声波的辐射,扬声器
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设脉动声源表面的振动速度为 式中uA为振动速度幅值。在脉动球源表面上的媒质质点速度应等于脉动球源表面的振动速 度，即有下边界条件
也就是
因此
其中
将已获得的A代入声压公式，得
P=
A r
e j (ωt − kr +θ 0 )
声压p的大小与 成正比，而 与振动频率（或者是波长）、脉动球源半径、脉动球源表面 振速三者有关。现在讨论三种情况。 (1) kr0《1,频率较低或者球源半径r0较小，此时 (2) kr0》1，即频率较高或者球源半径r0较大，此时 显然，振动速度uA相同时， 因此，对于相同大小的脉动球源，频率越高则辐射声压越大， 对于相同的频率，球源半径越大则辐射声压越大。这种关系具有普遍的意义。大口径扬声器辐射低频 比较容易，而小口径比较难。
声波的辐射
SP Desgin Gr
内容介绍
脉动球源的辐射 声偶极辐射 同相小球源 点声源 无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗 长管一端中平面圆形活塞的辐射阻抗 自由空间无支撑平面的平面圆形活塞阻抗
SP Desgin Gr
一、脉动球源的辐射
1.1 脉动球源的概念 脉动球源是产生声波最简单的球面声源，球源表面上各点沿着径向 作同振幅、同相位的振动。 声压与振速 1. 2 声压与振速 声压 大气静止时的压力为大气压力。当声波存在时局部空气产生压缩和膨胀，这样就在大气压 上增加了一个压力起伏，压力的起伏是由于声波的作用引起的，称它为声压。用符号P表示。 目前，声压是描述声波性质最常用的物理量，声压一般是空间和时间的函数，声压的测量 比较容易，一般用电子仪器测得的是有效声压。
Vr = −
∂p A 1 = (1 + )e j (ωt − kr ) jωρ 0 ∂r rρ 0 c 0 jkr 1
ω为角频率，ω=2πf、ρ0为空气密度，c0为空气中的声速，t为时间 k为波数，k=ω/c0=2π/λ，λ为波长。 。
SP Desgin Gr
一、脉动球源的辐射
1.3声辐射与球源半径的关系 1.3声辐射与球源半径的关系
SP Desgin Gr
一、脉动球源的辐射
声压与声压级 声压的大小与物体的振动情况有关，振幅越大，压力的起伏就越大，声压就越 大。声压代表了声波的强弱，国际上用帕表示声压的大小。 1帕=1牛顿/ 即：1帕=1N/㎡ 1大气压= Pa 人的听觉机构对声音大上的感受不直接正比于声压的大小，而是近似的正比于 声压的对数值。在声学中普遍使用对数标度来度量声压，声压的定义为有效声压pe 与参考声压pre的比值取以10为低的对数再乘以20，即：
SP Desgin Gr
一、脉动球源的辐射
声源与辐射的规律 1.4 声源与辐射的规律 脉动球源在空间的辐射声压为
P=
A r
e j (ωt − kr +θ 0 )
距脉动声源越远声压就越小，这是球面声场的重要特征。当r很大时，波阵面已经很大， 在局部的范围内，球面可以近似的视为平面。
SP Desgin Gr
两个同相小球源组合在一起辐射时，两个小球源本身也处于这个声场中，就每 个小球源来说，不仅受到自身声场的反作用，也受到另一个小球源产生声场的 反作用。小球源A自身的阻抗称为自辐射阻抗。另一个小球源B在小球源A上产生 的阻抗称为互辐射阻抗，简称互阻抗。
SP Desgin Gr
三、同相小球源
3.3 镜相原理 当一个小球源靠近墙壁面时，受壁面的影响，辐射声场可视为该小球源和一个通过壁面对 称的“虚源 ”所产生的合声场，也就是说壁面对声源的作用等效于一个虚声源的作用,这 就 是所谓镜相原理。
KM jϖ
可见，考虑到声场对脉动声源的反作用，相当于在原来和力学系统上附加了一个力阻 抗。这种由于声辐射引起的附加于力学振动系统的力阻抗称为辐射力阻抗，简称辐射 阻抗。总阻抗为： X K Z M + Z MR = ( RM + RMR ) + j ϖ M M + MR − M ϖ ϖ
X MR
ω
,
由于MMR的存在，好像声源加重了，似乎有质量为MMR的物体粘附在声源的表面，随脉动球源 一起振动。因此MMR也被称为同振质量。
