2021年轴对称作图题归纳

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2021年中考数学专题复习：轴对称与中心对称(含答案)

2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()2. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．∠ADC＝45°B．∠DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC4. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()A.2个B.3个C.4个D.5个5. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.则下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD6. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行8. 把一张长方形纸片按图2①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是图3中的()二、填空题9. 若点A(x＋3，2y＋1)与点A′(y－5，1)关于原点对称，则点A的坐标是________．10. 如图，在△ABC中，已知AC=3，BC=4，点D为边AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE'的位置.若CE'∥AB，则CE'=.11. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为.12. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．13. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．15. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.三、解答题17. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.18. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.19. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数;(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.20. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.21. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．22. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故选B.2. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.3. 【答案】D[解析] ∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，故C正确；∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝22.5°.∴∠ADC＝45°，故A正确；∠DAC＝90°－∠ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.4. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.5. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.∵CA=CD，BA=BD，∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.∴BH垂直平分线段AD.故选A.6. 【答案】D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.8. 【答案】C二、填空题9. 【答案】(6，－1) [解析] 依题意，得⎩⎨⎧x ＋3＝－（y －5），2y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴点A 的坐标为(6，－1)．10. 【答案】[解析]如图，作CH ⊥AB 于H.由翻折可知:∠AE'C=∠AEC=90°，∠ACE=∠ACE'， ∵CE'∥AB ，∴∠ACE'=∠CAD ，∴∠ACD=∠CAD ，∴DC=DA.∵AD=DB ，∴DC=DA=DB ，∴∠ACB=90°，∴AB==5，∵·AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=， ∴AH==，∵CE'∥AB ，∴∠E'CH +∠AHC=180°， ∵∠AHC=90°，∴∠E'CH=90°， ∴四边形AHCE'是矩形， ∴CE'=AH=，故答案为.11. 【答案】[解析]设CE=x ，则BE=6-x.由折叠的性质可知，EF=CE=x ，DF=CD=AB=10，在Rt △DAF 中，AD=6，DF=10，∴AF=8， ∴BF=AB -AF=10-8=2，在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2=EF 2，即(6-x )2+22=x 2，解得x=，故答案为.12. 【答案】6[解析] 如图，过点A ′作A ′B ′⊥a ，垂足为B ′，由题意可知，①与②关于点O 中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A ′B ′OD 的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.13. 【答案】(－2，2)[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.∴对称点P′的坐标为(－2，2)．14. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.15. 【答案】③16. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.三、解答题17. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC，DB=DC，∴直线AD是线段BC的垂直平分线.又∵点E在直线AD上，∴EB=EC.18. 【答案】解：(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示．(2)平移后的△A2B2C2如图所示，其中点B2的坐标为(0，－2)，点C2的坐标为(－2，－1)．(3)△A1B1C1(1，－1)19. 【答案】解:(1)∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=25°.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.∴∠EDA=90°-25°=65°.(2)证明:∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC.又∵AD=AD ，∴△AED ≌△ACD.∴AE=AC ，DE=DC.∴点A ，D 都在线段CE 的垂直平分线上.∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.20. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC.∵△BEG 的周长为16，∴EB+GB+GE=16.∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16.∴AC+2GE=16.∵GE=3，∴AC=10.21. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S ，∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM 22EM EC -＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.22. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时 S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7。

2021中考数学专题训练轴对称与中心对称(含答案)

2021中考数学专题训练轴对称与中心对称一、选择题1. 下列四个交通标志图中，为轴对称图形的是()2. 点(－1，2)关于原点的对称点坐标是()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(1，2) D．(2，－1)3. 如图，在4×4的正方形网格中，已有四个小正方形被涂黑.若将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，则该小正方形的位置可以是()A.(一，2)B.(二，4)C.(三，2)D.(四，4)4. 2018·达州下列图形中是中心对称图形的是()5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为()A．40°B．45°C．50°D．60°6. 如图，在RtABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为A ．52B ．3C ．2D ．727. 如图，线段AB 外有C ，D 两点(在AB 同侧)，且CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB 的度数为( )A .80°B .90°C .100°D .110°8. 如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，若点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是 ( ) A .B .C .6D .3二、填空题9. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，∠BAC ≠90°.将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个四边形，则能拼出______个中心对称图形．10. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为.11. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.12. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).13. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.14. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.三、作图题15. 如图，在对R t△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到R t△O′A′B′.(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；(2)设P(x，y)为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．16. 如图，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．DCBAO4O3O2O1EDCBAO5O4O3O2O1四、解答题17. 如图，Rt△ABC的顶点A，B，C关于直线MN的对称点分别为A'，B'，C'，其中∠A=90°，AC=8 cm，点C，B，A'在同一条直线上，且A'C=12 cm.(1)求△A'B'C'的周长; (2)求△A'CC'的面积.18. 如图，在△ABC中，AB 边的垂直平分线DE 分别与AB 边和AC 边交于点D和点E ，BC 边的垂直平分线FG 分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC 的长.19. [材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.[运用](1)已知点A (－2，1)和点B (4，－3)，则线段AB 的中点坐标是________；已知点M (2，3)，线段MN 的中点坐标是(－2，－1)，则点N 的坐标是________． (2)已知平面上四点A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)．直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为________．(3)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D ，可使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．20. 如图1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF 、HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．图1 图2 图3 图42021中考数学专题训练轴对称与中心对称-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】B [解析] 如图，把(二，4)位置的小正方形涂黑，则整个图案构成一个以直线AB 为对称轴的轴对称图形.4. 【答案】B5. 【答案】C[解析] 由作法得CG ⊥AB.∵AC ＝BC ，∴CG 平分∠ACB ，∠A ＝∠B ＝40°. ∵∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°， ∴∠BCG ＝12∠ACB ＝50°.6. 【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =， ∴CF 为斜边AB 上的中线， ∵22345AB =+=， ∴1522CF AB ==．故选A ．7. 【答案】C8. 【答案】D[解析]分别以OB ，OA 为对称轴作点P 的对称点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2，P 1P 2交射线OA ，OB 于点M ，N ，则此时△PMN 的周长有最小值，△PMN 的周长=PN +PM +MN=P 1N +P 2M +MN=P 1P 2，根据轴对称的性质可知OP 1=OP 2=OP=，∠P 1OP 2=120°，∴∠OP 1M=30°，过点O 作MN 的垂线段，垂足为Q ，在Rt △OP 1Q 中，可知P 1Q=，所以P 1P 2=2P 1Q=3，故△PMN 周长的最小值为3.二、填空题9. 【答案】3 [解析] 在这里具有中心对称图形特征的是平行四边形，所以两个三角形中对应相等的两条边重合只能拼一个．因为三角形只有三条边，所以只有三种情况．10. 【答案】12[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24.∵点O 是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积=×24=12.11. 【答案】10[解析] ∵AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E ，F ，∴AE=BE ，AF=CF .∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm .12. 【答案】③13. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.14. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、作图题15. 【答案】解：(1)解图(2)设坐标纸中方格边长为单位1.则P(x ，y )――→以O 为位似中心放大为原来的2倍(2x ，2y )――→沿y 轴翻折(－2x ，2y )――→向右平移4个单位(－2x ＋4，2y )――→向上平移5个单位(－2x ＋4，2y ＋5).16. 【答案】1O ，3O 如图（提示：答案不惟一，过13O O 与24O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O ，O ，如图（提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．O DCBAO 4O 3O 2O 1EO DCBAO 5O 4O 3O 2O 1四、解答题17. 【答案】解:(1)∵Rt △ABC 的顶点A ，B ，C 关于直线MN 的对称点分别为A'，B'，C'，AC=8 cm ，A'C=8cm ，∴AB=A'B'，AC=A'C'，∠A'=∠A=90°.∴△A'B'C'的周长为A'C'+B'C'+A'B'=AC+A'C=12+8=20(cm). (2)由(1)得A'C'=AC=8 cm ，∠A'=90°，∴△A'CC'的面积为A'C ·A'C'=×12×8=48(cm 2).18. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC. ∵△BEG 的周长为16， ∴EB+GB+GE=16. ∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16. ∴AC+2GE=16. ∵GE=3， ∴AC=10.19. 【答案】解：(1)(1，－1) (－6，－5) (2)12(3)设点D 的坐标为(x ，y)．若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则AB ，CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1；若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边的四边形为平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝3＋12，2＋y 2＝1＋42，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3；若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝5. 综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．20. 【答案】【思维教练】(2)AD ＝DH ＋AH ，由折叠性质和全等三角形得出DH ＝HN ，FN ＝AH ，即AD ＝FH ，由叠合矩形的概念可知∠FEH ＝90°，利用勾股定理求出AD ；(3)观察图形的特点，可以考虑从CD 的中点横向和竖向折叠或从分别从每个角的位置向内折叠构成矩形，利用构成的直角三角形求解得出结果．解：(1)AE ，GF ；1∶2(2分)(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∠FEH ＝90°，又EF ＝5，EH ＝12.∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.(4分)由折叠的轴对称性可知，DH ＝HN ，AH ＝HM ，CF ＝FN.易证△AEH ≌△OGF ，∴CF ＝AH.(5分)∴AD ＝DH ＋AH ＝HN ＋FN ＝FH ＝13.(6分)(3)本题有以下两种基本折法，如解图1，解图2所示．(作出一种即可)1 2 按解图1的折法，则AD ＝1，BC ＝7；按解图2的折法，则AD ＝134，BC ＝374.(10分)。

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题(五)

