到文字语言的转化，从而在思考上引起质的飞跃，从而达到破题的目的. ●典例示范【例1】 如图，甲、乙两人分别位于方格中A 、B 两处，从某一时刻开始 ，两人同时以每分钟一格的速度向东或 西或南或北方向行走，已知甲向东、 西行走的概率均为41，向南、北行走的 概率分别为31和p ； 乙向东、西、南、北行走的概率均为q . 例1题图 (1)求p 和q 的值；（2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率. 【分析】 同时进行两个相互独立事件，因为概率的总和为1，因此有以下解答. 【解答】 （1）甲向四个方向行走是一个必然事件， ∴41+41+31+p =1, ∴p =61. 同理4q =1，∴q=41. 【分析】 甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数，但我们可以看到，甲、乙二人在一个正方形的两个对角顶点上.他们要在最短时间内相遇，他们必须沿着这个正方形的边行走. 【解答】 (2)如解图，设甲、乙两人在C 、D 、E 处 相遇的概率分别为p C 、p D 、p E . 【插语】 从图形中来， 回到图形中去，在图上标明这三点，让我们的思路一目了然， 才会有下面的解答.【继解】 甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇. 【插语】 每人朝对方走2步，因为他们的速度相同（每分钟都是一格）. 例1题解图 【继解】 则p C =576141416161=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯， p D =2961414124161=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯， p E =⎪⎭⎫⎝⎛⨯4141³⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯4141=.2561∴p C +p D +p E =.23043725619615761=++ 即所求的概率为230437. 【评说】 这是一个几何图形信息题，具有多样性、直观性的特征，充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决信息题的关键. 【例2】 函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的部分数值如下：则函数y =lg f (x )的定义域为 .【分析】 所求函数为复合函数，只需f (x )>0即可，但f (x )中含有四个系数a ，b ，c ，d ，所以先确定它们的值.【解答】 设f (x )=a (x +1)(x -1)(x -2)，而f (0)=4，∴a=2.【插语】 为什么这样设?这来源于表格中y 有三个0值点，关键点的选取，使我们的系数一下减少了3个. 此设是本题的一个突破口. 【续解】 ∴f (x )=2(x +1)(x -1)(x -2).要使y =lg f (x )有意义，则有f (x )=2(x +1)(x -1)(x -2)>0, 由数轴标根法解得-1<x <1或x >2.∴函数y =lg f (x )的定义域为(-1，1)∪(2，+∞).【评说】 本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.●对应训练1.甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示.(1)根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P （ξ乙＝8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.第1题图 2.如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则 sin 6cos 6θθ+= .第2题图●参考答案1.（1）由图乙可知P （ξ乙＝7）＝0.2, P (ξ乙＝9）=0.2，P (ξ乙＝10）＝0.35, ∴P (ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.35=0.25.由图甲可知P （ξ甲＝7）＝0.2，P (ξ甲＝8）=0.15，P (ξ甲＝9）＝0.3, ∴P (ξ甲＝10）＝1－0.2-0.15-0.3=0.35.∵P (ξ甲≥9)=0.3+0.35=0.65，P (ξ乙≥9)=0.2+0.35=0.55. ∴甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为：P ＝P （ξ甲≥9)³P (ξ乙≥9）=0.65³0.55=0.3575. (2)∵E ξ甲=7³0.2+8³0.15+9³0.3+10³0.35=8.8,E ξ乙=7³0.2+8³0.25+9³0.2+10³0.35=8.7, ∴E ξ甲>E ξ乙，所以估计甲的水平更高. 【评说】 条形统计图能直观反映各种数据，具有可比性、规律性.理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解答条形图信息的关键.2.从第一图的开始位置变化到第二图时，向量OA 绕点O 旋转了3π-(注意OA 绕点O 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量OA 绕点O 旋转了32π-，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量绕点O 旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量绕点O 共旋转了-6π，即θ= -6π，因而 sin1)sin()cos(6cos6-=-+-=+ππθθ.【评说】 本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特. 