状态空间表示法

6
11 1 7 13
9 4 15 3 12 5 8 6 2 10 14
11 9 4 15 1 3 12 7 5 8 6 13 2 10 14
Hale Waihona Puke 11 1 7 139 15 3 4 12 5 8 6 2 10 14
11 1 7 13
9 3 5 2
4 15 12 8 6 10 14
11 1 7 13
9 4 15 3 8 12 5 6 2 10 14
9
2 另一个状态空间法描述的例子 假设房间里有一个人，一个箱子和一筐苹果。苹果 吊在天花板下方，人直接摘不到，需要站在箱子上才能 摘到苹果。如图所示
C
苹果
人 A
箱 B
10
(1) 状态：选择为（W，X，Y，Z） W——人所处在的水平面上的位置 X ——人所处的高度位置，在 地 面，X=0 在箱子上，X=1 Y——箱子所在的水平面上的位置 Z——是否摘到苹果的状态，=0，未摘到 =1，摘到
4
例如
假设初始状态为： 11 1 7 13 9 3 5 2 8 10 4 13 12 6 14
我们要求的目标状态为: １ ５ ９ 13 ２ ６ 10 14 ３ ７ 11 15
5
４ ８ 12
如何把初始状抬转换为目标状态 ——选择移动一个棋子。 每移动一次棋子，就会有一个新的状态，所有可能 的状态一起，就构成了该问题的状态空间。 解决该问题，就是尝试各种不同的走步，直到寻找 到达到目的状态的路径，到达目标状态为止。 从初始状态开始，尝试不同的走步，就构成了一个 有不同状态组成的图。
11 9 1 7 5 13 2
4 15 11 4 15 3 12 1 9 3 12 8 6 7 5 8 6 10 14 13 2 10 14
11 9 4 15 1 5 3 12 8 6 7 13 2 10 14
9 15 11 1 3 4 12 7 5 8 6 13 2 10 14
11 1 7 13
9 3 5 2
减少数据存储的一种方法是，给出某种实现状态转 换的走步策略，这样，我们只要给出了初始状态，策 略（也就是操作符F)，就可以由初始状态或前一个状 态推出下一个状态，直到达到目标状态。而且这是使 用比较多的方法。 因此，要实现对某个问题的状态空间描述，需要： 确定状态描述方法，特别是初始状态的描述； 确定状态间联系的描述方法，较好的表示出不同状 态之间的联系，确定操作符集合及其对状态描述的作 用； 目标状态的描述。 我们来看一个例子
11 9 1 7 5 13 2
4 15 11 4 15 3 12 1 9 3 12 8 6 7 5 8 6 10 14 13 2 10 14
11 9 4 15 1 5 3 12 8 6 7 13 2 10 14
9 15 11 1 3 4 12 7 5 8 6 13 2 10 14
11 1 7 13
9 3 5 2
（111) → (333)
31
（111）→(113) 含义就是执行操作，将A移动到 柱子3上。
1 2 3 移动A到柱子3上 B C A
32
（113）→(123) 含义就是执行操作，将柱子1上 的圆盘B移动到柱子2上。
1 2 3 移动B到柱子2上
A C B
33
（1）将三圆盘问题分解为第二级的二圆盘问题，其 中包含一个一圆盘问题。只要解决了第二级的三个问 题，原来的问题就获得了解决。 （2）二圆盘问题就是将两个圆盘按规定的堆放顺序 堆叠在某一个柱子上。 二圆盘问题又可以再分解为第三级的一圆盘问题—— 将一个圆盘从原来的柱子上移动到另一个柱子上。这 个问题是简单的。 （3）只要解决了第三级的全部问题，则第二级的问 题也就得到了解决。 （4）只要解决了第二级的全部问题，最原始的问题 也就得到了解决。
11
(2) 句法规则 • 人走动规则——用goto(U) 描述的含义：人从原来水平位置走到新的水平 位置U，例如
(W , 0 , Y , 0 )
goto (U )
→ (U , 0 , Y , 0 )
状态为 (W,0,Y,Z) 表示人在水平位置W，处于地面， 箱子在位置Y，没摘到苹果。在goto(U)操作下，变成新 状态 (U,0,Y,Z)——人走到U,还是摘不到苹果，箱子在 位置Y，摘不到苹果。
这些符号的含义
29
2 问题的归约解决方法
首先我们约定问题的描述方法。 我们用一个数据结构来表示三个圆盘在柱子上的 位置。 格式为：(CBA) 含义为：每个位置的字母的取值，就表示对应圆 盘所在的柱子的编号。例如（1 2 3）表示圆盘C在 柱子1上，圆盘B在柱子2上，圆盘A在柱子3上。 这样，A、B、C的取值只可能是1，2，3三个数 之一。 对于以上问题，我们用归约法描述，可以表示为
20
