巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系

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平面向量基本定理

平面向量基本定理1. 介绍平面向量是平面上具有大小和方向的量，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

平面向量基本定理是关于平面向量的一个重要定理，它是矢量运算的基础，对于解析几何和向量代数具有重要的指导作用。

本文将详细介绍平面向量基本定理的定义、性质以及应用。

2. 定义在平面上，一个向量可以表示为有向线段，具有大小和方向。

平面向量基本定理是指对于任意两个平面向量，它们的和（或差）可以用三角形规则来表示。

即，对于平面向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的和（或差）向量 $\\vec{c}$ 可以通过如下方式得到：$$ \\vec{c} = \\vec{a} + \\vec{b} \\quad \\text{或} \\quad \\vec{c} = \\vec{a} - \\vec{b} $$其中，$\\vec{c}$ 的起点与 $\\vec{a}$ 的起点相同，终点与 $\\vec{b}$ 的终点相同。

3. 性质平面向量基本定理具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个平面向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的和（或差）向量满足交换律，即：$$ \\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a} \\quad \\text{或} \\quad \\vec{a} - \\vec{b} = -\\vec{b} + \\vec{a} $$3.2 结合律对于任意三个平面向量 $\\vec{a}$、$\\vec{b}$ 和 $\\vec{c}$，它们的和（或差）向量满足结合律，即：$$ (\\vec{a} + \\vec{b}) + \\vec{c} = \\vec{a} + (\\vec{b} + \\vec{c}) \\quad \\text{或} \\quad (\\vec{a} - \\vec{b}) - \\vec{c} = \\vec{a} - (\\vec{b} + \\vec{c}) $$3.3 零向量存在一个特殊的向量，其大小为零，记作 $\\vec{0}$，称为零向量。

巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系

巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系濮阳市华龙区高中张杰平面向量作为高中数学的解题工具之一，选择恰当基底，确定基底系数的关系，进而用基底表示相关向量往往是能否顺利解决问题的关键，而如何确定平面向量基本定理中基底系数的关系对学生而言通常很难形成有效解决办法，下面通过实例给出一个巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系的办法。

问题：点P 是平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，若AD y AB x AP +=，则系数x,y 满足何种关系是什么？若点P 是ABD ∆内部一点呢？确定办法：将基底转化为正交单位基底，在正交单位基底下x,y 的关系即为所求。

如图在正交基底下BD 对应直线1=+y x ，所以1=+y x 即为所求。

若点P 在ABD ∆内部，则有⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<101010y x y x考题链接：已知点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，则x y 2-的取值范围是（）A.()1,2-B.()2,1-C.()2,1D.[]1,2--解析：因为点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，∴⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<101010y x y x由线性规划问题的解法可知()1,22-∈-x y ，所以选A.考题链接：如图，已知四边形OABC 是边长为1的正方形， 3=OD ，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设 (,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于___.解析：如图，将基底转化为正交单位基底，则点D C B ,,的坐标分别为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31，()1,0，()0,1，所以系数βα,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≤0332011βαβαα由线性规划问题的解法可知βα+的最大值为34。

考题链接：如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP xOA =+(,)yOB x y R ∈。

