第4章_插值法
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计算方法第四章 插值法
《 计 算 方 法 》
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计算方法-4插值方法
( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
9
4.2 拉格朗日（Lagerange）插值多项式
4.2.1 基本插值多项式 观察一个两点的插值情况：
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
可以构造函数P1(x)为
x x1 x x0 P ( x) y0 y1 1 x0 x1 x1 x0
P3’ (x1)=L2’ (x1)+Q’(x1)=m1
可得
22
( x1 x2 ) 2 x1 x0 x2 y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x1 x0 ) y2 A( x1 x0 )( x1 x2 ) m1 ( x2 x0 )( x2 x1 )
10
4.2.1 基本插值多项式
如果令：
x x1 x x0 l0 ( x ) ,l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
P ( x ) y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) 1
则
显然，l0(x)和l1(x)是满足插值条件的一次插值多项式
l0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
15
4.2.3 插值余项
在节点处
Ln ( x j ) f ( x j ) j 0,1,..., n
在其它点上，均是近似值。记
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x )
称Rn(x)为插值多项式的余项。
16
定理：设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在 节点， a≤x0<x1<…<xn≤b， Ln(x) 是满足插值条件处 ， Ln(xj) 是=yj(j=0,1,2,…,n)的n次多项式，则对任意x 属于[a,b]，插值余项
插值法与最小二乘拟合
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
ln11.25L2(11.25)
(11.25 11)(11.25 12) 2.302585 (10 11)(10 12)
(11.25 10)(11.25 12) (11 10)(11 12)
2.397895
(11.25 10)(11.25 11) (12 10)(12 11)
xk+1 x
9
待定系数
求 lk-1(x):
令lk 1( x) A ( x xk ) ( x xk 1) ,
由
ll
k k
1( xk ( xk )
1) 1,
1,
lk1( xk ) lk1( xk1 ) 0; l k(xk 1) l k( xk 1) 0;
l
k
1( xk 1)
L2( x j ) = y j
(i, k 0,1,, n)
可知 lk ( x) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
第4章插值法第2讲
米插值基函数。
计算方法
第四章 函 数 插 值
下面利用拉格朗日插值基函数li(x)(i=0，1，…，n)来构
造ai(x)和βi(x)。
因关于节点x0，x1，…，xn的拉格朗日基函数li(x)满足：
(j≠i, j=0, 1, …，n) 且l2i(x)是2n次多项式，由条件(4.25)式，可设ai(x)为
计算方法
第四章 函 数 插 值
定理4.4 满足插值条件(4.24)式的埃尔米插值多项式是
唯一的。 证明 设H2n+1(x)和 H 2n1 x 都是满足条件(4.24)式的埃 尔米插值多项式，令
x H2n1 x H2n1 x
则每个节点xi(i=0，1，…，n)均为φ(x)的二重根，即φ(x)有 2n+2个根，但φ(x)是个不高于2n+1次的多项式，所以φ(x)≡0，
米(Hermit)插值，它是代数插值问题的推广。
.5.1 一般情形的埃尔米插值问题
已知函数y=f(x)在区间［a, b］上n+1个互异节点x0，
x1，…，xn处的函数值为yi=f(xi)(i=0, 1, 2, …，n)，导数值为 f′(xi)(注意：函数值个数与导数值个数相同)，现要求做一个 次数不超过2n+1次的多项式H2n+1(x)，使其满足下述2n+2个 插值条件:
2 2
2
2
计算方法 例1.
第四章 函 数 插 值
已知f ( x)在节点1， 2处的函数值为 f (1) 2 , f ( 2 ) 3 f ( x)在节点1， 2处的导数值为 f (1) 0 , f ( 2 ) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
第四章___插值法
x xi 1 x xi
xi 1 x xi
max
x xi 1 x xi xi xi 1 2
解得 n 825
1 4
1 4n 2
1 1 e 1 R1 x e 106 2 4n2 8n2 2
实际误差sin500-L1(500) 0.00596479
n =2
利用 x0 ,x1 ,x2计算
5 sin50 ≈ L 2 18
0
0.76543
R2 x
0.000443048 R2 x 0.000767382
f x x x x 3! 6 4 3 cos x x x x 3! 6 4 3
-0.5 -5
例：设 f x e ，在[0，1]上给出 f x 的n+1个等距节点xi 处的函数 值表，这时， 1
x
0 x0 x1
xn 1,xi xi 1 ,i 1,2, ,n n
若想用所给函数表的函数值用线性插值求 e x 0 x 1的近似值，使得 误差不超过
| f (4) ( x) | 1
h4 12 24 104
h4 1 4 | Rh ( x ) | 10 4!24 2
h 3.8 101 最大步长h应取0.38.