3 状态图 状态图表示方法，就是用图论的方法来描述状态空 间的各个状态以及它们之间的相互关系。 在前面给出了一个图，它也可以叫做状态图。但是 这个图太复杂。我们用节点来表示上图中的各个实际 状态，就构成状态图。 状态图是由节点，有向弧线等构成的图。
21
实际上，就是将前面的图中的状态，用一个节点来表示
1 2 3
A B C
26
1
2
3
C=1,B=1,A=1 （111）
A B C
1 A B C
2
3
移动AB到柱子2上，是一 个移动二圆盘问题
A B
C=1,B=2,A=2 （122）
27
1
2
3
移动AB到柱子2上后
C
A B
C=1,B=2,A=2 （122）
3 移动C到柱子3上 是一个移动一园盘问题
1
2
C
A B
到苹果 的状态 标志 箱子的位置坐标
19
人的位置坐标
是否在 箱子上 的状态 标志
现假设有障碍物存在，我们的运动必须沿着特定的路 径进行：A D,D E, E F, F B, B F,F G,G C, 再爬上去苹果。 又该如何描述？
G A人 C E D B箱 F
苹果
如果需要寻找苹果的位置，又该如何描述 如果不知道障碍物的位置，需要寻找并避开障碍，又该如何描述？
13
对于与前面提到的命题，箱子原来处于B，人走到 B后，才能将箱子移动到苹果所处的位置C。将具体 的实例数据带入，得到
( A ,0 , B , Z )
goto ( B )
→ ( B ,0 , B , Z )
( B ,0 , B , Z )
pushbox (C ) (C
→ (C ,0, C , Z )
12
• 推箱子 pushbox (V) 它的作用是将箱子从原始水平位置推到新位置V。 例如：
(W , 0 , W , Z )
pushbox (V )
→ (V , 0 , V , Z )
要推箱子，我们认为人和箱子在水平面同一位置W， 人在地面故X=0，在操作pushbox(V)的作用下，人将箱 子移动到位置V。当然这时人和箱子还是在水平面同一 位置，人站在地面上，故新状态为（V,0,V,Z）,Z表示 现在还不关心Z的取值，当然一般认为现在Z=0。
25
1 梵塔问题 这个问题是：有3根柱子1，2，3和大小不同的三 个圆盘A，B，C，每个圆盘的中心有一个孔，可以 让柱子穿过，从而他们可以堆叠在柱子上。最初，全 部圆盘都堆在柱子1上，最大的圆盘C在最下面，最 小的圆盘A在最上面。现要求将所有圆盘都移到柱子 3上，同时有限制条件为：每次只能移动最上面的一 个圆盘放到另一个柱子上，任何时候都不允许将大的 圆盘对方到小的圆盘之上。
15 4 12 8 6 10 14
11 1 7 13
9 3 5 2
4 15 12 6 8 10 14
11 1 7 13
9 3 5 2
4 12 15 8 6 10 14
23
状态图表示，主要是为了我们分析问题的方便，在 计算机内部，我们还是用一个数据结构来表示。
24
2.3. 2 问题的归约描述方法
所谓问题的归约描述方法，实际上就是把一个复 杂问题，分解为一组较简单的问题来描述和解决的方 法。只要解决了这些相对简单的问题，就可以解决原 来复杂的问题。 我们还是通过一个例子来讨论。
30
条件
二 圆 盘 问 题 （111) → (122) （122) → (322) （111) → (113) （113) → (123) （123) → (122) 一 圆 盘 问 题 （322) → (321) （321) →(331) （331) → (333) （322) → (333)
初始条件
由于还没有摘到苹果，应该有Z=0，这里我们还可 以不关心它。
14
• 爬到箱子上或从箱子上下来 用climbox 表示，如果原来在箱子上，该操作表 示人从箱子上下来，否则表示人从地面爬到箱子上。 需要注意这时人和箱子处于同一水平位置。例如
(W , 0 , W , Z )
c lim box
→ ( W ,1 , W , Z )
16
这样，我们就有了状态集合{ (A,0,B,0), (B,0,B,0)， (C,0,C,0), (C,1,C,0), (C,1,C,1), (C,0,C,1) } 操作集合F: { goto(), pushbox(), climbox, grasp } 从初始状态（A,0,B,0），每经过一个操作，都转换 到下一个特定状态 ——从前以状态和操作符，可以确定下一个状态， 这样就不必存储每一个可能的状态，可以节省存储空 间和搜索时间。
17
(3) 该命题的状态空间描述：
goto（B）
（A，0，B，0）
pushbox（C） （B，0，B，0） （C，0，C，0）
climbox
（C，1，C，0）
grasp （C，1，C，1）