二元关系、代数系统的一般性质(习题答案)
二元关系的性质及二元关系的应用（可编辑）
二元关系的性质及二元关系的应用引言在日常生活中,关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念,我们都熟知关系一词的含义,例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系,如“4大于2”,“在点,之间”.在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念,广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系,数据库的数据特性关系,其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.最基本的关系就是二元关系,就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如有三个人和四项工作.已知可以从事,可以从事,可以从事,那么人和工作之间的对应关系可以记作: 这是人的集合到工作的集合之间的二元关系.一基础知识定义1 设,为集合,用中元素为第一元素,中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做和的笛卡尔积,记作,符号化表示为.定义2 如果一个集合满足以下条件之一:⑴集合非空,且它的元素都是有序对;⑵集合是空集,则称这个集合是一个二元关系,通常记作大写的英文字母,二元关系也可简称为关系.对于二元关系,如果有序对,可记为,否则记为.例如, ,则为二元关系,不是二元关系,只是一集合,除非将和定义为有序对.二元关系中特别重要的是从到的关系与上的关系.定义3为集合,的任何子集所定义的二元关系叫做从到的二元关系,特别当时则叫做上的二元关系.集合上的二元关系的数目依赖于中的元素数,当含有个元素时即,则,的子集有个,每一个子集代表一个上的关系,所以上有个不同的关系.定义4 对任意的集合都有三种特殊的关系:①空集是任何集合的子集当然也是的子集,也是上的关系,称为空关系.②称为上的全域关系.③为上的恒等关系.给定集合,定义几种常用的关系:定义5 是实数集的任意非空子集,则称上的二元关系为上的小于等于关系.定义6 为非0整数集,则称上的二元关系为上的整除关系.定义7 设是整数集的任意非空子集,是任意正整数,则称上的二元关系为上的模同余关系.定义8 设是由一些集合构成的集合族,则称上的二元关系为上的包含关系.例:设,求上的包含关系.解:由于, 在日常生活、生产活动和科学研究中,人们常用点表示事物,用点与点之间是否有连线表示事物之间是否有某种关系,这样构成的图形就是图论中的图.定义9 一个无向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是无序集的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称为边.定义10 一个有向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是笛卡尔积的有穷多重子集,称为边集, 其元素称为有向边,简称边.通常用图形来表示有向图和无向图:用小圆圈或实心点表示顶点,用顶点之间的连线表示无向图,用带箭头的连线表示有向边.定义11设为一个有向图,,若从到存在通路,则称可达,记作.规定总是可达自身的,即.若且,则称与是相互可达的,记作.规定.与定义9和定义10有关的还有下面一些概念和规定.⑴无向图和有向图统称为图,但有时也常把无向图简称为图.通常用表示无向图,表示有向图,有时也用泛指图有向的或无向的.用,分别表示的顶点集和边集, ,分别是的顶点数和边数.有向图也有类似的符号.⑵设为无向图, ,称为的端点,与关联.若,则称与的关联次数为1;若,则称与的关联次数为2,并称为环.如果顶点不与边关联,则称与的关联次数为0.若两个顶点与之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻.若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.⑶设为有向图, ,称为的端点, 为的始点, 为的终点,并称与关联.若,则称为中的环.若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻.若两个边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻二关系的三种表示方法表示关系的方法有三种:集合表达式,关系矩阵和关系图.2.1 集合表达式由于关系是一种特殊的集合,当然可以用集合表达式表示.例如:设,则用集合表达式表示上的关系.⑴.⑵.解: ⑴⑵2.2 关系矩阵和关系图关系矩阵可以用来表示有穷集到的关系与上的关系,关系图只能表示有穷集上的关系.当关系中的元素较多时,利用关系矩阵和关系图可以形象直观的表示关系.设给定两个有限集合,,对应于从到的二元关系有一个关系矩阵,其中如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素,则其关系矩阵是方阵.而同时对应的关系图就是在平面上用个点分别表示中的元素,另外再在平面上画出个点分别表示中的元素,如果集合和中有相同的元素则用同一点表示.当时,则从点至画一条有向边,其箭头指向,否则就没有边联结.例从到的关系, 通常将和中的元素设定为升序顺序,则对应的关系矩阵为:对应的关系图为:特别地,当为上的二元关系时,如果,则对应于的关系矩阵是阶方阵,方阵中的元素应有: ……………… (★)其关系图表示可以在平面上仅画个点,有向边的规定不变.例如,则的关系矩阵是对应的关系图为实际上,除了二元关系可用图表示之外,图中还蕴含许多丰富的二元关系.从图论中图的定义简单分析,图有点、线和点边关系构成.根据图中“边”就可以获得图中点间的“邻接关系”、“可达关系”及点边之间的“关联关系”.在图中,这些关系都是在(★)式所规定的方法基础上来表示成矩阵. 下面就来看一下这几种关系在离散数学中的定义.邻接矩阵的定义:设有向图,,令为顶点邻接到顶点边的条数,称为的邻接矩阵,记作,或简记为.例如下图2.2.1, 写出其邻接矩阵有向图的邻接矩阵为: ;性质1 简单有向图的邻接矩阵是一个0,1的矩阵:对角线元素为0,但不一定对称.性质2 矩阵的各行和是相应顶点的出度,各个列和是相应顶点的入度。
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
二元关系性质、运算与函数
例7.1
例7.1 已知<x+2,4>＝<5,2x+y>，求x和y。
解答 由有序对相等的充要条件有 x+2＝5 2x+y＝4
解得 x＝3,y＝-2。
笛卡儿积的定义
定义7.2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元素为第 二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B 的笛卡儿积(Cartesian product)，记作A×B。
(3) A＝B∧C＝D A×C＝B×D (4) 存在集合A，使得A A×A
解答 (1) 不一定为真。当A＝，B＝{1},C＝{2}时，有 A×B＝＝A×C，但B≠C。
(2) 不一定为真。当A=B={1},C＝{2}时，有
A-(B×C)＝{1}–{<1,2>}＝{1} (A-B)×(A-C)＝×{1}＝
举例 设R1＝{<1,2>,<a,b>}，R2＝{<1,2>,a,b}。 则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合， 除非将a和b定义为有序对。 根据上面的记法可以写1R12，aR1b，aR1c等。
R＝{<上,下>,<前,后>,<正,反>,<左,右>}是否为二元关系？
7.2 二元关系
定义7.4 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系；特别当A=B时，则叫做A上的二元关系。
1 1 0 0
MR
0 0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
7.3 关系的运算
定义7.6 设R是二元关系。
离散数学—第五章代数系统的一般性质
判断幺元
1. 对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存 在幺元.