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题（五）1．在平面直角坐标系中，P点坐标为（2，6），Q点坐标为（2，2），点M为y轴上的动点．（1）在平面直角坐标系内画出当△PMQ的周长取最小值时点M的位置．（保留作图痕迹）（2）写出点M的坐标．2．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．3．已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N．（1）求证：PE＝EM；（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK+KG+PG的最小值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝80°，则∠NMA的度数是．（2）连接MB，若AB＝9cm，△MBC的周长是16cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并证明；若不存在，说明理由．5．在平面直角坐标系中有一点A，其坐标为A（3，2）回答下列问题：（1）点A关于x轴的对称点B的坐标点为点A关于y轴的对称点C的坐标点为（2）若在x轴上找一点D，使DA+DC之和最短，则点D的坐标为（3）若在x轴上找一点E，使△OAE为等腰三角形，则有个这样的E点．6．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，PO＝8，在∠AOB的两边分别有点R、Q （均不同于O），求△PQR周长的最小值．7．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝，点H是BD上的一个动点，求HG+HC 的最小值．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．9．如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝2km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．10．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A 到河岸的距离AE＝2公里，B到河岸的距离BF＝3公里，EF＝12公里，求将军最短需要走多远．参考答案1．解：（1）如图所示：（2）设直线Q′P的解析式为y＝kx+b，将点Q′、点P的坐标代入得：．解得：b＝4．故点M的坐标为（0，4）．2．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．故CM+MN的最小值为4．3．（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90°，∴∠QPE+∠PEQ＝∠PEQ+∠DEM＝90°，∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；（2）解：三者的数量关系是：BP2+NC2＝PN2．①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2+NC2＝PN2成立；②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2+NC2＝PN2成立；③证明：如图2，连接BE、CE，∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝AE＝DE，∴∠AEB＝45°，∠DEC＝45°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠EBC＝∠ECD，又∵∠BEC＝∠PEM＝90°，∴∠BEP＝∠MEC，在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝＝45°，在△EPN和△EMN中，，∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，在Rt△MNC中有：MC2+NC2＝MN2，∴BP2+NC2＝PN2；（3）解：如图3，连接PM，由（2），可得PN＝MN，PE＝ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，∵K为EM中点，∴GK＝ME，又∵∠D＝90°，∴DK＝ME，由（2），可得△PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得PG＝GM＝ME，∴DK+GK+PG＝＝（1+）ME，∴当ME取得最小值时，DK+GK+PG取得最小值，即当ME＝DE＝6时，DK+GK+PG有最小值，最小值为：（1+）×6＝6+3．4．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°＝70°，故答案为：70°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是16cm，∴AC+BC＝16cm，∴BC＝7cm．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是9cm．5．解：（1）点A关于x轴的对称点B的坐标点为（3，﹣2）点A关于y轴的对称点C的坐标（﹣3，2）故答案为（3，﹣2），（﹣3，2）；（2）如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C与x轴交于点D（与O重合），此时AD+CD最小．∴D（0，0），故答案为（0，0）．（3）如图2中，满足条件的点E有4个，故答案为4．6．解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM＝ON＝OP＝8，∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×30°＝60°，则△MON为等边三角形，∴MN＝8，∵QP＝QM，RN＝RP，∴△PQR周长＝MN＝8，7．解：四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形；（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝4，∴EM＝BE＝2，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝2，MN＝DE＝4，在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝2，∴MC＝4+2＝6，在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝2．MC＝6，∴EC＝＝4∵HG+HC＝EH+HC＝EC，∴HG+HC的最小值为4．8．解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是50°，故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8+6＝14cm．9．解：分别画出点A关于OM、ON的对称点B、C，连接BC交OM、ON于点D、E，连接AD、AE，则线段AD、DE、EA即为所示路径；由题意得，OB＝OA＝2，三角形OBC为等边三角形，∴BC＝2，故其总路程为2km．10．解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，则BB′＝2+3＝5，则PB+P A＝PB+P A′＝BA′最短，故将军应将马赶到河边的P地点．作FB′＝EA′，且FB′⊥CD，∵FB′＝EA′，FB′⊥CD，BB′∥A′A，∴四边形A′B′BA是矩形，∴B'A'＝EF，在Rt△BB′A′中，BA′＝＝13，答：将军最短需要走13公里．。

轴对称知识点及对应例题(经典)

第十三章轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点四、线段垂直平分线的性质6．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，PB ＝PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分BC8．如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8厘米，AB ＝10厘米，则∆EBC 的周长为【】A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米C EBDA9．如图，∠BAC ＝30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD ＝30 , 则AM ＝MD P BCA轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．关于坐标轴对称点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是（x ，－y ）点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是（－x ，y ）关于原点对称点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是（－x ，－y ）关于坐标轴夹角平分线对称点P （x ，y ）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y ＝x 对称的点的坐标是（y ，x ）点P （x ，y ）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y ＝－x 对称的点的坐标是（－y ，－x ）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称1．点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( )A （-3 ，-2）B （3 ，2）C （-3 ，2）D （2 ，-3）2．点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为( )A 1 ，6B -1 ，-6C -1 ，6D 1 ，-63.点P关于x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P"的坐标为：A (-4，5)B (4，-5)C (-4，-5)D (-5，-4)4.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( )A.x轴B.y轴C.直线y=4D.直线x=-15.下列关于直线 x=1 对称的点是( )A 点（0 ，-3）与点（-2 ，-3）B 点（2 ，3）与点（-2 ，3）C 点（2 ，3）与点（0 ，3）D 点（2 ，3）与点（2 ，-3 )6.已知A(-1，-2)和B(1，3），将点A向______平移_______个单位长度后得到的点与点B 关于y轴对称．7.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ， )，C( ， )，D( ， )。

专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解：四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

轴对称图形作图强化练习20题(坐标轴对称问题)

轴对称图形作图练习1 .如图，在所给网格图（每小格均为边长是1 的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点4ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△AiBiCi：（2）在DE 上画出点P,使PBi+PC 最小.2 .如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位，AABC 的三个顶点都在格点上.（1）在网格中画出AABC 向下平移3个单位得到的△ AiBiCi ：（2）在网格中画出4ABC 关于直线m 对称的4A2B2c2：（3）在直线m 上画一点P,使得GP+C2P 的值最小.3 .如图，已知AABC.（1）画出△A1B1C1,使△AiBiCi 和AABC 关于直线MN成轴对称.（2）画出AAzB2c2,使4A2B2c2和AABC 关于直线PQ 成轴对称. 3 3） ZkAiBiCi 与AAzB2c2成轴对称吗？若成，请在图上画出对称轴：若不成，说明理由.4 .如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中, 点A 、B 、C 在小正方形的顶点上.（1）在图中画出与4ABC 关于直线1成轴对称的△AB，C ：（2）五边形ACBB'C 的周长为：（3）四边形ACBB ，的面积为：（4）在直线1上找一点P,使PB+PC 的长最短，则这个最短长度为 .Ay / V/ /\B—aCDm5.在平面直角坐标系中，A (1, 2), B (3, 1), C ( -2, -1).(1)在图中作出AABC关于y轴的对称△A1B1C1：(2)写出aABC关于x轴对称AA2B2c2的各顶点坐标：A2:B2—；C2 .6.如图,ZiABC的顶点坐标分别为A (4, 6), B (5, 2), C (2, 1), (1)作出aABC关于y 轴对称的△ABXT,并写出A- B\ C的坐标. (2)求AABC的而积.7.在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，AABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(-3, - 1).(1)将AABC沿y轴正方向平移3个单位得到△AiBiCi,画出△AiBiCi，并写出点&坐标；(2)画出△AiBiCi关于y轴对称的AAzB2c2,并写出点C2的坐标.8. 4ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1)画出aABC关于y轴对称的△AiBiG：(2)将4ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2c2，并写出AAzB2c2各顶点的坐标：(3)观察△AiBiCi和4A2B2c2,它们是否关于上」某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称釉・1-「7 7 • li9.已知甲村和乙村靠近公路a、b,为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商, 工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等.你能帮忙确定工厂的位置吗?10.如图，在平面直角坐标系中，A （-1, 5）、B （ - 1, 0）、C （-4, 3）.（1）在图中作出AABC关于y轴的对称图形△AiBiCi.（2）写出点Ai、B H C I的坐标.11.如图，在平面直角坐标系xoy中，A （1,2）, B （3, 1）, C （ -2, - 1）.（1）在图中作出AABC关于y轴的对称图形△AiBiCi .（2）写出点Ai, Bi，Ci的坐标（直接写答案）.Ai_Bi_Cl .12.如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点4ABC （顶点均在格点上）关于直线DE对称的△AiBiCi：（2）在DE上画出点Q,使QA+QC最小.13.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A,C的坐标分别为（-4, 5）, （ - 1, 3）.（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）请作出4ABC关于y轴对称的△A，B，C：（3）写出点B'的坐标.14. AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A、B、C三点在格点上.（1）作出aABC关于x轴对称的△AiBiCi,并写出点C1的坐标；（2）作出aABC关于y对称的AA2B2c2，并写出点C2的坐标.15.在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC （三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）.（1）写出△ABC的面积；（2）画出aABC关于y轴对称的△AiBiCi；（3）写出点A及其对称点Ai的坐标.16.已知：如图，已知△ABC,（1）分别画出与aABC关于x轴、y轴对称的图形△AiBiCi 和aAzB2c2：（2）写出△AiBiCi和aAzB2c2各顶点坐标:（3）求AABC的而积.6X17.如图，在平而直角坐标系中，每个小正方形的边长为1,点A的坐标为（-3, 2）.请按要求分别完成下列各小题：（1）把AABC向下平移4个单位得到△AiBiC],画出△AiBiCi,点Ai的坐标是:（2）画出AABC关于y轴对称的4A2B2c2；点C2的坐标是:（3）求4ABC的而积.18.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A, C的坐标分别为（-4, 5）, （ - 1, 3）.（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）请作出aABC关于y轴对称的△A，B，C：（3）写出点B'的坐标.19.在正方形网格中建立如图的平面直角坐标系xOy, ZkABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4, 4）,请解答下列问题：（1）将4ABC向下平移5单位长度，画出平移后的△AiBiG并写出点A对应点Ai的坐标; （2）画出△A I B I C I关于y轴对称的4A2B2c2并写出A2的坐标：（3） S A ABC=・20.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3, -3),点B的坐标为(-1, 3),回答下列问题(1)点C的坐标是—.(2)点B关于原点的对称点的坐标是—.(3) △ ABC的面积为.(4)画出aABC关于x轴对称的。

