高等数学第二期半期考试试题
高等数学II半期考试试卷参考解答
交通大学20 －20 学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂zx。
解2122∂''=+∂zy f xyf x，2122∂''=+∂z xyf x f y ，故()()221212d =2d 2d ''''+++z y f xyf x xyf x f y()221222∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭z z y f xyf x x x x ()()2122∂∂''=+∂∂y f xyf x x()()2221112221222222'''''''''=++++y y f xyf yf xy y f xyf 43222111222=244'''''''+++yf y f xy f x y f 三 （10分）、 设函数(),=z f x y 是由方程(),=-z g y x yz 确定，求,∂∂∂∂z zx y。
高等数学第二期半期考试试题8
第二学期高等数学试题(一)一、一、填空题(每小题3分，共15分)1． 1． 设u=x 4+y 4-4x 2y 2 ，则u x x = 2． 2． 设u=xy+y/x ，则u y =3． 3． 函数z=x 2+4xy-y 2+6x-8y+12的驻点是4． 4． 设幂级数∑∞=0n nnxa的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n nx a的收敛半径是5． 5． 设Σ是柱面x 2+y 2=4介于1≤z ≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，则⎰⎰∑++dxdyz y x 222= 二、二、单选(每小题2分，共8分)1、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。
答（ ） 2、微分方程y x y y ''=''+'满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4 (C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4答（ ）3、若方程0=+'+''qy y p y 的系数p+qx=0，则该方程有特解 (A) y=x (B) y=e x (C) y=e – x (D) y=sin x 答（ ）4、微分方程x y y sin ='+'''的一个特解应具有形式 答（ ） (A) Asin x (B) Acos x (C) Asin x +Bcos x (D) x(Asinx+Bcosx) 三、三、解答下列各题1． 1． (本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x 2+y 2，y=1，z=0，y=x 2所围成的曲顶柱体的体积。
2、(本小题7分)证明极限34200lim y x y x y x +→→不存在。
高中_高一数学第二学期半期考
x y O x y O x y O xyO高一数学第二学期半期考 高一数学(必修2)试题〔完卷时间:120分钟；总分值:150分〕一、选择题〔每题12分，共60分，把答案填在Ⅱ卷中〕 1. 直线10x y ++=的倾斜角是〔 〕° B. 45° C. 30° D. 60°2. 假设直线l ∥平面α，直线a α⊂，那么l 与a 的位置关系是〔 〕A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与=+y x a 正确的选项是〔 〕A ．B ．C ．D ． 4. 以下命题中正确的选项是〔 〕 A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B ．棱锥的高线可能在几何体之外 C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥5. 直线a 、b 与平面α、β、γ，以下条件中能推出α∥β的是〔 〕 A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γC ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥bD ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β6. 不管m 取任何实数，直线:20+-+=l mx y m 恒过一定点，那么该定点的坐标是〔 〕A ． 〔-1，2〕 B.(-1,-2) C .(1 ,2) D. (1,-2)7. 直线3430+-=x y 与直线6140++=x my 平行，那么它们之间的距离是〔 〕A ．1710B ． 175C ．8D ．2 8. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题：①假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ； ②假设a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，那么a 、c 也是异面直线；③假设a 和b 相交，b 和c 相交，那么a 和c 也相交；④假设a 和b 共面，b 和c 共面，那么a 和c 也共面；⑤假设a ∥b ， b ∥c ，那么a ∥c ； 其中正确的命题的个数是〔 〕.A.0B.1C.2D.39. 假设三棱锥P-ABC 的三条侧棱与底面所成的角都相等，那么点P 在底面ABC 上的射影一定是∆ABC 的〔 〕A. 外心B. 垂心C. 内心D. 重心10. 中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，那么A ：B 为〔 〕A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：811. 直线x －2y +1=0关于直线x =1对称的直线的方程是〔 〕A. x +2y －1=0B. x +2y －3=0C. 2x +y －1=0D. 2x +y －3=0 12. 点P 是圆(x －3)2+y 2=1上的动点，那么点P 到直线y =x +1的距离的最小值是〔 〕A. 3B. 22C. 22－1D. 22+1二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，共16分。
高等数学试卷含答案下册
高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为 或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10． 求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。
