边缘分布与独立分布

x
FX ( x) F ( x, )
[ p( x, y)d y]d x,
记
f X ( x)
p( x, y)d y,
称 其 为 随 机 变 量( X , Y ) 关 于 X 的 边 缘 概 率 密 度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
yLeabharlann Baidu
FY ( y) F (, y)
[ p( x, y)d x]d y,
间，且两种产品的需求量是相互独立的。 试求两种产品的需求量相差不超过1000 吨的概率。
y 6000
3000
1000
O
1000 2000
4000
x
联合分布
边缘分布
例题
例1
设( X ,Y ) ~
p(
x,
y)
e
y
,
0,
0 x y, 其 它.
求 (1) pX ( x); (2) P{ X Y 1}.
2.随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
§2.8边缘分布与独立分布
1、边缘分布
问题 :已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设F ( x, y)为随机变量( X ,Y )的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} 令 y , 称
离散型随机变量的边缘分布律
X,Y的边缘分布律
pX(xi ) pij P{X xi }, i 1,2, , j 1
pY(yi ) pij P{Y y j }, j 1,2, , i1
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x) F ( x,)
pij ,
pY (y) p(x, y)d x.
Y 的边缘概率密度.
四、小结
x
FX ( x) F ( x, )
[ f (x, y)d y]d x.
pX ( x)
f (x, y)d y.
y
FY ( x) F (, y)
[ f (x, y)d x]d y.
pY ( y)
f (x, y)d x.
定理1
设(X，Y )是二维离散型随机变量， pi j P( X xi , Y y j ) , pX ( xi ) , pY ( y j ) 分别为(X，Y )的联合分布律和X、Y的边缘分布律。 则X与Y相互独立的充分必要条件是
pij pX ( xi ) pY ( y j )
即 P( X xi ,Y y j ) P( X xi )P(Y y j )
P{X x} P{X x,Y } F ( x,), 为随机变量( X ,Y )关于X的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,). 同理令 x , FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
0
1
0 16
12
49
49
12
9
1 49
49
连续型随机变量的边缘分布
定义 对 于 连 续 型 随 机 变 量( X ,Y ), 设 它 的 概 率
密度为 f (x, y),由于
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
(i, j 1,2, )
定理２
设 f ( x, y)是二维连续型随机变量的
联合分布密度，而 f X ( x)，fY ( y) 分别是
X，Y的边缘密度，则X与Y相互独立的充 分必要条件是：对于任意的x , y ，恒
有
f (x, y) f X (x) fY ( y)
成立
例 2.36 在国际市场上甲种农产品的需求 量均匀分布在2000~4000吨之间，乙种农 产品的需求量均匀分布在3000~6000吨之