鲁棒控制理论

上式等价于
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) L ( j ) L ( j ) 1 1, R
又标称系统补灵敏度函数定义为
T0 1 S 0 L L 1
所以上面的稳定条件等价于
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) T 0 ( j ) 1, R
w1 D M NW 2 D N0 D
1 0 1 0
w 2 N
可见 w1 , w 2 为别为对象P的分母和分子的
相对摄动大小的度量。则上面的鲁棒稳定 准则表明在分母相对摄动较大的频段,标 称灵敏度函数 S 应该比较小,而在分子相 对摄动较大的频段,标称补灵敏度函数 T 0 应该较小。
2.
相乘摄动
相乘摄动的结构如图所示,摄动后的传递函数矩阵
为：G r' ( S ) [ I G ( S )] G ( S )
G (S )
r -
r
e
K (S )
u
G (S )
z
H (S )
第2章
H
2.1 H

优化问题理论
优化问题的描述

2.1.1
H

优化问题的频率域描述
控制系统的 H 优化实质上是极小化某些 闭环频率响应函数的峰值。考虑下图所示 反馈系统: v(干扰)
1.2.1
不确定性与鲁棒性
对象的不确定性
本书中对象模型的基本形式:
y ( P )u n y : 输出 , u : 输入 , P : 标称对象传递函数 模型的不确定性以两种 n — —未知噪声或干扰 — —未知对象的摄动 n 和 各属于某一个集合，于 是输出也是一个集合 形式出现：
1×2矩阵 A1 奇异值均为:
A1
2 2
A 2 和2×1矩阵 A1
A2
T
的
A2
2 2
所以摄动和系统的无穷范数的平方分别为:
p
H
2 2
sup ( D ( j ) N ( j ) )
R
2
2
sup ( W 1 ( j ) S 0 ( j )V ( j ) W 2 ( j )U 0 ( j )V ( j ) )
|| W 2 T || 1 || W 2 T || 1
1.2.3
鲁棒性能(RP)
定义:假定对象的传递函数属于集合P,鲁棒
性能是指集合中的所有对象都满足内部稳 定性和一种特定的性能。
例如跟踪控制中,若希望跟踪误差e的幅值小于给定 的 ,则性能指标为: S , S 为灵敏度函数
i
下面研究一种特殊的摄动形式——分子-
分母摄动,它依赖于对象传递函数P的分式 表示 N ,若P为有理的,则N和D分别
P D
为分子,分母多项式。分子-分母摄动模型 将摄动表示为
P N0 D0 P N0 M
N
W2
D 0 M DW1
N 0 和 D 0 表示标称系统 分母和分子的不确定性
R
1
2
2
上式中 V D 0 M
当摄动满足如下条件:
p
2
1
, R
U0
闭环系统鲁棒稳定的充要条件是灵敏度函
数 S 0 和输入灵敏度函数
H
2 2
满足不等式:
2
sup ( W 1 ( j ) S 0 ( j )V ( j ) W 2 ( j )U 0 ( j )V ( j ) ) 1
; M D W 1和 M N W 2 分别为 模型 ; 频率函数 MW 1和 最大可能摄动 ; D 用
MW 2 分别表示分母和分子的 和 N 是幅值不大于 下图表示

N
1的频率函数。摄动可以
:

D
W2
M
M
W1
N0
D0
1
加入补偿器后的闭环系统可以表示成:
q2

p
q1
p
H
W2
M
1
定义权函数 W 1 ( j ) 1 , 则有 W 1 S 1


若P取摄动为
S
(1 W 2 ) P0,那么S的摄动为:
1 S0 1 W 2T0
1 (1 W 2 ) L 0
显然RP的条件为:
|| W 2 T || 1 且
W1
S0 1 W 2T
H W WT 0

L 1 L
WT 0 , 所以系统鲁棒 。
1, 和先前得到的结果一样
稳定条件
不仅适用于SISO系统, 也适用于MIMO系统。现在讨论MIMO系 统如何定义无穷范数的问题。考虑如下图 所示稳定的MIMO系统

H
1
u
F
y
系统范数是下列范数的诱导范数
u y
2 2

1
这种形式的摄动可用下图表示
q
H
L
W
p
v z
L
-
上图可以简化为
L
p q
H
根据小增益定理,闭环系统稳定的充分条
件是 H 1 L
H L H L ,且 L 摄动系统稳定的充分条 H

1
件是
1
实际上上式是一个充要条件
从方框图可得 稳定条件为
W1
C
N0
D0
-
其中
p
D

N
q1 q 2
D
定义
p

N

q1 ， q q 2
由图可得传递函数H为
W1 S 0 D 0 1 M 1 C H ,U 0 , 分别 , 其中 S 0 1 1 P0 C 1 P0 C W 2U 0 D 0 M 是反馈系统的标称灵敏 输入灵敏度函数 和补灵敏度函数 度函数和标称输入灵敏 度函数。 U 是从干扰到对象输入的 T 的关系为 T PU 。 传递函数，它
R
令 w1 VW 1 , w 2 VW 2 / P0 , 则上式可以表示为 S 0 ( j ) w1 ( j ) T 0 ( j ) w 2 ( j )
2 2
:
1, R

D D0 D0 N N0 N0

M DW1 D0 M NW 2 N0

1, R
考虑一般的摄动模型LL’,相对摄动满足
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) W ( j ) , R
摄动模型可以等价地写为
L L (1 LW ), 其中 L 为任意频率函数 , 且满足
L ( j ) 1, 即 L

1
1.3.2 控制系统的摄动形式
源自文库
当前研究得最普遍的是两种非结构模型摄
动——附加摄动与相乘摄动。
1. 附加摄动
附加摄动的结构如图所示,摄动后的传递函数矩阵
为：
Gr (S ) G (S ) G (S )
'
G (S )
被控对象 + z
r -
e
K (S )
u
G (S )
H (S )



v ( t ) dt
2
v的能量是它2范数的平方。则下图的系统范 数 S 定义为 z
S sup
v
2
2

v
2
z
S
v
上式是2范数的诱导范数,根据Parseval定理,不难
得到
S

S

正是系统范数 S ,因此 H 优 化就是系统范数的极小化问题。 考虑到实际对象和补偿器的频率响应函数在高 频处都要衰减,所以灵敏度函数S在低频处可能很小, 在高频处趋于1,它在低频处的情况就可能不会反映 在峰值中,然而低频处往往对系统性能来说是最重要 的。所以引入频率加权函数W,并考虑如下极小化问 题 WS sup W ( j ) S ( j ) ,其中W在低频处很
可以证明上式是满足相对摄动条件下闭环
系统稳定的充要条件。虽然它是在假设开 环系统稳定的前提下获得,但是可以证明, 当标称开环系统与受摄动开环系统有相同 数目的右半平面极点时,鲁棒稳定条件对 于开环不稳定系统仍然成立。 采用范数概念,上面的鲁棒稳定条件可以 写为
W ( j )T 0 ( j )
鲁棒控制理论
第一篇
第一章
H

控制理论
概述
1.2 鲁棒性的基本概念 鲁棒概念:假定对象的数学模型属于一集合P， 考察反馈系统的某些特性，如内部稳定性，给定一 控制器K，如果集合P中的每一个对象都能保持这种 特性成立，则称该控制器对此特性是鲁棒的。
（因此谈及鲁棒性必有一个控制器，一个对象集合和某些系统特性。）

C
P
z
-
由v到z的闭环传递函数,即反馈系统的灵
敏度函数为:
S 1 1 PC
灵敏度函数表征了控制系统输出对干扰的
灵敏度,理想情况下为0。
考虑的问题是寻找一补偿器C,使得闭环系
统稳定且极小化灵敏度函数的峰值,这个 峰值定义为
S

max S ( j ) , R 为实数集
R
0
上面的分析意味着低频摄动最好作为分母
摄动来处理。低频摄动通常是由参数不确 定性引起,常称之为结构不确定性。 另一方面高频摄动最好作为分子摄动来处 理。高频摄动常由寄生效应和未建模动态 所引起,常称之为非结构不确定性。 上面讨论的这种形式的鲁棒性设计问题实 质上是混合灵敏度问题的一种形式。混合 灵敏度问题是频率响应成形的有效方法。 通过适当选择函数 V , W 和 W ,可以使灵 敏度函数在低频段小,而输入灵敏度函数 在高频段小。选择这些函数要兼顾鲁棒性 和性能的要求。
用集合P代表对象模型，可分为结构化和非结构化
两种形式。 结构化集合是由于不定参数的变化引起的，如
P { 1 s as 1
2
: a min a a max }
非结构化不确定性是由未建模动态引起。 这种由于建模中简化的误差和被控对象本身的不
确定性造成的实际被控对象与所建模型之间的差 异称为系统的摄动量
即峰值 S
R
大,在高频衰减下来。
考虑SISO反馈系统的回路增益L=PC的Nyquist图,L是 标称值,L’是实际值
-1 L’ L
0
实际闭环系统稳定的充分条件是L’的
Nyquist图不包围-1点。由图可以看出,也 就是对于所有频率有:
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) ( 1) L ( j ) 1 , R
W 2 ( j ) L ( j ) 1 L ( j ) ,
上式表明在每一频率下，临界点－1都位于 以 L ( j ) 为圆心，以 W 2 ( j ) L ( j ) 为半径的圆外。
摄动系统框图，设 || || 1
W 2T
W2

K
P
W 2T
由于在无限频率范围内,某些函数的峰值
可能不存在,所以用上确界或最小上界来 取代最大值,则
S

sup S ( j )
R
这一问题的合理性在于:极小化S的峰值相当
于极小化最坏干扰对输出的影响。 假设干扰v具有未知频率成分,但是有有限能 量 v 2 , 我们定义干扰的2范数
2
v
2





u ( t ) u ( t ) dt y ( t ) y ( t ) dt
H
H

根据Parseval定理,这些信号范数诱导出来
的系统范数为
F

sup F ( j )
R
2
sup
R
y
2
u
2
2
其中对于常熟复矩阵A,
A
表示谱范数:
A 2 max i ( A ), 这里 i 表示第 i 个奇异值
1.2.2 鲁棒稳定性(RS)
定义:设对象的传递函数属于一集合P,如果一个控
制器K对集合P中的每个对象都能保证内部稳定,则 称它为RS的. 假定控制器使得标称反馈系统内部稳定,引进灵敏 度函数S和补灵敏度函数T:
S 1 1 PK 1 1 L L 1 L , 其中 L PK ( 开环传递函数 PK 1 PK )
假设相对摄动满足下面不等式
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) W ( j ) , R
则稳定条件变为
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) T 0 ( j ) W ( j )T 0 ( j ) 1, R
T 1 S
反馈系统框图
＋ －
r
e
K
P
定理 ：（乘积不确定模型）控制器K能保证鲁棒
稳定性的充要条件是：
|| W 2 T || 1, 其中 W 2 为一权函数
转化一下得：
|| W 2 T || 1
W 2 ( j ) L ( j ) 1 L ( j )
1,