(名师整理)最新中考数学专题复习《角平分线定理》精品教案
5.3第3课时角平分线的性质(教案)
-重点二：运用角平分线的性质解决实际问题。培养学生将性质应用于解决具体问题，如求角的平分线长度、角度等。
举例：已知三角形ABC中，∠BAC的平分线将BC边平分于点D，AB=6cm，AC=8cm，求BD和CD的长度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如角平分线的证明，我会通过图形和实例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题，如如何在一个不规则的多边形中找到角的平分线。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠和切割三角形纸片，学生可以直观地观察到角平分线上的点到两边距离相等的现象。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“角平分线的性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个角平分成两个相等角的情况？”比如，在制作一个等腰三角形的模型时，我们需要找到底角的平分线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角平分线的性质。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的定义、性质以及它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决三角形问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
初二数学《三角形的角平分线专题复习》课时教案
初二数学《三角形的角平分线专题复习》课时教案【课题】《三角形的角平分线专题复习》【课型】新授【教学目标】知识：三角形角平分线的几种特殊关系。
能力：学生经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，并能够综合应用。
情感：在探究性学习活动中养成刻苦钻研的习惯，具有勇于探索创新的精神。
【教学重难点】三角形角平分线的几种特殊关系的证明及应用。
【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。
）知识回顾（3分钟）1. 角平分线的作法（尺规作图）2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
二、自主探究,合作学习：（一）依据导纲，自主学习探究一：三角形两角平分线夹角与第三个角的关系（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）1、已知：如图，在⊿ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点P。
试确定∠P 与∠A的数量关系．2、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 平分∠CBD ，CP 平分∠BCE ，试确定∠P 与∠A 的数量关系．3、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，试确定∠P 与∠A 的数量关系．4、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 1平分∠ABC ，CP 1平分∠ACD ， BP 2平分∠P 1BC ，CP 2平分∠P 1CD ，…试确定（1）∠P 2与∠A 的数量关系． （2）∠Pn 与∠A 的数量关系． A B C P D EABC PD EAB C P D ABC D P 1P 2P n…探究二：三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系 （先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）1、已知：如图，在⊿ABC 中，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD 与CE 交于点P 。
垂直平分线与角平分线精讲教案
垂直平分线与角平分线精讲教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直平分线和角平分线的定义。
2. 让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质。
3. 培养学生运用垂直平分线和角平分线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 垂直平分线的定义：垂直平分线是指一个线段的两端点关于某条直线对称，且这条直线垂直于线段所在的平面。
2. 角平分线的定义：角平分线是指一个角的内部的一条直线，它将这个角分成两个相等的角。
3. 垂直平分线的性质：a. 垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
b. 垂直平分线垂直于线段所在的平面。
c. 垂直平分线上的任意一点到线段所在直线的距离等于线段一半。
4. 角平分线的性质：a. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
b. 角平分线将角分成两个相等的角。
c. 角平分线上的任意一点到角的两边的夹角等于该点到角的两边的距离的比值。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直平分线和角平分线的定义及其性质。
2. 教学难点：垂直平分线和角平分线的性质的应用。
四、教学方法：1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示垂直平分线和角平分线的定义和性质。
2. 利用实物模型，让学生直观地感受垂直平分线和角平分线的性质。
3. 运用例题讲解，让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质及应用。
4. 开展小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过展示实际生活中的垂直平分线和角平分线的例子，引导学生思考并引入本节课的主题。
2. 讲解垂直平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解垂直平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。
3. 讲解角平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解角平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。
4. 应用练习：出示一些有关垂直平分线和角平分线的练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、练习解答和小组讨论，评价学生对垂直平分线和角平分线的理解掌握程度。