平面向量基本定理之系数的奇妙性质

平面向量基本定理之系数的奇妙性质我们知道，平面内任意一向量可以分解成基底的线性组合即，其系数构成的有序实数对是唯一的。

除此之外，系数还有哪些美丽而动人的性质呢？引例：三角板，、，另一等腰直角三角板 ,（如图）。

若 ,则 , .法一：由平行四边形法则，设，有、，其中 .易知。

不妨设，中，由余弦定理可知，则,故 .法二：将模长之比转化成面积之比。

过点作的垂线，分别交、于、两点.于是，同理，所以，，。

法三：建立直角坐标系，由向量的坐标表示也可以，此处略去。

由方法一，可以把两个基底、所在的直线分别叫作轴，平面被直线分得四个“象限”，于是乎就得到：性质一：（正负分布）的终点在不同的象限内，则的正负不同。

若把所在区域叫做第一象限，则；若把所在的反向区域叫做第三象限，则；若把所在的反时针的第二个区域叫做第二象限，则；第二象限的相对区域叫做第四象限，则。

这些与直角坐标系下点的坐标何其神似！如果把叫做、的轴，那么、的面积叫做共扼面积。

性质二：若是所在平面内一点，，则其系数的绝对值是其相对共扼面积与全面积之比，即： .特别地，当若在线段上，则.性质三：若，三点共线的充要条件是。

性质四：若 ,其中三点共线，则（常数）因为三点共线，由性质三知，，当时，仍有，证毕。

为方便应用，不妨引入如下概念。

把基底终点的连线称之为基线，过终点且与基线平行的直线称为火线，过起点且与基线平行的直线称为零线。

若起点到火线的距离，称为火距，起点到基线的距离称为基距，则火距：基距。

的取值范围可通过如下“目测”：当火线与基线在零线的同侧时，；当火线与基线在零线的异侧时，。

特别地，火线在零线与基线之间时，；与基线重合，（即性质三）；在“外”部时。

性质四：是内一点，则（其中、、）。

证明：由引例可知（其中、、、）。

所以证毕。

推论：是的重心，则。

推论：是的内心，则。

推论：是的外心，。

推论：是所在平面内一点，，则，其正负由所在“象限”决定。

应用举例1、（2016年清华大学领军计划自主招生问题）已知是内部一点，满足 .设 ,则实数分别为（）解：为“一象限”内一点，实数均为正数。

初中数学发现平面向量的运算规律

初中数学发现平面向量的运算规律在初中数学学习中，我们经常会遇到平面向量的相关概念和运算。

平面向量是一个有大小和方向的量，用箭头表示，常以字母加上一个右箭头来表示，如向量AB表示从点A指向点B的箭头。

平面向量的运算涉及到加法、减法、数乘等操作，本文将重点探讨初中数学中发现的平面向量的运算规律。

一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量按照特定规则相加得到一个新的向量。

设有向量AB和向量BC，它们的加法结果记作AB+BC。

根据平行四边形法则，我们可以先将向量BC平移使其起点与向量AB的终点重合，然后以连接向量AB的起点和向量BC的终点的向量为结果。

即有AB+BC=AC。

二、平面向量的减法平面向量的减法也是通过特定规则进行的。

设有向量AB和向量BC，它们之间的减法结果记作AB-BC。

根据平行四边形法则，我们将向量BC翻转并平移使其起点与向量AB的终点重合，然后以连接向量AB的起点和平移后的向量BC的终点的向量为结果。

即有AB-BC=AC。

三、平面向量的数乘平面向量的数乘是将向量中的每一个分量乘以一个实数。

设有向量AB和实数k，它们进行数乘的结果记作kAB。

根据定义，kAB的大小为k乘以向量AB的大小，方向与向量AB相同或相反，取决于k的正负值。

四、平面向量的运算规律1. 加法的交换律：对于任意平面向量AB和向量CD，有AB+CD=CD+AB。

2. 加法的结合律：对于任意平面向量AB、BC和CD，有(AB+BC)+CD=AB+(BC+CD)。

3. 减法的运算规律：减法运算可以转化为加法运算，即AB-BC=AB+(-1)BC。

4. 数乘的结合律：对于任意平面向量AB和实数k、l，有(kl)AB=k(lAB)。

5. 数乘的分配律：对于任意平面向量AB和实数k、l，有(k+l)AB=kAB+lAB。

以上运算规律是初中数学中平面向量运算的基本规律，深入理解并掌握这些规律将有助于解决与平面向量相关的问题。

五、平面向量运算实例为了更好地理解平面向量的运算规律，我们通过以下实例进行讨论。

向量的基底定理

向量的基底定理向量的基底定理是线性代数中重要的概念之一。

在研究向量空间时，基底是非常关键的。

本文将详细介绍向量的基底定理，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

1、什么是基底在向量空间中，基底是一组线性无关的向量，并且所有其他向量可以通过这组向量的线性组合来表示。

简单来说，就是用一些向量来表示其他所有的向量，这些向量就称为基底。

这个概念可以类比于坐标系中的 x 轴和 y 轴。

只需要知道一个点在 x 轴和 y 轴上的坐标，就可以唯一地确定这个点的位置。

同样地，在向量空间中，只需要知道一个向量在基底中的坐标，就可以唯一地表示它。

2、基底的性质基底有以下几个重要的性质：（1）基底中的向量互不相等。

如果基底中的两个向量相等，则它们不再构成线性无关的组合。

（2）基底中的向量线性无关。

一组向量是线性无关的，意味着它们中的任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。

（3）基底中的向量张成整个向量空间。

也就是说，任意一个向量都可以由基底中的向量线性组合而成。

基底的这些性质使得它在向量空间中具有非常重要的作用。

3、基底的重要性质——基底定理基底定理是关于基底在向量空间中的唯一性的一个重要结论。

基底定理指出，在一个 n 维向量空间中，任意两个基底都包含 exactly n 个向量。

这意味着，基底的个数是不可变的，不同的基底之间只能差在向量的排列或系数上。

这对于研究向量空间的性质非常有用。

4、基底的具体表示在实际应用中，我们可以选择一组合适的基底来表示向量。

一些常见的基底包括：（1）标准基底：这是一个非常常用的基底，它表示基底向量的第i 个元素为 1，其余元素为 0。

（2）坐标系基底：这是一个比较实用的基底，表示坐标系上的 x 和 y 方向的单位向量。

（3）单位球面上的基底：这是一种非常特殊的基底，它能够有效地处理球形数据。

不同的基底可能在不同的应用场景下具有不同的作用，我们需要根据实际需要进行选择。

5、总结基底定理是线性代数中非常重要的概念之一。

平面向量基本定理解题思路

平面向量基本定理解题思路
平面向量基本定理的解题思路主要基于该定理的实质，即利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。

具体来说，解题时可以按照以下步骤进行：
1. 选择一组基底：首先，根据题目条件和所求结论，选择一组合适的基底。

这组基底通常是两个不共线的向量，它们可以表示平面内的任意向量。

2. 将条件和结论表示成向量的形式：接下来，利用这组基底，将题目中的条件和结论都表示成向量的形式。

这通常涉及到向量的线性组合、数乘、点积等运算。

3. 通过向量的运算解决问题：最后，利用向量的运算性质，如向量的加法、减法、数乘、点积等，对表示成向量形式的条件和结论进行运算，从而求得问题的解。

在解题过程中，还可以结合图形进行辅助分析，特别是对于涉及动态变化的问题，数形结合法是非常有效的。

此外，如果题目中给出了向量之间的夹角，也可以考虑使用坐标法来处理向量问题，通过建立平面直角坐标系，将向量问题转化为向量坐标运算问题。

总的来说，平面向量基本定理的解题思路是灵活多样的，需要根据具体问题的特点和条件来选择合适的解题方法。

通过不断练习和总结，可以逐渐掌握平面向量问题的解题技巧和方法。

2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．结论几何表示坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=，故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3 【解析】【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -，所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--，因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =，所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=，因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文））在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ．因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -．所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=，即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.．【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。

e1e2向量基底运算法则

e1e2向量基底运算法则摘要：1.引言2.向量基底的概念3.向量基底运算法则的定义4.向量基底运算法则的例子5.向量基底运算法则的应用6.结论正文：1.引言在数学和物理学中，向量是一个非常重要的概念。

向量可以用来表示空间中的点或者方向，也可以用来表示大小和方向的量。

在向量的运算中，向量基底是一个非常重要的工具。

本文将介绍向量基底的概念以及向量基底运算法则。

2.向量基底的概念向量基底，简称基底，是指一个向量空间的一组线性无关的向量。

在一个向量空间中，基底可以表示空间中的任何一个向量。

例如，在二维空间中，(1, 0) 和(0, 1) 就是一组基底，因为任何一个二维向量都可以表示为这两个向量的线性组合。

3.向量基底运算法则的定义向量基底运算法则是指，对于一个向量空间中的向量，可以通过基底中的向量进行线性组合，得到空间中的任意向量。

具体来说，如果向量空间中的向量v 可以表示为基底中向量a 和向量b 的线性组合，那么v 就可以写成v=a*α+b*β的形式，其中α和β是实数，称为向量v 在基底a 和b 下的坐标。