第12章《轴对称》好题集(08)：12.1 轴对称

第12章《轴对称》好题集(08)：12.1 轴对称第12章《轴对称》好题集(08)：12.1轴对称第12章《轴对称》好题集（08）：12.1轴对称菁优网第12章《轴对称》好题集（08）：12.1轴对称填空题211．一个汽车牌照号码在水中的倒影为，则该车牌照号码为_________．212．在一张卡片上写有一个汉字，将卡片垂直于水平镜面放置在镜子前方时，镜子显示的像如图所示，则卡片上的汉字是_________．213．小明从镜子里看见镜子对面的钟表里的时间就是2点30分后，实际时间为_________点_________分后．214．小明照镜子时看到对面墙上挂的电子表在镜子里显示的时间是215．例如图就是某小车车牌号在水中的倒影，则这辆车的车牌号就是_________，实际是_________．216．在一张纸上写下着一串数，在镜子中成如图所示的形状，则纸上写下的数为_________．217．下图是在镜子中看到的一个号码，它的实际号码是_________．218．小明从镜子中看见身后墙上贴有一串数字，这串成数字实际必须就是_________．若某一串数字在水中的倒影就是例如图，则这串成数字就是_________．219．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像，如图所示，实际时间是_________220．张同学就是一个nba爱好者，周末的一天他在家里做作业，一次他走跌看见墙上镜面里的钟如图所示，那他过_________分钟可以回去看看9：30的一场火箭vs骑士．2021-2021菁优网菁优网222．观察上图中的图片，请说出图中小亮衣服上的数字是：_________．答疑题223．（2021?益阳）如图，平面上的四边形abcd是一只“风筝”的骨架，其中ab=ad，cb=cd．（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形abcd的两条对角线ac⊥bd，垂足为e，并且be=ed，你同意王云同学的判断吗？_________；（2）设立对角线ac=a，bd=b，用含a，b的式子则表示四边形abcd的面积为_________224．（2021?岳阳）如图，已知de垂直平分ab，分别交ab、bc于d、e两点，ae平分∠bac，∠b=30°，be=4，则ac=_________．225．例如图，△abc中，∠bac=110°，ab的垂直平分线交bc于点d，ac的垂直平分线交bc于点e，bc=10cm．（1）则△ade的周长为_________cm；（2）则∠dae的度数为_________度．2021-2021菁优网菁优网227．如图，在△abc中，bc边上的垂直平分线de交bc于点d，交ac于点e，△abc的周长为18厘米，△abe的周长为10厘米，则bd的长为_________厘米．228．例如图，在△abc中，∠abc=2∠c．ac的垂直平分线分别交bc，ac于点d，e，则ab_________cd．229．如图，在△abc中，dm、en分别垂直平分ac和bc，交ab于m、n，（1）若△cmn的周长为18cm，则ab=_________cm．（2）若∠mcn=48°，则∠acb=_________度．230．如图所示：△abc的周长为24cm，ab=10cm，边ab的垂直平分线de交bc边于点e，像距为d，△aec的周长为_________cm．231．如图，在△abc中，∠c=90，de是ab的垂直平分线，∠cae=∠b+30°，则∠aeb的度数为_________度．232．如图所示，在△abc中，de就是边ab的垂直平分线，交ab于e，交ac于d，相连接bd．（1）若∠abc=∠c，∠a=50°，则∠dbc的度数为_________度．（2）若ab=ac，且△bcd的周长为18cm，△abc的周长为30cm，则be的短为_________cm．2021-2021菁优网菁优网233．已知，如图，在△abc中，ab＜ac，bc边上的垂直平分线de交bc于点d，交ac于点e，ac=8，△abe的周长为14，则ab的长为_________．234．未知：例如图，在△abc中，ed垂直平分ab，∠ebc=24°，∠c=72°，则∠a=_________度．235．在△abc中，ab=ac，ab的垂直平分线交ab于n，交bc的延长线于m，∠a=40度．（1）则∠m的度数为_________度；（2）若将∠a的度数改为80°，其余条件不变，则∠m=_________度；（3）你发现了怎样的规律试证明；（4）将（1）中的∠a改成钝角，（3）中的规律仍设立吗若不设立，应当怎样修正？236．如图，在△abc中，∠c=90°点d在bc上，de垂直平分ab，且de=dc，则∠b=_________度．237．例如图，在△abc中，ab=ac，∠a=30°，de垂直平分ac于e，相连接cd，则∠dcb=_________度．2021-2021菁优网。

轴对称作图及实际应用(作图)(人教版)(含答案).docx

轴对称作图及实际应用（作图）（人教版）一、单选题（共9道，每道分）1.如图1,己知线段MN,在MN. 下列上求作一点0,使0M=0N.如图2用尺规作图作出了点0,作图语言叙述止确的是（A.分别以点M,点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点0,点0即为所求.B.分别以点M,点N为圆心，以大于2 长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点0,点0即为所求.C.以点M为圆心，任意长为半径作弧，再以点N为圆心，大于2 长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点0,点0即为所求.D.分别以点M,点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB,直线AB 即为所求.答案:B解题思路：在上求作一点0,使可以转化为作线段的垂直平分线，与MV的交点即为点O・正确作法为：分别以点点N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交JfV于点0, 点。

即为所求；要找到垂直平分线上的两点，需要保证以相同长为半径作弧，且两弧有交点，所以此半径应大于故选项A, C, D错误.故选B.试题难度：三颗星知识点：尺规作图2•平血内，过直线外一点作已知直线的垂线最终都转化为下列哪一种基本作图（）A.作一个角等于己知角B.作一条线段等于已知线段C.作已知角的角平分线D.作已知线段的垂直平分线答案：D解题思路：过直线外一点作已知直线的垂线可以先在直线上做一条线段，使直线外的一点在这条线段的垂直平分线上，再作这条线段的垂直平分线.故选D.试题难度：三颗星知识点：尺规作图3.如图1,已知A为直线MN外一点，求作直线AB,使AB丄MN.如图2用尺规作图作出直线AB,下列叙述：①任取一点P;②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C, D两点;}rCD③分别以点C,点D为圆心，以大于2长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④作直线AB.直线AB即为所求.其中错误的是（）A.A.①B.②C.③D.④答案：A 解题思路：过点A作直线■站，使AB1A4N的作法为:①任取一点P,使点P和点山位于直线的异侧；②以点为圆心，川P长为半径作弧，交JfV于C,刀两点；③分别以点G点刀为圆心，以大于i CD长为半径作弧，两弧交MV下方于一点④作直线•站.直线•站即为所求.要保证以且P为半径的弧与直线儿N有交点，点P与点A应位于直线她V异侧,①错误.故选A.试题难度：三颗星知识点：尺规作图4.如图，A, B, C三个村庄联合打井，为使井到三个村庄的距离相等，下列确定水井的位置的说法中正确的是（）A・cB.A.连接AB, AC, BC,作线段AB的垂直平分线MN,作ZABC的角平分线BD交直线MN于点P,点P 即为水井的位置B.连接AB, AC,作线段AB的垂直平分线MN,作线段AC的垂直平分线EF交直线MN于点P，点P 即为水井的位置C.连接AB, AC, BC,作ZABC的角平分线BD,作ZBAC的角平分线AE交BD于点P,点P 即为水井的位置D.作直线AB, BC,过点A作BC的垂线MN,过点C作AB的垂线EF交MN于点P,点P即为水井的位置答案：B解题思路：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以井的位萱在线段AB, AC f EQ中任意两线段的垂直平分线的交点处.故选B.试题难度：三颗星知识点：尺规作图5.在高速公路2的同侧有两个化工厂A, B,为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人到医院的距离相等，关于医院位置，下列说法正确的是（）£A■A.连接BA并延长交直线2于点P,点P即为医院的位置B.连接AB,取AB的中点C,过点C作直线2的垂线MN交直线？于点P,点P即为医院的位置C.过点B作直线2的垂线MN交直线/于点P,点P即为医院的位置D.连接AB,作线段AB的垂直平分线交直线2于点P,点P即为医院的位置答案：D解题思路：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以医院的位置在线段的垂直平分线与公路/的交点处.故选D.试题难度：三颗星知识点：尺规作图6.如图，已知ZAOB及其内部两点C, D,求一点P,使PC=PD,并且P点到ZAOB的两边的距离相等.用尺规作图作出点P的位置，下列作法正确的是（）AA.连接CD,作CD的垂直平分线MN与ZAOB的角平分线OE, MN与0E的交点P即为所求B.作直线CD,作ZAOB的角平分线OE, 0E与CD的交点P即为所求C.连接OC, 0D,分别作OC, 0D的垂直平分线MN, EF, MN与EF的交点P即为所求D.连接CD,作CD的垂直平分线MN, MN与0A的交点P即为所求答案：A解题思路：要使PC=PD f则点P在线段CD的垂直平分线上，要使P点到AAOB的两边的距离相等，则点P在ZAOB的平分线上，所以点P为线段CD的垂直平分线弓厶0B平分线的交点.故选A.试题难度：三颗星知识点：尺规作图7.P是ZAOB内一点，分别作点P关于直线OA, 0B的对称点珂，占，连接还，。

生活中的轴对称(经典例题)