2020-2021第二学期高一数学半期考联考试卷(含答案)
高一数学试题第 7 页 （共 8 页）
即 3 BE2 1 BE ，解得 BE 2 （负值已舍去） 所以 BE 的长度是 2km . …………5 分
（2）设 ABE ，因为∠BAE 60 ，所以 AEB 120 ，
在
△ABE
中，由正弦定理得
sin
AB AEB
sin
AE ABE
sin
BE BAE
12.设向量 a (k,2) , b(1,1) ,则下列叙述错误的是 ( )
A.若 k<-2,则 a 与 b 的夹角为钝角
B. a 的最小值为 2
C.与 b 共线的单位向量只有一个为
D.若 a 2 b ,则 k=2 或-2
三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 i 为虚数单位，则复数 z＝ 2 在复平面内对应的点的坐标为
4.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为棱 A1B1, BB1,CC1,C1D1 的中点, 则下列结论中正确的是( )
A.AD1∥平面 EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面 EFGH∥平面 A1BCD1
5.在△
th 中，向量 t与 h满足湥
t t
h h
·th
，且 t · th
AB
3 2
，
OC
9 2
，
AO
3
3 2
，
…………5 分
以 O 为原点，以 BC，OA 所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： …………6 分
高一数学试题第 页 （共 8 页）
则
D
1,
3
3 2
，设
M
x,
高数半期考试题目及答案
高数半期考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在\( x = 1 \)处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 以下哪个选项是\( e^x \)的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( x e^x + C \)D. \( \ln(e^x) + C \)答案：A3. 曲线\( y = x^3 \)在点\( (1,1) \)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 27答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)答案：A5. 函数\( y = \sin(x) \)的二阶导数是（）。
A. \( \cos(x) \)B. \( -\sin(x) \)C. \( -\cos(x) \)D. \( \sin(x) \)答案：C6. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = e^x \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \ln(x) \)答案：C7. 函数\( y = \ln(x) \)的定义域是（）。
A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)答案：B8. 曲线\( y = x^2 \)在点\( (2,4) \)处的法线方程是（）。
A. \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2} \)B. \( y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{2} \)C. \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \)D. \( y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \)答案：A9. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B10. 函数\( y = \cos(x) \)的不定积分是（）。
高数AB半期考试参考答案及评分细则
参考答案及评分细则西南科技大学2007—2008学年第2学期《 高等数学A[2]、B[2] 》半期考试试卷说明：本试卷共三大题，其中第一、二大题为学习高等数学A[2]和B[2]的同学的必作题，第三大题为学习高等数学A[2]的同学的选作题。
一、填空题与选择题（每小题4分，共40分）1、 6 。
2、 （0，-2，4） 。
3、022=+'-''y y y 。
4、)(cos c x x y +=。
5、 充分 。
6、4π。
7、C 。
8、A 。
9、D 。
10、B 。
二、解答下列各题（共60分）1、（8分）解：原式=)11)((22222200lim +++→→y x y x y x y x ————— 4分=0。
————— 4分2、（8分）证明：)()(u F xy u F y x z '-+=∂∂ ————— 3分 )(u F x yz '+=∂∂ ————— 3分 则有 xy z y z y x z x+=∂∂+∂∂ ————— 2分3、（8分）解：令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x y x x 得驻点 ,1,21⎪⎭⎫ ⎝⎛- —————2分 而 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=x yy x xy x xx e y x f y e y x f y y x e y x f 22222),()22(2),()2422(2),( 则在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，,04,2,0,0222>=-==>=e B AC e c B e A————— 4分则有极小值 .2)1,(21e f =- ————— 2分 4、（8分）解： 2214f x f x yz '+'=∂∂ ————— 4分 2z x y∂∂∂2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'= ————— 4分 5、（10分）证明：函数z =(0,0)处有 ,0)0,0()0,0(==y x f f则 y x y f x f z y x ∆∆=∆+∆-∆])0,0()0,0([ ————— 4分 而 22y x yx ∆+∆∆∆ 当 ),(y x ∆∆ 沿y=x 趋于（0，0）时极限不为0，————— 4分则函数在（0，0）不可微分。