4.向量基底运算法则的例子以二维空间为例，假设我们有两个向量，向量A=(1, 0) 和向量B=(0, 1)，我们想要表示向量C=(2, 3)。

我们可以通过向量A 和向量B 进行线性组合，得到向量C。

具体来说，我们可以设C=A*α+B*β，其中α和β是实数。

通过解方程组，我们可以得到α=2，β=3，因此，向量C 可以表示为C=A*2+B*3。

5.向量基底运算法则的应用向量基底运算法则在许多领域都有应用，例如线性代数、机器学习、图像处理等。

在这些领域中，向量基底通常被用来表示数据或者信号，通过基底中的向量进行线性组合，可以得到数据或者信号的表示。

6.结论向量基底是向量空间中的一组重要工具，它可以用来表示空间中的任意向量。

向量基底运算法则是向量运算中的一个基本法则，它可以用来计算向量在基底下的坐标，从而得到向量的表示。

平面向量的基本定理及坐标表示_基础

平面向量的基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【要点梳理】要点一：平面向量基本定理1．平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e 、 2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、 2e 唯一表示为a =1λ1e +2λ2e ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、 2e 的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a 与b 的夹角，记为〈a ，b 〉．当向量a 与b 不共线时，a 与b 的夹角()000,180θ∈；当向量a 与b 共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a 与b 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a 与b 的夹角是90，就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量a ⊥b 是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．要点三：平面向量的坐标表示1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．要点诠释：如果基底的两个基向量1e 、2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面上的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a =x i +y j .这样，平面内的任一向量a 都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(,)x y ，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．把a =(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =，AB CD =，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．要点四：平面向量的坐标运算1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运算坐标语言加法与减法记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2) OA OB +=(x 1+x 2，y 1+y 2)，OB OA -=(x 2-x 1，y 2-y 1)实数与向量的乘积记a →=(x ，y)，则λa →=(λx ，λy) 2．如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0. 要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →不能表示成,2121y y x x =因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线.【典型例题】类型一：平面向量基本定理例1．如果1e 、2e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）①12e e λμ+(,R)λμ∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个；③若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使得11122122()e e e e λμλλμ+=+；④若实数λ，μ使得120e e λμ+=，则0λμ==．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②【思路点拨】考查平面向量基本定理．【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量1112e e λμ+与2122e e λμ+均为零向量，即12120λλμμ====时，满足条件的实数λ有无数个．故选B ．【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．例2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为邻边的平行四边形，C 为对角线的交点．又13BM BC =，13CN CD =，试用a ，b 表示OM ，ON ．【解析】由题意，得OB BA OA +=，所以BA a b =-，则1()2BC a b =-，11()36BM BC a b ==-， 115()666OM OB BM b a b a b =+=+-=+． 144122()333233ON OC CN OC CD OC a b a b =+=+==⨯+=+．【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】【变式1】如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示：（1）OE ；（2）BF ；（3）OG .【解析】（1）OE OB BE =+=13b BA +=1()3b OA OB +- =1()3b a b +- =1233a b + （2）BF OF OB =-=1122OA b a b -=- （3）在OAE ∆中，取13MA BA = 同理：//GE FM∴G 是BF 的中点=111222b a +⋅=1142a b + 类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．（2015春山东枣庄月考）设1e ，2e 是二个不共线向量，知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-．（1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若123BF e ke =-，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．【答案】（1）略；（2）λ=3，k =12．【解析】（1）证明：124BD CD CB e e =-=-122(4)2//AB e e BD AB BD ⇒=-=⇒，∵AB 与BD 有公共点，∴A 、B 、D 三点共线（2）解：∵B 、D 、F 三点共线，∴存在实数λ，使BF BD λ=，∴121234e ke e e λλ-=-，∴12(3)(4)e k e λλ-=-，又∵1e ，2e 不共线，∴3040k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得λ=3，k =12．【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．举一反三：【变式1】（2016 山西朔州月考）设,a b 是不共线的两个非零向量．若2,3,3OA a b OB a b OC a b =-=+=-，求证：A 、B 、C 三点共线．【证明】∵(3)(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+，(3)(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-，∴,AB BC 共线，∵有公共端点B ．∴A 、B 、C 三点共线．类型三：平面向量的正交分解例4．如下图，分别用基底i ，j 表示向量a 、b 、c ，并求出它们的坐标．【解析】由图可知23a OA OB i j =+=-+，∴a =（―2，3）．同理可知b =3i +4j =（3，4）． c =4i ―4j =（4，―5）．举一反三：【变式1】已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，||63OM =，∠xOM=120°，求OM 的坐标．【解析】设M （x ，y ），则63cos 6033x =-︒=-．63sin 609y =︒=，即(33,0)M -，所以(33,9)OM =-．【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．类型四：平面向量的坐标运算例5．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标.【思路点拨】根据题意可设出点M 、N 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-求点C ，D 的坐标和CD 的坐标. 【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=--因为11,,33AC AB DA BA ==-，所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0x y =-⎧⎨=⎩ 所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =--类型五：平面向量平行的坐标表示例6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D（1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点，求AM 、CN 的坐标，并判断AM 、CN是否共线．【解析】已知A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），又M 、N 分别为DC 、AB 的中点，∴∴(2.5,2.5)AM =，( 2.5, 2.5)CN =--，∴AM 、CN 共线．【总结升华】求出两向量的坐标，验证x 1y 2－x 2y 1=0即可．举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-，(,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA ，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．整理，得k 2―9k―22=0．解得k 1=―2或k 2=11．∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA ，CA 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】（2015秋海南期末）已知(1,0)a =，(2,1)b =，（1）若k 为何值时，ka b -与2a b +共线．（2）若23AB a b =+，BC a mb =+，且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．【答案】（1）12k =-；（2）32m = 【解析】（1）(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--．2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+=．∵ka b -与2a b +共线∴2(k ―2)―(―1)×5=0，即2k －4+5=0，得12k =-．（2）∵A 、B 、C 三点共线，∴//AB BC ．∴存在实数λ，使得23()a b a mb a mb λλλ+=+=+，又a 与b 不共线，∴23m λλ=⎧⎨=⎩，解得32m =．【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】例7．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==，则(44,4)AP OP OA λλ=-=-．(2,6)AC OC OA =-=-，由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=，所以3(3,3)4OP OB ==．所以P 点坐标为（3，3）．方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =，因为(4,4)OB =，且OP 与OB 共线，所以44x y =，即x=y ．又(4,)AP x y =-，(2,6)AC =-，且AP 与AC 共线，则得(x －4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．举一反三：【变式1】如图，已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．【解析】设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵(1(2),31)(1,2)AB =----=，(3,4)DC x y =--．由AB DC =，得（1，2）=（3―x ，4―y ）．∴1324x y =-⎧⎨=-⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩．∴顶点D 的坐标为（2，2）．。