第22计 数形开门 体美神丰●计名释义“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义. “凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征. “遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动. “图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补. “观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏. 函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？●典例示范【例1】 若直线y =2a 与函数y =|a x -1|（a>0，a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 .【解答】 函数y =|a x-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-0101•x a •x a xx ，其图象由y =|a x |（a >0，a ≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a >1时，直线y =2a 与y =|a x -1|(a >0，a ≠1)的图象仅一个交点； 当0<a<1时，当且仅当0<2a <1时，直线y =2a 与y =|a x -1|（a >0，a ≠1)的图象有两个公共点，解得a ∈(0，21).例1题解图【评注】 本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”. 【例2】当曲线y =1+24x -与y =k (x -2)+4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是 （ ） A .⎪⎭⎫⎝⎛∞+•,125 B .⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125• C .⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0• D .⎥⎦⎤⎝⎛43,31•【解答】 方程即y =1+24x -即x 2+(y-1)2= 4 (y ≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y =k (x -2)+4表示过（2，4）且斜率为k 的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？ 如图，直线MB 、MC 与半圆切于B 、C ， 半圆的两端依次为A （-2，1）（2，1）. 显然，线段AB 内任意一点与M 的连线 与半圆都只一个公共点， ∴k max =k MA =432214=+-，设直线 MC 交直线y =1于N ，令∠DMC =∠DMB =α，∠DNM =β，例2题解图显然tan α=32||||=BM DB ， ∴tan β=tan(90°-2α)= cot2α=12521tan 22tan 1294=⨯-⨯-αα， 于是斜率k ∈⎥⎦⎤⎝⎛43,125•，选 B . 【反思】 只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”. 【例3】 设实数(x ，y )满足方程x 2+y 2-2x -2y +1=0，则yx 1+的最小值是 . 【解答】43圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心C (1,1)，半径r=1. 如图所示， 此圆在第一象限且与两轴相切， 为求y x 1+的最小值. 先求yx 1+的最大值. yx 1+表示圆上的点（x,y ）与定点P （-1，0）连线的斜率. 例3题解图 ∴k P A ≤yx 1+≤kPB （其中P A 、PB 为过P 所引圆的切线）. 设∠APC =∠CPB=θ，则tan θ=21, ∴tan ∠BP A =tan 2θ=34)(122121=-⨯. ∴.341min =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y x 从而.431min =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y x 【例4】 已知f (x )是定义在（-3，3）上的奇函数，当x ∈(0，3)时，f (x )的图像如图所示，那么不等式f (x )²cos x <0的解集是 .【思考】 将f (x )在 （-3，3） 内的图像补充完整如图所示.可知：当x ∈(-1，0)∪(1，3)时，f (x )>0，为使f (x )²cos x <0，只须cos x <0，得x ∈⎪⎭⎫⎝⎛3,2•π; 当x ∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x )<0，为使f (x )²cos x <0，只须cos x >0，得x ∈⎪⎭⎫⎝⎛--1,2•π∪(0,1) ∴f (x )²cos x <0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,2•π∪(0,1)∪⎪⎭⎫⎝⎛3,2•π.例4题图 例4题解图【点评】 仅凭图像，无法断定f (x )的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x )的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能.●对应训练1.若不等式x 2-log a x <0在(0，0.5)内恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A .161≤a <1 B .0<a <161 C .0<a <1 D .a >1 2.P 是抛物线y=x 2上任意一点，则当P 和直线x+y +2=0上的点距离最小时，P 与该抛物线的准线距离是 （ ）A.91 B.21C.1D.2 3.