专题20三角恒等变换与求值

专题20 三角恒等变换与求值

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高考对于三角恒等变换的考查，主要以公式的基本运用、计算为主，在三角函数考题中，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查,主要是小题为主,试题难度不大．往往从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．本专题重点举例讲解求未知角的三角函数值问题的解法. 1、与三角函数计算相关的公式： （1）同角三角函数的基本关系式

①平方关系：sin 2α＋cos 2

α＝1(α∈R )．②商数关系：tan α＝

sin αcos α⎝ ⎛⎭

⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . （2）六组诱导公式

对于角“

k π

2

±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指

“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” （3）两角和差的正余弦，正切公式：

① ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ② ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ③ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ④ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+

⑤ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ⑥ ()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=+

（4）倍半角公式：① sin 22sin cos ααα=

② 2222

cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-③ 22tan tan 21tan α

αα

=

-

（3）辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b a

ϕ=

2、求未知角的三角函数值问题的解法步骤：

（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可

3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次： （1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：43ππα⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

， ，则56122πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，）

（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.

（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为

4

π

） （4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：6

sin cos 5

αα+=，可判断出α在第一象限

【经典例题】

例1．【2017课标3，文4】已知4

sin cos 3

αα-=

，则sin 2α=（ ） A ．79

-

B ．29

-

C ．

29

D ．

79

【答案】A 【解析】()2

sin cos 1

7

sin 22sin cos 1

9

ααααα--==

=-- .

【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值

代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

例2.【2018届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】若，则（）

A. B. 1 C. D.

【答案】B【解析】∵tan（α+）= =﹣3，∴tanα=2，

∴cos2α+2sin2α= =1．

例3.【2018届湖南省株洲市高三统一检测（二）】设向量，若,则

( )A. B. C. -1 D. -3【答案】D

点睛：、两角和的正切公式是解题的关键．

例4.【2018届云南省曲靖市第一中学高三4月高考监测（七）】已知，若，且是锐角，则的值等于（）

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】由题意，根据求导公式、法则，

得，由，

得，结合，解得，故正确答案为D.

例5.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴

对称.若

1

sin

3

α=，cos()

αβ

-=___________.【答案】

7

9

-

【解析】

【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则

2k αβππ-=+ k Z ∈.

例6．【2017江苏，5】 若π1

tan(),46α-= 则tan α= .【答案】75

【解析】11tan()tan

7644tan tan[()]1445

1tan()tan 1446

ππ

αππααππα+-+=-+===---．故答案为75．

例7．【2018

届江西省南昌市高三第一轮复习训练】已知sin 410πα⎛

⎫

+

= ⎪

⎝

⎭， ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

. （Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 24πα⎛

⎫

-

⎪⎝

⎭

的值. 【答案】(Ⅰ) 35-

；(Ⅱ)

50

-. 【解析】试题分析：（1）根据同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可。（2）根据两角和差公式得到πππ

sin 2sin2cos cos2sin 444

ααα⎛⎫-

=- ⎪

⎝

⎭，再由二倍角公式得到sin2α， cos2α，代入公式即可。

πππsin 2sin2cos cos2sin 444ααα⎛

⎫-=- ⎪⎝⎭

247252252

⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

50=-.