角平分线的性质的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
角平分线的性质的教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解角平分线的定义和性质，学会运用角平分线的性质解题。
2. 过程与方法：通过教师讲解和实例演示相结合的方式，提高学生的理解和运用能力。
3. 情感态度价值观：培养学生严谨的数学思维，注重观察与推理，提高学生的自学、合作学习和解决问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：掌握角平分线的定义和性质。
2. 难点：运用角平分线的性质解决实际问题。
三、教学过程：Step 1 引入新知（1）教师通过提问，引导学生回顾角的定义和性质，复习相关知识。
（2）教师出示一张图纸，上面有两条射线，从一个点出发，交于一点，并各自形成两个角。
教师问学生：如何判断这两个角是否相等？请从几何性质的角度进行推理。
Step 2 角平分线的定义（1）教师解释角平分线的含义：角平分线是指从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线或线段。
（2）教师出示角平分线的实例图，并要求学生观察并总结出角平分线的特点。
Step 3 角平分线的性质（1）教师提供一些角平分线的性质，如：a. 角平分线把一个角分成两个相等的角。
b. 一个角的两个相等角的角平分线相交于同一点，且这个点在角的内部。
（2）教师通过具体例子进行演示，让学生观察并找出角平分线的性质，引导学生进行类比和推理。
Step 4 角平分线的运用（1）教师提供一些具体问题，要求学生利用角平分线的性质解决问题。
a. 已知一个角的两个角平分线相交于点O，求证这两个角相等。
b. 在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且∠ADB = 30°，求证∠ACB = 60°。
（2）学生独立思考并进行解答，然后进行讨论，通过合作学习的方式互相交流和纠正错误。
Step 5 拓展练习（1）教师布置一些拓展练习题，要求学生独立完成。
（2）教师进行答疑解惑，引导学生进行错误分析和订正，提高学生的解题能力和思维能力。
四、教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和推理，使学生在实际操作中领会到角平分线的定义和性质，并能灵活运用角平分线的性质解决实际问题。
角平分线定理教案
角平分线定理教案教案标题：角平分线定理教案一、教学目标：1. 理解角平分线定理的概念和原理。
2. 能够应用角平分线定理解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学内容：1. 角平分线定理的定义和表述。
2. 角平分线定理的证明。
3. 角平分线定理的应用。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）：引导学生回顾并复习角的概念，以及如何用直尺和量角器测量角的大小。
2. 角平分线定理的定义和表述（10分钟）：通过示意图向学生展示角平分线的概念，并引导学生总结角平分线定理的定义和表述。
3. 角平分线定理的证明（20分钟）：介绍角平分线定理的证明思路，引导学生根据已有的知识和定理进行推理和证明，最终得出结论。
提示学生注意证明过程中的关键步骤和逻辑推理。
4. 角平分线定理的应用（15分钟）：通过一些具体的问题和例子，引导学生应用角平分线定理解决相关问题，培养学生的问题解决能力和推理能力。
5. 拓展与巩固（10分钟）：给学生提供一些拓展题目，让他们进一步巩固和应用所学的知识。
6. 总结与归纳（5分钟）：总结角平分线定理的内容和应用，并强调其在几何学中的重要性。
四、教学资源：1. 教科书和课本2. 示例图和示意图3. 直尺、量角器等绘图工具4. 课堂练习题和拓展题目五、教学评估：1. 课堂练习题的完成情况和答案的正确性。
2. 学生对角平分线定理的理解和应用能力的表现。
3. 学生的课堂参与和互动情况。
六、教学反思：根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，帮助学生更好地理解和应用角平分线定理。
同时，鼓励学生积极思考和提问，促进课堂互动和合作。
（名师整理）最新中考数学专题复习《角平分线定理》精品教案
（名师整理）最新中考数学专题复习《角平分线定理》精品教案中考数学人教版专题复习：角平分线定理考点考纲要求分值考向预测本类问题主要考查填空、选1.理解并掌握角平线定义、角择题，内容以角平分线定理角平分3～5平分线定理及逆定理；为主，难度不大，各省市题定理分2.应用定理解决问题。
量也不多，但要注意在综合性问题中应用这一知识点。
考点精讲1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【重要提示】①三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
1②三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。
3.角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（利用全等三角形进行证明ASA）4.角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
【方法指导】1.三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。
有时候做三角形面积问题时经常使用。
2.当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
3.有角平分线考虑向角两边作垂线。
4.三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。
【随堂练习】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD△是ABC的一条角平分线。
若CD=3，则△ABD的面积为。
2答案：解：作DE⊥AB于E。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3。
∴△ABD的面积为1×3×10=15。
故答案是15。
2思路分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E。
根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。
角平分线的性质教案
角平分线的性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解角平分线的定义；（2）掌握角平分线的性质及其推论；（3）学会运用角平分线解决几何问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等过程，探索角平分线的性质；（2）运用角平分线性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的观察能力、思考能力和创新能力；（2）激发学生对几何学的兴趣，培养学生的学习积极性。