① R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,bR*有 aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有 elob = b,所以运算o没有左幺元. ② 但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以, 任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的 右幺元,但没有幺元.
① ② ③ ① 如:<N,+>是<Z,+>的子代数; 如:<N,+,0>是<Z,+,0>的子代数; 如:<N-{0},+>不是<Z,+>的子代数; 如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.
2. 代数系统的公理:运算的性质. 3. 子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而 且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代 数比原来的代数系统小一些.
{2} {1}
交换律
1. 定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换 的,或者说o在S上适合交换律.
① 例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.
结合律
1. 定义5.4:设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有(xoy)oz =xo(yoz),则称运算o在S上 是可结合的,或者说o在S上适合结合律.
运算表
ai a1 a2 ... an
o(ai) o(a1) o(a2) ... o(an)
第5章 代数系统的基本概念(1)
→、 。
第5章
代数系统的基本概念
（4）AA={f | f：A→A}。“ (复合)”是AA上的二元
运算。
当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如
A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“ ” 的定义见表
5.1.1。
表 5.1.1
0
1
2
第5章
代数系统的基本概念
事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算 为 y (〈x,y〉)=x · (mod3)
第5章
代数系统的基本概念
【例5.1.7】
在实数集 R 中，对加法"+"运算，没有零元；
在实数集 R 中，对乘法"×"运算，0是零元；
对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元；
对于全集E的子集的交“∩”运算， 是零元;
在命题集合中，对于吸取"∨"运算，重言式是零元；
在命题集合中，对于合取"∧"运算，矛盾式是零元。
(2)若 x y(x,y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满足交换律。 (3)若 x y z(x,y,z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，则称* 运算对 运算满足左分配律； 若 x y z(x,y,z∈S→(y z)*x=(y*x) (z*x))， 则称*运算对 运算满足右分配律。 若二者均成立，则称*运算对 运算满足分配律。
有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不
是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对 加法、减法满足分配律，减法不满足这些定律。 乘法“
” 对加法“+” 运算满足分配律（对
“-” 也满足）。但加法“+” 对乘法“ ” 运算
离散数学 代数系统的一般性质-1
例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1
Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵
P(S)上的么元是 ， 的幺元是S
例：R*是非零实数集，是R*上的二元运算，对R*中任
意a,b, 有ab＝a
5.1
则运算不存在左幺元，存在无数个右幺元，
二
因此不存在幺元
元 运 算 及 其 性 质
质
幂集上的满足幂等律；不满足幂等律，但运算
有一个幂等元。
（4）若x, y, z∈S：
x*(y z)=(x*y) (x* z),
5.1 则称“*”运算对“”运算满足左分配律；
二
(yz)*x=(y*x)(z*x)，则称“*”运算对“ ”
元 运算满足右分配律。
运 若二者均成立，则称“*”运算对“ ”运算满
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
▪【引例】
▪（1）在Z集合上，x∈Z, 则f(x)=-x是将x映为它的相反
数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运
5.1 算的结果。这个运算可表示为函数：
二 ▪ f ：Z→Z
元
运 （2）在R+集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒
算 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒
a1 ∘a1 a2 ∘a2 .. .. .. an ∘an
运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运
算（{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
{a} {b} {a,b}
{a} {b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a} {a,b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {b} {a}
《离散数学》第9—11章 习题详解!