SP Desgin Gr
二、声偶极辐射
声偶极子的定义 2.1 声偶极子的定义 声偶极子是由两个相距很近(以波长相比)并以相同的振幅和相反的相位振动着的小脉 动声源所组成的声源。常见的电动式低音扬声器在无障板时就可以视为声偶极子。
p=
A sin(kd sin θ ) j (ωt − kr ) e r kd sin θ sin 2
两个同相小球源与脉动球源辐射的相同点：声压与距离成反比。 两个同相小球源与脉动球源辐射的不同点： 1.当Kd sinθ/2=nπ, （n=0，1，2，3，…），声压p最大。 2.当Kd sinθ=mπ， （n=0，1，3，5，…），声压p为0。 3.当kd《1，必然有kdsinθ《1,声压p与方向无关。表明两个同相小球源靠得很近或者频 率较低时相当于一个幅值加倍的脉动球源。 4.当kd》1时，即两个小球靠得很远或都频率较高时，两个同相小球源的影响可以忽略不 计，相当于两个小球源单独存在。 自辐射阻抗与互辐射阻抗
du = F + FMR − R M U − K M ∫ udt dt 将FR=-ZMRu打入上式，整理得：M du + R u + K udt + Z u = F M M M ∫ MR dt F 因为u是时间的简谐函数，解上式，整理得： u = Z M + Z MR MM
式中
Z M = RM + jωM M +
R2 MR k 2 d 2 = << 1 RMR 3
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三、同相小球源
3.1 定义
两个相距很近(与波长相比)并以相同振幅和相同的相位振动着的小脉动球源所组成的 声源可视为同相小球源。常见的双低音扬声器、声柱均可视为同相小球源。
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三、同相小球源
3.2 两个同相小球源远场声压
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五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
5.2 近场声压与远近场临界距离
在近场区，活塞上不同部分上辐射的声波到达观察百度文库时，其振幅与相位都不一样，因而干涉图相 比较复杂。 令 R = a 2 + z 2 ，则未经任何近似的活塞轴上的声压的严格解为：
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k j ωt − 2 ( R + z ) + 2 p = 2 ρ 0 c0 u A sin ( R − z ) e 2 k sin ( R − z ) ，它描述了活塞轴上声压随离开活塞中 对其中正弦函数部分取绝对值得 2 心的距离而变化的规律。
z > zg
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时（
zg =
a2
zg
λ
），声压幅值与距离成反比，呈现出球面波性质。
即为活塞声源的近声场临界距离
五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
无限大障板上的平面圆形活塞辐射阻抗（单面） 辐射阻抗
RMR = πa 2 ρ 0 c0 R1 (2ka)
辐射力抗 X MR = πa ρ 0c0 X 1 (2ka)
国际上采用“分贝”（db）作为声压级的单位。在空气中参考声压pre一般取2 乘 10-5帕，这个数值是正常人耳对1000HZ声音刚刚能察觉其存在的声压，对应的声压 级为零分贝。
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一、脉动球源的辐射
脉动声源产生的声压与振速 脉动球源的半径为r0，在’附近以微小量dr做简谐振动。脉动声源向空间辐射 均 匀的球面波，该球面皮向各向同性均匀的无限大的媒介中传播，没有反射波。在距 脉动球源r处的声压为： A待定 由此可见声与距离r成反比。在距脉动声源r处的质点速度vr为
当比较小，在声源附近时
k
π