第二学期半期考试高一数学试卷含答案
第二学期半期考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、角θ为第二象限角的充分必要条件是（ ）A 、0tan 0sin >>θθ且B 、0cot 0sin >>θθ且C 、0tan 0sin <>θθ且D 、0cos sin <⋅θθ2、化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、sin4＋cos4B 、sin4－cos4C 、cos4－sin4D 、－sin4－cos43、)619sin(π-的值是（ ） A 、21 B 、－21 C 、23 D 、－23 4、若cot130°＝a ，则cos50°是（ ）A 、21aa + B 、－21aa +C 、±21aa +D 、±aa 21+5、已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A 、第一与第二象限角 B 、第二与第三象限角 C 、第一与第三象限角 D 、第一与第四象限角 6、方程2x ＝cosx 的解有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无穷多个 7、若)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，当12π=x 时取最大值y ＝2，当127π=x 时取最小值y ＝－2，则函数的解析式是（ ） A 、)32sin(2π+=x y B 、)62sin(2π-=x y C 、)62sin(2π+=x yD 、)32sin(2π-=x y8、函数)32sin(3π-=x y 的图像可以由函数y ＝3sin2x 的图像经过下列哪种变换得到（ ）A 、向右平移3π单位 B 、向右平移6π单位 C 、向左平移3π单位 D 、向左平移6π单位9、下列函数中，在（0,2π）内单调递增，且以π为周期的偶函数是（ ）A 、y ＝tan|x|B 、y ＝|tanx|C 、y ＝cot|x|D 、y ＝|cotx|10、在△ABC 中若2cossin sin 2AC B =，则此三角形为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形11、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππB 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππC 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππD 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ12、已知f （x ）是定义在（－3,3）上的奇函数，当0<x<3时，f （x ）的图像如图所示，那么不等式f （x ）cosx<0的解集是（ ）A 、（－3，－2π） （0，1） （2π，3） B 、（－2π，－1） （0，1） （2π，3）C 、（－3，－1） （0，1） （1，3）D 、（－3，－2π） （0，1） （1，3）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卷的横线上）13、已知tan α＝43，则cos α－sin α＝ 14、已知cos α＝71，cos(βα+)＝－1411，且)2(0,πβα∈、，则cos β＝15、关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)（x ∈R ）有下列命题： ①由f(x 1)＝f(x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos(2x －6π) ③y ＝f(x)的图象关于点（－6π，0）对称； ④y ＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称。
西南科技大学2011-2012半期高等数学(含答案)
2011-2012-2高等数学(A2、B2)半期考试暨高等数学竞赛考试试卷一、选择题(每题4分，共20分)1、若()()c o s 202,c o s ,s in a Dfx y d x d y d fr r r d r πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰,其中0a >为常数，则区域D 是( )(A) 222x y a+≤ (B)222,0x ya x +≤≥(C)22x ya x+≤ (D)22x ya y +≤2、设(),,f x y z 是连续函数, ()()2222,,,x y z RI R fx y z d x d y d z ++≤=⎰⎰⎰则0R→时，下面说法正确的是( )(A)()I R 是R 的一阶无穷小 (B) ()I R 是R 的二阶无穷小 (C) ()I R 是R 的三阶无穷小 (D) ()I R 至少是R 的三阶无穷小 3、二元函数(),f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是( ) (A)()()()(),0,0lim,0,00x y fx y f→-=⎡⎤⎣⎦(B)()(),0,0,00,0limx y fx f→-=(C)()(),00,0lim 0,x fx fx→-=且()()0,0,0limy y f y fy→'-=(D)()()0lim ,00,00,x x x f x f →''-=⎡⎤⎣⎦且()()0lim 0,0,00y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ 4、函数(),zfx y =在点()00,x y 处取得极值是()()0000,0,,0x y f x y f x y ==的( D)(A)充分而非必要条件 (B) 必要而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件5、若()()2x a y d x y d yx y +++为某函数的全微分，则a =( )(A)1- (B) 0 (C) 1 (D) 2二、填空题(每题4分，共20分) 1、函数()222,,161218xyzu x y z =+++单位向量}11,1,1n =，则()1,2,3u n∂=∂ ( )2、设L 为椭圆22145xy+=，其周长记为S ,则Ls =⎰( )。
17-18(2)《高等数学》(下)半期试题解答(1)
则直线
l1与
l2
的夹角
0
2
为：
班级
密封装订线
( ) cos = cos s 1 , s 2
= s1 • s2 =
−1 + 2 + 2
= 1 = arccos 1 = ，故应选（C）.