50 = 0.7660444…
500-L1(500) 0.0100979
利用 x1 , x2 4 3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
内外插值法——精选推荐
第四章 內外插值法(Inter /Extra-polations)首先我們是針對等間距之內插法來討論，因為這是較常見到的。
通常有兩種方法來執行此一種內插程序，它們是(a) 有限差分法：可直接作成差分表(b) Lagrangian方法：這是將高階差分在可忽略狀況下，捨位後所得之值。
這種忽略有時候正確。
有 時候則不然。
只有利用差分表來檢驗它的誤差。
4.1 有限差分法(Finite difference methods)(a) Newton-Gregory前向公式我們的目的是表示y(x+ph)而x代表任何參考點，那麼可得y(x+ph)=E P y(x)=(1+Δ)P y(x)利用二項式定理展開()()()()()()()P2p p-1y x ph 1y x y x p y x y x 2!+=+∆=+∆+∆()()()3p p-1p-2y x ...........3!+∆+ (4.1)範例4.1 :y=1/x ，利用Newton-Gregory 之前向公式。
計算y(3.15)到五位有效數字。
(解) 由式(4.1)令x=3.1 h=0.1 p=0.5()()()()()0.31746 0.31746 0.00005-161-0.0006181-0.01008-210.32258 3.15y ==+=正確解(b)Newton-Gregory 後向公式同樣地，將先前前向公式之E=(1+Δ)改成(1-▽)-1則y(x))-(1y(x)E ph)y(x -PP∇==+y(x)2!1)p(p y(x)p y(x)2∇++∇+= .........y(x)3!2)1)(p p(p 3+∇+++ (4.2)範例4.2：y=1/x ，利用Newton-Gregory 之後向公式，計算y(3.64)到5位有效數字(解) 令h=0.1 p=0.4 x=3.6()()()()()()()()()()0.274750.274730.000462.41.40.40.0004721.40.40.00730.40.277783.64y ==−++−+=正確解(c)高斯中央差分公式現在我們用1+δE 1/2來取代E 所以()()()()()()()()()x ....}y E δ3!2-p 1-p p E δ2!1-p p pδ{1 x y δE1x y E ph x y 3/2321/2P1/2P +++Ε+=+==+()()()()() (4.3) ...........23h x y 3!2-p 1-p p h x y 2!1-p p 2h x y p x y 32++δ++δ++δ+=現在利用中央差分符號來寫出差分表表4.1中央差分表y(x-2h) δ2y(x-2h)δy(x-h 23) δ3y(x-h 23)y(x-h) δ2y(x-h) δ4y(x-2h)δy(x-2h ) δ3y(x-2h )y(x) δ2y(x) δ4y(x)δy(x+2h ) δ3y(x+2h )y(x+h) δ2y(x+h) δ4y(x+h)δy(x+h 23) δ3y(x+h 23)y(x+2h) δ2y(x+2h)前述虛線之路徑即是方程式(4.3)所表示的。
数值计算方法第4章4-06反插值
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
x 3 ，代入
p(3) (3 0)(3 4) 0 (3 1)(3 4) 2 (3 1)(3 0) 10 8
(1 0)(1 4)
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
（2）由于 f (x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反
函数表
y f (x)
-1
0
2
10
1
x f 1(y) - 3
-1
0
4
?
已知连续函数 f ( x) 在x 1,0,2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛
顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。（2） f ( x) 0.5 时，x 的近似值。
解 （1）根据已知条件列表
x
-3 -1
0
4
3
f (x) - 1
0
2
10
？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
p(x) (x 0)( x 4) 0 (x 1)( x 4) 2 (x 1)( x 0) 10 将
(1 0)(1 4)
y f (x) 则 x f 1 ( y) ，有函数表。
y
-4
-1
0
3
0.5
x
-1
0
2
3
?