第九章 代 数 系 统
９．１ 内 容 提 要
1．二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合，函数 f：S ×S→S 称为 S 上的二元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 一元运算 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 二元与一元运算的算符 ，倡，· ，◇，Δ等 二元与一元运算的表示法 表达式或者运算表 2．二元运算的性质 （１） 涉及一个二元运算的算律
定理 9．3 如果 ｜S ｜＞１，则单位元不等于零元． 定理 9．4 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x －１ ．
3．代数系统
代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f１ ，f２ ，…，fk 组成的系统，记作 ＜S，f１ ，
f２ ，…，fk ＞． 同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V ＝＜A ×B，· 重要结果：
＜a１ ，b１ ＞· ＜a２ ，b２ ＞＝＜a１ a２ ，b１ 倡b２ ＞ ＞为 V１ 与 V２ 的积代数，记作 V１ ×V２ ．这时也称 V１ 和 V２ 为 V 的因子代数．
任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数．
V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的．
９．２ 基 本 要 求
１．会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算． ２．会判断或者证明二元运算的性质．
第九章 代 数 系 统
177
３．会求二元运算的特异元素． ４．掌握子代数的概念． ５．掌握积代数的定义及其性质 ６．能够判断函数是否为同态并分析同态的性质．
９．３ 习 题 课
本章的习题主要有以下题型． 题型一 判断运算是否封闭（ 集合与运算是否构成代数系统） ，并对封闭的运算确定其性质 及特异元素
6_1_运算与代数系统[10页]
![6_1_运算与代数系统[10页]](https://img.taocdn.com/s3/m/25fb95e2192e45361166f598.png)
例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的；一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考：原则上，可以将一个映射 f：An→B作为n元运算的定义，但总需要考虑 运算结果对A的封闭性，即应有B⊆A，否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n，nN}，问算数乘法和加法是否为A上的二元运算？ 解： 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q，因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后，可以利用映射得到集合元素的像，从而形成了运 算。
[定义6-1：n元运算] 设A是一个非空集合，一个映射 f：An→A 称为A上的n元代 数运算，简称 n 元运算（n-ary operation）。其中，n ≥ 1为自然数，称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换，集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统，也称为代数结构，它们是近世代数（也称为抽象代数）研究的中心 内容，在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时，有 21+22=6A
代数系统练习题答案
代数系统练习题答案1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P关于对称差运算⊕，其中P为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。
2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A={a,b}，那么在A上可以定义多少不同的二元运算？在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。
2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*=c ≠*b=b5. 设是一个代数系统。
*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b.证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则*=a*b.*= a**b结合律= a**b 交换律= *= a*b.7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。
试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8. 设是群，a∈G .现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .证明：也是群 .证明：显然⊙是G上的一个二元运算。
离散左孝凌第4章二元关系
【例4.8】A=1,2,3,4,5，A上的二元关系R和S定义如下： R=1,2,2,2,3,4 S=1,3,2,5,3,1,4,2 试求MR ∘ S和MR ∘ MS，它们是否相等 ? 解：按照R 和S的定义，求出 R∘S=1,5,3,2,2,5 写出R 、S和R ∘ S关系矩阵如下：
0 0 MR= 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 MS = 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 MR ∘ S = 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 0 0 0
所以MR ∘ S=MR ∘ MS 4.2.3二元关系的求逆运算 定义4.2.4 设X，Y是集合，RX×Y，集合 y,xx,yR 叫做R的逆关系。记为RC，RCY×X，RC是Y到X的二元关系。 容易证明，RC的关系矩阵 M R C 是R的关系矩阵MR的转置矩 阵，即 M R C =MRT 可以验证，将R关系图中的弧线的箭头反置，就可以得到 RC关系图。
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定义4.2.1设A，B是集合，RA×B。 dom R=x|x,yR 叫做R的定义域。 ran R=y| x,yR 叫做R的值域。 FLD R= dom R∪ran R叫做R的域。 A叫做R的前域；B叫做R的陪域。 4.2.1二元关系的交、并、补、对称差运算 定理 4.2.1 设 R ， S 是 X 到 Y 的二元关系，则 R∪S ， R∩S ， R-S，~R，R S也是X到Y的二元关系。 证明：因为R，S是X到Y的二元关系，所以， RX×Y且SX×Y。显然， R∪SX×Y，即R∪S是X到Y的二元关系。 R∩SX×Y，即R∩S是X到Y的二元关系。 R-SX×Y，即R-S是X到Y的二元关系。
第9章代数系统定理和例题讲解离散数学
例题
设R为实数集合，如下定义R上的二元运算 ：
x,y∈R，x y = x。
那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。
• 函数的解析公式 • 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
二元运算的运算表
一元运算的运算表
a1
a2
…
an
a1 a1a1 a1a2 … a1an
a12 L a22 L
an2 L
a1n a2n
ann
aijR, i,j1,2,...,n
则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 （6）S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上的二元运算。
（7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运 算。
定义9.2 设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为 一元运算。
x的逆元x x的逆元x1
x逆元x x的逆元x1 （x可逆）
的逆元为 B的逆元为B
定理9.1 设为S上的二元运算，el、er分别为运算的左单位元 和右单位元，则有
el = er = e 且e 为S上关于运算的唯一的单位元。
证明
el ＝ eler
(er为右单位元)
eler ＝ er
(el为左单位元)
所以el = er，将这个单位元记作e。
普通加法和乘法。 • <加M法n(和R)乘,＋法, 。>是代数系统，其中＋和 分别表示n阶(n≥2)实矩阵的 • <P(S),∪,∩,~>是代数系统，其中∪和∩为并和交，~为绝对补。 • <Zn, ,>是代数系统，其中
Zn＝{0,1,2, … ,n-1} 和分别表示模n的加法和乘法。
第5章 代数系统的一般性质
13