平面向量基本定理系数等值线

平面向量基本定理系数等值线潘成银(江苏省南京民办实验学校,210019) 平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这个平面内的任一向量a ,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,我们称λ1,λ2为平面向量基本定理系数.1　三点共线定理　定理1　平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则A ,P ,B 三点共线的充要条件是λ1+λ2=1,如图1.设线段AB 中点为C ,由平面向量加法平行四边形法则可知图　1当P 在点C 时,λ1=λ2=12;当P 在点A 时,λ1=1,λ2=0;当P 在点B 时,λ1=0,λ2=1;当P 在线段AC 上(除端点)时,0<λ2<λ1<1;当P 在线段BC 上(除端点)时,0<λ1<λ2<1;当P 在线段AB 延长线上时,λ1<0,λ2>1; 当P 在线段BA 延长线上时,λ1>1,λ2<0.借助上面的结论,我们可以对平面向量基本定理系数的性质作进一步研究.2　等和线　图　2如图2,平面内一组基底OA ,OB ,作直线l ∥AB ,直线OA ,OB 分别与l 交于A 1,B 1,设OA 1=k OA (k ∈R ),则OB 1=k OB ,若P 为l 上任意一点,OP =OA 1+A 1P =OA 1+t A 1B 1=OA 1+t (OB 1-OA 1)=(1-t )k OA +tk OB (t 为实数),设λ1=(1-t )k ,λ2=tk ,则λ1+λ2=k ,显然k 只与l 和直线AB 相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以,对于直线l 上任意一点P ,以O A ,OB 底的向量OP 的平面向量基本定理的系数和为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1+λ2=λ3+λ4,移项得λ3-λ1=点处的切线平行于这些弦.(2)椭圆焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上.(3)设椭圆的中心为C ,如果CP 平分平行于CD 的弦,那么CD 也平分平行于CP 的弦.(4)若椭圆在其点P 处的切线交长轴延长线于T ,PN 垂直于长轴,垂足为N ,C 是中心,A 是长轴的一个端点,则CN ·CT =CA 2.[1]等等.3　结语　今天,变换的基本观点与基本思想为中学数学教学,特别是解析几何的教学提供了十分有益的指导.显然,平面上的变换就是到自身的一个对应.或者说,“变换无非是简单的函数概念的推广.”[2]本文表明,在高中数学内容中引入变换的观点是非常必要的.变换观点与变换思想的引入是对高中数形结合思想的进一步提升,也使高中阶段用代数方法研究几何问题达到了一个更高的层次.特别地,对于解析几何的问题解决来说,一切都变得简单而又自然.参考文献:[1]　[英]A .科克肖特,F .B .沃尔特斯著,蒋声译.圆锥曲线的几何性质[M ].上海:上海教育出版社,2002.[2]　[德]F .克莱因著,舒湘芹等译.高观点下的初等数学(第二册)[M ].上海:复旦大学出版社,2007.(收稿日期:2012-10-23)-(λ4-λ2),所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(O A -OB )=(λ3-λ1)BA ,从而P 1P 2∥AB .于是有:定理2　平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB λ1,λ2为实数),若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上,则λ1+λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线AB 以及与AB 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等和线,如图3.根据证明过程可知:图　3(1)当等和线即为直线AB 时,k =1;(2)当等和线在点O 与直线AB 之间时,k ∈(0,1);(3)当直线AB 在点O 与等和线之间时,k ∈(1,+∞);且以上定值的变化与等和线到点O 的距离成正比.(4)当等和线过点O 时,k =0;由相反向量概念可知:(5)若两等和线关于O 点对称,则相应的定值互为相反数.3　等差线　图　4如图4,平面内一组基底O A ,OB ,C 为线段AB 的中点,OC =12(OA +OB ),设P ′为直线OC 上任意一点,则OP ′=λOC =λ2O A +λ2OB ,此时λ1=λ2=λ2,λ1-λ2=0.作直线l ∥OC ,直线OA 与l 交于点M ,直线AB 与l 交点为N ,显然■OAC ∽■M AN ,设AM =k OA ,则OM =(1+k )OA ,NM =k OC =k 2(OA +OB ),若P 为直线l 上任意一点,则OP =O M +MP =(1+k )OA +t NM =(1+k )OA +kt OC =(1+k +kt 2)OA +kt 2OB (t 为实数),此时λ1=1+k +kt 2,λ2=kt 2,λ1-λ2=1+k ,由于k 只与l 和OC相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以对于直线l 上任意一点P ,以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数差为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1-λ2=λ3-λ4,移项得λ3-λ1=λ4-λ2,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)OA +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(OA +OB )=2(λ3-λ1)OC ,从而P 1P 2∥OC .于是有:定理3　平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),C 为线段AB 中点,若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上,则λ1-λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线OC 以及与OC 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等差线,如图5.