k ( R − z ) = nπ ，（n=1,2,3,……），则此处的声压幅值为零； 2 若 k ( R − z ) = ( n + 1 )π ,(n=1,2,2………) ，则此处的声压幅值极大： 2 2
若 在声源附近时，声压分布极大值与极小值很密集，随着距离增大，极大值与极小值间距加大。 当
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四、点声源
4.1 近似点声源的条件 当kr0《1时，（可以认为球的半径远小于波长的六分之一，即r0《λ/6），则该球面声 源称为点源或者单源。点源是基本的声辐射体，其特性由它表面速度的幅值和相对于某一 参考标准的相位所确定。 向无限大媒介质辐射的点声源 立本角为4π的球面度，在距点声源r处的声压p为
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五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
远场声压
ρ 0 u A a 2 2 J 1 (ka sin θ ) j (ωt − kr ) p = jω e 2r ka sin θ
式中UA为平面活塞上任意小面元的振速；a为圆形活塞的半径J1(kasinθ) 为贝赛尔函数。2J1(kasinθ)/kasinθ关系曲线如下：
p 与r成反比，距离越远，声压越小，在距点声源r处的质点速度vr为
向无限大媒介质辐射的点声源 立体角为2π球面度，各参量对应关系见表1.1 向π球面度立体角内辐射的点声源 立体角为π球面度，各参量对应关系见表1.1 向π/2立体角内辐射的点声源 立体角为π/2球面度，各参量对应关系见表1.1 利用镜相原理，在立体角为4π，2π，π，π/2球面度内点声源的声压，总输出功率和声 能密度，如下图1.1所示。
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二、声偶极辐射
声偶极子的远场声压为
A p = − j kd sin θe( jω − kr ) r
p =
A kd sin θ r
=0。当θ=
±
d为声偶极子间距 声偶极子与脉动球源的相同点：声压与距离成反比。 声偶极子与脉动球源辐射的不同点：偶极辐射与θ有关。当θ=时，声压 时，声压 P 最大。 如果将声偶极子等效为一个辐射为Ｒ２ＭＲ的脉动声源，则当kd<１时：
有效声压、峰值声压、瞬时声压 有效声压、峰值声压、 声场中某一瞬时的声压称为瞬时声压。在一定间隔中最大的瞬时声压称为峰值 声压。如果声压按简谐规律随时间变化，则峰值声压就是声压的振幅。在一定的时 间间隔中，瞬时声压对时间取均方根值称有效声压。用下式表示。声压可以用下式表
示：
式中下标“e”代表有效值，T代表平均的时间间隔 声场 存在声压的空间称为声场，声场的特征可以用媒质中的声压p、质点速度v和密 度的变化率P来表征。
一、脉动球源的辐射
声场对脉动声源的反作用—辐射阻抗 1.5 声场对脉动声源的反作用 辐射阻抗 脉动声源在振动时，使媒质发生了疏密变形的形变，从面辐射了声波。另一方面，脉 动球源也受到了声场对它的反作用力，这个反作用力为： FR =-ZMRu 式中，ZMR=RMR+jXMR ZMR表示辐射阻抗，RMR表示辐射阻，XMR表示辐射抗 设脉动球源表面的振动质量为MM，力学系统的弹性系数为KM，受到的磨擦力阻为RM，策 动其振动的外和为F，则振动表面的运动方程为
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四、点声源
表1.1 适用第件：辐射器尺度和离墙的距离远小于波长
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五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
无限大障板上的平面圆形活塞是指嵌入无限大刚性平面障板的一块平面形振动板，其振动 像活塞一样，沿平面法向振动时，面上各点的振幅和相位都是相同的。安装在大障板上的扬 声器在低频时的振动可以近似为活塞运动。在实用中，如果障板的尺寸远大于声波在媒质中 的波长，即可视为无限大障板.