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 分别为整数、 分别为整数 有理数、实数集； 为 矩阵集合, ≥ ； 为幂集； 矩阵集合 n≥2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|≥2. 为幂集 上 ， ≥ 集合 Z, Q, R Mn(R) P(B) 运算 普通加法+ 普通加法 普通乘法× 普通乘法× 矩阵加法+ 矩阵加法+ 矩阵乘法× 矩阵乘法× 并∪ 交∩ 相对补− 相对补− 对称差⊕ 对称差⊕ 函数复 函数复合 ο 交换律 有 有 有 无 有 有 无 有 无 结合律 幂等律 无 有 有 无 有 无 有 有 有 无 有 有 无 有 有 无 无 无
20
实例分析
集合 运算 Z, 普通加法+ 普通加法 Q, 普通乘法× 普通乘法× R 幺元 0 1 零元 无 0 无 n阶全 阶全0 阶全 矩阵 B ∅ 无 逆元 X 的逆元 −x X 的逆元 x−1 (x-1属于给定集合 属于给定集合) X逆元−X 逆元− 逆元 X的逆元 X−1 的逆元 是可逆矩阵） （X是可逆矩阵） 是可逆矩阵 ∅ 的逆元为 ∅ B 的逆元为 B X 的逆元为 X
19
二元运算的特异元素（ 二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
中关于运算∘的幺元. 令 e 为 S 中关于运算∘的幺元 对于 x∈S，如果存在 l ∈ ，如果存在y （或 yr）∈S 使得 yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e）， （ ）， 则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ). 是 运算， 的右逆元， 关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元， ∈ 逆元. 则称 y 为 x 的逆元 可逆的 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的. 的逆元存在，
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
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反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
习题与解答(代数系统)
同理可证：|bca|=|cab|
所以 |abc|=|bca|=|cab|
18、证明偶数阶群必含 2 阶元
证明：设偶数阶群为 G，不妨设|G|=2n
下面按元素的阶进行划分：
① 元素的阶为 1,只有单位元 e ,所以个数为 1 。
② 元素的阶为 2，设其构成的集合为：A
③ 元素的阶大于 2，设其构成的集合为：B
有逆元。 (4) 格与布尔代数。两个运算满足交换、相互分配、同一律、补元
律。 (5) 环与域，{0,1}关于模 2 加法构成交换群、{1}关于模 2 乘法构
成交换群，模 2 乘法关于模 2 加法有分配律。 13、设 B 是布尔代数, B 中的表达式 f 是
(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c) (1) 化简 f.
首先由定理群在同态映射下的像仍是群，
所以 f(G1)是群。
下面证明 φ(G1)是是循环群
y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a>
r
所以 存在 r 使得 x= a 则 y = f(x) = f(ar) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a))r 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)>
14、下面各集合都是 N 的子集，它们能否构成代数系统 V=<N,+>的子代数： (1) {x|x∈N∧x 可以被 16 整除} (2) {x|x∈N∧x 与 8 互质}
(3) {x|x∈N∧x 是 40 的因子} (4) {x|x∈N∧x 是 30 的倍数}
解：(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 16、设 V=<Z,+,·>，其中+和·分别代表普通加法和乘法，对下面给定的每
(完整word版)离散数学习题解+代数系统
离散数学习题解代数系统习题四 第四章代数系统1．设I 为整数集合。
判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算a ）+=｛（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y}b ）－={（（x ，y ），z ）｜x,y ，zI 且z=x －y}c ）×={（（x,y)，z ）｜x ，y ，zI 且z=x ×y}d ）/={(（x ，y)，z)|x ，y ，zI 且z=x/y ｝e ）R={（（x,y ），z)｜x,y,zI 且z=x y｝f ）=｛（（x ，y),z ）｜x ，y ，zI 且z=yx }g)min = ｛(（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y)} h ）min = {（（x,y ），z)|x,y,zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（(x ，y ），z ）｜x ，y ，zI 且z= GCD(x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ）,z ）｜x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）｝[解］ a ）是。
由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一,故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算. b ）是。
由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一,故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
c ）是.由于两个整数这积仍为整数,且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
d ）不是:例如若x=5，y=6,则z=x/y=5/6∉I;当y=0时z=x|y=x/0无定义. e ）不是。
例如若x=2,y= —2，则z=x y=2–2=221=I 41∉；若x=y=0，则z=x y=0,则z=I 2x ∉=χ; g ）是。
由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。
故知max ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
h ）是。
由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。
故知min ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
二元关系的基本运算与性质复习题答案
第4章 二元关系的基本运算与性质一、选择题（每题3分）1、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是自反的，1R -为其逆，则必有（ A ）A 、A I R ⊆B 、1A R R I -⊆C 、A R I =∅D 、1A R I -=∅2、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反自反的，1R -为其逆，则必有（ C ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、A R I =∅D 、1A R R I -=3、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是对称的，1R -为其逆，则必有（ C ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、1R R -=D 、1A R R I -=4、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反对称的，1R -为其逆，则必有（ D ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、1A I R R -⊆D 、1A R R I -⊆5、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是传递的，1R -为其逆，则必有（ B ）A 、2R R ⊆B 、2R R ⊆ C 、1R R -= D 、1A R R I -=6、设R 是集合A 上的自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ B ）A 、全为0B 、全为1C 、不全为0D 、不全为17、设R 是集合A 上的反自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ A ）A 、全为0B 、全为1C 、不全为0D 、不全为18、设R 是集合A 上的反对称关系，其关系矩阵中的任一元素为ij a ，当i j ≠时，总有（ D ）A 、ij ji a a =B 、1ij ji a a +=C 、0ij ji a a =D 、若1,ij a =则0ji a =9、非空集合X 上的空关系∅不具备的性质是（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性10、设{1,2,3}A =上的关系R 的关系图如下，则R 不具备的性质为（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、反对称性D 、传递性11、设R 为{1,2,3}A =上的关系，其关系图如下，则下列为真命题的是（ C ）A 、R 对称，但不反对称B 、R 反对称，但不对称C 、R 对称，又反对称D 、R 不对称，也不反对称12、设R 为{1,2,3,4}A =上的关系，其关系图如下，则下列为假命题的是（ C ）A 、R 不自反，也不反自反B 、R 不对称，也不反对称C 、R 传递D 、R 不传递13、{1,2,3,4}A =上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =<><><><><>只不具备（ C ） A 、 反自反性 B 、 反对称性 C 、对称性 D 、传递性 14、设12,R R 是集合A 上的关系，1112,R R --分别为12,R R 的逆，则下列命题错误的是（ D ）A 、1111212()R R R R ---= B 、1111212()R R R R ---=C 、1111212()R R R R ----=- D 、1111212()R R R R ---=15、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ D ）A 、若S R ,自反，则R S 自反B 、若S R ,对称，则R S 对称C 、若S R ,反自反，则R S 反自反D 、若S R ,反对称，则R S 反对称16、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ A ）A 、若S R ,自反，则R S -自反B 、若S R ,对称，则R S -对称C 、若S R ,反自反，则R S -反自反D 、若S R ,反对称，则R S -反对称17、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言正确的是（ A ）A 、若S R ,自反，则S R 自反B 、若S R ,对称，则S R 对称C 、若S R ,反自反，则S R 反自反D 、若S R ,反对称，则S R 反对称18、设S R ,是集合A 上的自反关系，则下列断言错误的是（ C ）A 、R S 自反B 、R S 自反C 、R S -自反D 、S R 自反19、设S R ,是集合A 上的反自反关系，则下列断言错误的是（ D ）A 、R S 反自反B 、R S 反自反C 、R S -反自反D 、S R 反自反20、设S R ,是集合A 上的对称关系，则下列断言错误的是（ C ）A 、R S 对称B 、R S 对称C 、R S -对称D 、S R 对称21、设S R ,是集合A 上的传递关系，则下列断言正确的是（ A ）A 、R S 对称B 、R S 传递C 、R S -传递D 、S R 传递二、填充题（每题4分）1、设{}2,3,4A =，则其上的小于关系A <={}2,3,3,4<><>，整除关系A D ={}2,4<>．2、设关系{}1,2,2,4,3,3R =<><><>，{}1,3,2,4,4,2S =<><><>，则R S = {}1,4,2,2<><>，1()R S -= {}4,2<>，1()R S --={}2,1,3,3<><>．3、设集合,A B 分别含有,m n 个不同元素，则A 到B 的二元关系的个数为2mn ． 提示：A 到B 的二元关系的个数即为()A B ρ⨯的基数．4、设集合A 含有n 个不同元素，则A 上二元关系的个数为22n ．设{}3,4,5A =上的关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R ={}3,3,3,4,3,5,4,5,5,3,5,4,5,5<><><><><><><>．5、设{}1,2,3,4A =上的二元关系{}2,4,3,3,4,2R =<><><>，其关系矩阵中的任一元素为ij m ，则24m =1，34m =0．6、{},A a b =上全域关系的关系矩阵为1111⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 7、设{},A a b =到{}1,2,3B =的关系{},1,,2,,3R a b b =<><><>，则其关系矩阵为100011⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 8、设{}1,2,3,4A =上R 的关系图如右图，则2R ={}1,1,1,3,2,2,2,4<><><><>． 9、设{},,A a b c =上二元关系R 的关系矩阵是101110111R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则=R R M 111111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．三、问答题（每题6分）1、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是自反又不是反自反的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,1,2R =<><>．2、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是对称又不是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,2,1,3,2,1R =<><><>．3、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既是对称又是反对称的关系吗？为什么？答：存在；如{}1,1,2,2,3,3R =<><><>．4、若A 上的二元关系R 是自反的，问1R -是否也是自反的？为什么？答：是的；,a A R ∀∈ 自反，,,a a R <>∈∴则 1,a a R -<>∈，即1R -也是自反的．5、若A 上的二元关系R 是反自反的，问1R -是否也是反自反的？为什么？答：是的；因R 反自反，则,A R I =∅有11111(),A A A R I R I R I -----===∅=∅ 即1R -也是反自反的．6、若A 上的二元关系R 是对称的，问1R -是否也是对称的？为什么？答：是的；因R 对称，则111()R R R ---==，即1R -也是对称的．7、若A 上的二元关系R 是反对称的，问1R -是否也是反对称的？为什么？答：是的；因R 反对称，则1,A R R I -⊆ 有111(),A R R I ---⊆ 即1R -也是反对称的．8、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反． 9、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反．10、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问21R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；21,,R R A a ∈∀自反，21,,,R a a R a a >∈<>∈<∴，从而 21,R R a a >∈<，即21R R 也是自反的．11、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R -是否也是自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =，1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,,,}R a a b b =<><>， 则21,R R 是自反的，但12{,}R R a b -=<>不是自反的．12、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：是的；若1R 反自反，则1,A R I =∅于是1212()()A A R R I R I R ==∅ ，故12R R 反自反．13、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；若1R 和2R 反自反，则12,A A R I R I =∅=∅ ，于是1212()()()A A A R R I R I R I ==∅ ，故12R R 反自反．14、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问21R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =，12{,,,}R R a b b a ==<><>，则21,R R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b =<><> 是自反的．15、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R -是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,}R a b =<>， 则2R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b -=<><>是自反的．