边缘分布与独立分布
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
边缘分布与独立性
PX xi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
联合分布与边缘分布的关系
XY 0 1 2 3
PY y j
13 0 18 38 0 38 0
0 18 68 28
PX xi
18 38 38 18
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P X xi P X xi ,Y y j pij pi.
j1
j1
i 1,2,
X
xi
j 1
X xi ,Y y j
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P Y y j P X xi ,Y y j pij p. j
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P(X xi ,Y y j) pij, i, j 1,2,
y x
R2
1
边缘分布通俗解释
边缘分布通俗解释嘿，朋友们！今天咱来聊聊边缘分布。
这边缘分布啊，就好像是一场聚会里的那些“独行侠”。
你想啊，在一个热闹的聚会上，有好多人分成一个个小团体在聊天、玩闹。
每个小团体都有他们自己的话题和互动，这就像是联合分布。
但要是我们只看其中某一个人的行为，不管他周围的其他人在干啥，这就是边缘分布啦！比如说我们只关注聚会上的小李，看他喝了几杯酒，说了几句话，这就是从整个热闹的场景中单独把小李拎出来观察，这就是边缘分布的一种体现呀。
再打个比方，咱去看一场足球比赛，场上那么多球员跑来跑去，互相配合进攻防守，这就是一个复杂的整体情况，就像联合分布。
可要是我们就只盯着某个球员，看他跑了多少距离，传了几次球，这就是把他从整个球队的表现中单独拎出来看，这不就跟边缘分布一个道理嘛！那这边缘分布有啥用呢？哎呀，用处可大了去了！就好比我们要了解一个班级里学生的成绩情况。
我们可以先把每个科目的成绩单独拎出来看，这就是边缘分布呀。
通过这样，我们能知道哪个学生在哪一科比较擅长，哪一科比较薄弱，然后就可以针对性地去帮助他们提高呀！或者说在研究天气的时候，我们可以只关注温度这一个方面，不考虑其他的湿度啊、风向啊什么的，这也是一种边缘分布呀。
这样我们就能单独了解温度的变化规律，是不是挺有意思的？而且啊，边缘分布就像是一个隐藏的小秘密，等着我们去发现呢！有时候我们可能被复杂的整体情况搞得晕头转向，但是一旦我们抓住了边缘分布这个小窍门，就好像找到了一把钥匙，能打开理解的大门呢！你说这边缘分布是不是很神奇？它就像是在一个大拼图中，我们先把边缘的那些小块给找出来，然后慢慢往里填，最后就能拼成一幅完整的画面啦！所以啊，可别小瞧了这边缘分布，它在很多领域都有着重要的作用呢！不管是统计学、物理学，还是我们日常生活中的各种分析，都少不了它呀！怎么样，现在对边缘分布是不是有了更清楚的认识啦？。
《概率论》课程PPT：边缘分布及随机变量的相互独立性
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
边缘分布律
边缘分布律摘要：边缘分布律是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述多维随机变量中各个维度的分布情况。
本文将介绍边缘分布律的定义、性质以及应用，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 引言在概率论和统计学中，边缘分布律是研究多维随机变量的重要工具。
多维随机变量是指具有两个或更多维度的随机变量。
通过研究各个维度上的分布情况，我们可以更好地理解随机变量之间的关系以及它们对整体随机过程的影响。
2. 边缘分布律的定义设有一个二维随机变量(X,Y)，其边缘分布函数分别为F(x)和G(y)。
那么X的边缘分布律可以定义为P(X=x)，表示随机变量X等于x的概率。
类似地，Y的边缘分布律可以定义为P(Y=y)。
边缘分布律可以通过边缘分布函数来推导得到。
3. 边缘分布律的性质边缘分布律具有以下性质：(1) 非负性：边缘分布律是非负的，即P(X=x)和P(Y=y)大于等于零。
(2) 归一性：边缘分布律的和等于1，即∑P(X=x)=1和∑P(Y=y)=1。
(3) 独立性：如果X和Y是相互独立的，那么X的边缘分布律和Y的边缘分布律也是相互独立的。
这些性质使得边缘分布律成为研究多维随机变量的重要工具，可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
4. 边缘分布律的应用边缘分布律在实际问题中有广泛的应用。
在金融领域中，我们经常需要分析多个金融指标之间的关系，如股票价格与利率之间的关系。
通过计算这些指标的边缘分布律，可以更好地理解它们各自的走势以及它们之间的相关性。
另一个应用领域是医学研究。
我们经常需要研究多种因素对人体健康的影响，如饮食习惯、运动量和遗传因素等。
通过分析这些因素的边缘分布律，可以更好地理解它们对健康状况的影响程度，从而为制定健康政策和预防措施提供科学依据。
此外，边缘分布律还可以应用于气候模拟、经济预测等领域。
通过分析多个变量的边缘分布律，可以为决策者提供更准确的信息，从而做出更合理的决策。
5. 示例应用为了更好地理解边缘分布律的应用，我们举一个简单的例子。
高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布
2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为
3.2边缘分布与独立性
j
如下表：
Xa1 Y
ai
p j
b1 b2
p p
11
12
p p
i1
i2
p p
1
2
bj
p 1j
p ij
p j
p i
p 1
p i
1
例1 袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球， 定义下列随机变量：
X
1
第一次取出白球
Y
1
第二次取出白球
0 第一次取出黑球
0 第二次取出黑球
试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
可推广到多维的情况.