P
π
2
当kr0《1时，单个脉动球源的辐射阻RMR为 由这两个式子可得
4 R2 MR = πρ 0 c0 k 4 r04 d 2 3
R2 MR = 4πρ 0 c 0 k 2 r04
也就是说，在低频时，玚偶极子的辐射能力比单个脉动球源差得多。常见的电动式低音扬声器 没有安装在障板上时，低频辐射能力极差。
2
2 J 1 ( x) x2 x2 x2 x6 = − − + ....................... Rl ( x) = 1 − x 2 × 4 2 × 42 × 6 2 × 42 × 6 2 × 42 × 62 × 8
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一、脉动球源的辐射
可以清楚的看出声场对脉动球源的反作用表现在两个方面：一是增加了系统的阻尼，即辐射阻 RMR，它反映了力学振动系统存在的能量的损耗。不过它不是转化为热能，而是转化为声能，以声 波的方式传播出去。二是辐射抗XMR对力学振动影响相当于增加了一个辐射质量 M MR =
也就是
因此
其中
将已获得的A代入声压公式，得
P=
A r
e j (ωt − kr +θ 0 )
声压p的大小与 成正比，而 与振动频率（或者是波长）、脉动球源半径、脉动球源表面 振速三者有关。现在讨论三种情况。 (1) kr0《1,频率较低或者球源半径r0较小，此时 (2) kr0》1，即频率较高或者球源半径r0较大，此时 显然，振动速度uA相同时， 因此，对于相同大小的脉动球源，频率越高则辐射声压越大， 对于相同的频率，球源半径越大则辐射声压越大。这种关系具有普遍的意义。大口径扬声器辐射低频 比较容易，而小口径比较难。
声波的辐射
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内容介绍
脉动球源的辐射 声偶极辐射 同相小球源 点声源 无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗 长管一端中平面圆形活塞的辐射阻抗 自由空间无支撑平面的平面圆形活塞阻抗
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一、脉动球源的辐射
1.1 脉动球源的概念 脉动球源是产生声波最简单的球面声源，球源表面上各点沿着径向 作同振幅、同相位的振动。 声压与振速 1. 2 声压与振速 声压 大气静止时的压力为大气压力。当声波存在时局部空气产生压缩和膨胀，这样就在大气压 上增加了一个压力起伏，压力的起伏是由于声波的作用引起的，称它为声压。用符号P表示。 目前，声压是描述声波性质最常用的物理量，声压一般是空间和时间的函数，声压的测量 比较容易，一般用电子仪器测得的是有效声压。
Vr = −
∂p A 1 = (1 + )e j (ωt − kr ) jωρ 0 ∂r rρ 0 c 0 jkr 1
ω为角频率，ω=2πf、ρ0为空气密度，c0为空气中的声速，t为时间 k为波数，k=ω/c0=2π/λ，λ为波长。 。
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一、脉动球源的辐射
1.3声辐射与球源半径的关系 1.3声辐射与球源半径的关系
SP Desgin Gr
一、脉动球源的辐射
声压与声压级 声压的大小与物体的振动情况有关，振幅越大，压力的起伏就越大，声压就越 大。声压代表了声波的强弱，国际上用帕表示声压的大小。 1帕=1牛顿/ 即：1帕=1N/㎡ 1大气压= Pa 人的听觉机构对声音大上的感受不直接正比于声压的大小，而是近似的正比于 声压的对数值。在声学中普遍使用对数标度来度量声压，声压的定义为有效声压pe 与参考声压pre的比值取以10为低的对数再乘以20，即：
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一、脉动球源的辐射
声源与辐射的规律 1.4 声源与辐射的规律 脉动球源在空间的辐射声压为
P=
A r
e j (ωt − kr +θ 0 )
距脉动声源越远声压就越小，这是球面声场的重要特征。当r很大时，波阵面已经很大， 在局部的范围内，球面可以近似的视为平面。
SP Desgin Gr
两个同相小球源组合在一起辐射时，两个小球源本身也处于这个声场中，就每 个小球源来说，不仅受到自身声场的反作用，也受到另一个小球源产生声场的 反作用。小球源A自身的阻抗称为自辐射阻抗。另一个小球源B在小球源A上产生 的阻抗称为互辐射阻抗，简称互阻抗。
SP Desgin Gr
三、同相小球源
3.3 镜相原理 当一个小球源靠近墙壁面时，受壁面的影响，辐射声场可视为该小球源和一个通过壁面对 称的“虚源 ”所产生的合声场，也就是说壁面对声源的作用等效于一个虚声源的作用,这 就 是所谓镜相原理。
KM jϖ