s1 • s2 1+4+1 • 1+1+4 2
23
3.二元函数
f
( x,
y)
=
xy x2 + y2
,
(
x
−0
=
0−0 lim x→0 x
=
lim 0 = 0 ，
x→0
f
y
(
0
,
0
)
=
lim
y→0
f
(0 , 0 + y) −
y
f
(0 , 0)
=
lim
y→0
0 • y
02 + (y)2
y
−0
=
0−0 lim y→0 y
=
lim 0 = 0 ，
y→0
所以函数
f (x, y) 在点 (0 , 0) 处的两个偏导数都存在，且
西南交通大学 2017－2018 学年第(2)学期半期测试题解答
课程代码 1272005 课程名称 《高等数学》BII 考试时间 90 分钟
一、选择题（每小题 5 分，共 6 个小题，共 30 分）
密封装订线
1.曲面 x2 − y2 − z2 = 3 是【 A 】 4
（A） xoy 面上的双曲线绕 x 轴旋转一周所得；
4
4
4
所以曲面
x2 4
高等数学2真题及答案解析
高等数学2真题及答案解析高等数学2作为大学数学课程的一部分，是对高等数学1内容的拓展与深化。
它涵盖了微分方程、多元函数与偏导数、重积分等重要知识点。
许多学生在面对高等数学2的考试时，可能会遇到一些难题，对一些概念和方法有一定的困惑。
为了帮助大家更好地掌握这门课程，以下将对一道典型的高等数学2题目进行详细分析和解答。
【题目】设函数$f(x,y)=x^2+y^2+xy-x-2y+3$，求$f(x,y)$在椭圆$2x^2+4y^2=9$上的最大值和最小值。
【解析】首先，我们需要找到$f(x,y)$在椭圆上的极值点。
根据多元函数极值的判定条件，我们需要求得$f(x,y)$的偏导数。
求得$f(x,y)$的偏导数后，我们将其分别与椭圆方程联立解方程组。
先求$f(x,y)$的偏导数：$f_x=2x+y-1$，$f_y=2y+x-2$。
联立椭圆方程与偏导数方程组，得到方程组：$2x^2+4y^2=9$，$2x+y=1$，$2y+x=2$。
解方程组得到$x=1$，$y=0$，我们需要验证这个点是否是极值点。
计算得$f(1,0)=1$。
接下来，我们需要求出椭圆方程$2x^2+4y^2=9$的参数方程。
设$x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t$，$y=\frac{3}{2}\sin t$。
代入$f(x,y)$中，得到：$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2t+\frac{9}{2}\sin t\cos t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+3$化简，得到$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2 t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+\frac{21}{4}$。
我们需要求得$f(t)$的极值点。
对$f(t)$求导，得到：$f'(t)=-\frac{9}{2}\sin t\cos t+\frac{9}{2}\sin t-\frac{3}{\sqrt{2}}\sin t-\frac{9}{4}\cos t=\frac{1}{2}(9\sin t-6\sin 2t-\sqrt{2}\sin t-9\cos t)$。
高等数学第二学期期中考试试卷及答案
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a ϖϖ且,),(3π=∠b a ϖϖ则_______)()(=+⋅-b a b a ρϖϖϖ32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
高等数学a2期中测试题及答案
高等数学a2期中测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2在x=-1处的导数是多少？A. -4B. -2C. 4D. 2答案：A3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫e^x dx = e^x + CC. ∫sin(x) dx = cos(x) + CD. ∫cos(x) dx = sin(x) + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。
答案：6x-26. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/37. 求函数y=ln(x)的反函数。
答案：e^y8. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π/8三、解答题（每题10分，共60分）9. 求极限lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1)。
解：lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1) = lim(x→∞) (x^3/x^2) =lim(x→∞) x = ∞10. 求函数f(x)=x^3-6x+8的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2。
检查二阶导数f''(x)=6x，当x=√2时，f''(x)>0，因此x=√2是极小值点；当x=-√2时，f''(x)<0，因此x=-√2是极大值点。
11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
高数二试题及答案
高数二试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，则下列命题正确的是：A. 对于任意的x1，x2∈I，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)B. 对于任意的x1，x2∈I，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)C. 对于任意的x1，x2∈I，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)D. 对于任意的x1，x2∈I，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)2. 下列函数在区间（0，+∞）上单调递减的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = e^xD. f(x) = ln x（a，b）上：A. 必定存在一点c，使得f(c) = 0B. 必定存在一点c，使得f'(c) = 0C. 必定存在一点c，使得f(c)为极值点D. 以上说法都不正确4. 下列函数在x=0处连续但不可导的是：A. f(x) = xB. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = sin x5. 设函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则在区间（a，b）上：A. 必定存在一点c，使得f(c) = 0B. 必定存在一点c，使得f'(c) = 0C. 必定存在一点c，使得f(c)为极值点D. 以上说法都不正确二、填空题（每题4分，共20分）区间（a，b）上______。