（若1R 是反自反的，结论对）16、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．17、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？答：是的；12,R R 反对称，111122,A A R R I R R I --⊆⊆∴ ，则11111121212121122()()()()()()A R R R R R R R R R R R R I -----==⊆ ，故12R R 反对称．18、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．19、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>，则1R 和2R 是反对称的，但12{,,,}R R a b b a =<><> 是对称的．20、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R -是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ----=-=-，故12R R -对称．21、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反对称的，问12R R -是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,}R a a a b =<><>，2{,}R a b =<>，则2R 是反对称的，但12{,}R R a a -=<>是对称的．注：当1R 是反对称的，则必有12R R -也是反对称的．22、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问21R R 是否也是对称的？为什么？ 答：不一定；如{},,A a b c =，},,,{1><><=a b b a R ，},,,{2><><=b c c b R ， 则21,R R 是对称的，但},{21><=c a R R 不是对称的．23、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问21R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>，则1R 和2R 是反对称的，但12{,}R R a a =<> 是对称的．四、计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =上的关系为{,|02}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧≤-<，用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,1,2,2,2,2,3,3,3}R =<><><><><>，其关系矩阵为110011001R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．2、设{1,2,3,4}A =到{1B =的关系为2{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧=， 用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,,,4,2}R =<><><>，其关系矩阵为100000001010R M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．3、设({0,1})A ρ=到({0,1,2}{0})B ρ=-的二元关系为{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧-=∅，写出关系矩阵，画出关系图．解：{,{0},{1},{0,1}}A =∅，{{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}B =，其关系矩阵为111111001101101011001001R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，关系图如右图． 4、集合}4,3,2,1{=A 上的关系}4,4,3,4,4,3,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1{><><><><><><><><=R ，写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100110100100101R M ，R 的关系图为 因R M 对角元皆为1，故R 是自反的，不是反自反的；因R M 为对称矩阵，故R 是对称的； 因1,3,3,1R <><>∈，故R 不是反对称的；又因1,3,3,4R <><>∈，但1,4R <>∉，故R 无传递性．5、设R 是集合}4,3,2,1{=A 上的二元关系，{1,1,1,2,1,3,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3}R =<><><><><><><><><>， 写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为1110000011101110R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，R 的关系图为 因R M 对角元不全为1，也不全为0，故R 不是自反的，也不是反自反的；因R M 为非对称矩阵，故R 是反对称的，不是对称的；因2R R =，故R 是传递的．6、在实数平面上，画出关系}0所示区域，并判定关系的五种性质．解：关系图为对任意实数x ，直线y x =上的点在区域内，即,x x R <>∈ ，故R 自反；因R 自反且结点集非空，故R 不是反自反；若R y x >∈<,， 有 2x y -< ，则2y x -<， 即 R x y >∈<,，故R 对称； 因1,0,0,1R R <>∈<>∈，故R 不是反对称；因1,0,0,1R R <>∈<->∈ ，而 R >∉-<1,1，故R 不是传递的．五、证明题（每题10分）1、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T = ．证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∨<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨<>∈∧<>∈(,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∨<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立．2、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T ⊆ ．证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈(,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇒∃<>∈∧<>∈∧∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∧<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立．3、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=， 证明：1212()()()S A A S A S A = ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∨∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨<>∈∧∈12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨∃<>∈∧∈1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∨∈⇔∈ ，故原命题成立．4、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=， 证明：1212()()()S A A S A S A ⊆ ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∧∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∧<>∈∧∈12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇒∃<>∈∧∈∧∃<>∈∧∈1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∧∈⇔∈ ，故原命题成立．5、设R 是集合A 上的二元关系，若R 是自反的和传递的，则2R R =．证明：因R 是传递的，则2R R ⊆，因R 是自反的，则对y A ∀∈,有,y y R <>∈，于是2,,,,x y R x y R y y R x y R <>∈⇒<>∈∧<>∈⇒<>∈，则2R R ⊆，故2R R =．6、设R 为集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和可传递的，则R 一定是反对称的． 证明：假设R 不是反对称的，则 y x R x y R y x ≠>∈<>∈<∃,,,,由R 的传递性知， R x x >∈<, ，此与R 反自反矛盾，故R 反对称．7、设R 是集合A 上的一个自反关系，求证：R 是对称的和传递的当且仅当,a b <>和,a c <>在R 中，则有,b c <>在R 中．证明：⑴R 是对称的和传递的⇒若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈．若,a b R <>∈，由R 对称性有,b a R <>∈，而,a c R <>∈，由R 传递性得,b c R <>∈； ⑵若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈⇒ R 是对称的和传递的．若,a b R <>∈，因R 自反，则,a a R <>∈，由条件知,b a R <>∈，即R 对称； 若,a b R <>∈，,b c R <>∈，由R 对称性知,b a R <>∈，再由条件知,a c R <>∈， 即R 具有传递性．文案 编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