班级小组姓名成绩（满分120）一、轴对称现象（一）轴对称和轴对称图形（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.如图,下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个例1.变式1.下列图形中对称轴最多是()A.圆B.正方形C.角D.线段例1.变式2.如图所示的图形是由棋子围成的正方形图案，图案的每条边有4个棋子，这个图案有条对称轴.例1.变式3.如图所示的方格纸中，请你把任意五个方格涂黑，使这五个方格构成一个轴对称图形(图形不能重复，至少设计三个)二、探索轴对称的性质（一）轴对称的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.下列说法：①长方形的对称轴有两条；②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个例2.变式1.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A=78°,∠C'=48°,则∠B的度数为()A.48°B.54°C.74°D.78°例2.变式2.如图所示，AC垂直平分线段BD，若AB=3cm，CD=5cm，则四边形ABCD的周长是()A.11cmB.13cmC.16cmD.18cm例2.变式3.如图，把一张长方形纸ABCD折叠,使点C与点A重合，折痕为EF.如果∠DEF=123°,那么∠BAF=.（三）轴对称的性质及应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.轴对称图形对应点连线被,对应角、对应线段都.例3.变式1.如图，∠AOB内有一点P，分别画出P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为多少?例3.变式2.如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为()A.16B.19C.22D.25例3.变式3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使DE∥AC，CE交AB于点F，若∠B=α，则∠ADC的度数是(用含α的代数式表示).三、简单的轴对称图形（一）等腰三角形的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是()A.过顶点的直线B.底边上的高C.腰上的高所在的直线D.顶角平分线所在的直线例4.变式1.等边三角形对称轴的条数是()A.1B.2C.3D.4例4.变式2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()A.6B.7C.8D.9例4.变式3.等腰三角形中有一个角是50°，那么这个等腰三角形的底角是.（二）等腰三角形的性质二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.下列说法中正确的是()A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B.全等三角形一定是关于某条直线对称的C.两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若A，B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN例5.变式1.如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个.例2.变式2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=.例5.变式3.有一个三角形的支架如图所示，AB=AC，小明过点A和BC边的中点D又架了一个细木条，经测量∠B=30°,你在不用任何测量工具的前提下,能得到∠BAD和∠ADC的度数吗?（三）线段和角的轴对称性（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是()A.3B.4C.5D.6例6.变式1.如图所示，下列推理中正确的个数是()①因为OC平分∠AOB，点P，D，E分别在OC，OA，OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE.A.0B.1C.3D.4例6.变式2.小明把一张长方形的纸对折了两次，如图所示，使A，B都落在DC上，折痕分别是DE，DF,则∠EDF的度数为.例6.变式3.如图，已知△ABC中，DE垂直平分AC，且交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长是20，AC=8，你能计算出△ABC的周长吗？（四）等腰(边)三角形的性质的综合应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.在△ABC中，若BC=AC，∠A=58°，则∠C=,∠B=.例7.变式1.等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是.例7.变式2.如图P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=.例7.变式3.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹)；（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.（五）轴对称图形的综合运用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图所示，△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=6cm，AC=9cm，BC=12cm，则△AMN的周长为.例8.变式1.如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有个.例8.变式2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，则AD=cm.例8.变式3.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；照这样画下去,直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=.（六）轴对称图形的综合运用二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，D，E是△ABC的BC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数.例9.变式1.如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD交于点C，试说明AC=BC.例9.变式2.如图所示,△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE∥AB，AE∥BC，DE与AE交于点E，点G是AE的中点，GF∥DE，EF∥AC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是多少?例9.变式3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗?四、利用轴对称进行设计（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形例10.变式1.如左下图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个大小相等的圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是右下图中的()例10.变式2.当你面对镜子的时候，右手拿笔向左挥动，对于镜子中的像来说是()A.右手拿笔,向右挥动B.左手拿笔,向左挥动C.右手拿笔,向左挥动D.左手拿笔,向右挥动例10.变式3.某一车牌在平面镜中的像是,则这辆车的实际号码是()。

专题13.6 画轴对称图形(专项练习)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练

专题13.6 画轴对称图形（专项练习）一、单选题知识点一、对称轴1．下列图形中，对称轴条数最少的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．3．下列语句中，其中正确的个数是（）①有两边和其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等；①有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；①到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；①角是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴A．1B．2C．3D．44．下列说法正确的是（）A．两角及一边分别相等的两个三角形全等B．到角两边距离相等的点在角的平分线上C．角的对称轴是角的平分线D．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等知识点二、画轴对称图形5．某同学在画ABC的轴对称图形时弄乱了步骤，则正确的画图步骤是（）A．①①①①B．①①①①C．①①①①D．①①①①6．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①①①①的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（）A．①B．①C．①D．①7．如图，①ABC的顶点在5×5方格图的格点上，则与①ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．48．如图所示的2×4的正方形网格中，ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有()A．1个B．2个C．3个D．4个知识点三、设计轴对称图案9．如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P 为轴对称图形，问共有几个这样的点P（）A ．5B ．4C ．3D ．210．在3×3的正方形网格中，有三个小方格涂上阴影，请再在余下的6个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成一个轴对称图形，共有 ( )种不同的填涂方法．A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种11．如图，明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用()1,1-表示，乐乐将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则乐乐放方形棋子的位置可能是（）A ．(1,1)--B ．(1,3)-C ．(0,2)D ．(1,2)- 12．如图是4×4正方形网格，已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有（）个．A ．5B ．4C ．3D ．2知识点四、平面直角坐标系中的轴对称13．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2M -关于x 轴对称的点的坐标是（） A ．()4,2- B ．4,2 C ．()4,2-- D ．()4,2- 14．在平面直角坐标系中，将点A (-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B ，则点B 关于y 轴对称点B '的坐标为（）A ．(2，2)B ．(-2，2)C ．(-2，-2)D ．(2，-2) 15．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为()1,1， ()3,1．若正方形ABCD 第1次沿x 轴翻折，第2次沿y 轴翻折，第 3次沿x 轴翻折，第4次沿y 轴翻折，第5次沿x 轴翻折，…，则第2021次翻折后点 C 对应点的坐标为（）A ．()3,3-B ．()3,3C ．()3,3-D ．()3,3-- 16．已知点A 的坐标为(1,0)，直线1y x =-关于y 轴对称的直线为l ，点B 在直线l 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．(1,1)--B ．(1,2)--C ．(2,2)--D ．(0,1)- 知识点五、几何变换-轴对称综合题17．如图，35AOB ∠=︒，C 为OB 上的定点，M ，N 分别为射线OA 、OB 上的动点．当CM MN +的值最小时，OCM ∠的度数为（）A ．35︒B ．20︒C ．45︒D ．55︒18．如图，ABC ∆中，AB AC =，3BC =，6ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．519．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（）A ．152B ．203C ．3D ．12520．如图，在锐角三角形ABC 中，AC ＝6，①ABC 的面积为15，①BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是( )A ．9B ．5C ．7D ．6.5二、填空题知识点一、对称轴21．下列命题中：①直角三角形是轴对称图形；①等腰三角形的对称轴是底边上的中线；①等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；①一条线段只有一条对称轴．不正确的有________________．22．角的对称轴是________；圆的对称轴有__________条．23．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕．24．国旗上的一个五角星有______条对称轴．知识点二、画轴对称图形⨯的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格25．如图，在33点三角形．图中ABC是一个格点三角形，在图中画一个与ABC成轴对称的格点三角形，这样的格点三角形可以画_____个．26．如图，在22⨯的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC成轴对称．27．如图，平面直角坐标系中有四个点A、B、C、D，它们的横、纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横、纵坐标仍是整数，则移动后点A 的坐标为______；28．如图，在平面直角坐标系中，己知点()0,2A ，()10B -，.作AOC ∆，使AOC ∆与ABO ∆全等，则点C 坐标为_______________．知识点三、设计轴对称图案29．如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰轴对称图形的概率是图色的可能性相同，使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是__________．30．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请添加一个正方形到空白方格中使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有_________种。

轴对称作图大全含答案

AB AB《轴对称》画图专题训练1、画出线段AB的中垂线。

2、画出∠AOB的角平分线。

3、如图,在直线AB上找一点P,使PC=PD.4.(1)在AB上找一点P，使P到(2).在直线MN上找一点P点，使PM、N两点的距离相等。

到射线OA和OB的距离相等。

5.如图,要在公路MN旁修建一个货物中转站,分别向A,B两个开发区运货.（1）若要求货物中转站到A,B两个开发区的距离相等,那么货物中转站应建在哪里? （2）若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应建在哪里？ABBOAABM NBOANM解：如图所示：（1）要使货物中转站到A,B 两个开发区的距离相等，连接AB ，作AB 的中垂线与MN 的交点P 即为货物中转站的位置。

（2）由于两点之间线段最短，所以过点A 作A ’关于MN 对称，连接BA ’与MN 交于点P 即为货物中转站的位置。

6、如图，A 、B 、C 三点表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等。

解：如图所示：点P 即为所求7.、如图，l 1、l 2交于A 点，P 、Q 的位置如图所示，试确定M 点，使它到l 1、l 2的距离相等，且到P 、Q 两点的距离也相等。

ACl 2解：作∠A 的角平分线l 3和PQ 的垂直平分线l 4，两线交于点M ，M 即为所求点8、在铁路a 的同侧有两个工厂A 和B ，要在铁路边建一货场C ，使A 、B 两厂到货场C 的距离和最小，试在图上作出C 。

解：作点A 关于直线a 的对称点A'，连接A'B ，与直线工a 交于点C ，点C即为所求点9、如图所示，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 的两定点，在BC 上求一点M ，使△MEF的周长最短。

解：如图，点M 是所求的点 AaC10、△ABC 的顶点A 在∠EOD 的边OD 上， 11、直线l ，A ，B 两点在l 的两侧，B 、C 在∠EOD 内部，分别以OE 、OD 在l 上找一点C ，使C 到A ，B 为对称轴作关于△ABC 的对称图形。