根据证明过程和定理1可知:图　5(1)当等差线过AB 中点C 时,k =0;(2)当等差线过点A 时,k =1;(3)当等差线在直线OC 与点A 之间时,k ∈(0,1);(4)当等差线与B A 延长线相交时,k ∈(1,+∞);由相反向量概念和平面几何知识易证:(5)若两等差线关于OC 对称,则相应的定值互为相反数.4　等商线　图　6如图6,平面内一组基底OA ,OB ,设直线l 是过点O 不与OA ,OB 重合的任意直线,设P 1,P 是直线l 上不同于O 的任意两点,则存在实数t ,使得OP 1=t OP ,若OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则OP 1=t (λ1OA +λ2OB )=t λ1OA +t λ2OB ,所以t λ1t λ2=λ1λ2,所以对于是直线l 上任意点P (非点O ),以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数的比值为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1O A +λ2OB ,OP 2=λ3O A +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数且非零),若λ1λ2=λ3λ4,则λ3λ1=λ4λ2,设λ3λ1=λ4λ2=k ,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(k λ1-λ1)OA +(k λ2-λ2)OB =(k -1)(λ1OA +λ2OB )=(k -1)OP 1,P 1P 2∥OP 1,即O ,P 1,P 2三点共线.于是有:定理4　平面内一组基底OA ,OB 及任一非零向量OP ,OP =λ1O A +λ2OB (λ1,λ2为实数),若点P 在过点O (不与OA 重合)的直线l 上,则λ1λ2=k (定值),反之也成立.我们把过点O 的直线(除O A 及不含点O )叫平面向量基本定理系数的等商线,如图7.根据证明过程和定理1可得:图　7(1)当等商线过AB 中点C 时,k =1;(2)当等商线与线段AC (除端点)相交时,k ∈(1,+∞);(3)当等商线与线段BC (除端点)相交时,k ∈(0,1);(4)当等商线即为OB 时,k =0;(5)当等商线与B A 延长线相交时,k ∈(-∞,-1);(6)当等商线与AB 延长线相交时,k ∈(-1,0);(7)当等商线与直线AB 平行时,k =-1.5　等积线　平面内一组基底OA ,OB ,以O 为原点,∠AOB 平分线所在直线为x 轴,建立直角坐标系,如图8,设OA =(a ,b ),OB =(c ,d ),若点A 关于x 轴对称点为B 1,则OB 1=(a ,-b ),且OB =λOB 1(λ为正实数),设P (x ,y )是直线OA ,OB 外任意一点,根据平面向量基本定理,存在非零实数λ1,λ2,使得OP =λ1O A +λ2OB =λ1OA +λλ2OB 1=λ1(a ,b )-λλ2b ).x y 两式相乘得x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),图　8设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),它的渐近线为y =±b ax ,即为直线OA ,OB ,若当λ1λ2为定值,点P 在以OA ,OB 为渐近线的双曲线上;反之,若P 在以OA ,OB 为渐近线的某双曲线上,则x 2a 2-y 2b2的值为非零常数,所以4λ(λ1λ2)为常数,即λ1λ2为定值.于是有:定理5　平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB ,若λ1λ2为定值,则点P 在以直线OA ,OB 为渐近线的某条双曲线上;反之,点P 在以直线O A ,OB 为渐近线的某条双曲线上,则λ1λ2为定值.我们把以直线O A ,OB 为渐近线的双曲线叫平面向量基本定理系数的等积线,根据证明过程可知以下结论:(1)当双曲线有一支在∠AOB 内时,λ1λ2为正值;(2)当双曲线都不在∠AOB 内时,λ1λ2负值;(3)特别地,OA =(a ,b ),OB =(a ,-b ),点P 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上时,λ1λ2=14.应用平面向量基本定理系数等值线,可以直观、简捷、快速解决一些问题:图　9例1　(2009年安徽理科试题)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120°,如图9,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,若OC =x OA +y OB ,其中x ,y ∈R ,则x +y 的最大值是.解析　连接AB ,过C 作直线l ∥AB ,则直线l 为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,显然当l 与圆弧相切于C 1时,定值最大,因为∠AOB =120°,所以OC 1=OA +OB ,即x =y =1,所以x +y 的最大值为2.说明　原解是利用向量坐标表示,借助向量数量积及三角函数知识求解,是典型的向量问题代数化,应用平面向量定理系数的等和线解决,尤显直观、简捷、快速!例2　如图10所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若OC =m OA +n OB ,则m +n的取值范围是.图　10图　11解析　作O ,的相反向量OA 1,OB 1,如图11,则AB ∥A 1B 1,过O 作直线l ∥AB ,则直线l ,A 1B 1为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,且定值分别为0,-1,由题意CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,所以C 在直线l 与直线A 1B 1之间,即过C 点的等和线在直线l 与直线A 1B 1之间,所以m +n ∈(-1,0).例3　(2010上海高考文科试题)在平面直角坐标系中,双曲线C 的中心在原点,它的一个焦点坐标为(5,0),e 1=(2,1),e 2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线C 上的点P ,若OP =a e 1+b e 2(a ,b ∈R ),则a ,b 满足的一个等式是.解　因为e 1=(2,1),e 2=(2,-1)是渐进线的方向向量,所以双曲线渐近线方程为y =±12x ,又它的一个焦点坐标为(5,0),c =5,双曲线C 的方程为x 24-y 2=1,ab =14.(收稿日期:2012-09-02)一个不等式猜想的简证及推广戴志祥(浙江省绍兴市高级中学,312000)1　引言　文[1]的最后提出了四个不等式猜想,文[2]中用构造函数再结合导数的方法给出了猜想1的肯定性证明与推广.本文应用柯西不等式与均值不等式给出猜想1的简证,并在此基础上给出猜想1的进一步推广.猜想1　若a ,b ,c 都是正实数,且满足abc =1,则a 22+a +b 22+b +c 22+c ≥1.2　猜想1的证明证明　由柯西不等式得,(2+a +2+b +2+c )(a 22+a +b 22+b +c 22+c)　≥(a +b +c )2,∴a 22+a +b 22+b +c 22+c≥(a +b +c )2a +b +c +6=(a +b +c )2-36a +b +c +6+36a +b +c +6=a +b +c -6+36a +b +c +6=49(a +b +c +6)+36a +b +c +6　+59(a +b +c +6)-12。