第五组二元关系和函数题目及答案
第五组二元关系和函数题目及答案选择（单选）1. 若R和S是集合A上的等价关系，则下列关系中不一定是等价关系的有( )A、R∪SB、R∩SC、R－SD、R⊕S2. 设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={, , , }∪IA，则对应于R的A的划分是（）A、{{a},{b, c},{d}}B、{{a, b},{c}, {d}}C、{{a},{b},{c},{d}}D、{{a, b}, {c,d}}3. 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )A、下界B、上界C、最小上界(D)以上答都不对4. N是自然数集定义f:N→N，f(x)=(x)mod3 (即x除以3的余数) 则f是 ( )A、满射不是单射B、单射不是满射C、双射D、不是单射也不是满射5.集合A={1 2 3 4}上的偏序关系图则它的哈斯图为（）C D B D A填空1. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)};α3, α4.2. 设A={a,b,c}考虑以下子集S1={{a,b},{b,c}} S2={{a},{a,b},{a,c}} S3={{a},{b,c}},S4={{a,b,c}}S5={{a},{b},{c}} S6={{a},{a,c}}则A的覆盖有A的划分有S1, S2, S3, S4, S5S3，S4, S53. 偏序集的哈斯图为则R={,,,,,,,,,}∪IA4. 设f,g是自然数集N上的函数?x∈N,f(x)=x+1,g(x)=2x 则fｏg(2x+15．S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，≤是S上的整除关系。
第3章 二元关系练习题
第3章 二元关系练习题一、 单项选择题1. 设集合A ＝{0,b },B ={1,b ,3},则A ⋃B 上的恒等关系是 ( ).(A) {<0,0>,<1,1>,<3,3>} (B){<0,0>,<1,1>,<b ,b >,<3,3>}(C) {<1,1>,<b ,b >,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,b ><b ,3>,<3,0>}2. 已知集合A ＝{a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001011010，那么R ＝( )， (A) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<a ,c >} (B) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<c ,b >}(C) {<a ,b >,<a ,a >,<b ,b >,<c ,a >} (D) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<c ,a >}3. 设集合A ={1,2,3,4}, A 上的二元关系R 的关系矩阵为M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001011001 则关系R 的表达式是( )(A) {<1,1>,<1,4>,<2,1>,<2,3>} (B) {<1,1>,<1,2>,<1,4>,<2,3>}(C) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,4>} (D) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,1>}4. 设A ={a ，b ，c }，R ={<a ，a >，<b ，b >}，则R 具有性质（ ）(A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的5. 设R 是集合A 上的二元关系，I A 是A 上的恒等关系，如果R ⊂I A ，则下面四个命题中为真的是（ ）(A) R 不是自反的 (B) R 不是传递的 (C) R 不是对称的 (D) R 不是反对称的二、填空题1. 设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )=2. 如果关系R 是传递的，则R •R ⊆ ．3. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R －1＝4. 设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为 M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为 ． 5. 设A ={1,2,3,4}，A 上的二元关系}3,{Z ∈-><=y x y x R ,其中Z 是整数集合．试用列举法那么R ＝ ．三、解答化简计算题1. 设集合A ＝{a ,b ,c ,d }，在A 上定义二元关系R ＝{<a ,a >,<a ,d >,<b ,b >,<b ,c >,<c ,b >,<c ,c >,<d ,a >,<d ,d >}R 是否为等价关系，说明理由.2. 设R 是实数集，R 上的二元关系S 为S ＝{<x ,y >∣x ,y ∈R ∧x =y }试问二元关系S 具有哪些性质？简单说明理由．3. 设A ＝{1,2},B ={a ,b },试问从A 到B 的二元关系有多少个?4. 设集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6}上的偏序关系R 如下：R ＝{<0,1>,<0,2>，<0,3>,<0,4>,<0,5>,<0,6>,<4,6>,<2,5>,<3,5>}⋃I A做偏序集<A ,R >的哈斯图，并求B ={0,2,3}的极大元、极小元、最大元和最小元．5. 设集合A ={0,1,2,3,4}，定义A 上的二元关系R 为：R ＝{<x ,y >⎪x ,y ∈A ∧(x =y ∨x +y ∈A )}试写出二元关系R 的集合表达式，并指出R 具有的性质．6. 已知集合A 上的二元关系R 的关系图如图4－1，试写出R 的集合表达式和R 的关系矩阵．并指出R 所有的性质．7. 设集合A ＝{1,2,3,4}, B ＝{2,4,6} 从A 到B 的二元关系R 定义为R ＝},{N k kxy B y A x y x ∈∧=∧∈∧∈>< 试求R 的集合表达式和关系矩阵M R .8. 设R 1是A 1＝{1,2}到A 2＝(a ,b ,c )的二元关系，R 2是A 2到A 3＝{βα,}的二元关系， R 1= {<1,a >,<1,b >,<2,c >}, R 2={<a ,β>,<b ,β>}试用关系矩阵求R 1•R 2的集合表达式.9. 设集合X ＝{a ,b ,c ,d },X 上的二元关系R 的关系图如图4－2所示．试写出R10. 设集合S ＝{1,2,3,4},定义S 上的二元关系})(,,{2y x S y x S y x y x R >∧∈-∧∈><= },,{是素数yx S y x y x T ∧∈><= 试求R ，T 的元素表达式，并计算R •T ．四、证明题1. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系．2. 设R 是集合A 上的二元关系，试证明R 是自反的当且仅当R I A ⊆．3. 假设R 是非空集合A 上的等价关系，证明R 的逆关系R －1也是A 上的等价关系．图4－1。
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1．
,为上关系，关系图为 下图，则
具有性质（）
A ．反自反
B. 对称
C ．反对称
D ．传递
2.给定A={1，2，3，4}，A 上的关系R={(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)}满足的性质是 ( )。
A ．自反的 B ．对称的 C ．传递的 D ．不可传递的
3．R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>}。
则S 是R 的 对称 闭包。
4、已知集合
{,,}A a b c =，A 上的两个关系：1{,,,,,}R a b a c b c =<><><>，
2{,,,}R a b a a =<><>，则12R R =（ ）。
A.