方程12442--=-+x x x x 的实根共有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.若方程)lg()2lg(2a x x --=2有实数解，则a 的取值范围是 （ ）A.(-2，0)∪(0，2)B.［-2，0)∪(0，2］C.(-2，2)D.［-2，2］5.若关于x 的方程2log 2(x+a )=1+log 2x 有且仅有一个实数解，试求实数a 的取值范围.●参考答案1. A 在同一坐标平面内作y 1=x 2，y 2=log a x 的图像，如图，由题意可知必有0<a <1；进而设x =0.5时，y 1=x 2图像上的点为A ，两曲线的交点为P ，要使y 2>y 1在（0，0.5）内恒成立，必须且只需P 点在A 的右边，而P 点与A 点重合时，a =161,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得161≤a <1.第1题解图 第2题解图2. B 作出y =x 2及x+y +2=0的图像如图所示，设与x+y +2=0平行的抛物线切线为L ，由图可知，切点P 0到x+y +2=0的距离最小，设P 0（x 0，y 0）, 则L 方程为y=-x+b 与抛物线y ＝x 2联立得：x 0=21-，则y 0=x 20=41. 所以P 0⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21•到抛物线准线y =-41的距离为21. 3. A 设y 1=244x x -+，变形得(x -2)2+y 21=8， ∴y 1的图像是以（2，0）为圆心，22为半径的上半圆， 设y 2=12--x x，变形得：(x -1)²(y 2+1)=1，y 2的图像是以直线x =1，y =-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.第3题解图 第4题解图4. A 原方程可变形为lg 22x -=lg(x-a )，设y =22x -，它表示以原点为圆心，2为半径的半圆，如图，设y=x-a (y >0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a 的几何意义是射线在x 轴上的端点，如图所示，当 -2≤a <2时，两曲线有交点，又因为x-a ≠1，令x =1+a 代入方程2-x 2-(x-a )2=0，解得a =0或a =-2，所以a ≠0且a ≠-2，故a ∈(-2，0)∪(0，2).5.解析 ∵原方程⎩⎨⎧=+>⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+>+>⇔x a x x xa x a x x 2,0200∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a =x 2在x >0时有且仅有一个实数解. 问题转化为直线y=x+a 与曲线y =x 2(x >0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a =21或a ≤0. 点评 本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.第23计 探索开门 智勇双锋●计名释义所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.过河人还需要两大素质：大智大勇！面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证. ●典例示范【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1，D 的中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只要满足条件 时，就有MN ∥平面B 1BDD 1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】 显然HN ∥BD ，即得HN ∥平面B 1BDD 1，为使点M 在平面EFGH 内运动时总有B 1BDD 1∥M ，只需过HN 作平面，使之平行于平面B 1BDD 1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.【解答】 连FH ，当点M 在HF 上运动时，恒有MN ∥平面B 1BDD 1例1题图 例1题解图证明如下：连NH ，HF ，BD ，B 1D 1，且平面NHF 交B 1C 1于P . 则NH ∥BD ，HF ∥BB 1，故平面PNHF ∥平面B 1BDD 1. MN 平面PNHF ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.【例2】 知f (x )是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x ∈R ，f (2-x )= f (2+x )总成立，问f (1-2x 2)与f (1+2x-x 2)满足什么条件时，才能使-2<x <0成立.【思考】 根据已知条件很容易得到f (x )是开口向下且对称轴为x =2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.【解答】 由题设知：函数f (x )的图象是开口向下且对称轴为直线x =2的抛物线. 故函数f (x )在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.∵1-2x 2≤1<2，1+2x-x 2=-（x -1）2+2≤2 ∴1-2x 2∈(-∞,2］，1+2x-x 2∈(-∞,2］ 当f (1-2x 2)< f (1+2x-x 2)时， 1-2x 2<1+2x-x 2 即x 2+2x >0，解得x <-2或x >0，不能使-2<x <0成立当f (1-2x 2)>f (1+2x-x 2)时，1-2x 2>1+2x-x 2, 即x 2+2x <0，解得-2<x <0，符合题意， 当f (1-2x 2)=f (1+2x-x 2)时， 可得x = -2或0，不能使-2<x <0成立.