《博弈与社会》第2次作业 (参考答案)
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pi a Qi
其中, pi 表示 i 国产品价格, Qi 表示 i 国市场产品销售数量。每一个国家存在一个工会,该工 会可以完全决定本国的工资水平。在任何一个国家 i ,工会 i 的目标函数是:
U i wi wi Li
其中, wi 表示 i 国工资水平, wi 表示 i 国劳动者的“保留工资”(可以理解为失业保障,或者劳 动者另谋职业可以获得的收入),也就是,如果不能获得不少于这一水平的工资,i 国劳动者将选
3a wi a wi 16 a wi a wi 8
a wi 2 16
第2页
工会收益:
U i wi wi Li a wi 2 8
(2) 在 t 1时期,所有的关税都取消了,开始有国际贸易 —— 假设在每一个国家的市场上,两 家厂商展开 Cournot 竞争。求这时每个国家的就业量 Li 、工资水平 wi 、厂商利润 i 和工会收益 U i ,并与上问结果对比 (6 分)。 解:
wenku.baidu.com
可以得到该最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.):
Li wi a wi 2
在第 1 阶段,工会的最大化问题是:
maxwi U i wi wi Li
工会在决定工资水平时,会预期到厂商在第 2 阶段的生产决策 (和劳动雇佣决策) 依赖于工资水
平。将 Li wi a wi 2 带入工会的目标函数,工会的最大化问题转换成: maxwi U i wi wi a wi 2
择不就业。在任何一个国家,工会先决定本国工资水平,厂商再决定最优的产量 (假设厂商的目 标是最大化利润)。 (1) 在 t 0 时期,两国的产品关税都非常高,以至于完全没有国际贸易。求这时每个国家的就业
量 Li 、工资水平 wi 、厂商利润 i 和工会收益U i (4 分)。
解:
对于 i 1, 2 :在第 1 阶段,公会决定工资水平 wi ,最大化U i ;在第 2 阶段,厂商决定
生产产品的数量 Qi 和雇佣劳动的数量 Li ,最大化利润 i 。用反向归纳的方法求解。 在第 2 阶段,给定工资水平 wi ,厂商最大化问题是:
maxLi i pi Qi Li wi Li
第1页
a Qi Qi Li wi Li
a Li Li wi Li
可以得到该最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.):
wi a wi 2
带入相关表达式,可以得到就业量:
Li a wi 2 a wi 4
产品产量:
Qi Li a wi 4
产品价格:
pi a Qi 3a wi 4
厂商利润:
i pi Qi wi Li
可以得到两国工会最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.),也就是反应函数:
w1 w2 a 2w1 w2 4
联立得到:
w2 w1 a 2w2 w1 4 w1 5a 8w1 2w2 15
w2 5a 8w2 2w1 15
带入相关表达式,可以得到两国就业量:
在第 2 阶段,给定工资水平 w1 和 w2 ,厂商 1 和厂商 2 的最大化问题分别是: maxh1,e1 1 p1 h1 p2 e1 w1 L1
p1 h1 p2 e1 w1 h1 e1 a h1 e2 h1 a h2 e1 e1 w1 h1 e1
厂商利润:
1 p1 h1 p2 e1 w1 L1
25a 12w1 12w2 20a 28w1 4w2 5a 8w1 2w2 20a 28w1 4w2
452
15 45
8 5a 6w1 3w2 5a 7w1 w2
2025
2 p1 e2 p2 h2 w2 L2
maxh2 ,e2 2 p1 e2 p2 h2 w2 L2
p1 e2 p2 h2 w2 h2 e2 a h1 e2 e2 a h2 e1 h2 w2 h2 e2
可以得到厂商 1 最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.),也就是反应函数:
8 5a 6w2 3w1 5a 7w2 w1