第13章轴对称章末专题练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册

第13章轴对称章末专题练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册专题(一) 角的平分线与线段的垂直平分线1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( )A．25° B．30° C．35°D．40°2．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC，AB于点D，E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于点F.若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为( )A．58° B．63° C．67°D．70°3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°.(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D，AB于点F；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.(1)若∠DEC＝25°，求∠B的度数；(2)求证：AD垂直平分CE.5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AC于点E，∠ABC 的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：___________．专题(二) 等腰三角形存在性问题类型1 网格中的等腰三角形存在性问题1．线段AB在如图所示的8×8网格中(点A，B均在格点上)，在格点上找一点C，使△ABC 是以∠B 为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C 的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．72．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是两格点，若C 也是图中的格点，则使得△ABC 是以AB 为一腰的等腰三角形的点C 的个数是( )A ．8B ．6C ．4D ．7类型2 平面直角坐标系中的等腰三角形存在性问题3．如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(0，5)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．7专题(三) 特殊三角形中常见辅助线的作法类型1 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC.若∠EAB ＝20°，则∠BAC＝______．2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.3．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF分别交AC，BC于点E，F.求证：OE＝OF.类型2 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，交AB于点D，BE＝6 cm，则AC等于( )A．6 cm B．5 cm C．4 cmD．3 cm5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长．6．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD＝_____．7．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝_____．8．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC，∠ABD＝30°.求证：AB＝2BC.专题(四) 构造等腰三角形的常用方法类型1 利用平行线构造等腰三角形1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE 交BC于点F，求证：DF＝EF.2．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED＝EC.(1)如图1，当点E为AB中点时，AE_____DB(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，AE________DB(填“＞”“＜”或“＝”)，并说明理由．类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形3．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D.求证：∠BAD＝∠CAD ＋∠C.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：BE＝2CD.类型3 利用截长补短法构造等腰三角形5．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC ＝CD＋AB.类型4 利用倍角关系构造等腰三角形(选做)6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC.专题(五) 共顶点的等边三角形与全等如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN.求证：(1)AE＝BD；(2)MN∥AB.变式1 共顶点等边三角形1．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴正半轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，CA的延长线交x轴于点E.(1)求证：OB＝AC；(2)求∠CAP的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？若不发生变化，请求出AE的值；若发生变化，请说明理由．变式2 共顶点等腰三角形2．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点H.(1)求证：AD＝BE；(2)连接CH，求证：HC平分∠AHE；(3)求∠AHE的度数(用含α的式子表示)．专题(六) 等腰直角三角形常见的解题模型模型1 等腰直角三角形＋斜边的中点，常连接直角顶点和斜边中点1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF.试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．3.如图，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．模型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短法构造全等4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.补充模型三垂直模型6．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则点C的坐标为(3，2)．参考答案第13章轴对称章末专题练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册专题(一) 角的平分线与线段的垂直平分线1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为(B)A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°2．如图，在△ABC 中，DE 垂直平分BC ，分别交BC ，AB 于点D ，E ，连接CE ，BF 平分∠ABC ，交CE 于点F.若BE ＝AC ，∠ACE ＝12°，则∠EFB 的度数为(B)A ．58°B ．63°C ．67°D ．70°3．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝40°. (1)尺规作图：①作边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AB 于点F ；②连接AD ，作∠CAD 的平分线交BC 于点E ；(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE 的度数．解：(1)①②如图． (2)∵DF 垂直平分线段AB ， ∴DB ＝DA.∴∠DAB ＝∠B ＝30°. ∵∠C ＝40°，∴∠BAC ＝180°－30°－40°＝110°. ∴∠CAD ＝110°－30°＝80°. ∵AE 平分∠DAC ， ∴∠DAE ＝12∠DAC ＝40°.4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E.(1)若∠DEC＝25°，求∠B的度数；(2)求证：AD垂直平分CE.解：(1)∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC.∴∠DEC＝∠DCE＝25°.∴∠BDE＝50°.又∵DE⊥AB，∴∠B＝90°－∠BDE＝90°－50°＝40°.(2)证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ACD＝90°.又∵DE＝DC，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)．∴AE＝AC.∴点D，A在CE的垂直平分线上．∴AD垂直平分CE.5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AC于点E，∠ABC 的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：m＋3n＝120．解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP.∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC ＋∠PCB ＋∠ABP ＝180°－60°－24°＝96°. ∴3∠ABP ＝96°. ∴∠ABP ＝32°.专题(二) 等腰三角形存在性问题类型1 网格中的等腰三角形存在性问题1．线段AB 在如图所示的8×8网格中(点A ，B 均在格点上)，在格点上找一点C ，使△ABC 是以∠B 为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C 的个数是(C)A ．4B ．5C ．6D ．72．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是两格点，若C 也是图中的格点，则使得△ABC 是以AB 为一腰的等腰三角形的点C 的个数是(C)A ．8B ．6C ．4D ．7类型2 平面直角坐标系中的等腰三角形存在性问题3．如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(0，5)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是(D)A ．3B ．4C ．5D ．7专题(三) 特殊三角形中常见辅助线的作法类型1 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC.若∠EAB ＝20°，则∠BAC＝40°．2．如图，在△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA ＝EC.求证：EB ⊥AB.证明：作EF ⊥AC 于点F. ∵EA ＝EC ， ∴AF ＝FC ＝12AC.∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD. 在△ABE 和△AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE(SAS)．∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB.3．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点O 为AB 的中点，OE ⊥OF 分别交AC ，BC 于点E ，F.求证：OE ＝OF.证明：连接OC.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点O 为AB 的中点， ∴∠B ＝∠ACO ＝∠BCO ＝45°，CO ⊥AB. ∴OC ＝OB ，∠COB ＝90°.又∵∠EOF ＝90°，∴∠EOC ＝∠FOB. 在△EOC 和△FOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOC ＝∠FOB ，OC ＝OB ，∠OCE ＝∠OBF ，∴△EOC ≌△FOB(ASA)．∴OE ＝OF.类型2 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，交AB 于点D ，BE ＝6 cm ，则AC 等于(D)A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，AE ＝2，求CE 的长．解：连接AD.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点， ∴∠DAC ＝12∠BAC ＝60°，∠ADC ＝90°.∵DE ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°－60°＝30°. ∴AD ＝2AE ＝4.又∵∠C ＝90°－∠DAC ＝30°， ∴AC ＝2AD ＝8.∴CE ＝AC －AE ＝8－2＝6.6．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，BC ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝90°，∠ADC ＝120°，则CD ＝2．7．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于点C.若EC ＝1，则OF ＝2．8．如图，在△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BD ⊥BC ，∠ABD ＝30°.求证：AB ＝2BC.证明：作AM ⊥BD ，交BD 延长线于点M.∵在Rt △ABM 中，∠ABD ＝30°， ∴AB ＝2AM.∵BD 为AC 边上的中线，∴AD ＝CD. ∵DB ⊥BC ，AM ⊥BD ，∴∠DBC ＝∠M ＝90°. 在△BCD 和△MAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBC ＝∠M ，∠BDC ＝∠MDA ，CD ＝AD ，∴△BCD ≌△MAD(AAS)． ∴BC ＝AM. ∴AB ＝2BC.专题(四) 构造等腰三角形的常用方法类型1 利用平行线构造等腰三角形1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，求证：DF ＝EF.证明：过点D 作DM ∥AC 交BC 于M. ∴∠DMB ＝∠ACB ，∠FDM ＝∠E. ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB. ∴∠B ＝∠DMB.∴BD ＝MD. ∵BD ＝CE ，∴MD ＝CE.在△DMF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MDF ＝∠E ，∠MFD ＝∠CFE ，MD ＝CE ，∴△DMF ≌△ECF(AAS)． ∴DF ＝EF.2．在等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 延长线上，且ED ＝EC. (1)如图1，当点E 为AB 中点时，AE ＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)如图2，当点E 为AB 上任意一点时，AE ＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)，并说明理由．解：理由如下：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，则∠AEF ＝∠ABC ，∠AFE ＝∠ACB ，∠CEF ＝∠ECD. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC. ∴∠A ＝∠AEF ＝∠AFE ＝60°，∠DBE ＝120°. ∴△AEF 是等边三角形． ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EFC ＝120°. ∴BE ＝CF ，∠DBE ＝∠EFC. ∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∴∠D ＝∠CEF.在△DBE 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠CEF ，∠DBE ＝∠EFC ，BE ＝FC ，∴△DBE ≌△EFC(AAS)． ∴DB ＝EF. ∴AE ＝DB.类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形3．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，AD ⊥BE 于点D.求证：∠BAD ＝∠CAD ＋∠C.证明：延长AD 交BC 于点F ，∵∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°， ∴△ABD ≌△FBD(ASA)． ∴∠BAD ＝∠BFD. ∵∠BFD ＝∠CAD ＋∠C ， ∴∠BAD ＝∠CAD ＋∠C.4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BE 是角平分线，CD ⊥BE 交BE 的延长线于点D ，求证：BE ＝2CD.证明：延长BA ，CD 相交于点Q. ∵∠CAQ ＝∠BAE ＝∠BDC ＝90°， ∴∠ACQ ＋∠Q ＝90°，∠ABE ＋∠Q ＝90°. ∴∠ACQ ＝∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠ACQ ，AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAQ ，∴△ABE ≌△ACQ(ASA)．∴BE ＝CQ. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠QBD ＝∠CBD. ∵∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDQ ＝90°. 在△QDB 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∠BDQ ＝∠BDC ，∴△QDB ≌△CDB(ASA)．∴CD ＝DQ. ∴BE ＝CQ ＝2CD.类型3 利用截长补短法构造等腰三角形5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D.求证：BC ＝CD ＋AB.解：方法1：(截长法)在BC 上取点E ，使BE ＝BA ，连接DE ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠EBD. 在△ABD 和△EBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝EB ，∠ABD ＝∠EBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD(SAS)．∴∠BAC ＝∠BED ＝108°，AB ＝EB. ∴∠DEC ＝72°.∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝36°.∴∠CDE ＝72°.∴∠CDE ＝∠CED.∴CD ＝CE. 则BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD.方法2：(补短法)延长BA 至点E ，使BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠CBD ＝∠EBD. 在△EBD 和△CBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝CB ，∠EBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△EBD ≌△CBD(SAS)． ∴DE ＝DC ，∠E ＝∠C ＝36°.∵∠BAC ＝108°，∴∠EDA ＝∠EAD ＝72°. ∴EA ＝ED.∴CD ＝DE ＝AE. 则BC ＝BE ＝AB ＋AE ＝AB ＋CD.类型4 利用倍角关系构造等腰三角形(选做)6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ABC ＝2∠C ，求证：AB ＋BD ＝AC.证明：方法1：在边AC 上截取AP ＝AB ，连接PD. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠PAD.在△ABD 和△APD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AP ，∠BAD ＝∠PAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△APD(SAS)． ∴∠APD ＝∠B ，PD ＝BD.∵∠B ＝2∠C ，∠APD ＝∠PDC ＋∠C ， ∴∠PDC ＝∠C. ∴PD ＝PC.∴BD ＝PC.∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC.方法2：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，证△AED≌△ACD即可．方法3：延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE，则∠E＝∠C＝∠EAB，易证∠EAD＝∠EDA，∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB＋BD.专题(五) 共顶点的等边三角形与全等如图，点C 是线段AB 上除点A ，B 外的任意一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交DC 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，连接MN.求证：(1)AE ＝BD ；(2)MN ∥AB.证明：(1)∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠DCA ＝∠ECB ＝60°.∴∠DCA ＋∠DCE ＝∠ECB ＋∠DCE ，即∠ACE ＝∠DCB.在△ACE 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DC ，∠ACE ＝∠DCB ，CE ＝CB ，∴△ACE ≌△DCB(SAS)．∴AE ＝BD.(2)∵△ACE ≌△DCB ，∴∠CAM ＝∠CDN.∵∠ACD ＝∠ECB ＝60°，而A ，C ，B 三点共线，∴∠DCN ＝60°.在△ACM 和△DCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAC ＝∠NDC ，AC ＝DC ，∠ACM ＝∠DCN ，∴△ACM ≌△DCN(ASA)．∴MC ＝NC.∵∠MCN ＝60°，∴△MCN 为等边三角形．∴∠NMC ＝∠DCN ＝60°.∴∠NMC ＝∠DCA.∴MN ∥AB.变式1 共顶点等边三角形1．如图，在平面直角坐标系中，△AOP 为等边三角形，A(0，1)，点B 为y 轴正半轴上一动点，以BP 为边作等边△PBC ，CA 的延长线交x 轴于点E.(1)求证：OB ＝AC ；(2)求∠CAP 的度数；(3)当B 点运动时，AE 的长度是否发生变化？若不发生变化，请求出AE 的值；若发生变化，请说明理由．解：(1)证明：∵△PBC 和△AOP 是等边三角形，∴OP ＝AP ，BP ＝PC ，∠APO ＝∠CPB ＝60°.∴∠APO ＋∠APB ＝∠BPC ＋∠APB ，即∠OPB ＝∠APC.在△PBO 和△PCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧OP ＝AP ，∠OPB ＝∠APC ，PB ＝PC ，∴△PBO ≌△PCA(SAS)．∴OB ＝AC.(2)设AC ，BP 相交于点M.∵△PBO ≌△PCA ，∴∠PBO ＝∠PCA.又∵∠BMA ＝∠CMP ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°.又∵∠OAP ＝60°，∴∠CAP ＝60°.(3)当B 点运动时，AE 的长度不发生变化，理由如下：∵∠EAO ＝∠BAC ＝60°，∠AOE ＝90°，∴∠AEO ＝30°.∴AE ＝2AO ＝2，即当B 点运动时，AE 的长度不发生变化，为2.变式2 共顶点等腰三角形2．如图，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝α，AD ，BE 相交于点H.(1)求证：AD ＝BE ；(2)连接CH ，求证：HC 平分∠AHE ；(3)求∠AHE 的度数(用含α的式子表示)．解：(1)证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝α，∴∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE.(2)证明：过点C 作CM ⊥AD 于点M ，CN ⊥BE 于点N ，∵△ACD ≌△BCE ，∴S △ACD ＝S △BCE .又∵S △ACD ＝12AD ·MC ，S △BCE ＝12BE ·CN ，AD ＝BE ， ∴CM ＝CN.∴HC 平分∠AHE.(3)设AD ，BC 相交于点P.∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE.∵∠APC ＝∠BPH ，∴∠AHB ＝∠ACB ＝α.∴∠AHE ＝180°－α.专题(六) 等腰直角三角形常见的解题模型模型1 等腰直角三角形＋斜边的中点，常连接直角顶点和斜边中点1．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF.求证：△DEF 为等腰直角三角形．证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点，∴AD ＝BD ＝CD ，且AD 平分∠BAC.∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠B ＝∠DAF ，BE ＝AF ，∴△BDE ≌△ADF(SAS)．∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF.∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠ADF ＋∠ADE ＝90°，即∠EDF ＝90°.∴△EDF 为等腰直角三角形．2.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 中点，E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ⊥DF.试判断DE ，DF 的数量关系，并说明理由．解：DE ＝DF ，理由如下：连接AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝AD ，∠C ＝∠DAF ＝45°，AD ⊥CD.∴∠CDE ＋∠EDA ＝∠ADF ＋∠EDA ＝90°.∴∠CDE ＝∠ADF.在△CDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DAF ，CD ＝AD ，∠CDE ＝∠ADF ，∴△CDE ≌△ADF(ASA)．∴DE ＝DF.3.如图，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．解：△DEF仍为等腰直角三角形．证明：连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC(三线合一)．∴∠DAC＝∠ABD＝45°.∴∠DAF＝∠DBE＝135°.又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS)．∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB.∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°.∴△DEF仍为等腰直角三角形．模型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短法构造全等4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.证明：在BE上截取BF＝CE，连接AF.易证∠ABF＝∠ACE，△ABF≌△ACE(SAS)，得等腰Rt△AFE，∴∠AEB＝45°.5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，得等腰直角△AFE，∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝90°.∴∠BAF＝∠CAF.又∵BA＝CA，∴△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABE＝∠ACE.∴∠BEC＝∠BAC＝90°，即CE⊥BD.补充模型三垂直模型6．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则点C的坐标为(3，2)．。

