2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题和答案

高一数学竞赛试题答案 第1页（共8页）

2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ▲ ） A ．.72

B ．.72-

C ．3

D ．0.3-

解:求出的平均值-实际平均值.725015015-=÷-=）（,选B ． 2．设集合12

{|log (1)2}A x x =+>-，2

{|21}x x B x -=<，则A

B 等于（ ▲ ）

A ．{|0,13}x x x <<<或

B ．{|3}x x >

C ．{|10,13}x x x -<<<<或

D ．{|01}x x <<

解：可得{|13}A x x =-<<，{|0,1}B x x x =<>或，所以A B {|10,13}x x x =-<<<<或，

选C ．

3．已知sin sin αβ=，则α与β的关系是（ ▲ ） A ．αβ=或απβ=- B ．2,k k Z απβ=+∈ C ．(21),k k Z απβ=+-∈

D ．(1),k k k Z απβ=+-∈

解:由于sin sin αβ=,α与β的终边位置相同或关于y 轴对称,所以2,k k Z απβ=+∈或

(21),k k Z απβ=+-∈,合并得(1),k k k Z απβ=+-∈．选D ．

4．下列函数中在区间0,4π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递增的是（ ▲ ）

A ．21log sin 62y x π⎡⎤

⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

B ．21log sin 262y x π⎡⎤

⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦

C

．y =

D ．3sin 6y x π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

解：将选择支中各函数用区间0,4π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

逐一检验知，只有C 中函数满足要求．选C ．

5．若()()()

()sin50tan50sin50tan50y

x

x

y

--︒︒-︒≤-︒则（ ▲ ）

A ．0x y +≥

B ．0x y -≥

C ．0x y +≤

D ．0x y -≤

解：因为0sin501<︒<，tan501︒>，可知函数()()()sin 50tan 50t

t

f t =︒-︒单调递减，已

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知不等式即()()f x f y ≤-，所以x y ≥-，选A ．

6．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ▲ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解：()0ln |1|3f x x x =⇔-=-，所以()f x 的零点 个数即函数ln |1|y x =-与函数3y x =-的交

点的个数，作图可知有3个交点，选D ． 7．记O 为坐标原点，已知向量(3,2)OA =，(0,2)OB =-，

又有点C ，满足5

2

AC =，则ABC ∠ 的取值范围为（ ▲ ） A ．06π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，

B ． 03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，

C ． 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，

D ． 3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，6

解：52AC =

，点C 在以点A 为圆心，5

2

为半 径的圆周上．可得5AB =，如图可知，当 线BC 与圆周相切时，ABC ∠有最大值为

6

π

，当A B C ，，三点共线时ABC ∠ABC ∠的取值范围为06π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，．选A ．

8．已知k Z ∈，(2,2)AC =，(,2)AB k =，5AB ≤，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ▲ ）

A ．1

9

B ．

29 C ．18

D ．

1

4

解：由5AB ≤与ABC 构成三角形及k Z ∈知{}4,3,2,1,0,1,3,4k ∈----，可得

(2,0)BC k =-． AC 与AB 垂直，则2k =-；若AC 与BC 垂直，则2k =（舍去）；

若BC 与AB 垂直0k =，或2k =（舍去）；综上知，满足要求的k 有２个，所求概率为

1

4

．故选 D ．

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9．设222221S x xy y x =++++，其中,x R y R ∈∈，则S 的最小值为（ ▲ ）

A ．1

B ． 1-

C ．34

-

D ．0

解1：22(22)(21)0x y x y S ++++-=，由()()

2

2224210y y S ∆=+-+-≥

得22S y y ≥-()2

111y =--≥-．当且仅当1,2y x ==-时，min 1S =-．选B ．

解2：222221S x xy y x =++++2222(1)(1)2x y x y y y =+++++-

()()2

21111x y y =+++--≥-．

当且仅当1,2y x ==-时，min 1S =-．选B ．

10．点Q 在x 轴上，若存在过Q 的直线交函数2x y =的图象于,A B 两点，满足QA AB =，则

称点Q 为“Ω点”，那么下列结论中正确的是 （ ▲ ）

A ．x 轴上仅有有限个点是“Ω点”；

B ．x 轴上所有的点都是“Ω点”；

C ．x 轴上所有的点都不是“Ω点”；

D ．x 轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．

解1：设0Q a （，），()112x A x ，，()

222x B x ，，因为QA AB =，所以212x x a =-，21222x x =⨯，

得121,2x a x a =+=+．即对于x 轴上任意0Q a （，）

点，总有112a A a ++（，），222a B a ++（，）满足题设要求，故选B ．

解2：（动态想象）：任取x 轴上Q 点，将直线l 由x 轴位置开始绕Q 点逆时针旋转

2

π

，l 与函数2x y =的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点,A B （由下至上）直到最后只交于一个点．当交于两个点时，在||||QA AB -由正到负的过程中必将经历零点．当||||0QA AB -=时，即有QA AB =，所以x 轴上所有的点都是“Ω点”．

二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．

11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 ▲ ．

解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有８种，其

中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）

与（背，正，正）三种，故所求概率为38

．

12．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ▲ ．

解：()22

222113579553

S =

++++=． 13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ▲ ．（其中[]x 表示不超过实数x 的