2025
工会收益:
U1 w1 w1 L1 4 5a 7w1 2w2 5a 7w1 w2 15 45 4 5a 7w2 2w1 5a 7w2 w1
U 2 w2 w2 L2 15 45
国际贸易前后对比 (略)。
L1 4 5a 7w1 w2 45
产品产量:
L2 4 5a 7w2 w1 45
第4页
h1 e1 2 5a 7w1 w2 45
产品价格:
h2 e2 2 5a 7w2 w1 45 p1 a h1 e2 25a 12w1 12w2 45
p2 a h2 e1 25a 12w1 12w2 45
因此,
h2 e2 a 2w2 w1 3 L1 h1 e1 2 a 2w1 w2 3
L2 h2 e2 2 a 2w2 w1 3
在第 1 阶段,两国工会的最大化问题分别是:
maxw1 U1 w1 w1 L1 2 w1 w1 a 2w1 w2 3 maxw2 U 2 w2 w2 L2 2 w2 w2 a 2w2 w1 3
这时,由于存在国际贸易,需要区别一国厂商生产并在本国销售的产品和出口到外国的产品。
不妨设厂商 1 生产并在国家 1 销售的产品数量为 h1 ,在国家 2 销售的产品数量为 e1 ;厂商 2 生产并在国家 1 销售的产品数量为 e2 ,在国家 2 销售的产品数量为 h2 。两家厂商分别在两国市
场上展开 Cournot 竞争。 用反向归纳的方法求解。
《博弈与社会》第 2 次作业
(北京航空航天大学校级通识课程 2017 年春季学期) (参考答案)
1. 有两个国家,记为 i 1, 2 。每一个国家有一家厂商,生产的产品可以同时供给两个国家 (给
定利润大于 0)。劳动是唯一的生产要素,在任何一个国家 i ,厂商 i 的生产函数是: qi Li
其中, Li 表示 i 国就业量。 i 国产品需求函数是:
h1 a e2 w1 2 , e1 a h2 w1 2
和厂商 2 最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.),也就是反应函数:
第3页
h2 a e1 w2 2 , e2 a h1 w2 2
联立厂商 1 和厂商 2 的反应函数,可以得到:
h1 e1 a 2w1 w2 3
第5页
其中, pi 表示 i 国产品价格, Qi 表示 i 国市场产品销售数量。每一个国家存在一个工会,该工 会可以完全决定本国的工资水平。在任何一个国家 i ,工会 i 的目标函数是:
U i wi wi Li
其中, wi 表示 i 国工资水平, wi 表示 i 国劳动者的“保留工资”(可以理解为失业保障,或者劳 动者另谋职业可以获得的收入),也就是,如果不能获得不少于这一水平的工资,i 国劳动者将选
3a wi a wi 16 a wi a wi 8
a wi 2 16
第2页
工会收益:
U i wi wi Li a wi 2 8
(2) 在 t 1时期,所有的关税都取消了,开始有国际贸易 —— 假设在每一个国家的市场上,两 家厂商展开 Cournot 竞争。求这时每个国家的就业量 Li 、工资水平 wi 、厂商利润 i 和工会收益 U i ,并与上问结果对比 (6 分)。 解:
wenku.baidu.com
可以得到该最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.):
Li wi a wi 2
在第 1 阶段,工会的最大化问题是:
maxwi U i wi wi Li
工会在决定工资水平时,会预期到厂商在第 2 阶段的生产决策 (和劳动雇佣决策) 依赖于工资水
平。将 Li wi a wi 2 带入工会的目标函数,工会的最大化问题转换成: maxwi U i wi wi a wi 2
择不就业。在任何一个国家,工会先决定本国工资水平,厂商再决定最优的产量 (假设厂商的目 标是最大化利润)。 (1) 在 t 0 时期,两国的产品关税都非常高,以至于完全没有国际贸易。求这时每个国家的就业
量 Li 、工资水平 wi 、厂商利润 i 和工会收益U i (4 分)。
解:
对于 i 1, 2 :在第 1 阶段,公会决定工资水平 wi ,最大化U i ;在第 2 阶段,厂商决定
生产产品的数量 Qi 和雇佣劳动的数量 Li ,最大化利润 i 。用反向归纳的方法求解。 在第 2 阶段,给定工资水平 wi ,厂商最大化问题是:
maxLi i pi Qi Li wi Li
第1页
a Qi Qi Li wi Li
a Li Li wi Li
可以得到该最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.):
wi a wi 2
带入相关表达式,可以得到就业量:
Li a wi 2 a wi 4
产品产量:
Qi Li a wi 4
产品价格:
pi a Qi 3a wi 4
厂商利润:
i pi Qi wi Li
可以得到两国工会最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.),也就是反应函数:
w1 w2 a 2w1 w2 4
联立得到:
w2 w1 a 2w2 w1 4 w1 5a 8w1 2w2 15
w2 5a 8w2 2w1 15
带入相关表达式,可以得到两国就业量:
在第 2 阶段,给定工资水平 w1 和 w2 ,厂商 1 和厂商 2 的最大化问题分别是: maxh1,e1 1 p1 h1 p2 e1 w1 L1
p1 h1 p2 e1 w1 h1 e1 a h1 e2 h1 a h2 e1 e1 w1 h1 e1
厂商利润:
1 p1 h1 p2 e1 w1 L1
25a 12w1 12w2 20a 28w1 4w2 5a 8w1 2w2 20a 28w1 4w2
452
15 45
8 5a 6w1 3w2 5a 7w1 w2
2025
2 p1 e2 p2 h2 w2 L2
maxh2 ,e2 2 p1 e2 p2 h2 w2 L2
p1 e2 p2 h2 w2 h2 e2 a h1 e2 e2 a h2 e1 h2 w2 h2 e2
可以得到厂商 1 最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.),也就是反应函数:
8 5a 6w2 3w1 5a 7w2 w1
2025
工会收益:
U1 w1 w1 L1 4 5a 7w1 2w2 5a 7w1 w2 15 45 4 5a 7w2 2w1 5a 7w2 w1
U 2 w2 w2 L2 15 45
国际贸易前后对比 (略)。
L1 4 5a 7w1 w2 45
产品产量:
L2 4 5a 7w2 w1 45
第4页
h1 e1 2 5a 7w1 w2 45
产品价格:
h2 e2 2 5a 7w2 w1 45 p1 a h1 e2 25a 12w1 12w2 45
p2 a h2 e1 25a 12w1 12w2 45
因此,
h2 e2 a 2w2 w1 3 L1 h1 e1 2 a 2w1 w2 3
L2 h2 e2 2 a 2w2 w1 3
在第 1 阶段,两国工会的最大化问题分别是:
maxw1 U1 w1 w1 L1 2 w1 w1 a 2w1 w2 3 maxw2 U 2 w2 w2 L2 2 w2 w2 a 2w2 w1 3
这时,由于存在国际贸易,需要区别一国厂商生产并在本国销售的产品和出口到外国的产品。
不妨设厂商 1 生产并在国家 1 销售的产品数量为 h1 ,在国家 2 销售的产品数量为 e1 ;厂商 2 生产并在国家 1 销售的产品数量为 e2 ,在国家 2 销售的产品数量为 h2 。两家厂商分别在两国市
场上展开 Cournot 竞争。 用反向归纳的方法求解。
《博弈与社会》第 2 次作业
(北京航空航天大学校级通识课程 2017 年春季学期) (参考答案)
1. 有两个国家,记为 i 1, 2 。每一个国家有一家厂商,生产的产品可以同时供给两个国家 (给
定利润大于 0)。劳动是唯一的生产要素,在任何一个国家 i ,厂商 i 的生产函数是: qi Li
其中, Li 表示 i 国就业量。 i 国产品需求函数是:
h1 a e2 w1 2 , e1 a h2 w1 2
和厂商 2 最大化问题的一阶 (必要) 条件 (F.O.C.),也就是反应函数:
第3页
h2 a e1 w2 2 , e2 a h1 w2 2
联立厂商 1 和厂商 2 的反应函数,可以得到:
h1 e1 a 2w1 w2 3
第5页