2021年数学中考试题汇编图形的轴对称-自定义类型

2021年数学中考试题汇编图形的轴对称一、选择题1.(2021·河北省·历年真题)如图，直线l，m相交于点O.P为这两直线外一点，且OP=2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A. 0B. 5C. 6D. 72.(2021·台湾省·历年真题)如图，△ABC中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形.若∠C=40°，则∠DFE的度数为何？（）A. 65B. 70C. 75D. 803.(2021·广西壮族自治区桂林市·历年真题)下列图形是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.(2021·江西省·历年真题)如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A. 2B. 35.(2021·浙江省嘉兴市·历年真题)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 矩形D. 菱形6.(2021·广东省·历年真题)如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A. B.C. D.7.(2021·四川省南充市·历年真题)如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C-B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为9√17.其中正确结论的个数是（）C. 3个D. 4个8.(2021·湖南省·历年真题)如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A. B.C. D.9.(2021·广东省深圳市·历年真题)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A. 12B. 34C. 1D. 3210.(2021·湖南省·历年真题)如图所示，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A. B.C. D.11.(2021·黑龙江省绥化市·历年真题)已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（）A. 5√32B. 52C. √5D. √312.(2021·四川省凉山彝族自治州·历年真题)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）A. 198B. 2C. 254D. 7413.(2021·山东省青岛市·历年真题)如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AB=10，∠B=60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE=45°，则BF的长为（）A. 5B. 3√5C. 5√3D. √3514.(2021·四川省巴中市·历年真题)如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（-10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（）A. 34B. 35C. √33D. 1215.(2021·山东省枣庄市·历年真题)小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A. 搭配①B. 搭配②C. 搭配③D. 搭配④二、填空题16.(2021·重庆市·历年真题)如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=4，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE∥BC，AF=EF，则四边形ADFE的面积为______ .17.(2021·广西壮族自治区柳州市·历年真题)如图，将直线y=-x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，-4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为______．18.(2021·辽宁省铁岭市·历年真题)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB=4，CF=5，则OB的长为______．19.(2021·浙江省嘉兴市·历年真题)如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是______ ；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为______ .20.(2021·内蒙古自治区呼和浩特市·历年真题)已知菱形ABCD的面积为2√3，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点.连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为______ ，最大值为______ .21.(2021·辽宁省鞍山市·历年真题)如图，∠POQ=90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为______．三、解答题22.(2021·福建省·历年真题)如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G.（1）求证：DE∥A′F；（2）求∠GA′B的大小；（3）求证：A′C=2A′B.23.(2021·天津市·历年真题)已知抛物线y=ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D.（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE=2√2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a＜-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x 轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标.24.(2021·贵州省贵阳市·历年真题)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）.（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围.25.(2021·江苏省徐州市·历年真题)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处.已知AB=4，BC=8.（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长.26.(2021·黑龙江省·历年真题)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（-1，3），B（-4，3），O（0，0）.（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）.参考答案1.【答案】B【解析】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1=OP=2.8，OP=OP2=2.8，OP1+OP2＞P1P2，P1P2＜5.6，故选：B．由对称得OP1=OP=2.8，OP=OP2=2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．2.【答案】D【解析】解：∵四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE 为对称轴的线对称图形，=60°，∠EDF=∠C=40°，∴∠BED=∠DEF=∠CEF=180°3∴∠DFE=180°-∠DEF-∠EDF=80°，故选：D．3.【答案】D【解析】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．4.【答案】B【解析】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．故选：B．能拼接为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．5.【答案】D【解析】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA=AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD关于直线BC对称，∴四边形BACD是菱形，故选：D．6.【答案】A【解析】解：∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案D，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案A，排除B与C．故选：A．严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．7.【答案】C【解析】解：如图1中，当B′与D不重合时，∵AB=A′B′,AB∥A′B′,AB=CD,AB∥CD,∴A′B′=CD,A′B′∥CD,∴四边形A′B′CD是平行四边形，当点B′与D重合时，四边形不存在，故①错误，作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,作AH⊥BD于点H，由平移的性质，得AA′∥BD，∴AH=TO，由矩形的对称性，得AH=OC，∴TC=2OC，∴CE=4OC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°,CD=AB=15,∴BD=√BC2+CD2=√202+152=25,∵12•BD •CO =12•BC •CD , ∴OC =20×1525=12,∴EC =48,故②正确，∵A ′C -B ′C ≤A ′B ′,∴A ′C -B ′C ≤15,∴A ′C -B ′C 的最大值为15,故③正确，如图2中，∵B ′C =A ′D ,∴A ′C +B ′C =A ′C +A ′D ,作点D 关于AA ′的对称点D ′,连接DD ′交AA ′于J ,过点D ′作D ′E ⊥CD 交CD 的延长线于E ,连接CD ′交AA ′于A ′,此时CB ′+CA ′的值最小，最小值为CD ′,由△AJD ∽△DAB ,可得DJ AB =AD BD ,∴DJ 15=2025,∴DJ =12,∴DD ′=24,由△DED ′∽△DAB ,可得DE DA =ED′AB =DD′BD ,∴DE 20=ED′15=2425,∴ED ′=725,DE =965,∴CE =CD +DE =15+965=1715,∴CD ′=√CE 2+ED′2=√(1715)2+(725)2=9√17, ∴A ′C +B ′C 的最小值为9√17．故④正确，故选：C ．①根据平行四边形的判定可得结论．②作点C 关于直线AA ′的对称点E ,连接CE 交AA ′于T ,交BD 于点O ,则CE =4OC ．利用面积法求出OC 即可．③根据A ′C -B ′C ≤A ′B ′,推出A ′C -B ′C ≤15,可得结论．④作点D 关于AA ′的对称点D ′,连接DD ′交AA ′于J ,过点D ′作D ′E ⊥CD 交CD 的延长线于E ,连接CD ′交AA ′于A ′,此时CB ′+CA ′的值最小，最小值为CD ′．本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．8.【答案】C【解析】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．故选：C．9.【答案】B【解析】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°，又∠AOB=90°，∴∠DCB=∠AOB，∴CD∥AO∴BC BO =CDAO∵OC=2，OB=4，∴BC=2，∴2 4=CD3，解得，CD=32；∵CD∥AO，∴EO EC =PODC，即24=PO32，解得，PO=34，故选：B．10.【答案】D【解析】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．11.【答案】B【解析】解：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，∴∠BAB'=30°，EF=EF'，∴FE+EB=BE+EF'，∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，长度最小，即作BD⊥AB'于D，在△ABD中，BD=12AB=52，故选：B．12.