f (x, y)
2
1
2
1
x
exp -
1
2(1 -
2
)
2 2
xy
y2
(-
x,
y
)
求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.
解：
f
( x)
X
f
(x,
y)dy
1
2 1
2
exp -
1
2(1-
2
)
x2 2
xy
y2 dy
x2
2
xy
y2
(y
2
x)
2
x
22
3-2 边缘分布及随机变量的独立性
1 则有 p X ( x) e 2 σ1
即
( x μ1 )2
2 2 σ1
2 2 σ1
e
t2 2
d t,
同理可得
1 p X ( x) e 2πσ1
( x μ1 )2
, x .
1 pY ( y ) e 2 σ 2
( y μ2 )2
为随机变量( X , Y )关于X 的边缘分布函数.
记为 FX ( x) F ( x, ).
同理令 x ,
FY ( y) F (, y) P{X , Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解
因为X与Y 相互独立, 所以
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
于是
P{ X 1,Y 2} P{ X 1} P{Y 2}
0.3 0.6 0.18,
i 1
j 1, 2, ,
分别称 pi (i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
Y
X
x1
x2
xi
y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
, x ;
1 , b y b, pY ( y ) 2b 其它. 0,
3.2,3.4边缘分布及独立性
的取值 ( x有i , y j )
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j} ,
即对所有的 (i, j)
pij pi p j
例2 设 ( X 的,Y联) 合分布律为
X Y 1 0 1
1 1 12 1 6 1 12
2 1 24 1 12 1 24
3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数
为F(x,y) FX ( x) P{X x} P{X x,Y }＝F ( x,)
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}＝F (, y)
将以上 FX和( x) 称F维Y (二y)维随机 变量
f (x, y) fX (x) fY ( y) .
即对任何 x,都y 成立
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2]}
1 2
2
1
( x1 )2
e 212
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
特别取 x 1, y 2 上式化为：
4 1 8 14 18
证明X与 Y分布 3
1 4
p1•
p•1
1 11
p12
6
3
2
p1•
p•2
类似可以验证：
对所有的 (i, j) pij pi p j 成立，所以 X与 Y分布相互立。
例3 已知
X Y 1 0 1
0 1/ 4 0 1/ 4
10-3 边缘分布与独立性
( X , Y )的分布律为：
P( X m, Y n) p 2 q n2 , q 1 p, n 2,3,, m 1, 2,n 1.
X 的边缘分布律为：P( X m)
n m 1
P( X m, Y n)
n m 1
p 2 q n2 pq m1 , m 1, 2,
x
同理：
f ( x, t )dx dt FY ( y) F (, y)
y
y
fY (t )dt
例1：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量 0, 健康 0, 不吸烟 X 和Y 如下：X 1, 一般 , Y 10, 一天吸烟不多于15支 2, 不健康 20, 一天吸烟多于15支 根据调查结果,得 X , Y 的如下的联合概率分布：
第三节 边缘分布 与随机变量的独立性
一、 边缘分布 二、条件分布 三、独立性
一、 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F ( x, y), 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 F 记为：FX ( x)， Y ( y)，称为边缘分布函数。
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y)
X Y y1 x1 p11 x2 p21 … xi pi1
P Y y j
…
y2 … yj p12 … p 1j p22 … p 2j … pi2 … p ij
… P X x
i
p· 1
p· 2
… … p.j
… … … … … …
p1· p2·
…
…
pi · 1 …
边缘分布和独立性
fX (x)
dy
1x2
-1
2 1 x2
均匀分布 1
续解 ………..
当 x [1, 1] 时
fX (x) 0
所以，关于X的边缘
-1
1
分布密度函数为
2
fX (x)
1 x2
x [1,1]
0
其它
解
fY ( y)
f ( x, y)dx
同理
1
f
y
(
y)
c
d
0
c xy d otherwise
所以 f (x, y) fX (x) fY ( y) 即 X 与 Y 独立。
习题三 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12,15, 16
f (x, y)dy
当 x1 或 x0 时 2
fX (x) 0
当 1 x 0 时，
2
2 x1
fX (x) 0 4dy 4(2x 1)
所以，关于X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
4(2x
1),
( 1 x 0) 2
0,
其它
关于Y的边缘分布密度为
F (x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
-1
0
2
pi.