（填入正确的词：可积、有界、连续、可导）7. 函数f(x) = e^x在区间（-∞，0）上的单调性为______。
（填入正确的词：递增、递减、不确定、周期性）8. 设函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则对于任意的x1，x2∈（a，b），当x1 < x2时，有______。
9. 函数f(x) = ln x在x=1处的导数为______。
10. 设函数f(x)在区间（a，b）上连续，则f(x)在区间（a，b）上至少有一个______。
高三数学半期考卷
高三数学半期考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = (x² 1)/(x 1)的定义域是（）A. RB. {x | x ≠ 1}C. {x | x ≥ 1}D. {x | x ≤ 1}2. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 无法确定3. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x³B. y = x²C. y = |x|D. y = 1/x5. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b的结果是（）A. (7, 4)B. (4, 5)C. (4, 5)D. (5, 4)二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的积都是实数。
（）2. 对于任意的实数x，都有(x²)² = x⁴。
（）3. 一元二次方程的解可以是复数。
（）4. 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（）5. 若矩阵A的行列式为0，则A一定不可逆。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若|a| = 5，则a的值可以是______。
2. 一次函数y = kx + b的图象经过一、二、四象限，则k______0，b______0。
3. 在直角三角形中，若一个锐角为30°，则另一个锐角为______°。
4. 5x 7 = 2x + 3的解为x =______。
5. 若一组数据2, 3, 5, 7, x的平均数为5，则x =______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明直角三角形的性质。
2. 如何判断一个数是否为质数？3. 请写出平方差公式。
4. 已知一个数的算术平方根是10，求这个数。
5. 请解释概率的意义。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 某商店举行打折活动，一件商品原价300元，打八折后售价是多少元？2. 一辆汽车以80km/h的速度行驶，行驶了3小时后，行驶的距离是多少？3. 一个长方体的长、宽、高分别是12cm、9cm、6cm，求它的体积。
必修2半期试卷(数学)
高二数学(理科)半期试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）.A.2、已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 （ ）A ．323B ．283C ．243D ．2033、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )4、设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥（A）18 （B ）9 （C ）6 （D ）36、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 ( ) (A)（(B)（1,(C) (D) （0, 7、已知三棱锥S ABC-中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( )（A ）4 (B) 4 (C) 4 (D) 348、直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 ( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 9、 对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有326++=，则 （ ） (A)O 、A 、B 、C 四点共面 (B) P 、A 、B 、C 四点共面 (C) O 、P 、B 、C 四点共面 (D) O 、P 、A 、B 、C 五点共面10、如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积 ( ) （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关α∙AB∙β（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11、 已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，x 3121++=，则x= 。
高数半期考试题目及答案
高数半期考试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. -1答案：B3. 不定积分∫x^2 dx的结果是：A. x^3/3 + CB. x^3 + CC. x^2 + CD. 2x^3 + C答案：A4. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. x^2 + CD. x + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2，则f(x)=______。
答案：x^3 + C2. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是______。
答案：03. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。
答案：1/x4. 定积分∫₀¹ x dx的值是______。
答案：1/25. 曲线y=e^x与直线y=x相切的切点坐标是(1, e)，该切线的斜率是______。