φ B.{,,,,,}a b a c b c <><><>
C.{,,,}a b a c <><>
D.{,,,}a b a a <
><>
5.对集合A={1,2,3,4,6,8,12,14}中的整除关系, 画出哈斯图,并写出集合A 中的最大元, 最小元, 极大元, 极小元。
6。
集合
}4,3,2,1{=A ，A 上的关系}4,3,3,2,1,2,2,1{><><><><=R ，
求)(R r 、)(R s 、)(R t ，并分别画出它们的关系图。
（12分）
解：}4,4,3,3,2,2,1,1{E ><><><><=A
}
4,4,3,3,2,2,1,1,4,3,3,2,1,2,2,1{)(><><><><><><><><==A E R R r
}3,4,2,3,2,1,1,2{1><><><><=-R
}3,4,2,3,4,3,3,2,1,2,2,1{)(1><><><><><><==-R R R s }4,2,2,2,3,1,1,1{2><><><><==R R R }3,2,1,2,4,1,2,1{23><><><><==R R R }4,2,2,2,3,1,1,1{34><><><><==R R R
}
4,1,4,2,2,2,3,1,1,1,4,3,3,2,1,2,2,1{)(4
32><><><><><><><><><==R R R R R t
…………（9分）
)(R r 的关系图1所示：
3
4
1
2
…………（10分）
)(s R 的关系图2所示：
…………（11分）
)(t R 的关系图3所示：
…………（12分）
7、设R 是集合}5,4,3,2,1{=S
上的关系
}
5,5,2,5,4,4,3,3,1,3,5,2,2,2,3,1,1,1{><><><><><><><><><=R （1）画出R 的关系图；
（4分） （2）证明
R 是等价关系；
（5分） （3）求由R 决定的S 的一个划分。
（5分） 解：（1）R 的关系图如下：
图1
3 1
图2
4
2
3 4
1 2
图3
4
2
1
…………（4分）
（2）由
R 的关系图知，每个结点均有子回路，说明R 是自反的；
结点1与3，2与5之间的边都是有一对方向相反的边，说明R 是对称的； 逐个检查有序偶，可知R 具有传递性；
故R 是S 上的等价关系。
…………（9分）
（3）
}
3,1{]1[R =，
}
3,1{]3[R =，
}
5,2{]2[R =，
}
5,2{]5[R =，
}4{]4[R =
…………（12分）
∴S 的一个划分是：}}4{},5,2{},3,1{{}]4[,]2[,]1{[R /S R R R == …………（14
分）
8、设<A, R>为一个偏序集，其中，A = {1, 2, 3, 4, 6, 8},
R 是A 上的整除关系。
（1）画出R 的哈斯图；
（4分） （2）求
A 的极大元和极小元；
（4分） （3）求B = {2, 3}的最小上界和最大下界。
（4分）
解：
}
,8,8,6,6,8,4,4,4,6,3,3,3,8,2,6,2,
4,2,2,2,8,1,6,1,4,1,3,1,2,1,1,1{><><><><><><><><><><><><><><><><=R
（1）哈斯图:
6
1
2
3
4 8
（2）从哈斯图中可以看出：
A的极大元为6, 8；极小元为1。
（3）B = {2, 3}的最小上界为6.
最大下界为1。
9.若为有理数集，上定义运算*为，则〈，*〉的幺元是（）A．a B．b C．1 D．0
10.整数集Z关于普通加法运算的幺元是0
11.设运算如下定义：
(1) 是实数集上的二元运算吗？ (2) 满足结合律吗？
(1) 是实数集上的二元运算(2) 对任意a,b,c属于R，
(a*b)*c=(a+b-3ab)*c=a+b-3ab+c-3(a+b-3ab)*c=a+b+c-3ab-3ac-3bc+9abc
a*(b*c)=a*(b+c-3bc)=a+b+c-3bc-3a(b+c-3bc)=a+b+c-3ab-3ac-3bc+9abc 所以(a*b)*c=a*(b*c)，所以满足结合律。