根据已知 x f 1 ( y) 的函数值，构造差商表。
y
x
-4
-1
-1
0
0
2
3
3
牛顿插值多项式
一阶
1/ 3 2
1/ 3
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章：插值与拟合。从插值与拟合的概念和区别开始，详细介 绍线性插值、非线性插值、最小二乘法、数据拟合、插值误差和拟合误差等 内容，以及在图像处理和实际问题中的应用。
插值与拟合的概念及区别
插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。插值通过已知数据点之间的 函数曲线拟合，以在未知点上估计函数值。拟合则是找到最适合数据的函数 曲线，可能不通过已知数据点。
最小二乘法：原理与应用
最小二乘法是一种通过最小化数据与拟合函数之间的误差来拟合数据的方法。它可以应用于线性和非线 性拟合问题，适用于存在噪音和不完美数据的情况。
数据拟合：多项式拟合、指数拟合、对 数拟合等
数据拟合是根据数据的特点选择合适的函数形式进行拟合。多项式拟合在一定范围内适用于大多数问题， 而指数拟合和对数拟合则适合呈指数或对数关系的数据。
插值误差与拟合误差
插值误差是指插值函数与真实函数之间的差距，取决于插值方法和数据分布。 拟合误差则是指拟合函数与真实数据之间的偏差，受拟合口卷积法等
数据平滑是通过降低噪音和突变来减少数据中的波动。移动平均法和窗口卷积法是常用的数据平滑方法， 可以平滑曲线并减少噪音的影响。
线性插值：拉格朗日与牛顿法
线性插值可以用拉格朗日或牛顿法实现。拉格朗日插值使用多个已知数据点 构建一个多项式函数，适用于等间距的数据。牛顿插值则通过分段差商构造 一个插值多项式。
非线性插值：样条插值
非线性插值中，样条插值是常用的方法。它使用分段多项式函数拟合数据， 每个区间内都有一个多项式来逼近数据的行为，从而实现更加平滑的插值效 果。
数值计算方法第2版 第4章 插值法
x y
x0 y0
x1 y1
y1 y0 ( x x0 ) x1 x0 x x0 x x1 y0 y1 l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 x0 x1 x1 x0
2 表达式 拉格朗日插值多项式
P ( x)
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
第4章 插值法
4.1 引言 4.2 拉格朗日插值 4.3 逐次线性插值 4.4 牛顿插值 4.5 等距节点插值 4.6 反插值 4.7 埃尔米特插值 4.8 分段插值法 4.9 三次样条插值
4.1 引言
4.1.1 插值问题及代数多项式插值
1 插值 已知某些(有限)点的函数值求其余点的函数值。 定义 函数y=f(x)在区间[a,b]上有函数值 yi f ( xi ),i 0,1,, n
满足插值条件 P ( xi ) yi , (i 0,1, 2)
l0 A( x x1 ) ( x x2 ) l0 ( x0 ) A( x0 x1 ) ( x0 x2 ) 1
的n次抛物线 y=P (x),近似代替曲线 y=2.1 线性插值(二点一次插值） 1 定义 已知f(x0)=y0，f(x1)=y1 , x0≠x1 要构造线性函数 P(x)=a0 + a1 x , 使满足插值条件 P(x0)=y0 , P(x1)=y1 .
y y0 y1 y0 x x0 x1 x0 P ( x) y0
y 10 11
解
x0=100, x1=121, x=115
P ( x) x x0 x x1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
115 P(115)
115 121 115 101 10 11 10.914 100 121 121 100
计算机应用基础-4-积分方程及应用
ˆ J min yi y xi min yi f a, xi
a i 1 a i 1 N 2 N 2
为最小。Matlab调用格式如下：
[a, J m ] lsqcurvefi (Fun, a 0 , x, y) t
4.2 拟合函数
其中 Fun为原型函数的Matlab表示，可以使M函数inline( ) 函数；
%计算插值点的函数值 %将插值多项式展开 %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
4.1 插值函数
三 Matlab 自带函数插值 3.1 一维插值
Matlab提供了interp1函数用于一维插值，其调用格式为
yi=interp1(x,Y,xi,method)
对节点（x,Y)进行插值，计算插值点xi的函数值； Method插值算法，默认的为线性插值： nearest:线性最近插值 linear:线性插值（默认） spline:三次样条插值 pchip:分段三次埃尔米特插值 cubic: 双三次插值
a0 为最优化的初值；
x,y 为原始输入和输出数据向量；
a为返回的待定系数向量； Jm为在此待定系数下目标函数的值。
4.2 拟合函数
二 最小二乘多项式拟合
对于离散型函数，若数据点较多，若将每个数据点 都当做插值节点，运算显得非常复杂。在工程试验中， 常测得一组离散数据点（xi,yi), (i=1,2…N),要求 y=(x），这种应变量只有一个自变量的数据拟合方法 称之为直线拟合。(仍然采用最小二乘方法) p=polyfit(x,y,n)
拟合的函数形式可任意, 因此拟合调用需要注明拟合函数, 即需要建立一个Fun的函数，需要初值，而且结果与初值 密切相关。
4.2 拟合函数
【例4-5】已知的数据点来自f(x)=(x2-3x+5)e-5xsinx
a i 1 a i 1 N 2 N 2
为最小。Matlab调用格式如下：
[a, J m ] lsqcurvefi (Fun, a 0 , x, y) t
4.2 拟合函数
其中 Fun为原型函数的Matlab表示，可以使M函数inline( ) 函数；
