相似三角形性质2-教师版

相似三角形性质2

知识精要

一、相似三角形的性质

1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用

热身练习

一、填空题：

1、两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为3：4 。

2、地图比例尺为1：2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。

3、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为____100、40 __

4、如图4，已知DE∥BC，AD：DB=2：3，那么S△ADE：S△ECB=4：15 。

5、两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9

二、选择题：

1、如图，在ABCD中，AC与DE交于点F,AE：EB=1：2，S △AEF=6cm2，则S△CDF的值为（D ）

A．12cm2B．15cm2C．24cm2D．54cm2

2、若菱形的周长为16cm，相邻两角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（B ）

A．32B．32C．32D．3 2

3、东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实

际距离的比为（B ）

A．1：5000000 B．1：500000 C．1：50000 D．1：5000

三、解答题：

1、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=3：5，

求：（1）S△AOD：S△BOC的值；（2）S△AOB：S△AOD的值．

参考答案：（1）9：25 （2）5：3

2、如图，已知：△ABC∽△A´B´C´,且AB：A´B´=3：2，若AD与A′D′分别是△ABC与△A´B´C´的对应中线。

(1)你发现还有哪些三角形相似?

(2)若AD=9cm,则A＇D＇的长是多少？

(3）若AD分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD与△A´B´D´成立吗？

故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。

参考答案：（1）△ABD∽△A´B´D´, △ACD∽△A´C´D´；（2）A＇D＇为6cm；（3）成立3：2、9：4。

精解名题

例1、已知梯形ABCD的周长为16厘米，上底CD=3厘米，下底AB=7厘米，分别延长AD和BC交于P，求△PCD的周长。

参考答案：∵AB∥CD ∴PD PA

PC PB

=设PD=3x ,PC=3y

3

7

PD PC CD

PA PB AB

===

3x CD

PA AB

=

PA=7x ,PB=7y AD+BC=4x+4y=6 PD+PC=9

2

△PCD的周长为

15

2

例2.、在△ABC 中,DE//BC,DC 与BE

交于点O ，若BCED S 四边形=8ADE S ，且

1DOE

S

=，求四边形

BCED 的面积。

参考答案：

1

9ADE ABC

S S

= ∴

13DE OE BC OB == ∵13OE OB = ∴1

3

ODE OBD

S S

= 3OBD

S = 同

理，3OEC

S

= ∴

1

9

DOE OBC

S S

=

∴9OBC

S = 16BCED S =四边形

例3、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，

（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；

（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；

（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值。

参考答案：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°，

AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°， 90CMN AMB ∴∠+∠=°．

在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，

CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△．

（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM x MC CN x CN ∴=∴=-，，244

x x

CN -+∴=，

2221411

4

428(2)102422ABCN

x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭

梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）

90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有

AM AB

MN BM

=， 由（1）知

AM AB MN MC

=，BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =． 备选例题

例1、在△ABC 中，90ACB ∠=︒,CD 是AB 上的高，如果AC:BC=4:3,求:ACD

BCD

S

S

值。

参考答案：∵△ACD ∽△CBD ∴9162

==⎪⎭

⎫

⎝⎛∆∆CBD ACD S S BC AC

例2、如图 ，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：CDF BGF △∽△；

（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求

CD 的长．

参考答案：（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥，

∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，， ∴CDF BGF △∽△． （2） 由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC = ∴CDF BGF △≌△， ∴DF FG CD BG ==，

又∵EF CD ∥，AB CD ∥， ∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+． ∴22462BG EF AB =-=⨯-=，∴2cm CD BG ==

D C F

E A

B

G