2024年高考数学平面向量的基本定理总结(2篇)

2024年高考数学平面向量的基本定理总结平面向量是高考数学中的重要内容之一，也是一道很多学生所困扰的难题。

2024年高考数学试卷中关于平面向量的命题主要以基本定理为主。

基本定理是矢量分解定理和平行四边形定理的推论，也是解决平面向量问题的基础。

下面我将就2024年高考数学试卷中出现的平面向量基本定理进行总结，以便为考生复习提供参考。

一、平面向量的矢量分解定理平面向量的矢量分解定理是高考数学中使向量具有普通向量性质的基础。

矢量分解定理有两种表达形式：平行四边形法则和三角形法则。

1. 平行四边形法则平行四边形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用平行四边形的两条对角线表示。

对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + ED其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和ED是两向量的矢量共线分解。

2. 三角形法则三角形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用构成由这两个向量所在的两条边所组成的三角形的一条边和该边上的向量的和表示。

对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + DE其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和DE是两向量的矢量共线分解。

二、平面向量的平行四边形定理平面向量的平行四边形定理是基本定理的推论，也是较为重要的定理之一。

平行四边形定理有两个推论，分别是相等条件和平行条件。

1. 相等条件平行四边形定理的相等条件是指对于平行四边形形状的两个向量，它们互为相等向量。

对于平面中的向量AC和BD，如果满足AC = BD，则可以得出以下的结论：ABCD为平行四边形2. 平行条件平行四边形定理的平行条件是指对于平面中的两个向量，如果它们的终点相同，则这两个向量是平行向量。

对于平面中的向量AC和BD，如果满足C = D，则可以得出以下的结论：AC // BD三、基本定理的应用基本定理是解决平面向量问题的基础，通过运用矢量分解定理和平行四边形定理，可以解决各种与平面向量相关的问题，如求向量的模、方向、分解等问题。

高中数学必修四《平面向量应用问题中的“基底”思想》PPT

N
C
点M，N分别为BC,CD的中点，
FE
M
连接AM、AN,分别交BD于点E、F. A
P
B
求证：点E、F为BD的三等分点.(教材110页，例2）
拓
若AB=2，AD=1，BAD 60.
展
求 AN BD 的值
若点P是边小结
1、你对“基底”思想有什么新的认识？ 2、整理本节课例题1、2 3、作业：练习册 70页，12题。
A
① BC
② AM
③ BN
C NF
B
提出问题
1、基底向量满足什么条件？（不共线）
2、目标向量如何用基底表示？ 3、如何选择适当的基底？
例题分析
1. 如图，边长为2的等边ABC中， A
点 P 、Q 满足AP AB, AQ (1 )AC . P
Q
若BQCP 3
2
，求实数的值。B
C
若 1 ，求线段 BQ 的长度。
3
方法总结
我们选择基底绝不能太“随意”，只有选择了两个恰当的向量作为基底，才能把目标向量顺利转化为可以计算的问题，使解题过程“水到渠成”。通常有以下两种方法可供选择： 1、借助三角形的两条边； 2、借助平行四边形的邻边。（向量加法的三角形法则或平行四边形法则）
能力提升
2.如图在平行四边形ABCD中， D
平面向量基本定理集向量线性运算与多重化归功能于一身，自然成为向量方法的重要理论依据。
热身训练
（教材120页，4题）
如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，
下底是上底的2倍。点E、F分别是
D
腰AD、BC的中点，M、N是线段EF E M 上的两个点，且满足EM=MN=NF。

平面向量基本定理的证明

平面向量基本定理的证明平面向量基本定理是指，如果平面上两个向量的线性组合能够产生任意一个平面向量，那么这两个向量就可以构成一个平面向量空间的基。

下面是平面向量基本定理的证明过程：假设平面上有两个向量a和a，我们要证明，如果对于任意一个向量a，存在实数a和a，使得a = aa + aa = a，那么向量a和a构成一个平面向量空间的基。

证明过程如下：1. 首先，我们需要证明向量a和a是线性无关的。

假设存在实数a和a，使得aa + aa = a，其中a是零向量。

我们可以将此等式两边左乘以a的逆向量，并且可以得到：a^(-1) (aa + aa) = a^(-1)a这个等式可以化简为：aa^(-1)a + aa^(-1)a = a由于a和a是非零向量，所以它们的逆向量存在。

而由于向量之间的乘法满足结合律和分配律，上述等式化简为：a + a(a^(-1)a) = a由于a和a是线性无关的，那么a^(-1)a不等于0。

因此，为了满足等式，必须有a = 0 且a = 0。

因此，向量a和a是线性无关的。

2. 接下来，我们需要证明向量a和a是生成空间的。

也就是说，对于任意一个向量a，在实数a和a存在的情况下，aa + aa = a。

根据线性组合的定义，我们可以写出等式aa + aa = a然后我们可以将等式两边左乘以a的逆向量，并且可以得到：a^(-1)(aa + aa) = a^(-1)a这个等式可以化简为：aa^(-1)a + a(a^(-1)a) = a^(-1)a由于a和a是线性无关的，所以a^(-1)a不等于0。

