第2讲 空间中的平行与垂直

第2讲空间中的平行与垂直

高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题.

真题感悟

1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()

A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

解析连接BD，BE，

∵点N是正方形ABCD的中心，

∴点N在BD上，且BN＝DN，

∴BM，EN是△DBE的中线，

∴BM，EN必相交.

连接CM，设DE＝a，则EC＝DC＝a，MC＝3

2a，

∵平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面EDC ， 则BD ＝2a ，BE ＝

a 2＋a 2＝2a ，

BM ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32a 2

＋a 2＝72a ，

又EN ＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32a 2

＝a ， 故BM ≠EN . 答案 B

2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离.

再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 所以PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°.

在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝

（3）2－12＝ 2.

答案

2

3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：

(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；

(2)点C1在平面AEF内.

证明(1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.

由于EF⊂平面BB1D1D，

所以EF⊥AC.

(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.

因为ED1＝2

3DD1，AG＝

2

3AA1，DD1綊AA1，所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA

为平行四边形，故AE∥GD1.

因为B1F＝1

3BB1，A1G＝

1

3AA1，BB1綊AA1，所以B1FGA1是平行四边形，所以FG

綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1.

于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.

4.(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB ＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求点C到平面C1DE的距离.

(1)证明连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且

ME＝1

2B1C.

又因为N为A1D的中点，

所以ND＝1

2A1D.

由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，

因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.

又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.

(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，

故DE⊥CH.又C1E∩DE＝E，所以CH⊥平面C1DE，

故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.

由已知可得CE＝1，C1C＝4，

所以C1E＝17，故CH＝417 17.

从而点C到平面C1DE的距离为417

17.

考点整合

1.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

热点一空间点、线、面位置关系

【例1】(1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是()

A.m＝n

B.m＝n＋2

C.m＜n

D.m＋n＜8

(2)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.

解析(1)直线CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，

易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，

则m＝4.

取CD的中点G，连接FG，EG.

易证CD⊥平面EGF，

又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD，