二元关系、代数系统的一般性质(习题答案)
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1．
,为上关系，关系图为 下图，则
具有性质（）
A ．反自反
B. 对称
C ．反对称
D ．传递
2.给定A={1，2，3，4}，A 上的关系R={(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)}满足的性质是 ( )。 A ．自反的 B ．对称的 C ．传递的 D ．不可传递的
3．R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>}。则S 是R 的 对称 闭包。
4、已知集合
{,,}A a b c =，A 上的两个关系：1{,,,,,}R a b a c b c =<><><>，
2{,,,}R a b a a =<><>，则12R R =（ ）
。 A.
φ B.{,,,,,}a b a c b c <><><>
C.{,,,}a b a c <><>
D.{,,,}a b a a <
><>
5.对集合A={1,2,3,4,6,8,12,14}中的整除关系, 画出哈斯图,并写出集合A 中的最大元, 最小元, 极大元, 极小元。
6。集合
}4,3,2,1{=A ，A 上的关系}4,3,3,2,1,2,2,1{><><><><=R ，
求)(R r 、)(R s 、)(R t ，并分别画出它们的关系图。（12分）
解：}4,4,3,3,2,2,1,1{E ><><><><=A
}
4,4,3,3,2,2,1,1,4,3,3,2,1,2,2,1{)(><><><><><><><><==A E R R r
}3,4,2,3,2,1,1,2{1><><><><=-R
}3,4,2,3,4,3,3,2,1,2,2,1{)(1><><><><><><==-R R R s }4,2,2,2,3,1,1,1{2><><><><==R R R }3,2,1,2,4,1,2,1{23><><><><==R R R }4,2,2,2,3,1,1,1{34><><><><==R R R
}
4,1,4,2,2,2,3,1,1,1,4,3,3,2,1,2,2,1{)(4
32><><><><><><><><><==R R R R R t
…………（9分）
)(R r 的关系图1所示：
3
4
1
2
…………（10分）
)(s R 的关系图2所示：
…………（11分）
)(t R 的关系图3所示：
…………（12分）
7、设R 是集合}5,4,3,2,1{=S
上的关系
}
5,5,2,5,4,4,3,3,1,3,5,2,2,2,3,1,1,1{><><><><><><><><><=R （1）画出R 的关系图；
（4分） （2）证明
R 是等价关系；
（5分） （3）求由R 决定的S 的一个划分。（5分） 解：（1）R 的关系图如下：
图1
3 1
图2
4
2
3 4
1 2
图3
4
2
1
…………（4分）
（2）由
R 的关系图知，每个结点均有子回路，说明R 是自反的；
结点1与3，2与5之间的边都是有一对方向相反的边，说明R 是对称的； 逐个检查有序偶，可知R 具有传递性；
故R 是S 上的等价关系。 …………（9分）
（3）
}
3,1{]1[R =，
}
3,1{]3[R =，
}
5,2{]2[R =，
}
5,2{]5[R =，
}4{]4[R =
…………（12分）
∴S 的一个划分是：}}4{},5,2{},3,1{{}]4[,]2[,]1{[R /S R R R == …………（14
分）
8、设
R 是A 上的整除关系。
（1）画出R 的哈斯图；
（4分） （2）求
A 的极大元和极小元；
（4分） （3）求B = {2, 3}的最小上界和最大下界。（4分）
解：
}
,8,8,6,6,8,4,4,4,6,3,3,3,8,2,6,2,
4,2,2,2,8,1,6,1,4,1,3,1,2,1,1,1{><><><><><><><><><><><><><><><><=R
（1）哈斯图:
6
1
2
3
4 8
（2）从哈斯图中可以看出：
A的极大元为6, 8；极小元为1。
（3）B = {2, 3}的最小上界为6.
最大下界为1。
9.若为有理数集，上定义运算*为，则〈，*〉的幺元是（）A．a B．b C．1 D．0
10.整数集Z关于普通加法运算的幺元是0
11.设运算如下定义：
(1) 是实数集上的二元运算吗？ (2) 满足结合律吗？
(1) 是实数集上的二元运算(2) 对任意a,b,c属于R，
(a*b)*c=(a+b-3ab)*c=a+b-3ab+c-3(a+b-3ab)*c=a+b+c-3ab-3ac-3bc+9abc
a*(b*c)=a*(b+c-3bc)=a+b+c-3bc-3a(b+c-3bc)=a+b+c-3ab-3ac-3bc+9abc 所以(a*b)*c=a*(b*c)，所以满足结合律。