因此，我们可以将等式进一步化简为：a + a(a^(-1)a) = a^(-1)a由于等式左边是向量的线性组合，等式右边是给定向量a。

根据题设条件，我们知道对于任意的向量a，我们可以找到实数a和a，使得等式成立。

因此，向量a和a能够生成平面向量空间。

综上所述，向量a和a构成了平面向量空间的基。

平面向量基本定理基底

平面向量基本定理基底
平面向量基底是在平面几何中可以表示任意向量a的两个非零向量e1、e2。

在平面上，任何向量a（包括零向量）都可以用两个非零向量（e1，e2）表示，即a=xe1+ye2（x，y是任意实数）。

这是平面向量基本定理的主要内容。

用于表示向量A的两个非零向量e1和e2称为向量A的一组基。

应注意以下几点：
（1）基向量不能为零向量，即e1≠0、e2≠0（这里0表示零向量）；
（2）一组基不是非零向量，而是两个非零向量。

（3）当用底数e1和e2表示向量a时，实数x和y的值是唯一的。

当基数为e1和e2时，只有一个实数（x，y），因此a=xe1+ye2；
（4）可以表示向量A的基不是唯一的。

基e1和e2可以将向量a表示为
a=xe1+ye2，基f1和f2的一组也可以将向量a表示为a=mf1+nf2。

扩展资料：
平面向量基底的相关推论：
（1）三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。

（2）若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。

（3）若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。

平面向量教学中的基底与坐标

平面向量教学中的基底与坐标随着数学教育的不断发展，平面向量已经成为了中学数学中不可或缺的一部分。

平面向量的概念和应用不仅在高中阶段，也在大学的数学和物理学科中发挥着重要的作用。

而在平面向量的教学中，基底与坐标是两个重要的概念。

本文将围绕这两个概念展开探讨，旨在帮助学生更好地理解平面向量的基本概念和应用。

一、基底在平面向量的教学中，基底是一个非常重要的概念。

基底是指一个向量空间中的一组基本向量，它们可以通过线性组合得到该向量空间中的任意向量。

在平面向量中，我们通常使用单位向量 i 和 j 作为基底。

i 和 j 分别代表了 x 轴和 y 轴的方向，它们是两个相互垂直的向量。

使用基底可以方便地表示向量的坐标。

例如，一个向量 v 可以表示为 v = a i + b j，其中 a 和 b 分别是 v 在 i 和 j 方向上的投影。

这种表示方法被称为向量的坐标表示法。

通过向量的坐标表示法，我们可以方便地进行向量的运算和计算。

二、坐标坐标是另一个非常重要的概念。

在平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对 (x, y)。

类似地，在平面向量中，每个向量也可以表示为一个有序数对 (a, b)。

这个有序数对就是向量的坐标。

向量的坐标表示法可以使我们更方便地进行向量的运算。

例如，两个向量的和可以表示为它们坐标的对应分量之和。

即，如果 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则它们的和为 u + v = (a + c, b + d)。

坐标还可以用于计算向量的模长和方向角。

向量的模长可以表示为坐标的平方和的平方根。

即，如果 v = (a, b)，则 |v| = √(a + b)。

向量的方向角可以表示为向量与 i 的夹角。

如果向量的坐标为(a, b)，则它与 i 的夹角为 arctan(b/a)。

三、应用基底和坐标在平面向量的应用中发挥着重要的作用。

例如，在平面向量的平移中，我们可以通过基底和坐标来计算向量的平移。

平面向量教学中的基底与坐标

平面向量教学中的基底与坐标平面向量是高中数学中的重要内容，也是高等数学中的基础知识。

在平面向量的教学中，基底和坐标是两个重要的概念，对于学生理解平面向量的性质和运算有着至关重要的作用。

本文将从基底和坐标的概念、基底变换和坐标变换的方法、基底和坐标在向量运算中的应用等方面进行探讨。

二、基底和坐标的概念1.基底的概念基底是指一个向量空间中的一组线性无关向量，它可以用来表示该空间中的任意向量。

在平面向量的教学中，我们通常会选取两个线性无关的向量作为基底，它们可以表示平面上的任意向量。

2.坐标的概念坐标是指用一个有序数对表示向量在基底上的投影长度。

在平面向量的教学中，我们通常会将两个基底分别表示为单位向量，然后用一个有序数对表示向量在这两个单位向量上的投影长度，这个有序数对就是向量的坐标。

三、基底变换和坐标变换的方法1.基底变换的方法基底变换是指将一个向量空间中的基底替换为另一个基底的过程。

在平面向量的教学中，我们通常会用一组基底的线性组合来表示另一组基底，这个线性组合的系数就是基底变换矩阵。

例如，如果我们要将一个向量空间的基底从{e1,e2}变换为{f1,f2}，那么我们可以用f1=a1e1+b1e2和f2=a2e1+b2e2来表示{f1,f2}，这里的a1、a2、b1、b2就是基底变换矩阵的系数。

2.坐标变换的方法坐标变换是指在不改变向量本身的情况下改变向量的坐标表示。

在平面向量的教学中，我们通常会用新的基底表示向量，然后再用新的基底计算向量的坐标，这个过程就是坐标变换。

例如，如果我们要将一个向量在{e1,e2}基底下的坐标(x,y)转换为在{f1,f2}基底下的坐标(x',y')，那么我们可以先将向量表示为x*e1+y*e2，然后将e1和e2表示为f1和f2的线性组合，最后计算出x'和y'。

四、基底和坐标在向量运算中的应用1.向量加法和减法在平面向量的加法和减法中，我们通常会将两个向量的坐标相加或相减，然后再用新的坐标表示向量。

平面向量基本定理口诀

平面向量基本定理口诀以下是为您生成的十个关于“平面向量基本定理”的口诀：1. 一找共线二找不共，平面向量定理不难。

共线向量数量乘，不共向量作基底。

基底选定很重要，好比房屋打基石。

相互线性表出妙，运算求解没烦恼。

2. 一明方向二定大小，向量分解要记牢。

一个向量分两份，如同蛋糕切几刀。

基底如同坐标轴，坐标表示易算好。

线性组合要分清，心中有数不混淆。

3. 一选基底二表向量，平面向量有妙方。

基底就像火车轨，向量沿着轨奔跑。

系数确定位置明，加减乘除都能搞。

理解定理多练习，解题轻松成绩高。

4. 一抓本质二用定理，向量世界任你行。

向量如同小风筝，基底就是手中绳。

方向大小由它定，分解合成皆分明。

巧记巧算多思考，知识掌握在心中。

5. 一思共线二思独立，平面向量分得清。

共线向量有关系，独立向量定分明。

如同树枝分岔路，条理清晰方向定。

定理牢记多运用，数学海洋任畅泳。

6. 一认基底二析向量，向量问题不迷茫。

基底好比定盘星，向量跟着方向行。

分解合成有规律，就像拼图块块拼。

认真观察细思考，难题也能变轻松。

7. 一观整体二看局部，平面向量心中住。

整体分解成部分，局部合成回原路。

好比积木搭城堡，有条不紊不会错。

定理清晰思路开，学习进步笑呵呵。

8. 一探原理二做练习，向量定理没问题。

原理就像指南针，练习如同脚下路。

相互结合进步快，知识掌握更牢固。

简单易懂好方法，数学天地快乐度。

9. 一懂概念二会应用，向量定理我最行。

概念如同指路灯，应用好比脚步轻。

分解合成随意转，解题如同玩游戏。

努力学习加思考，未来前程定光明。

10. 一解基础二攻难题，向量知识全无敌。

基础如同建高楼，难题好比攀云梯。

定理运用要熟练，思维灵活创佳绩。

快乐学习共进步，梦想之花绽满地。

技巧八平面向量基本定理系数的等值线法2 (1)

答案：
1 ,2 2
例 16 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，两定点 A, B 满足
OA OB OA OB 2, 则点集 P | OP OA OB, 1, , R 所表示