二、教学内容1. 角平分线的定义：从角的顶点引出一条射线，使得这条射线把角分成两个相等的角，这条射线称为这个角的平分线。
2. 角平分线的性质：（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）角的平分线与角的两边构成等腰三角形；（3）角的平分线垂直平分角的两边。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）角平分线的定义；（2）角平分线的性质及其推论。
2. 教学难点：（1）角平分线性质的证明；（2）运用角平分线解决实际问题。
四、教学准备1. 教具：（1）三角板；（2）直尺；（3）圆规。
2. 学具：（1）三角板；（2）直尺；（3）圆规；（4）练习本。
五、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识：角的定义、射线的性质；（2）提出问题：如何找到一个角的平分线？2. 新课讲解：（1）介绍角平分线的定义；（2）引导学生观察、分析角平分线的性质；（3）证明角平分线的性质。
3. 课堂练习：（1）让学生运用角平分线的性质解决问题；（2）引导学生发现角平分线与等腰三角形的关系。
4. 拓展与应用：（1）引导学生思考：角平分线在实际生活中的应用；（2）举例说明角平分线在几何中的应用。
（1）回顾本节课所学内容；（2）强调角平分线的性质及其重要性。
6. 作业布置：（1）运用角平分线性质解决几何问题；（2）绘制角的平分线示意图。
六、教学评价1. 评价目标：（1）了解学生对角平分线定义和性质的理解程度；（2）评估学生运用角平分线解决几何问题的能力；（3）考察学生的观察能力、思考能力和创新能力。
八年级数学上册《角平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
-如果一个角的平分线同时也是这个角的垂直平分线，那么这个角有什么特殊的性质？请给出证明；
-如果一个角的平分线同时也是另一个角的平分线，那么这两个角之间有什么关系？请给出证明。
4.实践活动：
-与同学合作，设计一个关于角平分线的数学小报，内容包括定义、性质、判定定理以及生活中的应用等；
-利用所学知识，尝试解决实际生活中的问题，如测量角度、划分土地等，并撰写解题报告。
2.学生在运用角平分线判定定理解决问题时的逻辑思维能力和解题技巧；
3.学生在合作交流、动手操作等方面的学习习惯和团队协作能力。
针对学情，教师应采取以下策略：
1.设计富有启发性的问题，引导学生主动探究角平分线的性质；
2.创设生活情境，让学生在实际问题中体会角平分线判定定理的应用；
3.注重个体差异，给予学生个性化的指导，提高学生的自主学习能力；
4.加强课堂讨论与交流，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：角平分线的性质及其应用，角平分线的判定定理。
2.难点：理解并灵活运用角平分线的性质和判定定理解决实际问题。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
-通过引入生活中的实例，如折纸、剪纸等，让学生感受角平分线的存在和应用，激发学生的学习兴趣；
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，书写规范，保持卷面整洁；
2.作业完成后，进行自查，确保解题过程和答案正确；
3.遇到问题时，与同学讨论，或向老师请教，及时解决疑问；
4.作业提交时间：课后第二天。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了角的初步知识，如角的分类、角的度量等。在此基础上，学生对角平分线的性质和判定定理的学习具备了一定的基础。然而，由于学生的认知水平和思维能力存在差异，部分学生可能在理解角平分线的性质和判定定理方面存在困难。
角的平分线的判定 教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级上册
第2课时角的平分线的判定1.探究并证明角的平分线的判定定理.（难点）2.会判断一个点是否在一个角的平分线上.（重点）一、新课导入【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）学习了今天的内容，我们就能很快地解决这个问题了.二、新知探究知识点1角的平分线的判定【提出问题】我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【学生猜想】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（也有一部分学生得不到准确答案）教师鼓励学生按照上节课学过的证明命题的步骤，验证一下他的猜想！【学生思考】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒应将文字语言转化为数学语言，同时画出图形，找准“已知”和“求证”，并写出证明过程.之后点名一位学生上台板演，对于错误和不完整的地方，其他学生纠正或补充.教师利用多媒体展示如下验证过程：如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线OC上.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，{PD＝PE，PO＝PO，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOC＝∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.学生有异议的，及时提出，教师予以纠正.【归纳总结】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.该性质定理的几何语言：∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.提醒学生：（1）前提条件：使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部，且该点到角两边的距离相等；（2）定理的作用：角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.【提出问题】现在你能解决集贸市场的问题了吗？【学生回答】教师点名一位学生回答解题过程及依据.教师利用多媒体展示如下作图过程：解：如图，作出公路和铁路相交的角的平分线OC，按照比例尺的比例，在OC上截取OD＝2.5cm.点D的位置即为建集贸市场的位置.知识点2三角形的内角平分线【提出问题】我们知道三角形有三条内角平分线，你会画出它的三条内角平分线吗？动手试一试吧？【实际操作】学生在已经剪好的锐角、直角和钝角三角形卡纸上分别画出它们的三个内角的平分线.之后我们发现：三角形三个内角的平分线交于一点，该交点位于三角形的内部.【提出问题】那么三角形的三条内角平分线的交点到三角形三边的距离有什么特点呢？【实际操作】学生继续在锐角、直角和钝角三角形卡纸上过交点分别作这三个三角形三边的垂线，并测量每一组垂线段的长度.