数值分析 第一章 绪论

数学模型 (数学问题)
数值解法
计算机求解
解析解的性态
数值分析：主要研究用计算机求解数学问题的数值方法和理论。
2
数值代数：
非线性方程求解、线性方程组求解、特征值/向量问题 数 值 数值逼近：
分 多项式插值、曲线拟合与函数逼近、数值积分和数值微分 析
微分方程数值解：
常微分方程数值解、偏微分方程数值解
利用算法
In 1
1 In n
则算法为稳定的。
In 1 nIn1
精确值
I n1
1 In n
0
0.6321
0.63212…
0.6321
1
0.3679
0.36787…
0.3679
2
0.2642
0.26424…
0.2642
3
0.2074
0.20727…
0.2073
4
0.1704
0.17089…
0.1709
对阶时 0.0001 0.000000001105 ，计算机表示为0，计算 结果为 0.12345 105 ，结果不可靠。
10000
改变算法：先计算 i =1 ,再与第一项相加得到12346。 i 1
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4. 绝对值较小的数不宜做分母。 用绝对值很小的数做除数，会使误差增大；还有可能因计
算溢出而停机。
注：四舍五入的近似数，从其最后一位数字开始到前面第一位 非零数字为止的所有数字，均是有效数字。
7
3. 有效数字与误差限的关系
有效数的浮点表示：具有 n 位有效数字的近似数 x*可以写成标
准形式： x* 0.12 n 10m (1 0) 其绝对误差限： 1 10mn
2
定理：（有效数字和相对误差的关系）
5
0.1480
0.14553…
0.1455
6
0.1120
0.12680…
0.1268
7
0.2180
0.11238…
0.1125
8
-0.7280
0.10093…
0.1000
9
7.5520
0.09161…
0.1000
14
2. 避免两相近数相减。
例如：
x1 x2 时，变换
ln x1- ln x2
ln x1 x2
6
0.2642 0.2074 0.1704 0.1480 0.1120
0.26424… 0.20727… 0.17089… 0.14553… 0.12680…
7
0.2180
0.11238…
8
-0.7280
0.10093…
9
7.5520
0.09161…
13
稳定的算法：
0
In
1 n 1
0，
取 I10 0,
(xk* ). A*
11
例：已测得某场地长 l 的值为 l* 110m ，宽 d 的值为 d* 80m ，已知 l l * 0.2m, d d * 0.1m ，试求 面积 s ld 的绝对误差限与相对误差限.
2
，
。
数值计算的若干原则
1. 使用稳定的计算公式。
例如：在四位十进制机上计算
二元函数情形 z f (x, y)
| z z* || f (x, y) f (x*, y*) || f x (x*, y* )(x x* ) f y (x*, y* )( y y* ) | | fx (x*, y*) | (x*) | f y ( x*, y* ) | ( y* )
故 (z*) | fx (x*, y* ) | (x* ) | f y (x*, y*) | ( y* )
若 x* 具有n 位有效数字，则其相对误差限为 r
1 10(n1) 21
；
若 x* 的相对误差限 r
1
10 ( n 1)
2(1 1)
，则 x* 至少具有n 位
有效数字。
8
例：要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效 数字？
9
4. 函数的误差估计
一元函数情形 y f (x) | y y* || f (x) f (x* ) || f ' (x*)(x x* ) || f '(x*) | (x*) 故 ( y* ) | f ' (x* ) | (x* )
Sk
xSk 1
ak
Pn
(
x)
S0
(k n 1, n 2,,1,0)
则只需n 次乘法， n 次加法即可得到 Pn (x) 的值。
18
3
。
由于精确值是不知道的，所以通常取 er 相对误差。
x x* x*
作为 x* 的
相对误差限：记作 r
|
x*
|
。
5
6
1
2. 有Байду номын сангаас数字 有效数字：若近似值 x* 的误差限是其某一位的半个单位，该位 到 x* 的左边第一个非零数字共有 n 位，则称 x* 具有 n 位有效 数字。
例：取 π=3.141592653…的近似值为3.14, 3.141, 3.142, 3.14159, 3.141592 分别有几位有效数字？
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5. 注意简化计算步骤，减少运算次数。
例如：计算多项式 Pn (x) an xn an1xn1 a0 的值。
若直接计算，共需乘法
1 2
n(n
1)
次，加法
n
次才能得到
Pn (x)
的值；若采用秦九韶算法：
Pn ( x) x( x ( x( xan an1) an2 ) ) a0
Sn an
In
e1
1 xnex dx ，n
0
0,1, 2,,9
。
解：直接积分可得到
I 0
e1
1 e xdx
0
1 e1
0.6321 : I0
In 1 nIn1 精确值
0
0.6321
0.63212…
1
0.3679
0.36787…
2
利用分部积分可得到递推式 ，
3
In 1 nIn1，
4
5
In 1 nIn 1
10
一般地，多元函数情形 A f (x1,, xn ) 设 x1,, xn 的近似值为 x1*,, xn* ，则 A 的近似值为
A* f (x1*,, xn* ),
误差限：
( A*)
n k 1
f xk
*
(xk* );
相对误差限：
* r
r
( A*)
( A*) A*
n k 1
f xk
*
数值分析
参考资料：
1.《数值分析》(第5版) 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 2.《数值分析》(第3版) D. Kincaid, W. Cheney, 王国荣等译 机械工业出版社 3.《数值分析》(第2版) Timothy Sauer, 裴玉茹、马赓宇译 机械工业出版社
1
实际问题
第一章 绪论
3
误差的来源和基本概念
实际问题 理论数学模型 实际数学模型 数值计算方法 计算机求解
模型误差 由实际问题转化为数学模型时产生的误差。
观测误差 由观测产生的误差。
方法误差 利用数值方法得到的近似解与精确解的误差。
舍入误差 由于计算机在计算过程中只能进行有限位运 算，所以在计算过程中会不断按某种规则进 行舍入，这样会产生舍入误差。
4
1. 误差
误差的基本概念
设 x 为精确值， x*为 x 的一个近似。 绝对误差（或误差）：即误差本身的大小，记作 e = x - x*。
绝对误差限（或误差限）： |e| = |x - x* | ≤ ɛ，称 ɛ 为绝对误差限，记为 x = x* ± ɛ 。
相对误差：即绝对误差与真值之比，记作 er
x x* x
例如： x 0 时，变换 1- cos x sin x sin x 1 cos x
例如：
x 1 时，变换
x1 dt x 1 t2
1 arctan 1 x x2
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3. 防止大数吃掉小数。 例如：在八位十进制机上计算
10000
12345+ i , i 0.0001, i 1, 2, ,10000. i 1