⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f
例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11
注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数
（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
（五）区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
例1 求下列函数的定义域：
① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=211)(.
变式：求下列函数的定义域：
①14)(2--=
x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x
1
11
11
++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤3731
32+++-=
x x y
例2 若函数a
ax ax y 12+
-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围
例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]
例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =
例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3
)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
【抽象函数定义域的求法】 例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4
1(-⋅x f 的定义域
变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；
若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域
二、函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
（2）函数的表示法：解析法、图象法、列表法
例 下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )
2、分段函数
注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
3、复合函数
如果y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x ∈A) 称为f 是g 的复合函数.
4、函数的解析式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等
A 、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
C 、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
例1 设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式.
变式1：已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式
例2．若x x x f 21
(+=+）,求f(x)
变式2：若x
x x f -=1)1( 求f(x)