我们发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.【提出问题】由于作图和测量存在误差，我们仍需来证明一下我们的猜想.教师利用多媒体展示如下验证猜想的题目.例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【提出问题】点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？【学生回答】学生集体回答.（由PD＝PF可知，点P在∠A的平分线上.从而也验证了“三角形的三条角平分线交于一点”这一结论.）知识点3角的平分线的性质定理与判定定理的关系教师利用多媒体展示表格，学生根据表格中的内容，集体回答；教师引导学生观察所填内容，由不同颜色标注的内容可知角平分线的性质定理中的“已知”变成了角平分线的判定定理中的“结论”.角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形已知条件∠1＝∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ＝PE 结论PD ＝PE ∠1＝∠2 【归纳总结】点在角的平分线上（角的内部）点到角的 两边的距离相等正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.【跟踪训练】判断，不正确的请说明原因.①如图，若PD ＝PE ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为PD 不垂直OA ，PE 不垂直OB ，即PD ，PE 均不是角平分线上的点到角两边的距离.②如图，若点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为没有说明PD 与PE 的等量关系，只有PD ＝PE 时，OC 才平分∠AOB .三、课堂小结角的平分线的判定{ 判定定理{内容➡角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上作用➡判定点在平分线上（判定两角相等）三角形的三条角平分线➡交于一点，且该点到三角形三边的距离相等角平分线的性质定理与判定定理的关系四、课堂训练1.如图，P 是△ABC 外部一点，PD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，PE ⊥AC ，交AC的延长线于点E ，PF ⊥BC 于点F ，且PD ＝PE ＝PF .关于点P 有下列三种说法：①点P 在∠DBC 的平分线上；②点P 在∠BCE 的平分线上；③点P 在∠BAC 的平分线上.其中说法正确的个数为（ D ）A.0B.1C.2D.32.如图， 已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，CE ＝BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等.求证：AD 平分∠BAC .解：如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N .∵△DCE 的面积与△DBF的面积相等，∴12BF ·DM ＝12CE ·DN .又CE ＝BF ，∴DM ＝DN .∴AD 平分∠BAC .。
角平分线性质 教案
角平分线性质教案教案标题：角平分线性质教案目标：1. 理解角平分线的定义和性质。
2. 能够应用角平分线的性质解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维和证明能力。
教学准备：1. 教材：包含角平分线的相关内容。
2. 教具：直尺、量角器、白板和黑板、彩色粉笔或白板笔。
3. 学生练习册和答案。
教学过程：引入（5分钟）：1. 利用白板或黑板，画出一个角ABC，并标出角的顶点A。
2. 提问学生：你们知道什么是角平分线吗？角平分线有什么性质？3. 引导学生思考和讨论，激发学生的兴趣和探索欲望。
讲解与示范（15分钟）：1. 介绍角平分线的定义：角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
2. 解释角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，即角平分线将角分成两个相等的小角。
3. 通过示例，展示角平分线的性质，并解释其证明过程。
练习与巩固（20分钟）：1. 分发学生练习册，并指导学生完成相关练习题。
2. 鼓励学生自主思考和解决问题，同时提供必要的帮助和指导。
3. 收集学生的答案，并进行讲评，帮助学生理解和掌握角平分线的性质。
拓展与应用（15分钟）：1. 提供更复杂的角平分线问题，让学生应用所学知识解决。
2. 引导学生思考角平分线在实际生活中的应用，如建筑设计、地理测量等领域。
3. 鼓励学生提出自己的问题和观点，并进行讨论和交流。
总结（5分钟）：1. 总结角平分线的定义和性质。
2. 强调学生在解决问题时要善于运用角平分线的性质。
3. 鼓励学生继续深入学习几何知识，提高自己的数学素养。
作业布置：1. 布置相关的练习题作为课后作业。
2. 鼓励学生自主学习和探索，提出自己的问题并进行解答。
教学反思：1. 教师应根据学生的学习情况和理解程度，适时调整教学方法和节奏。
2. 在讲解示范环节，教师应注重引导学生思考和解决问题的能力。
3. 在练习与巩固环节，教师应及时纠正学生的错误，并给予肯定和鼓励。
4. 在拓展与应用环节，教师应激发学生的创造力和探索欲望，培养学生的应用能力。
八年级数学上册《角平分线的性质定理》教案、教学设计
（一）教学重点
1.角平分线的定义及其性质定理的理解和应用。
2.能够运用角平分线的性质解决实际问题，提高几何推理能力。
3.培养学生运用数学符号和几何语言进行表达的能力。
（二）教学难点
1.角平分线性质定理的推导过程，以及如何引导学生从具体实例中抽象出一般性结论。
2.学生在解决实际问题时，对角平分线性质的灵活运用和与其他几何知识的综合运用。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，引导学生采用以下方法：
1.采用直观演示法，通过实际操作，让学生感受角平分线的定义和性质，培养学生的观察能力和动手操作能力。
2.采用问题驱动法，设置一系列具有启发性的问题，引导学生主动探究角平分线的性质定理，提高学生的问题解决能力和合作学习能力。
3.运用比较法，将角平分线与其他线段（如中垂线、高线等）进行对比，让学生发现它们之间的联系与区别，提高学生的概括和总结能力。
（4）巩固：设计不同难度的练习题，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解决问题的能力。
（5）拓展：布置一些具有挑战性的问题，鼓励学生发挥想象力和创造力，提高学生的几何思维能力。
3.教学评价：
（1）关注学生在课堂上的表现，观察学生对角平分线性质的理解程度和应用能力。
（2）通过课后作业和小测验，了解学生对知识点的掌握情况，针对性地进行辅导。
八年级数学上册《角平分线的性质定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解角平分线的定义，了解其基本性质，能够准确识别并画出角平分线。
