结构力学：弯矩图速绘
利用微分法快速绘制剪力图与弯矩图
《机电技术》2010年第3期 机电研究及设计制造利用微分法快速绘制剪力图与弯矩图陈小兰 陈晓波(鄂东职业技术学院，湖北 黄冈 438000)摘 要：本文根据载荷集度、剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程的复杂过程，可以高效的、巧妙的绘制出剪力图和弯矩图。
关键词：微分法；剪力图；弯矩图；直梁弯曲中图分类号：TB301 文献标识码：A 文章编号：1672－4801(2010)03－060－03在高职教材《机械设计基础》材料力学这一篇中，直梁的弯曲变形是杆件的基本变形之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即将梁上所有横截面上的剪力和弯矩用函数图象的形式表示出来），以便清楚地看出梁各个横截面上剪力和弯矩的大小、正负以及危险截面（即弯矩最大值所在截面的位置）。
这一节内容往往是学生不容易掌握的，是教学的难点，但是它又是教学的重点，是后面章节尤其是轴的强度校核的基础。
所以学好梁的弯曲变形这一节内容显得非常重要。
而分析梁的弯曲变形主要就是绘制梁的各个横截面上的剪力和弯矩，即绘制剪力图和弯矩图。
因此剪力图和弯矩图的正确快速绘制是分析问题的关键。
本文根据载荷集度、剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程的复杂过程，可以高效、巧妙地绘制出剪力图和弯矩图。
1 微分法绘制剪力图和弯矩图1.1 载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度q 、剪力Q F 、弯矩M 三者存在的微分关系为：弯矩方程的一阶导数等于剪力方程，剪力方程的一阶导数等于载荷集度，即()()(),()Q Q dF x dM x F x q x dx dx==。
根据上式微分关系得出以下推论[1]： (1)在梁的某段，若无载荷作用，即()0q x =，则()Q F x =常数，剪力图是一条与x 轴平行的水平线，而()M x 为一次函数，弯矩图为一条斜直线，斜率为剪力的值。
结构力学中必须掌握的弯矩图
作为一名又土又木的工程师，离不开弯矩图，现在把它汇总起来，用以怀念当年的苦逼生活……
各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
各种结构弯矩图例如下：。
结构力学中必须掌握的弯矩图97759
各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
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●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图
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页脚
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2．单跨梁的力及变形表（表2-6~表2-10）
（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6
（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7
（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8
（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9
各种结构弯矩图例如下：。
材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
结构力学课件-快速作弯矩图的方法和技巧
快速作弯矩图
(Quick drawing of bending moment diagram)
➢ 一、直接绘M图的几点技巧 ➢ 二、本节例题
一、直接绘M图的几点技巧 1、充分利用M图的形状特征与横向荷载的关系
➢无横向荷载作用的直杆区段：弯矩图为直线；
➢有横向荷载作用的直杆区段：只要知道两杆端截面M值，用 区段叠加法作M图（熟记简支梁在常见荷载下M图）
l q q
主观题 10分
直接作出下图所示结构的弯矩图。
作答
3、充分利用刚结点的力矩平衡条件
➢无外力偶作用的两杆相交刚结点：两杆端弯矩竖标相等且位于同侧 （内侧或外侧）
MAC
MAB A
A MAC
MAB
A MAB
MAC MAB =MAC
A MAC
MAB MAB =MAC
➢有外力偶作用的两杆相交刚结点：两杆端弯矩竖标有突变；
M图
m=2.5ql2 C
1.5ql2
M DC
1 ql2 2
M CD ql 2
D
1 ql2 2
l
m=2.5ql2
C q
2ql Al
③作FS图：根据已作出的弯矩图，利用杆段的
F=2ql
平衡条件先求杆端剪力，从而作出剪力图
D q
ql2
C
FSCD
2ql
D 0.5ql2
FSDC
B l
MC 0
Fy 0
例：直接作图示结构的M图
G q
H q
I q
A 3a
B
C
DEF
2a a 2a a
1.125 4.5
4.5
4.5 4.5
2.25
4.5
弯矩图的绘制及练习
作为一名土木工程师，在实际工作中，有时候要对软件（midas、sap2000、pkpm的计算结果有个判断）就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。
下面总结各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
各种结构弯矩图例如下：
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
结构力学：弯矩图速绘
发生突变
m
两直线平行
备 注
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用点 弯矩无定义
5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零， 有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚
10
1
弯矩图的绘制
如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，
只需求出与杆轴线垂直的反力。
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ½qL²
2q
qL²
2q q
2m 2m
↓↓↓↓↓
L
qL²
L
6q
2
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往 往只须求出一个与杆件垂直的 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
①M图与荷载情况不符。 ②M图与结点性质、约束情况不符。
③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。
9
内力图形状特征
1.无何载区段 2.均布荷载区段 3.集中力作用处 平行轴线
↓↓↓↓↓↓ 4.集中力偶作用处
发生突变
Q图
＋
－
＋
P －