的区域面积为__________.
答案： 4 3
1 ； 2
三、解题步骤
1、确定等值线为 1 的线； 2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； 3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
四、几点补充
1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量； 2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；
（六）等平方和线平面内一组基底 OA, OB 及任一向量 OP ， OP OA OB , R ，且若点 P 在以 AOB 角平分线为半长轴的椭圆上，则 2 2 为定值 k ， OA OB ，反之也成立，我们把以以 AOB 角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。
OC mOA nOB ，则
答案：3
m 的值为_________. n
例 14 如图，倾斜角为的直线 OP 与单位圆在第一象限的部分交于点 P ，单位圆与坐标轴交于点 A(1,0) ，点 B (0,1) ， PA 与 y 轴交于点 N ， PB 与 x 轴交于
( x, y R ) ，求 x y 的最小值。点 M ，设 PO x PM y PN，
答案：1
例 6 在正方形 ABCD 中， E 为 AB 中点， P 为以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧上 AC xDE y AP 的任意一点，设 ,则 x y 的最小值为____________

平面向量的基底

平面向量的基底平面向量的基底是向量空间中的一组线性无关的向量，可以通过它们的线性组合来表示该向量空间中的任意向量。

在平面向量中，我们通常使用两个基向量来表示平面上的所有向量。

本文将详细介绍平面向量的基底及其性质。

一、基底的定义在平面向量中，我们定义两个非零向量a和b为基底，如果它们是线性无关的，并且能够通过线性组合来表示平面上的任意向量v。

记作{a, b}。

二、基底的性质1. 线性无关性：在基底{a, b}中，如果a和b是线性无关的，则它们不能通过彼此的线性组合来表示为零向量。

这意味着它们不能在平面上共线。

2. 生成性：任意向量v都可以表示为基底{a, b}的线性组合。

即存在实数k1和k2，使得v=k1a+k2b。

3. 唯一性：基底{a, b}的表示是唯一的。

也就是说，对于给定的向量v，如果存在实数k1和k2，使得v=k1a+k2b，那么k1和k2是唯一确定的。

三、基底的应用基底在平面向量的表示、运算以及向量空间的推导中发挥着重要的作用。

以下是一些基底的应用：1. 向量表示：给定基底{a, b}，我们可以表示平面上的向量v为v=k1a+k2b的形式。

这使得向量的表示更加简单明了。

2. 向量的加法和减法：给定基底{a, b}以及向量v1和v2，我们可以通过分别对k1和k2进行加法或减法运算来实现向量的加法和减法。

即v1+v2=(k1a+k2b)+(k3a+k4b)=(k1+k3)a+(k2+k4)b。

3. 向量的数量积：基底{a, b}的向量数量积可以轻松计算。

对于基底中的向量a和b，它们的数量积满足a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

4. 基底的转换：当基底{a, b}不再方便使用时，我们可以通过基底的变换来简化问题。

例如，通过旋转或缩放基底，我们可以将问题转化为更简单的形式进行处理。

四、基底的选择在实际应用中，基底的选择通常取决于问题的具体要求。

一般而言，选择与问题相关的方便计算的向量作为基底可以简化运算过程。

解读平面向量两个基本定理

解读两个基本定理《平面向量》的第三节有两个重要的定理，对它们的理解直接影响到整个向量知识的学习对一个定理理解主要可从下面几个方面考虑：定理揭示的本质、定理条件与结论中的关键字词、变形式及推论、用法技巧等下面就对两个基本定理的进行解读一、向量共线基本定理定理：向量错误!与非零向量错误!共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得错误!＝λ错误!要熟练使用此定理，必须对定理透彻理解，主要从下面几个方面理解：1、把握定理所揭示的本质：如果给一个非零向量，那么所有与它共线的向量，可以由它和一个实数唯一表示，就好比一个非零实数，可以表示任意实数一样2、注意定理中的关键词：定理中“非零”不可忽视，否则，就成了“充分不必要条件”，这是因为：若错误!为零向量，则向量错误!与错误!共线，但不能得出有且只有一个实数λ，使得错误!＝λ错误!，此时若错误!是零向量，实数不唯一，若错误!是非零向量，实数λ不存在3、熟悉共线定理的变形式：此定理还可以用一般的形式给出：如果存在不全为0的一对实数t，，使t错误!＋错误!＝错误!，则错误!与错误!共线事实上，若错误!与错误!不共线，且t错误!＋错误!＝错误!，必有t＝＝0，这是因为如果t，中至少有一个不为0，不妨设t≠0，则由错误!＝―错误!错误!，―错误!∈R，于是错误!与错误!共线，与已知矛盾，故t，均为04、掌握定理用法技巧：如果题中涉及向量共线，一般需要引进参数进行求解，如果向量错误!与错误!共线，则可设错误!＝λ错误!二、平面向量基本定理定理：如果错误!、错误!是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量错误!，有且只有一对实数λ1、λ2，使错误!＝λ1错误!＋λ2错误!对此定理的理解，主要从下面几个方面考虑：1、把握定理揭示的本质：平面内任意两个不共线的向量，可以表示出该平面内所有的向量这样研究一个平面内所有的向量，，都存在唯一的一对实数λ、1，使得向量错误!表示为其他两个不共线的向量错误!、错误!的线性组合，即错误!λ2＝λ错误!＋λ2错误!；同时任何两个不共线向量的线性关系都可以用一个向量来1表示μ错误!＋μ2错误!＝错误!12、注意定理中的关键词：由于定理中的“不共线”的限制，且零向量与任何向量平行，所以组成基底的向量必无零向量；定理中的“只有一对”则说明：当一组基底确定了，表达式错误!＝λ错误!＋λ2错误!是唯一确定的，当然，对于任1一向量来说，我们可以任选一组不共线的向量作为基底．3、掌握定理的用法技巧：在用法上主要体现两种思想方法：①运用化归思想：将题目已知条件转化成错误!＋错误!＝错误!的形式（错误!，错误!不共线），则可根据＝＝0求解相关的问题；②运用待定系数学法与构造思想：通过构造同一向量的关于同一基底的两种不同形式的表达式，即若错误!＝λ错误!＋λ2错误!＝μ1错误!＋μ2错误!（错误!，1错误!不共线），则必有λ1＝μ1且λ2＝μ2，这为待定系数法解题提供了理论依据。

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