2.掌握角平分线性质定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
3.学会运用角平分线性质解决实际问题时，能够灵活运用数学符号和几何语言进行表达。
角的平分线的性质教案
角的平分线的性质教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生理解角的平分线的定义。
2. 掌握角的平分线的性质。
3. 学会运用角的平分线解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、思考、交流，引导学生发现角的平分线的性质。
2. 培养学生运用几何画图工具进行推理和论证的能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 角的平分线的定义。
2. 角的平分线的性质。
难点：1. 理解并证明角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 几何画图工具。
3. 练习题。
学生准备：1. 课堂笔记本。
2. 几何画图工具。
四、教学过程：1. 导入：1.1 引导学生回顾角的概念。
1.2 提问：能不能找到一种方法，让一个角的大小减半？2. 探究：2.1 让学生尝试画出一个角的平分线。
2.2 学生展示并介绍角的平分线的画法。
2.3 教师提问：角的平分线有什么性质？2.4 学生猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.5 教师引导学生通过几何画图工具进行推理和论证。
3. 讲解：3.1 教师讲解角的平分线的性质。
3.2 教师举例说明角的平分线在实际问题中的应用。
4. 练习：4.1 学生独立完成练习题。
4.2 学生展示答案，教师点评。
五、课后作业：1. 完成练习册相关题目。
2. 探索角的平分线在实际问题中的应用。
教学反思：本节课通过引导学生探究角的平分线的性质，培养了学生的观察能力、思考能力和动手能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。
通过练习题的设置，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六、教学拓展：1. 引导学生思考：角的平分线与角的大小有什么关系？2. 学生通过画图和推理，发现角的平分线把角分成两个相等的小角。
3. 教师讲解角的平分线的另一个性质：角的平分线与角的对边垂直。
角的平分线教案设计
角的平分线教案设计第一章：认识角的平分线1.1 引入概念：通过实际图形和几何模型，让学生直观地理解角的概念。
1.2 讲解角的平分线的定义：角的平分线是将一个角平分成两个相等角的直线。
1.3 角的平分线特点：引导学生通过观察和操作，发现角的平分线与角的两边相互垂直，并且将角的两边等分。
第二章：角的平分线的性质2.1 性质1：角的平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
2.2 性质2：角的平分线将角的两边等分，即角的平分线与角的两边相交，交点将角的两边分为两对相等的部分。
2.3 性质3：角的平分线与角的两边相互垂直。
第三章：角的平分线的作图3.1 利用尺规作图方法作出一个角的平分线。
3.2 练习作图：让学生通过实际操作，运用尺规作图方法，作出给定角的平分线。
3.3 思考题：探讨如何作出一个任意角的平分线。
第四章：角的平分线与三角形的关系4.1 三角形的角平分线：介绍三角形的三条角平分线，并引导学生理解它们的作用和性质。
4.2 角平分线定理：讲解三角形三条角平分线交于一点，即三角形内心，并且内心到三角形的三个顶点的距离相等。
4.3 应用：通过实际例子，展示角的平分线在解决三角形问题中的应用。
第五章：角的平分线的应用5.1 构造图形：利用角的平分线解决实际问题，如构造特定的图形或解决几何问题。
5.2 证明题：通过构造图形和运用角的平分线性质，引导学生解决证明题。
5.3 应用题：让学生运用角的平分线知识解决实际问题，如计算距离或角度等。
第六章：角的平分线与圆的关系6.1 圆的角平分线：介绍圆的角平分线，即从圆上一点出发，经过圆心，将圆分成两个相等弧的直线。
6.2 圆心角平分线定理：讲解圆的角平分线与半径相垂直，并且平分圆心角。
6.3 应用：通过实际例子，展示角的平分线在解决圆的问题中的应用。
第七章：角的平分线与圆的内接四边形7.1 圆的内接四边形：介绍圆的内接四边形，即四边形的四个顶点都在圆上。
7.2 圆的内接四边形的性质：讲解圆的内接四边形的对角互补，即相对的角的和为180度。
角平分线的性质教案
角平分线的性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解角平分线的定义；（2）掌握角平分线的性质定理；（3）学会运用角平分线解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、思考、交流，探索角平分线的性质；（2）运用角的平分线性质定理，提高解题能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）角平分线的定义；（2）角平分线的性质定理。
2. 教学难点：（1）角平分线性质定理的证明；（2）运用角平分线解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：回顾上节课所学的角的概念，引出角平分线的定义。
2. 新课讲解：（1）介绍角平分线的定义；（2）讲解角平分线的性质定理；（3）运用角平分线性质定理解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）判断题：判断角平分线是否平分角；（2）填空题：填空完成角平分线性质定理的证明；（3）应用题：运用角平分线解决实际问题。
四、课后作业1. 复习角平分线的定义和性质定理；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 预习下一节课内容。
五、教学反思本节课通过讲解角平分线的定义和性质定理，使学生掌握了角平分线的基本性质。
在教学过程中，注意引导学生观察、思考、交流，培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
通过课后作业的布置，帮助学生巩固所学知识，为后续课程的学习打下基础。
六、教学拓展1. 对比分析：（1）角平分线与线段中垂线的联系与区别；（2）角平分线与高的联系与区别。
2. 探索问题：（1）角的平分线是否一定是直线？（2）角的平分线在几何中的应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结角平分线的定义、性质定理及应用；2. 强调角平分线在几何中的重要性。
八、测试与评价1. 课堂测试：（1）判断题：判断角平分线与线段中垂线的联系与区别；（2）选择题：选择正确的角平分线性质定理；（3）应用题：运用角平分线解决实际问题。
2. 评价：（1）学生自我评价：总结自己在课堂学习中的收获；（2）同伴评价：评价他人的解题方法和思路；（3）教师评价：对学生的学习情况进行总结和评价。
