2019届高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式学案

)
(4)| x－ a| ＋ | x－ b| 的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a， b 的距离之和． ( )
(5) 不等式 | a－ b| ≤｜a| ＋| b| 等号成立的条件是 ab≤0.(
)
1
2019 版高考数学一轮复习全册学案
答案 (1) √ (2) × (3) √ (4) √ (5) √ 2． [ 课本改编 ] 不等式 3≤|5 － 2x|<9 的解集为 ( )
得解集为 ( － 2,1] ∪ [4,7) ．
3．不等式 | x＋ 3| － | x－1| ≤ a2－ 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 (
)
A． ( －∞，－ 1] ∪ [4 ，＋∞）
B． ( －∞，－ 2] ∪ [5 ，＋∞）
C． [1,2]
D． ( －∞， 1] ∪[2 ，＋∞）
解得 1≤ x≤2； 当 x＞2 时，由 f ( x) ≥1，解得 x＞2.
所以 f ( x) ≥１的解集为 { x| x≥1} ． (2) 由 f ( x) ≥ x2－ x＋ m，得 m≤｜x＋ 1| － | x－ 2| － x2＋x.
而 | x＋1| － | x－2| － x2＋ x≤｜x| ＋ 1＋| x| － 2－x2＋ | x| ＝－
3 | x| －2
2＋
5 ≤
5
，
44
且当
3 x＝ 时，
| x＋ 1| － |
答案 [ － 2,4] 解析 ∵ | x－ a| ＋ | x－1| ≥|( x－ a) － ( x－ 1)| ＝ | a－ 1| ，要使 | x－ a| ＋ | x－1| ≤３ 有 解，可使 | a－1| ≤3，∴－ 3≤ a－1≤3， ∴－ 2≤ a≤4.
x 6． [ 课本改编 ] 不等式 | x＋ 3| － |2 x－ 1|< ＋1 的解集为 ________．
2019 版高考数学一轮复习全册学案
第 1 讲 绝对值不等式
板块一 知识梳理·自主学习 [ 必备知识 ]
考点 1 绝对值不等式的解法 1．形如 | ax＋ b| ≥｜cx ＋ d| 的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解． 2．形如 | ax＋ b| ≤ c( c>0) 和 | ax＋ b| ≥ c( c>0) 型不等式 (1) 绝对值不等式 | x|> a 与| x|< a 的解集
(3)|| a| － | b|| ≤｜a－ b| ≤｜a| ＋ | b|.
[ 考点自测 ]
1．判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)| ax＋ b| ≤ c( c≥0) 的解等价于－ c≤ ax＋b≤ c.(
)
(2) 若 | x|> c 的解集为 R，则 c≤0.(
)
(3) 不等式 | x－ 1| ＋ | x＋ 2|<2 的解集为 ?.(
2．如果 a， b， c 是实数，那么 | a－ c| ≤｜a－ b| ＋ | b－ c| ，当且仅当 ( a－ b)( b－c) ≥０
时，等号成立．
3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
(1)| a1＋a2＋…＋ an| ≤｜a1| ＋ | a2| ＋…＋ | an|.
(2)|| a| － | b|| ≤｜a＋ b| ≤｜a| ＋ | b|.
(1) 求不等式 f ( x) ≥１的解集； (2) 若不等式 f ( x) ≥ x2－ x＋m的解集非空，求 m的取值范围．
－ 3， x＜－ 1， 解 (1) f ( x) ＝ 2x－ 1，－ 1≤ x≤2，
3， x＞ 2.
当 x＜－ 1 时， f ( x) ≥１无解；
当－ 1≤ x≤２时，由 f ( x) ≥1，得 2x－1≥1，
答案 A 解析 ∵ | x＋ 3| － | x－1| ≤|( x＋ 3) － ( x－ 1)| ＝ 4，∴ a2－ 3a≥４恒成立，∴ a∈ ( －∞，
－1] ∪ [4 ，＋∞ ) ．
4． [ 课本改编 ] 不等式 | x－ 1|<4 －| x＋ 2| 的解集是 ________．
53 答案 － 2， 2
பைடு நூலகம்
(2)| ax＋ b| ≤ c( c>0) 和 | ax＋ b| ≥ c( c>0) 型 不等 式的 解 法 | ax ＋ b| ≤c ? － c≤ ax ＋
b≤ c( c>0) ， | ax＋ b| ≥ c? ax＋ b≥ c 或 ax＋ b≤－ c( c>0) ．
考点 2 绝对值不等式的应用
1．定理：如果 a， b 是实数，那么 | a＋ b| ≤｜a| ＋ | b| ，当且仅当 ab≥０时，等号成立．
2
2 答案 x x<－5或 x>2
x 解析 ①当 x<－ 3 时，原不等式化为－ ( x＋ 3) －(1 － 2x)< ＋ 1，解得 x<10，所以 x<－
2 3.
2
2019 版高考数学一轮复习全册学案
1
x
2
②当－ 3≤ x＜ 2时，原不等式化为 ( x＋ 3) － (1 － 2x)< 2＋1，解得 x<－ 5，所以－ 3≤ x<－
x≥1，
解析 由 | x－ 1|<4 － | x＋2| ，得
或
x＋ 2＋ x－ 1<4
－ 2<x<1， x＋2＋ 1－ x<4
x≤－ 2， 或
－ x＋ 2 ＋ 1－ x<4，
3
5
解得 1≤ x<2或－ 2<x<1 或－ 2<x≤－ 2. 所
53 以原不等式的解集为 － 2， 2 .
5．[2018 ·南宁模拟 ] 若存在实数 x 使 | x－a| ＋ | x－1| ≤３ 成立，则实数 a 的取值范围 是 ________ ．
2 5.
1
x
③当 x≥ 2时，原不等式化为 x＋ 3＋ 1－ 2x<2＋ 1，解得 x>2，所以 x>2.
2 综上可知，原不等式的解集为 x x<－ 5或x>2 .
板块二 典例探究·考向突破
考向
绝对值不等式的解法
例 1 [2017 ·全国卷Ⅲ ] 已知函数 f ( x) ＝| x＋ 1| －| x－ 2|.
A． [ －2,1) ∪ [4,7)
B． ( －2,1] ∪ (4,7]
C． ( －2，－ 1] ∪ [4,7) 答案 D
D． ( －2,1] ∪ [4,7)
|2 x－ 5|<9 ， 解析 由题得
|2 x－5| ≥３
－9<2x－ 5<9， ?
2x－5≥3或 2x－5≤－ 3
－2<x<7， ?
x≥4或 x≤1，