%计算插值点的函数值 %将插值多项式展开 %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
4.1 插值函数
三 Matlab 自带函数插值 3.1 一维插值
Matlab提供了interp1函数用于一维插值，其调用格式为
yi=interp1(x,Y,xi,method)
对节点（x,Y)进行插值，计算插值点xi的函数值； Method插值算法，默认的为线性插值： nearest:线性最近插值 linear:线性插值（默认） spline:三次样条插值 pchip:分段三次埃尔米特插值 cubic: 双三次插值
a0 为最优化的初值；
x,y 为原始输入和输出数据向量；
a为返回的待定系数向量； Jm为在此待定系数下目标函数的值。
4.2 拟合函数
二 最小二乘多项式拟合
对于离散型函数，若数据点较多，若将每个数据点 都当做插值节点，运算显得非常复杂。在工程试验中， 常测得一组离散数据点（xi,yi), (i=1,2…N),要求 y=(x），这种应变量只有一个自变量的数据拟合方法 称之为直线拟合。(仍然采用最小二乘方法) p=polyfit(x,y,n)
拟合的函数形式可任意, 因此拟合调用需要注明拟合函数, 即需要建立一个Fun的函数，需要初值，而且结果与初值 密切相关。
4.2 拟合函数
【例4-5】已知的数据点来自f(x)=(x2-3x+5)e-5xsinx
第4章 插值和拟合
(2) 对于插值节点，只要求互异，不要求排序。
第4章 插值和拟合多项式插值
n x 因此，若以 i i 0 为插值节点，对函数f(x)=1构造插值多项式，
y0=y1==yn=1代入式(4.2.6)，得到插值基函数的另一个性质
lk( n ) ( x ) 1 因此插值基函数(4.2.4)是单位正交基。
插值函数，式(4.1.1)称为插值条件。
第4章 插值和拟合多项式插值 插值函数除代数多项式外，常用的还有三角多项式。插值条 件除(4.1.1)式外，还可以 (如Hermit插值 )加上导数条件。本课 程只介绍代数多项式插值。 函数插值是数值计算的基本工具，如本课程后面的数值微分、 数值积分、微分方程的数值解法等都要用到函数插值。插值 法在工程实际和许多学科的理论分析中有广泛的应用。 函数插值的基本问题有：存在唯一性、构造方法、截断误差 和收敛性，以及数值计算的稳定性等。
( n 1 ) f ( )n x R ( x ) f ( x ) L ( x ) ( x x ) n n i ( n 1 )! i 0
(4.2.9)
第4章 插值和拟合多项式插值 证 如果x是一个插值节点xi，定理命题显然为真，等式(4.2.9)
两边都是0。
如果x xi(i=0,1,,n) ，记 构造以t为自变量的辅助函数
代入式(4.2.6)，得
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 L ( x ) 1 l ( x ) 5 l ( x ) ( 1 ) l ( x ) x 3 x 1 2 0 1 2
第4章 插值和拟合多项式插值
4.2.2 插值的余项(误差分析)
由定义4.1.1定义的插值多项式在插值节点与被插函数严格相等，
第4章 插值和拟合多项式插值
n x 因此，若以 i i 0 为插值节点，对函数f(x)=1构造插值多项式，
y0=y1==yn=1代入式(4.2.6)，得到插值基函数的另一个性质
lk( n ) ( x ) 1 因此插值基函数(4.2.4)是单位正交基。
插值函数，式(4.1.1)称为插值条件。
第4章 插值和拟合多项式插值 插值函数除代数多项式外，常用的还有三角多项式。插值条 件除(4.1.1)式外，还可以 (如Hermit插值 )加上导数条件。本课 程只介绍代数多项式插值。 函数插值是数值计算的基本工具，如本课程后面的数值微分、 数值积分、微分方程的数值解法等都要用到函数插值。插值 法在工程实际和许多学科的理论分析中有广泛的应用。 函数插值的基本问题有：存在唯一性、构造方法、截断误差 和收敛性，以及数值计算的稳定性等。
( n 1 ) f ( )n x R ( x ) f ( x ) L ( x ) ( x x ) n n i ( n 1 )! i 0
(4.2.9)
第4章 插值和拟合多项式插值 证 如果x是一个插值节点xi，定理命题显然为真，等式(4.2.9)
两边都是0。
如果x xi(i=0,1,,n) ，记 构造以t为自变量的辅助函数
代入式(4.2.6)，得
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 L ( x ) 1 l ( x ) 5 l ( x ) ( 1 ) l ( x ) x 3 x 1 2 0 1 2
第4章 插值和拟合多项式插值
4.2.2 插值的余项(误差分析)
由定义4.1.1定义的插值多项式在插值节点与被插函数严格相等，
第4章_插值与拟合-牛顿法
设给定函数个互异的节点处的函数值为关于节点的二阶差商缺倒数第二个节点缺最后一个节点最后一个节点倒数第二个节点缺倒数第二个节点缺最后一个节点最后一个节点倒数第二个节点由此定义显然
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
第4章 插值与逼近
f [ x0 , x1 , L, xk ] = f [ x1 , x0 , L, xk ] = L = f [xk , x0 , x1,L, xk −1]
i =0 j −1
(4-8)
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn (x) = ∑ a jϕ j ( x)
n
= a 0 + a1 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 )
j =0
(4-9)
其中待定系数 a0 , a1 , L, an 由插值条件
(1 − 2)(1 − 3) ( x − 1)( x − 2)
1 = ( x − 2)( x − 3) , 2
l1 ( x) =