(名师整理)最新中考数学专题复习《角平分线定理》精品教案
中考数学人教版专题复习：角平分线定理考点考纲要求分值考向预测本类问题主要考查填空、选1.理解并掌握角平线定义、角择题，内容以角平分线定理角平分3～5平分线定理及逆定理；为主，难度不大，各省市题定理分2.应用定理解决问题。
量也不多，但要注意在综合性问题中应用这一知识点。
考点精讲1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【重要提示】①三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
1②三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。
3.角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（利用全等三角形进行证明ASA）4.角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
【方法指导】1.三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。
有时候做三角形面积问题时经常使用。
2.当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
3.有角平分线考虑向角两边作垂线。
4.三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。
【随堂练习】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD△是ABC的一条角平分线。
若CD=3，则△ABD的面积为。
2答案：解：作DE⊥AB于E。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3。
∴△ABD的面积为1×3×10=15。
故答案是15。
2思路分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E。
根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。
典例精析例题1如图，AD△是ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△S ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A.3B.4C.6D.5思路分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC =S△ABD△+SACD列出方程求解即可。
角平分线的性质的教案
角平分线的性质的教案教案标题：角平分线的性质教学目标：1. 了解角平分线的定义和性质。
2. 能够应用角平分线的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 角平分线的定义和性质。
2. 角平分线与角度相等的关系。
3. 角平分线的作用和应用。
教学准备：1. 教学投影仪或白板。
2. 角平分线的定义和性质的PPT或教学素材。
3. 角平分线的练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入角平分线的概念：请学生回顾角的定义，并提问角平分线的含义。
2. 引发思考：给出一个角，让学生尝试寻找角平分线。
二、讲解角平分线的定义和性质（15分钟）1. 展示角平分线的定义和性质的PPT或教学素材，解释角平分线的定义。
2. 引导学生观察和发现：通过几个示例，让学生体会角平分线与角度相等的关系。
3. 强化角平分线的性质：总结角平分线的性质，并与学生进行互动讨论。
三、角平分线的作用和应用（20分钟）1. 角平分线的作用：讲解角平分线在几何图形中的作用，如判断等腰三角形、证明两条线段垂直等。
2. 角平分线的应用：给出一些实际问题，让学生应用角平分线的性质解决问题。
3. 练习与巩固：分发角平分线的练习题，让学生进行练习，并及时给予指导和反馈。
四、总结与拓展（10分钟）1. 总结角平分线的定义和性质，强调学生的学习收获。
2. 拓展思考：提出一些拓展问题，让学生思考和探索更多与角平分线相关的性质和应用。
五、课堂小结与作业布置（5分钟）1. 小结本节课的重点内容，并与学生进行互动回顾。
2. 布置作业：要求学生完成相关的课后习题，并预告下节课的内容。
教学反思：本节课通过引入、讲解、应用和巩固的方式，全面介绍了角平分线的定义和性质。
通过实际问题的应用，培养了学生的解决问题的能力。
同时，在教学过程中注重与学生的互动和思维引导，提高了学生的参与度和学习效果。
初中数学角的平分线教案
初中数学角的平分线教案一、教学目标1.让学生掌握角的平分线的定义、性质及判定方法。
2.培养学生运用角的平分线知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学重点与难点1.重点：角的平分线的定义、性质及判定方法。
2.难点：运用角的平分线知识解决实际问题。
三、教学过程1.导入新课（1）复习旧知识：让学生回顾角的定义、分类及性质。
（2）提出问题：如何将一个角平分成两个相等的角？2.角的平分线定义（1）引导学生观察角的平分线模型，让学生直观感受角的平分线。
（2）给出角的平分线定义：从角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
（3）让学生举例说明角的平分线。
3.角的平分线性质（1）引导学生观察角的平分线性质，让学生直观感受角的平分线性质。
（2）给出角的平分线性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）让学生举例说明角的平分线性质。
4.角的平分线判定方法（1）引导学生探究角的平分线判定方法。
（2）给出角的平分线判定方法：如果一条射线将一个角平分成两个相等的角，那么这条射线就是角的平分线。
（3）让学生举例说明角的平分线判定方法。
5.应用举例（1）让学生独立完成课本上的例题，巩固角的平分线知识。
（2）引导学生运用角的平分线知识解决实际问题，如求角度、证明角相等。
6.练习与巩固（1）让学生完成课后练习，巩固角的平分线知识。
（2）教师批改练习，及时反馈，指导学生掌握角的平分线知识。
7.课堂小结（2）教师点评学生表现，鼓励学生积极思考、参与课堂。
8.课后作业（1）完成课后练习。
（2）预习下节课内容，了解角的平分线在生活中的应用。
四、教学反思本节课通过直观的模型、生动的实例，让学生掌握了角的平分线的定义、性质及判定方法。
在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
通过课后作业，巩固所学知识，为下节课的学习打下坚实基础。
附：课后练习1.判断题：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
八年级数学上册《角平分线》教案、教学设计
（3）单元测试：通过测试，了解学生对角平分线知识点的掌握情况，以及运用知识解决问题的能力；
（4）课后访谈：了解学生在学习过程中遇到的困难和问题，及时调整教学策略。