无变化
M图
斜直线
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
不求或少求内力绘制弯矩图： 1.悬壁刚架不求反力，由自由端开始作起 2.简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出与杆件的反力，然 后由支座作起。 3.三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力，然后由支 座作起。 4.主从结构绘制弯矩图要分析其几何组成，先由附属部分 作起。 5.定向支座处、定向连接处剪力为零，剪力等零杆段弯矩 图平行轴线。 6.对称性利用：对称结构在对称荷载作用下弯矩图是对称 的；在反对称荷载作用下弯矩图是反对称的。
弯矩图绘制方法汇总
D
M图
A
E FPa
FPa
a F
B
D
FPa
FPa
a
C
a
a
a
a
FPa MA =FPa A
a
FP B
C
D
FRAy =FP
M图
M图
精选课件
第17页
3-5 静定结构的特性
.4 荷载等效特性
当静定结构的内部几何 不变局部上的荷载作静 力等效变换时，只有该 部分的内力发生变化， 而其余部分的内力保持 不变。
A
C
P
P
4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳 跃量为m，且左右直线均平行。
m
平行
m
精选课件
第3页
二. 铰处 M = 0
三. 刚结点力矩平衡
40
20
20
M0
M=0
M =？0
10
30
M0
20
20
精选课件
第4页
四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M为零
P
M=0
P M=0
剪力Q为零时， M图为直线。
精选课件
FP
第23页
静定结构
M
FP 解除约束,单
自由度体系
Mα
FP 体系发生虚 Δ 位移
刚体虚位移原理的虚功方程
FP Δ - M α=0 可唯一地求得 M= FP Δ/α
精选课件
第24页
静定结构派生性质
支座微小位移、温度改变不产生反力和内力
若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则 其他部分将不受力
A
B
C t2
A
结构力学中必须掌握的弯矩图
作为一名又土又木的工程师，离不开弯矩图，现在把它汇总起来，用以怀念当年的苦逼生活……
各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
各种结构弯矩图例如下：。
快速绘制刚架的弯矩图ppt课件
土木工程2011级7班
.
静定梁和静定刚架的知识总结
外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线 自左向右突变
Q 图
Q
Q
Q
Q
Q Q1
特
C
征
x
x
x
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–Q2=P
A A
.
am
l
m
B
bm
l
a
b
q
B
ql2
l
16 l
2
2
快速绘制弯矩图的解题技巧
如何快速作出静定刚架的弯矩图？
1、根据直杆的内力与荷载的关系作图，无论图中荷载数值及杆端截面弯矩值如何变 化，M图的特点不会改变；
2、特殊截面：自由端、简支端、铰结点临近杆端无力偶作用时，该杆端弯矩为零； 若有力偶作用时，则杆端弯矩值等于该力偶矩；
静定梁和静定刚架的知识总结快速绘制弯矩图的解题技巧例题解析土木工程2011级7班快速绘制刚架的弯矩图无外力段均布载荷段集中力集中力偶斜直线增函数无变化斜直线降函数曲线自左向右折角自左向右突变应熟记常用单跨梁的弯矩图静定梁和静定刚架的知识总结快速绘制弯矩图的解题技巧如何快速作出静定刚架的弯矩图
*快速绘制刚架的弯矩图
无变化
Q
C x
M 斜直线 图M x M 特
xM
曲线
xM
自左向右折角 自左向右突变
xM
x
结构力学：弯矩图速绘
O
q
qL2/4
C
qL2/4
整体对O点建立平衡方程得 ∑MO=qL×1.5L－2LXA=0 得 XA=3qL/4
L
A
3/4qL L L
B
RB
YA
三铰刚架弯矩图！
6
4、主从结构绘制弯矩图
可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不 求或只求部分约束力。
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
a
a
2a
O M
M
M/2
M/2
a A a
B
C
B
A
B
a
XB
Mo=m－2a×X =0,
RA
得 XB=M/2a
YB
注意： 1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，
对O点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。 2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。 3、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！！
①M图与荷载情况不符。 ②M图与结点性质、约束情况不符。
③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。
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内力图形状特征
1.无何载区段 2.均布荷载区段 3.集中力作用处 平行轴线
↓↓↓↓↓↓ 4.集中力偶作用处
发生突变
Q图
＋
－
＋
P －
无变化
M图
斜直线
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
a
a
a
qa2
qa
A B H
q
C
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2 F D E
结构力学中必须掌握地弯矩图79674
各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图
2．单跨梁的力及变形表（表2-6~表2-10）
（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6
（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7
（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8
（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9
各种结构弯矩图例如下：。
结构力学中必须掌握的弯矩图
作为一名又土又木的工程师,离不开弯矩图,如今把它汇总起来,用以思念当年的苦逼生涯……各类构造弯矩图的绘制及图例：
一. 办法步调
1.肯定支反力的大小和偏向（一般情形默算即可盘算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力;
●简支式刚架取整体为分别体求反力;
●求三铰式刚架的程度反力以中央铰C的某一边为分别体;
●对于主从构造的庞杂式刚架,留意“先从后主”的盘算次序;
●对于庞杂的组合构造,留意查找求出支反力的冲破口.