( x − 1)( x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
= −( x − 1)( x − 3) ,
(
) (
)
(
)
于是
4.2.2 Newton插值公式
在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节 点个数。插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函 数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变 化，这在计算实践中是不方便的。为了克服Lagrange插值多项 式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我 们引进Newton插值公式。
xk − x j
i≠ j≠k
为f(x) 关于xi, xj, xk的二阶均差（差商）。
f [ x0 , x1 , L, xk ] =
xk − xk −1
称 (4-12)
f [ x0 , L , xk − 2 , xk ] − f [ x0 , x1 , L, xk −1 ]
i =0 j −1
(4-8)
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn (x) = ∑ a jϕ j ( x)
n
= a 0 + a1 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 )
j =0
(4-9)
其中待定系数 a0 , a1 , L, an 由插值条件
(1 − 2)(1 − 3) ( x − 1)( x − 2)
1 = ( x − 2)( x − 3) , 2
l1 ( x) =
( x − 1)( x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
= −( x − 1)( x − 3) ,
(
) (
)
(
)
于是
4.2.2 Newton插值公式
在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节 点个数。插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函 数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变 化，这在计算实践中是不方便的。为了克服Lagrange插值多项 式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我 们引进Newton插值公式。
xk − x j
i≠ j≠k
为f(x) 关于xi, xj, xk的二阶均差（差商）。
f [ x0 , x1 , L, xk ] =
xk − xk −1
称 (4-12)
f [ x0 , L , xk − 2 , xk ] − f [ x0 , x1 , L, xk −1 ]
第4章-多项式插值方法
LLLL
f [ x, x0 ,L , xn1] f [ x0 , x1,L , xn ]
f [ x, x0 , x1,L , xn ]( x xn ).
22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) L
ln1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x
),
x
[a,
b]
其中 ( x) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
Rn ( x)
Mn1 (n 1)!
n1( x)
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使n1(x)
尽可能小，以减小误差。
若 f ( x) =xk (k n), 那么f (n1)( x) 0,
x( x
1)
13
L2( x) f ( x0 )l0( x) f ( x1)l1( x) f ( x2 )l2( x) 1.25l0( x) 0.75l1( x) 1.25l2( x)
5
5
x( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x( x 1)
8
8
3 1 x2 42
f [ x, x0 ,L , xn1] f [ x0 , x1,L , xn ]
f [ x, x0 , x1,L , xn ]( x xn ).
22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) L
ln1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x
),
x
[a,
b]
其中 ( x) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
Rn ( x)
Mn1 (n 1)!
n1( x)
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使n1(x)
尽可能小，以减小误差。
若 f ( x) =xk (k n), 那么f (n1)( x) 0,
x( x
1)
13
L2( x) f ( x0 )l0( x) f ( x1)l1( x) f ( x2 )l2( x) 1.25l0( x) 0.75l1( x) 1.25l2( x)
5
5
x( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x( x 1)
8
8
3 1 x2 42
《计算方法》第四章 插值方法
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
k 0
n
n
其中,
l k ( x)
j 0 j k
x xj x k x j (k 0,1,...n) .
20
构造插值多项式的方法：
(1) (2) 先求插值基函数. 构造插值多项式.
以下的问题：如何分析插值的余项？
21
例题 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
Return
13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n=1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x) = a0 + a1 x 使得
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
由 l k ( xk ) 1, 得:
1 A ( xk x0 ) ( xk xk 1 ) ( xk xk 1 ) ( xk xn )
l k ( x)
k = 0, 1 ,⋯, n .
( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ) ， ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
18
一般情形
希望找到 li (x)，i = 0, …, n 使得 li (xj) = ij ；然后令
Ln ( x ） f ( x k ) l k ( x )，则显然有 Pn(xi) = yi 。
k 0 n
第4章 插值与基函数(上)
这里，研究一个小区间：
令
(4.4)
λ1 λ2
1
1
那么
(4.5)
xi
Xi+1
称为单元 上线性插值基函数，很有用
〔这样，无论对于哪一个单元都可以用同一形式表示〕
恰好又为长度比： (4.6)
性质： 10 记
点的坐标为
，那么有
(4.7)
这说明坐标X与满足关系式
的〔
〕之间有
一一对应关系，〔
〕可作为坐标，称为长度坐标
有
，
即有
这是因为在开区间〔0,1〕中任取k+1个不同点
， 由于当
时
(4.8)
其系数行列式为
如
时
的解
40 那么
，有
，故式〔4.8〕
假设取 为独立变量〔
〕，
x1
Q1
X2 Q2
L为
为顶点的单元的长度。
为方便起见，把对x的积分换成对长度坐标的积分，特别 是当被积函数本身已由长度坐标表出的时候。
(4.9)
它在位移光滑的区域 上有L-1阶连续微商，而L阶微商
在 上分块连续,如果它对于K次多项式
是准确的，
即
，那么有估计式
(4.2)
其中 与h,f无关的常数。
是所有插值单元的最大直径，M是
〔注〕 是插值运算因子， 变为
，即把f(x)
〔一〕一维插值
1．线性插值〔Lagrange型〕与长度坐标
Lagrange型：只要求插值多项式本身在插值点上取
〔只有一个变量独立〕。
20 单元顶点 〔0，1〕和〔
和形心的长度坐标分别是〔1，0〕， 〕。
30 任一k次多项式
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2 ( g ( x ) f ( x )) min i i i =1 n
2014-1-10
10
数值计算方法
y ● (x2 ,y2) ● (x0 ,y0) o x0 ● (x1 ,y1) x1 x2 ●
● (xn ,yn)
y=g(x)
xn
x
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11
数值计算方法
问题2：水深和流速的关系
n
以 F ( x ) cii ( x ) 作为插值函数。
i=0
n
即： span i ( x )i=0 ,
n
F ( x ) cii ( x )
i=0
n
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17
数值计算方法
代数插值：取 span i ( x )i=0 =span 1, x , x 2 , , x n ，
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
称l0 ( x )和l1 ( x )为以x0 , x1为节点的插值基函数
2014-1-10 28
数值计算方法
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x),使其满足 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 令 L2(x)=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 要求
对称式 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
y
y=L1(x) y=f(x)
x0
x1
x
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27
数值计算方法
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
记 x x1 l0 ( x ) , x0 x1 x x0 l1 ( x ) x1 x0
n
插值函数为F ( x )=Pn ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
三角插值：取 span i ( x )i=0
n
=spansin x ,cos x ,sin 2 x ,cos 2 x, ,sin nx,cos nx
例：取 spansin x ,cos x , F ( x ) a sin x b cos x
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18
数值计算方法
Pm ( x ) 有理插值：F ( x )= Qn ( x )
a0 a1 x a2 x 2 例：F ( x ) b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3
一般地：F ( x ) cii ( x )
i=0
n
例：F ( x ) a bx c sin x span1, x,sin x ,
20
数值计算方法
定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x) 在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的， 那么存在唯一的次数≤n的多项式Pn(x)满足 Pn(xk)= yk, k=0,1,…,n。
只要求出Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an即可
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3
5
7
9
11 12 13 14 15
1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
8
数值计算方法
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9
数值计算方法
（2）拟合法的基本思想 已知数据表
x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
xi
求一个经验函数y g( x )，使
n
x)
j
(4)
x
n
x
2 n
由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方 程组(3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。
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数值计算方法
证法二：假设另有多项式qn(x) 也满足条件,令 h(x)=pn(x)-qn(x), 则h(x)也是次数不超过n的多项式,且 h(xk)=pn(xk)-qn(xk)=0 ,k=0,1,...,n. 由于不高于n次的多项式不可能有n+1个根, 因此h(x)只能是零多项式.故
插值法:由实验或测量的方法得到所求函数
y=f(x) 在互异节点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 ,
y1 , … , yn , 构造一个简单函数 F(x) 作为函数
y=f(x) 的近似表达式，即
y= f(x) F(x)
使
F(x0)=y0 , F(x1)=y1 , , F(xn)=yn
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数值计算方法
代数插值
当插值函数是代数多项式时，插值问题 称为代数插值。 设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(1)
n次代数插值问题为: 求次数≤n的多项式Pn(x),使满足插值条件 Pn(xi)=yi,
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i= 0,1,2,…,n, …… (2)
(a)
15
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数值计算方法
这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数， x0 , x1 , ..., xn 称为插值节点。 (a)式称为插值条件。
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数值计算方法
插值函数的类型
在函数类中，选取若干个 i ( x )i=0 函数，
xi
求一个经验函数y=g(x)，使
g(xi)=f(xi), i=1,…,n
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数值计算方法
插值的任务就是由已知（离散）的观测点
(xi,f(xi))为物理量(未知量)，建立一个简单的、 连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推 测该物理量在非观测点处的特性。
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6
令
l0 (x)=λ(x-x1)(x-x2)
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
利用 l0 (x0)=1 确定其中的系数λ，得到：
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30
数值计算方法
类似的可以得到 l1(x), l2(x)
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
qn(x)=pn(x).
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数值计算方法
但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,阶 数n越高，病态越严重。 为此从另一途径寻求获得Pn(x) 的方法----
Lagrange插值和Newton插值
（这两种方法称为基函数法）
插值误差估计
R( x ) f ( x ) F ( x ) f ( x ) c j j ( x )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 x0 , x1 , x2为节点的插值基函数。
L2 ( x ) ( x x1 ) ( x x2 ) ( x0 x1 ) ( x0 x2 ) ( x x0 ) ( x x1 ) ( x2 x0 ) ( x2 x1 ) y0 y2 ( x x0 ) ( x x 2 ) ( x1 x0 ) ( x1 x2 ) y1
21
数值计算方法
证明 由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列
n+1个代数方程构成的线性方程组
a0+a1x0+ a2x02 + …+anx0n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + …+anx1n=y1 ……………………. a0+a1xn+ a2xn2 + …+anxnn=yn
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数值计算方法
n 次插值多项式 : 求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn 令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn ..(7)
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
i 0, i j
n
x xi x j xi
lj(x)(j=0,1,…,n)称为以x0 , x1,... , xn为节点 的Lagrange插值基函数。
(3)
数值计算方法
ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde
行列式：
1 V(x0 , x1 , , xn ) 1 ... 1
x x x x
0 1
2 0 2 1
... ... ... ...
x x x
n 0 n 1 i 1
...
...
...