答案：e三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
在区间[-1,2]上，f(-1)=-2，f(1)=0，f(2)=2。
因此，最大值为2，最小值为-2。
2. 计算定积分∫₀² x^2 dx。
答案：∫₀² x^2 dx = (1/3)x^3 |₀² = (1/3)(2^3) - (1/3)(0^3) =8/3。
3. 求曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线方程。
答案：曲线y=x^2+2x+1的导数为y'=2x+2，所以在点(1,4)处的切线斜率为k=2*1+2=4。
高三数学试卷半期
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$在$x=1$处取得极值，则$f'(1)=\text{（）}$A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1+a_3+a_5=18$，$a_2+a_4+a_6=24$，则$S_6=\text{（）}$A. 36B. 42C. 48D. 543. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，若$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递增，则$x$的取值范围是$\text{（）}$A. $1\leq x\leq 2$B. $1<x<2$C. $x>1$D. $x<1$或$x>2$4. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=27$，$a_3+a_4+a_5=243$，则$q=\text{（）}$A. 3B. 4C. 6D. 85. 若直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=4$相切，则$k^2+b^2=（）$A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，若$f(x)$在区间$(0,1)$上单调递增，则$x$的取值范围是$\text{（）}$A. $0<x<1$B. $0<x<\frac{1}{2}$C. $\frac{1}{2}<x<1$D.$x>\frac{1}{2}$7. 若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$在区间$[0,2]$上的最大值为5，则$f'(2)=\text{（）}$A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1+a_3+a_5=18$，$a_2+a_4+a_6=24$，则$a_4=\text{（）}$A. 6B. 8C. 10D. 129. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，若$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递增，则$f(1)=\text{（）}$A. 0B. 1C. 2D. 310. 若直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=4$相切，则圆心到直线的距离$d=\text{（）}$A. $\sqrt{1+k^2}$B. $\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}$C.$\frac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}$ D. $\frac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}$二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1+a_5+a_9=45$，则$a_5=\text{______}$。
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高等数学第二期半期考试试题 一、解答下列各题（每题６分）1. 1. 利用二重积分求不等式r ≤2cos θ, r ≤1所表达的区域的面积。
2. 2. 设z =(1+xy )x,求dz3. 3. 求函数 u=e xyz在点P 0(1,0,-1)沿方向的方向导数。
其中P 1的坐标为(2,1,-1).4. 4. 设u=f (x,y,z ),而ϕ(x 2，e y ，z )=0，y=sim x 其中f , ϕ具有一阶连续偏导数，且求。
5. 5. 设z=z (x , y )由。
6. 6. 求曲面x 2+4y-z 2+5=0 垂直于直线的切平面方程。
二、（每题８分） 1. 1. 计算二重积分其中Ｄ：x 2+y 2≤1。
2. 2. 计算二次积分。
三、（每题８分） 1. 1. 求的一个特解。
2. 2. 求微分方程的通解。
四、（８分）利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x 2+2y 2到平面x+2y-3z=2的最短距离。
五、（１０分）求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方向的方向导数。
六、（８分）利用极坐标计算七、(６分)设f (u )为可微函数，f (0)=0。
一．（20分）计算下列各题： 1． 1． Z =, 求Z X , Z Y2． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U z 3． 3． U = , 求 dU 4． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）10P P 0≠∂∂x ϕdx du y zx z dt e x z xyt ∂∂∂∂=+⎰-,2确定，求zy x =-=-2121()⎰⎰+Ddxdyy x ⎰⎰-21331sin x dyy dx x x y y sin =-''321y x xy dx dy +=22232z y x u ++=⎪⎩⎪⎨⎧+===1332t z t y tx ⎰⎰⎰⎰-----+RR y R x y R yxy dxedy e dx e dy e 22222222y x 3()222z y x e ++１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。
２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。
三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值 四．（20分）计算下列各题： １．, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。