可见，考虑到声场对脉动声源的反作用，相当于在原来和力学系统上附加了一个力阻 抗。这种由于声辐射引起的附加于力学振动系统的力阻抗称为辐射力阻抗，简称辐射 阻抗。总阻抗为： X K Z M + Z MR = ( RM + RMR ) + j ϖ M M + MR − M ϖ ϖ
X MR
ω
,
由于MMR的存在，好像声源加重了，似乎有质量为MMR的物体粘附在声源的表面，随脉动球源 一起振动。因此MMR也被称为同振质量。
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二、声偶极辐射
声偶极子的定义 2.1 声偶极子的定义 声偶极子是由两个相距很近(以波长相比)并以相同的振幅和相反的相位振动着的小脉 动声源所组成的声源。常见的电动式低音扬声器在无障板时就可以视为声偶极子。
p=
A sin(kd sin θ ) j (ωt − kr ) e r kd sin θ sin 2
两个同相小球源与脉动球源辐射的相同点：声压与距离成反比。 两个同相小球源与脉动球源辐射的不同点： 1.当Kd sinθ/2=nπ, （n=0，1，2，3，…），声压p最大。 2.当Kd sinθ=mπ， （n=0，1，3，5，…），声压p为0。 3.当kd《1，必然有kdsinθ《1,声压p与方向无关。表明两个同相小球源靠得很近或者频 率较低时相当于一个幅值加倍的脉动球源。 4.当kd》1时，即两个小球靠得很远或都频率较高时，两个同相小球源的影响可以忽略不 计，相当于两个小球源单独存在。 自辐射阻抗与互辐射阻抗
du = F + FMR − R M U − K M ∫ udt dt 将FR=-ZMRu打入上式，整理得：M du + R u + K udt + Z u = F M M M ∫ MR dt F 因为u是时间的简谐函数，解上式，整理得： u = Z M + Z MR MM
式中
Z M = RM + jωM M +
R2 MR k 2 d 2 = << 1 RMR 3
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三、同相小球源
3.1 定义
两个相距很近(与波长相比)并以相同振幅和相同的相位振动着的小脉动球源所组成的 声源可视为同相小球源。常见的双低音扬声器、声柱均可视为同相小球源。
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三、同相小球源
3.2 两个同相小球源远场声压
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五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
5.2 近场声压与远近场临界距离
在近场区，活塞上不同部分上辐射的声波到达观察百度文库时，其振幅与相位都不一样，因而干涉图相 比较复杂。 令 R = a 2 + z 2 ，则未经任何近似的活塞轴上的声压的严格解为：
SP Desgin Gr
k j ωt − 2 ( R + z ) + 2 p = 2 ρ 0 c0 u A sin ( R − z ) e 2 k sin ( R − z ) ，它描述了活塞轴上声压随离开活塞中 对其中正弦函数部分取绝对值得 2 心的距离而变化的规律。
z > zg
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时（
zg =
a2
zg
λ
），声压幅值与距离成反比，呈现出球面波性质。
即为活塞声源的近声场临界距离
五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
无限大障板上的平面圆形活塞辐射阻抗（单面） 辐射阻抗
RMR = πa 2 ρ 0 c0 R1 (2ka)
辐射力抗 X MR = πa ρ 0c0 X 1 (2ka)
国际上采用“分贝”（db）作为声压级的单位。在空气中参考声压pre一般取2 乘 10-5帕，这个数值是正常人耳对1000HZ声音刚刚能察觉其存在的声压，对应的声压 级为零分贝。
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一、脉动球源的辐射
脉动声源产生的声压与振速 脉动球源的半径为r0，在’附近以微小量dr做简谐振动。脉动声源向空间辐射 均 匀的球面波，该球面皮向各向同性均匀的无限大的媒介中传播，没有反射波。在距 脉动球源r处的声压为： A待定 由此可见声与距离r成反比。在距脉动声源r处的质点速度vr为
当比较小，在声源附近时
k
π
k ( R − z ) = nπ ，（n=1,2,3,……），则此处的声压幅值为零； 2 若 k ( R − z ) = ( n + 1 )π ,(n=1,2,2………) ，则此处的声压幅值极大： 2 2
若 在声源附近时，声压分布极大值与极小值很密集，随着距离增大，极大值与极小值间距加大。 当