2.对于悬臂式刚架,从自由端开端,按照分段叠加法,逐段求作M图（M丹青在受拉一侧）;对于其它情势的刚架,从支座端开端,
按照分段叠加法,逐段求作M图（M丹青在受拉一侧）.
二. 不雅察磨练M图的准确性
1.不雅察各个症结点和梁段的M图特色是否相符
●铰心的弯矩必定为零;
●分散力偶感化点的弯矩有突变,突变值与分散力偶相等;
●分散力感化点的弯矩有折角;
●均布荷载感化段的M图是抛物线,其凹凸偏向与荷载偏向要相符“弓箭轨则”;
2.构造中的链杆（二力杆）没有弯矩;
3.构造中所有结点的杆端弯矩必须相符均衡特色.各类构造弯矩图例如下：。
剪力图弯矩图 快速绘制中的口诀法
口诀法在梁内力图绘制中的应用（苏科大土木学院2020.5）弯矩与剪力有这样的关系：弯矩方程比剪力方程高一阶，弯矩方程的一阶导数是剪力方程，弯矩图的在某个截面的斜率值恰恰就是该截面的剪力。
弯矩与剪力、分布荷载之间的微分积分关系，可作为弯矩图绘制的理论依据。
本文以画梁的内力图为例，淡淡形象教学法在力学教学中的应用。
利用形象的口诀同时将弯矩、剪力与荷载集度问的微分关系及梁的内力图的一些特点，文献中的作者们做了大量工作，这里作汇总如下（部分略有改动）。
（1）黄氏口诀[3]：剪力图口诀：剪力跟随载荷走；均布载荷顺着斜；集中力处随着跳；上下看力的方向，遇到力偶剪力不会变。
（要求从左至右画）。
弯矩图口诀：差值等于Q与轴围图的面积；突变朝着同向矢；曲线突向顺着q；顶点正好对零剪。
特征：分段、突变、直线、曲线。
（2）高氏口诀[4]：均布荷载负，剪力下（右下）斜路．弯矩下（下凸）抛物；均布荷载零，剪力直线平，弯矩斜向行；集中力在梁上现．剪力要突变（顺F方向），弯矩定折转（F作用截面出现折角）；力偶作用面，剪力照常现（左右相同），弯矩要突变（顺时针力偶向下突变）。
最大弯矩可能发生在F，零（剪力为零）、F。
变（剪力变号）和紧靠力偶一侧面。
（3）钱氏口诀[5]：剪力图口诀：没有外力，水平线；均布外力，斜直线；集中外力，有突变；集中力偶，不用变。
剪力、弯矩图的相对应口诀：①你无我平，你平我斜，你斜我弯，弯线顶点你为0；②顺流而下，逆流而上，集中力偶来管上；③上尖角、下尖角，外力指向要看好。
（4）网络口诀（作者不详）。
剪力图口诀:外伸端，自由端，没有集中力取零点。
无力梁段Q水平线，集中力偶同样看，均布荷载Q应为斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。
弯矩图口诀:弯矩图，较复杂，对照剪图来画它；自由端，铰支端，没有力偶作零点。
剪图水平弯图斜，剪力正负定增减；天上下雨池水满，向上射出弓上箭。
结构力学中必须掌握的弯矩图
结构力学中必须掌握的弯矩图各种结构弯矩图的绘制及图例：一、方法步骤1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）●悬臂式刚架不必先求支反力；●简支式刚架取整体为分离体求反力；●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符●铰心的弯矩一定为零；●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；2344lqsF +-2ql 2qlM82ql +2l5lqasF +-la l qa 2)2(-lqa 22M2228)2(l a l qa -+l a l qa 2)(2-la l a 2)2(-6lqsF +-30l q 60l qM3920l q +3)33(l-7aFlsF F+Fa-M8aleMsF+eM M59lqs F ql+M22ql -10lqsF 2l q +M620l q -注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9各种结构弯矩图例如下：。
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P
Pa a
P Pa
a
qa2/2
l
16
a
a
P
m
m Pa/2
m
Oa
a
m
m/2 m
m/2a
a
Pa/2
m
m/2a
m
a
m/2
m/2
m/2
0
m/2a
a
a m/2
a
a
P
2Pa Pa
2P
0
Pa
a
a
a
Pa
a
2P 17
m
2Pa Pa
P
Pa P
0
a
a
18
19
弯矩作用处弯矩图有突变， 突变值为外加弯矩值；突变 前后弯矩图平行
往只须求出一个与杆件垂直的
ql2/2
l/2
支座反力，然后由支座作起。
q
D
qa2/2
l
C
l/2
qL2/2
q ll
a
Bq
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2
qa2/8
a
a
A 注意：BC杆和CD杆的
剪力等于零，相应的
弯矩图与轴线平行
qa
3
3、三铰刚架弯矩图
1 反力计算 0
1） 整体对左底铰建立矩平衡方程
a
MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1)
平行轴线
Q图
↓↓↓↓↓↓
＋ －
发生突变
＋P －
无变化
M图
斜直线
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
发生突变
m
两直线平行
备 Q=0区段M图 Q=0处，M 集中力作用截 集中力偶作用点
注 平行于轴线 达到极值
面剪力无定义
弯矩无定义
5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零， 有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
1
弯矩图的绘制