【答案】D【解析】解：设CE=x，则AE=8-x=EB，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2,即（8-x）2=x2+62，解得x=74，故选：D．13.【答案】C【解析】解：由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，∵∠BFE=45°，∴∠BFG=90°，过点A作AH⊥BC于H，在Rt △ABH 中，AH =sin60°×AB =√32×10=5√3， ∵AD ∥BC ，∴∠GAH =∠AHB =90°，∴∠GAH =∠AHB =∠BFG =90°，∴四边形AHFG 是矩形，∴FG =AH =5√3，∴BF =GF =5√3．故选：C ． 14.【答案】D【解析】解：∵四边形AOBC 为矩形，且点C （-10，8），∴AC =OB =8，AO =BC =10，∠C =∠A =∠EOB =90°，∵△BCD 沿BD 翻折，点C 恰好落在OA 边上点E 处，∴CD =DE ，BC =BE =10，在Rt △OBE 中，OE =√BE 2−OB 2=√102−82=6，设AD =m ，CD =DE =8-m ，∵∠ADE +∠AED =∠AED +∠OEB =90°，∴∠ADE =∠OEB ，∵∠A =∠AOB ，∴△ADE ∽△OEB ，∴DA DE =OE BE ，即m 8−m =610，解得m =3，∴DE =8-3=5，在Rt △BDE 中，DE =5，BE =10，∴tan ∠DBE =510=12，故选：D ． 15.【答案】D【解析】解：搭配④中，有10个小正方形，显然不符合9个小正方形的条件，而搭配①②③均符合条件，故选：D ．把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，不能满足的即为本题的选项．16.【答案】5√3 【解析】解：∵纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ．∴AD =DF ，AE =EF ．∵DE ∥BC ，∴DE 为△ABC 的中位线．∴DE =12BC =12（BF +CF ）=12（4+6）=5．∵AF =EF ，∴△AEF 为等边三角形．∴∠FAC =60°．在Rt △AFC 中，∵FC AF =√3，∴AF =2√3．∴四边形ADFE 的面积为：12DE ×AF =12×5×2√3=5√3．故答案为：5√3． 17.【答案】（23，0）【解析】解：如图所示，作点B 关于x 轴对称的点B '，连接AB '，交x 轴于P ，则点P 即为所求，设直线y =-x 沿y 轴向下平移后的直线解析式为y =-x +a ，把A （2，-4）代入可得，a =-2，∴平移后的直线为y =-x -2，令x =0，则y =-2，即B （0，-2）∴B '（0，2），设直线AB '的解析式为y =kx +b ，把A （2，-4），B '（0，2）代入可得，{−4=2k +b 2=b ，解得{k =−3b =2， ∴直线AB '的解析式为y =-3x +2，令y =0，则x =23，∴P （23，0），故答案为：（23，0）． 18.【答案】2√5【解析】解：连接AF ，过O 作OH ⊥BC 于H ，如图：∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ， ∴AF =CF =5，在Rt △ABF 中，BF =√AF 2−AB 2=√52−42=3，∴BC =BF +CF =8，∵OA =OC ，OH ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴O 为AC 中点，OH ∥AB ，∴OH 是△ABC 的中位线，∴BH =CH =12BC =4，OH =12AB =2，在Rt △BOH 中，OB =√BH 2+OH 2=√42+22=2√5，故答案为：2√5．连接AF ，过O 作OH ⊥BC 于H ，由将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ，可得AF =CF =5，BF =√AF 2−AB 2=3，BC =BF +CF =8，根据折叠可知OH 是△ABC 的中位线，故BH =12BC =4，OH =12AB =2，在Rt △BOH 中，用勾股定理即得OB =2√5．19.【答案】1+√32；(1+√32)π-1-√3．【解析】解：如图1中，过点B 作BH ⊥AC 于H ．在Rt △ABH 中，BH =AB •sin30°=1,AH =√3BH =√3, 在Rt △BCH 中，∠BCH =45°, ∴CH =BH =1,∴AC =CA ′=1+√3,当CA ′⊥AB 时，点A ′到直线AB 的距离最大，设CA ′交AB 的延长线于K ．在Rt △ACK 中，CK =AC •sin30°=1+√32,∴A ′K =CA ′-CK =1+√3-1+√32=1+√32．如图2中，点P 到达点B 时，线段A ′P 扫过的面积=S 扇形A ′CA -2S △ABC =90π⋅(1+√3)2360-2×12×(1+√3)×1=(1+√32)π-1-√3．故答案为：1+√32，(1+√32)π-1-√3． 20.【答案】√3，2+√7【解析】解：根据图形可画出图形，如图所示，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ，∴∠F =∠CAE ，∠EBF =∠ACE ，∵点E 是BC 的中点，∴△ACE ≌△FBE （AAS ），∴BF =AC ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠BAE =∠F ，∴AB =BF =AC ，在菱形ABCD 中，AB =BC ，∴AB =BC =AC ，即△ABC 是等边三角形；∴∠ABC =60°，设AB =a ，则BD =√3a ，∴菱形ABCD 的面积=12AC •BD =2√3，即12⋅a ⋅√3a =2√3， ∴a =2，即AB =BC =CD =2；∵四边形ABCD 是菱形，∴点A 和点C 关于BD 对称，∴PE +PC =PE +AP ，当点A ，P ，E 三点共线时，AP +EP 的和最小，此时AE =√3；点P 和点D 重合时，PE +PC 的值最大，此时PC =DC =2，过点D 作DG ⊥BC 交BC 的延长线于点G ，连接DE ，∵AB∥CD，∠ABC=60°，∴∠DCG=60°，∴CG=1，DG=√3，∴EG=2，∴DE=√EG2+DG2=√22+(√3)2=√7，此时PE+PC=2+√7；即线段PE与PC的和的最小值为√3；最大值为2+√7．故答案为：√3；2+√7．21.【答案】67.5°或72°【解析】解：∵∠POQ=90°，C为AB的中点，∴OC=AC=BC，∴∠COA=∠BAO，∠OBC=∠BOC，又由折叠性质可得∠COA=∠COA′，∴∠COA=∠COA′=∠BAO，设∠COA=∠COA′=∠BAO=x°，则∠BCO=2x°，∠A′OB=90°-2x°，∠OBD=90°-x°，∠BDO=∠AOD+∠BAO=3x°，①当OB=OD时，∠ABO=∠BDO，∴90°-x°=3x°，解得x=22.5°，∴∠OBD=90°-22.5°=67.5°；②当BD=OD时，∠OBD=∠A′OB，∴90°-x°=90°-2x°，方程无解，∴此情况不存在；③当OB=DB时，∠BDO=∠A′OB，∴3x°=90°-2x°，解得：x=18°，∴∠OBD=90°-18°=72°；综上，∠OBD的度数为67.5°或72°，故答案为：67.5°或72°．22.【答案】证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，∵点A关于DE的对称点为A′，∴AO=A'O，AA'⊥DE，∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE=EF=BF，∴DE∥A'F；（2）∵AA'⊥DE，∴∠AOE=90°=∠DAE=∠ABG，∴∠ADE+∠DEA=90°=∠DEA+∠EAO，∴∠ADE=∠EAO，在△ADE和△BAG中，{∠ADE=∠EAOAD=AB∠DAE=∠ABG=90°，∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE=BG，∴BF=BG，∴∠GFB=∠FGB=45°，∵∠FA'G=∠FBG=90°，∴点F，点B，点G，点A'四点共圆，∴∠GA'B=∠GFB=45°；（3）设AE=EF=BF=BG=a，∴AD =BC =3a ，FG =√2a ，∴CG =2a ，在Rt △ADE 中，DE =√AD 2+AE 2=√9a 2+a 2=√10a =AG ，∵sin ∠EAO =sin ∠ADE ，∴OE AE =AE DE ，∴OE a =√10a ，∴OE =√1010a ， ∴AO =√AE 2−OE 2=√a 2−a 210=3√1010a =A 'O ， ∴A 'G =2√105， ∵AO =A 'O ，AE =EF ，∴A 'F =2√1010a =√105a ， ∵∠FA 'G =∠FBG =90°，∴∠A 'FB +∠A 'GB =180°，∵∠A 'GC +∠A 'GB =180°，∴∠A 'FB =∠A 'GC ，又∵A′F A ′G =12=BFCG ，∴△A 'FB ∽△A 'GC ，∴A′B A′C =12，∴A ′C =2A ′B ． 23.【答案】解：抛物线y =ax 2-2ax +c （a ，c 为常数，a ≠0）经过点C （0，-1），则c =-1，（Ⅰ）当a =1时，抛物线的表达式为y =x 2-2x -1=（x -1）2-2，故抛物线的顶点坐标为（1，-2）；（Ⅱ）∵y =ax 2-2ax -1=a （x -1）2-a -1，故点D （1，-a -1），由DE =2√2DC 得：DE 2=8CD 2，即（1-0）2+（a +1+a +1）2=8[（1-0）2+（-a -1+1）2]，解得a =12或32，故抛物线的表达式为y =12x 2-x -1或y =32x 2-3x -1；（Ⅲ）将点D 向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D ′（-2，-a ），作点F 关于x 轴的对称点F ′，则点F ′的坐标为（0，a -1），当满足条件的点M 落在F ′D ′上时，由图象的平移知DN =D ′M ，故此时FM +ND 最小，理由：∵FM +ND =F ′M +D ′M =F ′D ′为最小，即F ′D ′=2√10，则D ′F ′=√(−2−0)2+(−a −a +1)2=2√10，解得a =72（舍去）或a =-52，则点D ′、F ′的坐标分别为（-2，52）、（0，-72），由点D ′、F ′的坐标得，直线D ′F ′的表达式为y =-3x -72，当y =0时，y =-3x -72=0，解得x =-76=m ，则m +3=116，即点M 的坐标为（-76,0）、点N 的坐标为（116，-1）． 24.【答案】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），设二次函数的表达式为y =a （x -4）2+4，将点O （0，0）代入函数表达式，解得：a =-14，∴二次函数的表达式为y =-14（x -4）2+4，x2+2x （0≤x≤8）；即y=-14（2）工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，×1.2=1，由题意得：工人距O点距离为0.4+12∴将=1代入y=-1x2+2x，4=1.75，解得：y=74∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头；x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．（3）抛物线y=-14如图所示，新函数图象的对称轴也是直线x=4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如图所示，∵平移不改变图形形状和大小，∴平移后函数图象的对称轴是直线x=4+m，∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，②8+m ≤8，得m ≤0，由题意知m ＞0，∴m ≤0不符合题意，舍去，综上所述，m 的取值范围是5≤m ≤8．25.【答案】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF =∠CEF ，由矩形性质可得AD ∥BC ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AEF =∠AFE ．∴AE =AF ，故△AEF 为等腰三角形．（2）解：由折叠可得AE =CE ，设CE =x =AE ，则BE =BC -CE =8-x ，∵∠B =90°，在Rt △ABE 中，有AB 2+BE 2=AE 2，即42+（8-x ）2=x 2，解得：x =5．由（1）结论可得AF =AE =5，故FD =AD -AF =BC -AF =8-5=3．26.【答案】解：（1）如图，△A 1B 1O 即为所求，点A 1的坐标（-1，-3）；（2）如图，△A 2B 2O 即为所求，点A 2的坐标（3，1）；（3）点A 旋转到点A 2所经过的路径长=90π⋅√10180=√102π。