２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。
３．, D ：４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：五．（15分）计算曲线积分： １．１． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。
２． ２．, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的一段弧.３． ３． 利用格林公式计算曲线积分，L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。
六．（10分）计算曲面积分：１．I=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图： 七．（10分）求解各题：⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ⎰⎰+D dxdyy x )6(()⎰⎰⎰⎰+21212121),(,xxdyy x f dx dy y x f dx ()⎰⎰+-Dy x dxdy e 22222,0,0a y x y x ≤+≥≥⎰⎰⎰V xydxdydz⎰Lxds⎰-Lxdyydx 2π⎰-+++-Ldyx y dx y x )635()42(⎰⎰∑+ds y x )(22⎰⎰∑xzdxdyZX１． １．２． ２． 验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y). 八．（7分） 用高斯公式求：Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧第二学期高等数学半期试题解答一．（20分）计算下列各题： 5． 1． Z =, 求Z X , Z YZ x =3yx y-1 Z y =3X lnX6． 2． U = x y 2 z 3, 求U x , U y , U zU x =y 2z 3 U y =2xyz 3 U z =3xy 2z 27． 3． U =, 求 du8． 4． Z = f (x siny , x), 求Z x , Z x x. 二．（10分）１．已知曲空曲线Γ： 在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。
切线方程为：法平面方程：２．求球面x 2 + y 2 + z 2 = 56在M 0 (2,4,6) 的切平面及法线方程。
设 切平面：(x-2)+2(y-4)+3(z-6)=0法线： 三．（8分）求Z= x 2 – xy + y 2 + 9x - 6y +20的极值得驻点(-4,1)为极小值点()()()⎰---++1,20,122)(ydy xdx y x ⎰⎰++dxdy z dzdx y dydz x 333y x 3y()222z y x e++222)222(z y x ezdz ydy xdx dU ++++=()21sin f y f z x '+'=()22211211sin sin sin f y f y f y f z xx ''+''+''+''=⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y tx }3,2,1{=s312111+=--=+z y x 0)1(3)1(2)1(=++--+z y x 222-++=z y x F x F x 2=y F y 2=z F z 2=}12,8,4{=n362412-=-=-z y x 92+-=y x Z x 62--=x y Z Y 0,0==Y X Z Z 2=xx Z 1-=xy Z 2=yy Z 031222>=-⨯=-B AC 0>A )1,4(-∴1206361416min -=+--++=f四．（20分）计算下列各题： １．, D ： y = x ，y = 5x ，y = 1围成区域。
２． 积分换序 :将下积分化为先对X 后对Y 的积分。
３．, D ：４．, V ：z = x y, x + y = 1, z = 0 如图：五．（15分）计算曲线积分：４． １． , L ：为由直线y = x 及抛物线y = x 2所围区域边界。
原积分＝５． ２．, L ：为圆周x=Rsint, y=Rcost 上对应t 从0到的一段弧.原积分＝６． ３． 利用格林公式计算曲线积分.L 为三顶点分别为 (0,0)、(3,0) 和 (3,2) 的三角形正向边界。
原积分＝六．（10分）计算曲面积分： １． １．⎰⎰+Ddxdyy x )6(25/4425132)]5/(6)25(21[)6(212215/1==-+-=+=⎰⎰⎰⎰dy y dy y y y y y dx y x dx I y y ()⎰⎰⎰⎰+21212121),(,xxdyy x f dx dy y x f dx dxy x f dy I yy),(/121⎰⎰=()⎰⎰+-Dy x dxdy e 22222,0,0a y x y x ≤+≥≥⎰⎰⎰----=--⋅==2/020)1(4)(212222πππθa ar ar e r d e rdr e d I ⎰⎰⎰Vxydxdydz⎰⎰⎰-==x xy xy dy dx I 101601⎰Lxds⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎰⎰15121224123210102dx x x dx x ⎰-Lxdyydx 2π⎰=+2222222)sin cos (ππR dt t R t R ⎰-+++-L dyx y dx y x )635()42(12)13(=+⎰⎰Dd σZYI=, ∑：x 2+y 2-z 2=0, 0≤z ≤1２．, ∑：x+y+z=1, 侧向如图：原积分＝七． 七． 10分）求解各题：1. （因为，故积分与路径无关）2.验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy 是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).八．（7分） 用高斯公式求：Σ：x 2+y 2+z 2=a 2 的外侧原积分＝⎰⎰∑+dsy x)(22πθσπ⎰⎰⎰⎰==+=2013222222)(dr r d d y x I D⎰⎰∑xzdxdy241)2(21])[()1(101032210=+-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰-xD dx x x x dy xy x x dx d y x x σ()()()()64)(122131,20,122=++=++⎰⎰⎰------ydy y dx x ydy xdx y x y Px Q ∂∂=∂∂是全微分。
,sin cos y Py y x Q ∂∂=-=∂∂2sin cos 2)cos (cos 2002y y x x y x dy y y x x xdx u xy +++=+++=⎰⎰⎰⎰++dxdy z dzdx y dydz x 333。