如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力， 只需求出与杆轴线垂直的反力。
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q
2q
½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qL²
2q
↓↓↓↓↓
L
q
qL²
2m
2m
L
6q
2
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A
a
a
qa2 q
B XqBa2/2 YB
2 绘制弯矩图
注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由
支座作起！！
4
画三铰刚架弯矩图
CM
O M
M/2
M/2
a
C
A
B
a
a
Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/2a
注意：
A
RA
B
XB
YB
1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，
Q=0,M为一平 行杆轴的直线
20
试作图示刚架的弯矩图。
21
铰处的M为零，且梁上无集中荷载作 用，M图为一无斜率变化的斜直线。
Q=P,M为一斜率为P的斜线
Q=0,M为一平 行杆轴的直线
22
三铰刚架弯矩图！ 6
4、主从结构绘制弯矩图
可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不 求或只求部分约束力。
qa
q
qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa2
qa
C
AB
H
qa2
q
qa2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
DE
qa2/2
M图（kN.m）
qa
F
G
qa2/2
7
8
静定刚架的 M图正误判别
利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减 少错误，提高效率。
另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查 M 图的轮廓是否正确。 ①M图与荷载情况不符。 ②M图与结点性质、约束情况不符。 ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。
9
内力图形状特征
1.无何载区段 2.均布荷载区段 3.集中力作用处 4.集中力偶作用处
2） 对中间铰C建立矩平衡方程 qa
MB=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2) 解方程(1)和(2)可得
a
XB=0.5qa YB=1.5qa 3） 再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa
qa2X/2A YA
1/2qa2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
1/2qa2
对O点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。
2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。
3、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！！
5
O
L
q qL2/4
C
qL2/4
整体对O点建立平衡方程得
∑MO=qL×1.5L－2LXA=0 得 XA=3qL/4
A
3/4qL
B
YA
L
RB L
不求或少求内力绘制弯矩图： 1.悬壁刚架不求反力，由自由端开始作起 2.简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出与杆件的反力，然 后由支座作起。 3.三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力，然后由支 座作起。 4.主从结构绘制弯矩图要分析其几何组成，先由附属部分 作起。 5.定向支座处、定向连接处剪力为零，剪力等零杆段弯矩 图平行轴线。 6.对称性利用：对称结构在对称荷载作用下弯矩图是对称 的；在反对称荷载作用下弯矩图是反对称的。
6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚
10
结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
×P
D
×B
C
×q
A
E
（a）
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×C
× A （e）
B×
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P
D
B
C
q
A
E
（b）
C
A （f）
B
11mAC NhomakorabeaD
×
B
m
m
C
m
B
×
A
（g）
A
C
D
B
m
（h）
12
×
（1） （）
× ×
× （2）
（）
↓↓↓↓↓↓↓↓
×
（5） （）
√（6）
（）
√（4）
（） 13
14
↓
（7） （）
mm
√（8）
（）
√（10）
（）
题2-1图
↓
（11）（ ）
↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑
（12） （）
15
速绘弯矩图
Pa
P
a
2m/3 m/3
m m/3
m 2m/3
a
a
a
a
↑↑↑↑↑