4.教学资源：
（1）教材：充分利用课本资源，结合教学目标进行教学设计；
（2）反思自己在学习过程中的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。
作业要求：
1.认真完成作业，保持卷面整洁；
2.思考题要结合所学知识，进行深入分析和研究；
3.遇到问题及时与同学、老师交流，提高解决问题的能力；
4.作业提交时间：下周一下午放学前。
（4）应用：设计有针对性的例题和练习，让学生运用角平分线知识解决问题，巩固所学；
（5）拓展：引导学生思考角平分线在其他几何问题中的应用，培养学生的发散思维；
（6）总结：对本节课的知识点进行梳理，强调重难点，帮助学生巩固记忆。
3.教学评价：
（1）课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度、积极性和合作精神；
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
（1）对本节课的知识点进行梳理，强调重点和难点；
（2）学生分享学习收获和感受，教师给予鼓励和评价；
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
2.教学内容：
（1）总结角平分线的定义、性质和判定方法；
（2）回顾尺规作图的方法，强调注意事项；
（3）明确角平分线在实际问题中的应用价值。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何思维和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）完成课本第十五章第二节课后练习题1、2、3；
（2）运用尺规作图，作出给定角的平分线，并简要说明作图过程；
角平分线 优秀课教案
1．4 角平分线 第1课时 角平分线1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD 平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC＝AD，OC＝OD，AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO＝OB，∠AOC＝∠BOD，∠C＝∠D，∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝12OD，OE＝12OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝12GH·h，S△FGH＝12GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝12BC＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求出四边形AGCD的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE＝12AG，DF＝12DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴BG＝CG＝12BC＝6.∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。
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中考数学人教版专题复习：角平分线定理考点考纲要求分值考向预测角平分定理1. 理解并掌握角平线定义、角平分线定理及逆定理；2. 应用定理解决问题。
3～5分本类问题主要考查填空、选择题，内容以角平分线定理为主，难度不大，各省市题量也不多，但要注意在综合性问题中应用这一知识点。
考点精讲1. 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2. 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【重要提示】①三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
1②三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。
3. 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（利用全等三角形进行证明ASA）4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
【方法指导】1. 三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。
有时候做三角形面积问题时经常使用。
2. 当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
3. 有角平分线考虑向角两边作垂线。
4. 三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。
【随堂练习】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线。
若CD=3，则△ABD的面积为。
2答案：解：作DE⊥AB于E。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3。
∴△ABD的面积为1×3×10=15。
故答案是15。
2思路分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E。
根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。
典例精析例题1 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A. 3B. 4C. 6D. 5思路分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可。
3答案：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴12×4×2+12×AC×2=7，解得AC=3。
故选A。
技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键。
例题2 如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③BFDCED ES SBFC∆∆=；④EF一定平行BC。
其中正确的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④思路分析：由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，4根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③BFDCED ES SBFC∆∆=。