1/2 2/20 1/20 2/20 1/4
1 2/20 1/20 2/20 1/4
2 4/20 2/20 4/20 2/4
p .j
2/5 1/5 2/5
联合分布密度函数怎么求
联合分布密度函数怎么求设有两个随机变量X和Y，它们的联合分布密度函数记作f(x,y)。
求解联合分布密度函数的关键是要找到使得P(X=x,Y=y)成立的条件下的概率密度值。
首先，我们需要确保 f(x,y) 是非负的，即f(x,y) ≥ 0。
其次，要保证所有概率密度值的总和等于1，即∫∫f(x,y)dxdy = 1接下来，我们将讨论两个常见的求解联合分布密度函数的方法：边缘分布法和相互独立法。
1.边缘分布法：边缘分布法是通过计算对应变量的边缘分布来求解联合分布密度函数的方法。
具体步骤如下：- 首先，计算 X 的边缘密度函数 fX(x)：fX(x) = ∫f(x,y)dy。
- 然后，计算 Y 的边缘密度函数 fY(y)：fY(y) = ∫f(x,y)dx。
-最后，通过联合密度函数的定义可以得到联合分布密度函数f(x,y)=fX(x)*fY(y)。
通过这个方法，我们可以通过已知的边缘分布来确定联合分布密度函数。
2.相互独立法：相互独立法是指当两个变量相互独立时，它们的联合分布可以通过它们各自的边缘分布的乘积来计算。
-首先，通过已知的边缘密度函数fX(x)和fY(y)，假设X和Y是相互独立的。
-然后，通过联合密度函数的定义可以得到联合分布密度函数f(x,y)=fX(x)*fY(y)。
需要注意的是，相互独立法只适用于已知变量之间相互独立的情况，若两个变量之间存在相关性，则不能使用这个法则。
在具体计算联合分布密度函数时，可以根据问题的具体情况选用不同的方法。
不同的方法适用于不同的变量之间的关系。
通过以上的讲解，我们可以得出求解联合分布密度函数的一般方法。
根据问题的具体条件，选择合适的方法进行计算，从而得到多个变量的联合分布情况。
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离散型随机变量的边缘分布律
X,Y的边缘分布律
pX(xi ) pij P{X xi }, i 1,2, , j 1
pY(yi ) pij P{Y y j }, j 1,2, , i1
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x) F ( x,)
pij ,
§2.8边缘分布与独立分布
1、边缘分布
问题 :已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设F ( x, y)为随机变量( X ,Y )的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} 令 y , 称
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
0
1
0 16
12
49
49
12
9
1 49
49
连续型随机变量的边缘分布
定义 对 于 连 续 型 随 机 变 量( X ,Y ), 设 它 的 概 率
密度为 f (x, y),由于
联合分布
边缘分布
例题
例1
设( X ,Y ) ~
p(
x,
y)
e
y
,
0,
0 x y, 其 它.
求 (1) pX ( x); (2) P{ X Y 1}.
2.随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
P{X x} P{X x,Y } F ( x,), 为随机变量( X ,Y )关于X的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,). 同理令 x , FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
pY (y) p(x, y)d x.
Y 的边缘概率密度.
四、小结
x
FX ( x) F ( x, )
[ f (x, y)d y]d x.
pX ( x)
ห้องสมุดไป่ตู้
f (x, y)d y.
y
FY ( x) F (, y)
[ f (x, y)d x]d y.
pY ( y)
f (x, y)d x.
定理1
设(X，Y )是二维离散型随机变量， pi j P( X xi , Y y j ) , pX ( xi ) , pY ( y j ) 分别为(X，Y )的联合分布律和X、Y的边缘分布律。 则X与Y相互独立的充分必要条件是
pij pX ( xi ) pY ( y j )
即 P( X xi ,Y y j ) P( X xi )P(Y y j )
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
间，且两种产品的需求量是相互独立的。 试求两种产品的需求量相差不超过1000 吨的概率。
y 6000
3000
1000
O
1000 2000
4000
x
x
FX ( x) F ( x, )
[ p( x, y)d y]d x,
记
f X ( x)
p( x, y)d y,
称 其 为 随 机 变 量( X , Y ) 关 于 X 的 边 缘 概 率 密 度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)
[ p( x, y)d x]d y,
(i, j 1,2, )
定理２
设 f ( x, y)是二维连续型随机变量的
联合分布密度，而 f X ( x)，fY ( y) 分别是
X，Y的边缘密度，则X与Y相互独立的充 分必要条件是：对于任意的x , y ，恒
有
f (x, y) f X (x) fY ( y)
成立
例 2.36 在国际市场上甲种农产品的需求 量均匀分布在2000~4000吨之间，乙种农 产品的需求量均匀分布在3000~6000吨之