n n
(xi
i 1 j 0
0, i j l j ( xi ) 1, i j
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数值计算方法
容易求得
l j ( x) ( x x0 )( x x j 1 )( x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
在水文数据的测量中，不同水深的流速是
不同的。水文数据的测量是天天进行的，为了
减少测量的工作量，希望确定水深和流速之间
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数值计算方法
y ● (x2 ,y2) ● (x0 ,y0) o x0 ● (x1 ,y1) x1 x2 ●
● (xn ,yn)
y=g(x)
xn
x
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数值计算方法
问题2：水深和流速的关系
n
以 F ( x ) cii ( x ) 作为插值函数。
i=0
n
即： span i ( x )i=0 ,
n
F ( x ) cii ( x )
i=0
n
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数值计算方法
代数插值：取 span i ( x )i=0 =span 1, x , x 2 , , x n ，
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
称l0 ( x )和l1 ( x )为以x0 , x1为节点的插值基函数
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数值计算方法
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x),使其满足 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 令 L2(x)=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 要求
对称式 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
y
y=L1(x) y=f(x)
x0
x1
x
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数值计算方法
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
记 x x1 l0 ( x ) , x0 x1 x x0 l1 ( x ) x1 x0
n
插值函数为F ( x )=Pn ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
三角插值：取 span i ( x )i=0
n
=spansin x ,cos x ,sin 2 x ,cos 2 x, ,sin nx,cos nx
例：取 spansin x ,cos x , F ( x ) a sin x b cos x
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数值计算方法
Pm ( x ) 有理插值：F ( x )= Qn ( x )
a0 a1 x a2 x 2 例：F ( x ) b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3
一般地：F ( x ) cii ( x )
i=0
n
例：F ( x ) a bx c sin x span1, x,sin x ,
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数值计算方法
定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x) 在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的， 那么存在唯一的次数≤n的多项式Pn(x)满足 Pn(xk)= yk, k=0,1,…,n。
只要求出Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an即可
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3
5
7
9
11 12 13 14 15
1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
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数值计算方法
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数值计算方法
（2）拟合法的基本思想 已知数据表
x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
xi
求一个经验函数y g( x )，使
n
x)
j
(4)
x
n
x
2 n
由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方 程组(3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。
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数值计算方法
证法二：假设另有多项式qn(x) 也满足条件,令 h(x)=pn(x)-qn(x), 则h(x)也是次数不超过n的多项式,且 h(xk)=pn(xk)-qn(xk)=0 ,k=0,1,...,n. 由于不高于n次的多项式不可能有n+1个根, 因此h(x)只能是零多项式.故
插值法:由实验或测量的方法得到所求函数
y=f(x) 在互异节点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 ,
y1 , … , yn , 构造一个简单函数 F(x) 作为函数
y=f(x) 的近似表达式，即
y= f(x) F(x)
使
F(x0)=y0 , F(x1)=y1 , , F(xn)=yn
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数值计算方法
代数插值
当插值函数是代数多项式时，插值问题 称为代数插值。 设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(1)
n次代数插值问题为: 求次数≤n的多项式Pn(x),使满足插值条件 Pn(xi)=yi,
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i= 0,1,2,…,n, …… (2)
(a)
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数值计算方法
这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数， x0 , x1 , ..., xn 称为插值节点。 (a)式称为插值条件。
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数值计算方法
插值函数的类型
在函数类中，选取若干个 i ( x )i=0 函数，
xi
求一个经验函数y=g(x)，使
g(xi)=f(xi), i=1,…,n
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数值计算方法
插值的任务就是由已知（离散）的观测点
(xi,f(xi))为物理量(未知量)，建立一个简单的、 连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推 测该物理量在非观测点处的特性。
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令
l0 (x)=λ(x-x1)(x-x2)
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
利用 l0 (x0)=1 确定其中的系数λ，得到：
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数值计算方法
类似的可以得到 l1(x), l2(x)
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
qn(x)=pn(x).
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数值计算方法
但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,阶 数n越高，病态越严重。 为此从另一途径寻求获得Pn(x) 的方法----
Lagrange插值和Newton插值
（这两种方法称为基函数法）
插值误差估计
R( x ) f ( x ) F ( x ) f ( x ) c j j ( x )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 x0 , x1 , x2为节点的插值基函数。
L2 ( x ) ( x x1 ) ( x x2 ) ( x0 x1 ) ( x0 x2 ) ( x x0 ) ( x x1 ) ( x2 x0 ) ( x2 x1 ) y0 y2 ( x x0 ) ( x x 2 ) ( x1 x0 ) ( x1 x2 ) y1
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数值计算方法
证明 由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列
n+1个代数方程构成的线性方程组
a0+a1x0+ a2x02 + …+anx0n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + …+anx1n=y1 ……………………. a0+a1xn+ a2xn2 + …+anxnn=yn
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数值计算方法
n 次插值多项式 : 求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn 令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn ..(7)
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
i 0, i j
n
x xi x j xi
lj(x)(j=0,1,…,n)称为以x0 , x1,... , xn为节点 的Lagrange插值基函数。
(3)
数值计算方法
ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde
行列式：
1 V(x0 , x1 , , xn ) 1 ... 1
x x x x
0 1
2 0 2 1
... ... ... ...
x x x
n 0 n 1 i 1
...
...
...
n n
(xi
i 1 j 0
0, i j l j ( xi ) 1, i j
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数值计算方法
容易求得
l j ( x) ( x x0 )( x x j 1 )( x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
在水文数据的测量中，不同水深的流速是
不同的。水文数据的测量是天天进行的，为了
减少测量的工作量，希望确定水深和流速之间