答案：解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，∴AF=AE，∴∠AFE=∠AEF，故正确；②∵DF=DE，AF=AE，∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF，故正确；③∵S△BFD=12BF•DF，S△CDE=12CE•DE，DF=DE，∴BFDCEDESSBFC∆∆=；故正确；④∵∠EFD不一定等于∠BDF，∴EF不一定平行BC。
故错误。
故选A。
技巧点拨：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质。
此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。
例题3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则△DBE的周长为（）A. 2B. 1+2C. 2D. 无法计算5思路分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DBE的周长=AB，再利用勾股定理列式求出AB，即可得解。
答案：解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∵∠C=90°，AC=BC=1，∴AB=222，∴△DBE的周长2。
故选C。
11技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并求出△DBE的周长=AB是解题的关键。
提分宝典相似三角形中的角平分线定理[定理内容：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如：在△ABC中，AM平分∠BAC，则BM：CM=AB：AC。
6定理证明：（1）面积法证明：过点M作ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，过点A作AD⊥BC 于D，∵AM平分∠BAC，ME⊥AB，MF⊥AC，∴ME=MF∵S△ABM=12×AB×ME，S△ACM=12×AC×MF，∴S△ABM：S△ACM=（12×AB×ME）：（12×AC×MF）=AB：AC∵AD⊥BC，∴S△ABM=12×BM×AD，S△ACM=12×MC×AD∴S△ABM：S△ACM=（12×BM×AD）：（12×MC×AD）=BM：MC，∴BM：MC= AB：AC（2）相似法证明：过点C作CN∥AB交AM的延长线于N ，则△ABM∽△NCM，∴AB：NC=BM：CM；7又可证明∠CAN=∠ANC，∴AC=CN，∴AB：AC=MB：MC。
同学们掌握这个定理可以快速解决线段比的问题。
角平分线定理练习题1. 已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A. 18B. 16C. 14D. 122. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长8为（）A. 157B.125C.207D.2153. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数有（）① AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A. 11B. 5.5C. 7D. 3.595. 如图，△ABC的外角∠ACD 的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= 。
.6. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC 交BD于点E，则BE的长为。
7. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3。
（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积。
1011试题答案1. C 解析：∵BC=32，BD：DC=9：7∴CD=14；∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴D到边AB的距离CD=14。
故选C。
2. A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴，∴BC边上的高=3×4÷5=125，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则S△ABC=12×3h+12×4h=12×5×125，解得h=127，S△ABD=12×3×127=12BD•125，解得BD=157。
故选A。
3. D 解析：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线。
故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°。
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°。
故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上。
故③正确；④如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，12∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD，S△DAC =12AC•CD=14AC•AD。
∴S△ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=14AC•AD：34AC•AD=1：3。
故④正确。
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个。
故选D。
4. B 解析：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，DN=DF，D M=DE，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，S△DNM=S△EDF= 12S△MDG=12×11=5.5。
故选B。
5. 55°解析：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，13∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∠CAH=55°。
故答案为55°。
∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=126. 22-2 解析：过点E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AO⊥BD，AO=OB=OC=OD，则由勾股定理得：2AO2=22，AO=OB=2，∵EM⊥AB，BO⊥AO，AE平分∠CAB，∴EM=EO，由勾股定理得：AM=AO=2，∵正方形ABCD，∴∠MBE=45°=∠MEB，∴BM=ME=OE，在Rt△BME中，由勾股定理得：2ME2=BE2，即2（2-2）2=BE2，BE=22-2，故答案为22-2。