2021年NOC复赛真题解析：巧画轴对称图形

2021年NOC复赛真题解析：巧画轴对称图形作者：何广林来源：《电脑报》2021年第48期本题来自全国中小学信息技术创新与实践大赛（NOC），创新编程复赛的一道操作题。

轴对称图形，是指在平面内，沿着一条直线折叠之后直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线也叫作对称轴。

有些特殊的轴对称图形，其对称轴不止1条，例如图1所示的图形。

请你仔细观察图形的特点，然后编写程序将这个图形绘制出来（图1）。

程序要求：1.中间圆的半径为120，轮廓线为红色，不填充;2.周围菱形为黑色轮廓线，边长为80，菱形锐角为60度，黄色填充;3.圆周围总共有12个形状形同的菱形，菱形长对角线延长线经过圆心（如图中虚线所示，注：虚线不用绘制）;4.绘图过程中隐藏画笔，能清楚地看到图形绘制过程。

1.本题的考点一是要确定所画圆的位置及半径;二是根据圆的大小和位置画经过圆中心点的12根虚线;三是画12个相对应的锐角菱形，形成一个轴对称图形。

根据题目要求可以按顺序先画出一个半径为120的圆，然后围绕圆中心点画12根120的虚线，最后在圆圈外及虚线对应处画12个锐角菱形。

2.绘制圆时可以借助其他角色（将角色定位在坐标（0，0）），移动120步后再落笔围绕其旋转一周，画完后抬笔，再画虚线;也可以画360条边，旋转1度来完成。

3.画虚线时笔回到坐标（0，0），按照“落笔-移动10-抬笔-移动10”画出一根经过圆中心点的虚线，然后旋转30度（顺、逆时针均可），重复执行12次完成12根虚线的绘制。

根据题意这部分不用画出，只是讨论方法。

4.画菱形时，先面向0度方向画一个，然后结合画虚线的方式，重复执行12次完成12个菱形的绘制。

添加或导入角色“笔”，背景为白色。

（一）绘制“圆”1.画圆程序一为角色“笔”编程：设置初始点坐标为（0，0）;程序运行后“笔”移动到（0，-120），这里Y轴的“-120”为圆的半径，画完后“发送广播‘画虚线’”（图2）。

2021年中考复习讲义尺规作图题--模型1：轴对称模型

尺规作图题--模型1：轴对称模型学习或讲解思路：1、问题定位：所选题目的依据：①学生考过②学生用心做过③学生印象深刻④较难题2、先简单题分析，推理、总结得出“轴对称模型”3、运用“轴对称模型”返回求解问题定位的题目4、运用“轴对称模型”解答一系列类型题（尺规作图、轴对称图形）尺规作图题--模型1：轴对称模型大前提：尺规作图题，图形为轴对称图形小前提：让画对称点、画相等线段、画平行线段方法：轴对称模型：①一定要与对称轴构造交点②与对称轴形成交点的另外两个点一定要关于对称轴对称一、问题定位问题定位：所选题目的依据：①学生考过②学生用心做过③学生印象深刻④较难题题目来源:2021年江西省初中“名校联盟”九年级阶段性测试卷1、如图：已知二次函数y=x2+4x−5的图像及对称轴，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图1中作点A（-4，-5）（2）已知点A（-4，-5），在图2中的对称轴上作点P，使得CP-AP的值最大解答：（1）二次函数为轴对称图形，点A是（0，-5）关于对称轴对称的点，做法如图1所示（2）可知：三角形CAP的性质：CP-AP < AC （两边之差小于第三边），所以点C、P、A三点共线时：CP-AP = AC ，此时AC最大。

二、方法分析1、先简单题分析，推理、总结得出“轴对称模型”2、建议该步骤用A4纸直接讲解，先不要在教案上做，之后返回来做；讲好该部分，与问题定位之间的联系、相似之处。

3、联系：都是轴对称图形4、证明三角形APC全等三角形AP'B , 即可总结出：轴对称模型5、轴对称模型：①一定要与对称轴构造交点②与对称轴形成交点的另外两个点一定要关于对称轴对称三、简单题分析1、如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使得AP＝AP′；(2)如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使得BP＝CP′.解答：（1）满足轴对称模型：①一定要与对称轴构造交点②与对称轴形成交点的另外两个点一定要关于对称轴对称（2）使用两次轴对称模型，即可求出P′2、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图①中作线段BC的中点P；(2)在图②中，在OB，OC上分别取点M，N，使MN∥BC.解答：（1）求对称轴，满足轴对称模型的逆向使用（2）先画出对称轴，再使用一次轴对称模型四、题型训练1、在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于O，点P是BC的中点．请仅用无刻度直尺按要求画图．(1)在图①中，画出△ABC的边AB上的中线；(2)在图②中，画出正方形ABCD.解答：（1）以BO为对称轴，使用一次轴对称模型（2）以BO为对称轴，使用一次轴对称模型；再以OP为对称轴使用一次轴对称模型，求出Q点关于OP的对称点M；最后连接CM2、如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，E为AO上一点，过点E 作EF⊥AC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(保留画图痕迹)(1)在图①中，EF交AD于点F，画出线段EF关于BD的对称线段E′F′；(2)在图②中，点F在AD外时，画出线段EF关于BD的对称线段E′F′.图①图②解答：（1）解法一：对称轴BD，画点F关于BD的对称点，使用一次轴对称模型；再画点E关于BD的对称点，使用一次轴对称模型解法二：使用两次中心对称模型（2）解法一：延长对角线，重新构造等腰三角形（轴对称图形）对称轴BD，画点F关于BD的对称点，使用一次轴对称模型；再画点E关于BD的对称点，使用一次轴对称模型解法二、延长对角线，重新构造等腰三角形使用两次中心对称模型3、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图①，图②中按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图①中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN＝AM；(2)在图②中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ∥AM.解答：（1）以BD为对称轴，作点M关于BD的对称点，使用一次轴对称模型（2）求出对称中心，作点M关于对称中心的对称点，使用一次中心对称模型4、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，垂足为E，请仅用无刻度的直尺按要求作图．(1)在图①中，作菱形ABCD的高CF，使得点F在AB上；(2)在图②中，作出以AE为边的等边△AEG.解答：（1）三线合一（三角形的三条高相交于一点）（2）以AC为对称轴，作点E关于AC的对称点，使用一次轴对称模型五、类型题更新。