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四、点声源
4.1 近似点声源的条件 当kr0《1时，（可以认为球的半径远小于波长的六分之一，即r0《λ/6），则该球面声 源称为点源或者单源。点源是基本的声辐射体，其特性由它表面速度的幅值和相对于某一 参考标准的相位所确定。 向无限大媒介质辐射的点声源 立本角为4π的球面度，在距点声源r处的声压p为
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五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
远场声压
ρ 0 u A a 2 2 J 1 (ka sin θ ) j (ωt − kr ) p = jω e 2r ka sin θ
式中UA为平面活塞上任意小面元的振速；a为圆形活塞的半径J1(kasinθ) 为贝赛尔函数。2J1(kasinθ)/kasinθ关系曲线如下：
p 与r成反比，距离越远，声压越小，在距点声源r处的质点速度vr为
向无限大媒介质辐射的点声源 立体角为2π球面度，各参量对应关系见表1.1 向π球面度立体角内辐射的点声源 立体角为π球面度，各参量对应关系见表1.1 向π/2立体角内辐射的点声源 立体角为π/2球面度，各参量对应关系见表1.1 利用镜相原理，在立体角为4π，2π，π，π/2球面度内点声源的声压，总输出功率和声 能密度，如下图1.1所示。
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二、声偶极辐射
声偶极子的远场声压为
A p = − j kd sin θe( jω − kr ) r
p =
A kd sin θ r
=0。当θ=
±
d为声偶极子间距 声偶极子与脉动球源的相同点：声压与距离成反比。 声偶极子与脉动球源辐射的不同点：偶极辐射与θ有关。当θ=时，声压 时，声压 P 最大。 如果将声偶极子等效为一个辐射为Ｒ２ＭＲ的脉动声源，则当kd<１时：
有效声压、峰值声压、瞬时声压 有效声压、峰值声压、 声场中某一瞬时的声压称为瞬时声压。在一定间隔中最大的瞬时声压称为峰值 声压。如果声压按简谐规律随时间变化，则峰值声压就是声压的振幅。在一定的时 间间隔中，瞬时声压对时间取均方根值称有效声压。用下式表示。声压可以用下式表
示：
式中下标“e”代表有效值，T代表平均的时间间隔 声场 存在声压的空间称为声场，声场的特征可以用媒质中的声压p、质点速度v和密 度的变化率P来表征。
一、脉动球源的辐射
声场对脉动声源的反作用—辐射阻抗 1.5 声场对脉动声源的反作用 辐射阻抗 脉动声源在振动时，使媒质发生了疏密变形的形变，从面辐射了声波。另一方面，脉 动球源也受到了声场对它的反作用力，这个反作用力为： FR =-ZMRu 式中，ZMR=RMR+jXMR ZMR表示辐射阻抗，RMR表示辐射阻，XMR表示辐射抗 设脉动球源表面的振动质量为MM，力学系统的弹性系数为KM，受到的磨擦力阻为RM，策 动其振动的外和为F，则振动表面的运动方程为
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四、点声源
表1.1 适用第件：辐射器尺度和离墙的距离远小于波长
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五、无限大障板上平面圆形活塞的辐射阻抗
无限大障板上的平面圆形活塞是指嵌入无限大刚性平面障板的一块平面形振动板，其振动 像活塞一样，沿平面法向振动时，面上各点的振幅和相位都是相同的。安装在大障板上的扬 声器在低频时的振动可以近似为活塞运动。在实用中，如果障板的尺寸远大于声波在媒质中 的波长，即可视为无限大障板.
P
π
2
当kr0《1时，单个脉动球源的辐射阻RMR为 由这两个式子可得
4 R2 MR = πρ 0 c0 k 4 r04 d 2 3
R2 MR = 4πρ 0 c 0 k 2 r04
也就是说，在低频时，玚偶极子的辐射能力比单个脉动球源差得多。常见的电动式低音扬声器 没有安装在障板上时，低频辐射能力极差。
2
2 J 1 ( x) x2 x2 x2 x6 = − − + ....................... Rl ( x) = 1 − x 2 × 4 2 × 42 × 6 2 × 42 × 6 2 × 42 × 62 × 8
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一、脉动球源的辐射
可以清楚的看出声场对脉动球源的反作用表现在两个方面：一是增加了系统的阻尼，即辐射阻 RMR，它反映了力学振动系统存在的能量的损耗。不过它不是转化为热能，而是转化为声能，以声 波的方式传播出去。二是辐射抗XMR对力学振动影响相当于增加了一个辐射质量 M MR =