巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系

巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系

濮阳市华龙区高中 张杰

平面向量作为高中数学的解题工具之一，选择恰当基底，确定基底系数的关系，进而用基底表示相关向量往往是能否顺利解决问题的关键，而如何确定平面向量基本定理中基底系数的关系对学生而言通常很难形成有效解决办法，下面通过实例给出一个巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系的办法。

问题：点P 是平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，若AD y AB x AP +=，则系数x,y 满足何种关系是什么？若点P 是ABD ∆内部一点呢？

确定办法：将基底转化为正交单位基底，在正交单位基底下x,y 的关系即为所求。如图在正交基底下BD 对应直线1=+y x ，所以1=+y x 即为所求。若点P 在ABD ∆内部，则有⎪⎩

⎪⎨⎧<+<<<<<101

010y x y x

考题链接：已知点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，则x y 2-的取值范围是（ ）

A.()1,2-

B.()2,1-

C.()2,1

D.[]1,2--

解析：因为点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，∴⎪⎩

⎪⎨⎧<+<<<<<101010y x y x

由线性规划问题的解法可知()1,22-∈-x y ，所以选A.

考题链接：如图，已知四边形OABC 是边长为1的正方形， 3=OD ，

点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设 (,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于___.

解析：如图，将基底转化为正交单位基底，则点D C B ,,的坐标分别为：⎪⎭

⎫ ⎝⎛1,31，()1,0，()0,1，

所以系数βα,满足⎪⎩

⎪⎨⎧≤-+≥-+≤0332011βαβαα由线性规划问题的解法可知βα+的最大值为34。 考题链接：如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP xOA =+(,)yOB x y R ∈。有以下结论： ①当0x =时，[2,3]y ∈；

②当P 是线段CE 的中点时，15,22

x y =-=；

③若x y +为定值，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x y -的最大值为1-

其中你认为正确的所有结论的序号为 。

解析：如图，将基底转化为正交单位基底，则点E D C B ,,,的坐标分别为：()1,0，()2,1-，()4,1-，()3,0，所以则当0x =时，点BE P ∈，所以[]3,1∈y ，

故①错；当P 是线段CE 的中点时，P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,21，∴15,22

x y =-=，②正确；若x y +为定值，则点P 的轨迹是在平行四边形BCDE 内（含边界）与BC 平行的一条线段，③正确；由线性规划的知识可知点()1,0B 对应x y -的最大值1-，④正确。