∴当f (1-2x 2)>f (1+2x-x 2)时，才能使-2<x <0成立.【例3】 能否构造一个等比数列{a n }，使其同时满足三个条件:①a 1+a 6=11；②a 3a 4=932;③至少存在一个自然数m ，使32a m -1 ，a 2m ，a m +1+94依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{a n }的公比为q .∵a 3a 4=a 1a 6, ∴由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+.2133223193211)1(1932111152156161q a ••q a q a q a a a a a 或 即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为a n =31²2n -1或a n =232²⎪⎭⎫ ⎝⎛21n -1. （1）如a n =31²2n -1，设存在题设要求的m ∈N ，则2³21231⎪⎭⎫⎝⎛∙-m =.94231231322+∙+∙∙-m m 化简得：22m -7²2m -8=0⇒2m =8，∴m =3.（2）如a n =232²⎪⎭⎫ ⎝⎛21n -1，设存在m ∈N ,使2²9421232213323221332221+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∙--mm m化简得：4(26-m )2－11²26-m -8=0，这里Δ=112+16³8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在.综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m =3，数列的通项公式为： a n =31²2n -1 . 【例4】 将二次函数f (x )=ax 2+bx+c 对应于一次函数g (x )=2ax+b .(1)求f (x )=x 2+2x +1对应的一次函数g (x ). （2）观察后请写出这个对应法则. （3）可以用g (x )的某些性质来研究f (x )的性质：当g (x )>0时，对应的f (x )的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？（5）设g (x )=x ，写出与g (x )对应的f (x )的三个不同的解析式.【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x )与g (x )是什么关系？我们容易由f ′(x )=2ax+b ，知f ′(x )=g (x )，可见，只有当 g (x )= f ′(x )时，才有可能用g (x )的性质来研究f (x )的某些性质. 【解答】 (1)∵a =1，b =2，∴g (x )=2x +2.（2）①g (x )的一次项系数是f (x )的二次项系数与其次数的积； ②g (x )的常数项等于f (x )的一次项系数.(3)g (x )>0，即2ax+b >0，当a >0时，x >a b 2-，而x =ab 2-是f (x )的对称轴，故这时f (x )是单调增函数；a <0时，x <a b 2-，f (x )仍为单调增函数(前者单调区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-•a b ,2.后者单调区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b •2,). (4)当g (x )<0时，f (x )是单调减函数(请仿照（3）证明之).(5)g (x )=x 时，2ax+b=x ，知a =21，b =0. 只须在f (x )=ax 2+bx+c 中，命a =21，b =0，c 取任意值即可，如f (x )=21x 2+1，f (x )=21x 2+23，f (x )=21x 2+5.【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若A ⇒B ，则称A 为B 的充分条件，B 为A 的必要条件.●对应训练1.已知圆O ′过定点A （0，P ）(P >0)，圆心O ′在抛物线x 2=2py 上运动，MN 为圆O ′在x 轴上截得的弦，令|AM | =d 1，|AN |=d 2，∠MAN=θ. (1)当O ′运动时，|MN |是否有变化，并证明你的结论； （2）求1221d d d d +的最大值,并求取得最大值的θ的值. 2.如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC=a (a >0)，P A ⊥平面AC ， 且P A =1.(1)问BC 边上是否存在Q ，便得PQ ⊥QD ，并说明理由； （2）若BC 边上有且只有一点Q ， 使得PQ ⊥QD ，求这时二面角Q —PD —A 的大小. 第2题图3.已知椭圆12222=+by a x (a>b >0)的离心率e =36，过点A （0,-b ）和B （a ,0）的直线与原点距离为23. (Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)已知定点E （-1,0）,若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点，试判断：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由. 4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件： ①原点O 与直线x =1是它的焦点和准线；②被直线x+y =0垂直平分的弦的长等于22，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理。