第5章 波动的不稳定理论 全章总结
自动控制原理-第5章4
K = 5.2
Kg (dB) h(dB)
h(dB)
Phase (deg)
-135
γ
γ
γ
1
-180
-225 10
0
10 Frequency (rad/sec)
K ↑ ωc ↑
ωc
由题意知
kg = 10
K
2 g 2 g
G ( jω g ) = 0.1
= 0.1
ω g (1 + 0.04ω )(1 + 0.0025ω )
γ = 180° +
G ( jω c ) H ( jω c )
γ
当 γ > 0 时，相位裕量为正值； 当 γ < 0 时，相位裕度为负值。 为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。 在极坐标图上的临界点为0分贝和 180°
2增益裕度(Gain Margin) kg
也称幅值裕度
在相移∠G(jω)H(jω)等于-180°的频率ωg上，开环 幅频特性| G（jω）H(jω)|的倒数，称为幅值裕度，用kg表示。 1 定义幅值裕度为 kg = G ( jω g ) H ( jω g ) 幅值裕度kg 的含义是， 对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 倍，则系统将变为临界稳定状态。
G ( jω ) =
K (τ 1 jω + 1)(τ 2 jω + 1) (τ m jω + 1) ( jω )ν (T1 jω + 1)(T2 jω + 1) (Tn ν jω + 1)
n>m
1相位裕度 (Phase Margin) γ
也称相角裕度
在系统的剪切频率ωc上，使闭环系统达到临界稳定 （达到-180°），相频特性所需附加的相移量 定义相角裕度为 相角裕度的含义是 对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 波动的不稳定理论
2
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
图 5.1 大气扰动与动力不稳定的关系
§2 惯性稳定度
1．定义 地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题。表示 惯性振荡或快波的不稳定发展现象。
3
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
2
uc
u c
2
y2 y1
f y dy 0 ，此积分式的几何意义： （面积和）
s1 s2 0 ，
因此 f y 必经过 f ( y ) 0 处，即 f y 在 y1 , y2 内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的 必要条件为：在 y1 , y2 内至少存在一点 yc ，使得:
又 * ，
2ici 1 1 ，则有： 2 * uc uc u c
2 u 2 y2 y 2 ci dy 0 2 y1 uc
对于正压不稳定， ci 0
2 2
（5.25）
所以
( 0 ，令 f y
2 u ) y 2
§1 波动稳定度的概念
1.波动稳定度的定义 定常的基本气流 u 上有小扰动产生， 若扰动继续保持为小扰动或随时间衰减,则称波动是中性的或波动 是稳定的 ；若扰动随时间增强，则称波动不稳定。
2.稳定度的表达方式 设有波动 q Qe
ik ( x ct )
Qei ( kx t )
(5.1)
6
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
波动知识点总结手写
波动知识点总结手写波动是物理学中一个非常重要的概念。
它在自然界的众多现象中都有所体现，涉及到的领域包括光学、声学、电磁学等等。
在本文中，我们将对波动的基本概念、特性以及应用进行总结和介绍。
一、波动的基本概念1.波动的定义波动是指能够在空间中传递能量的物理现象。
在波动过程中，能量并不是沿着固体物质的传递路径移动，而是在形式上的传递。
波动一般分为机械波和电磁波两类。
2.波动的分类根据波动的传播介质的不同，波动可以分为机械波和电磁波。
机械波需要介质来传播，如水波、声波等；而电磁波不需要介质，可以在真空中传播，典型的例子是光波、无线电波等。
3.波动的传播波动的传播可以分为纵波和横波。
纵波是指波动方向与波动传播方向垂直的波动，典型的例子是声波；横波是指波动方向与波动传播方向平行的波动，典型的例子是光波。
二、波动的特性1.波动的传播特性波动的传播包括波的传播速度、波长、频率等。
波的传播速度是指波动在单位时间内传播的距离，它与波动的频率和波长等因素有关。
波长是指波的波形重复出现的最小长度，单位是米；频率是指波的单位时间内波动的个数，单位是赫兹。
2.波动的干涉现象波动干涉是指两个或多个波动相遇时，由于波动的叠加效应产生的现象。
波动干涉分为构成干涉和破坏干涉两种。
构成干涉是指两个波动相遇时，波峰与波峰相遇或者波谷与波谷相遇，使波的振幅得到加强；破坏干涉是指波动相遇时，波峰与波谷相遇，使波的振幅得到减弱。
3.波动的衍射现象波动的衍射是指波动遇到障碍物时，波动在障碍物后面形成的现象。
在波动的衍射中，波动沿着障碍物边缘传播，同时也向障碍物的阴影区传播，使得波动的振幅取得了改变。
4.波动的折射现象波动的折射是指波动遇到介质界面时，波动的传播方向发生改变的现象。
具体来说，波动从一个介质传播到另一个介质时，波长和频率并不改变，但波速和波长的传播方向会发生改变。
三、波动的应用1.声波的应用声波是一种机械波，在工程技术中有着广泛的应用。
武汉理工大学 车辆工程汽车理论讲稿(第5章)
汽车过多转向
K<0称为过多转向。过多转向汽车加速时，和中性转向
相比，稳态横摆角速度增益较大，但R= u / ，故转向
半径随车速增大而减小。显然，当 u 1/ K 时，
/ = 。这时较小的前轮转角都会导致激转而翻车。
为了保持良好的操纵稳定性，汽车都应当具有适度 的不足转向。
三种稳态响应
汽车稳态横摆角速度增益曲线
(k1
k2
)
v u
1 u
(ak1
bk2 )r
k1
mur
(ak1
bk2
)
v u
1 u
(a 2 k1
b2k2
)r
ak1
0
消去v后，得：
1
u
/L Ku
2
K
m L2
(a k2
b) k1
式中
/ — 稳态横摆角速度增益，也叫转向灵敏度；
K—稳定性因数（s2/m2）； — 横摆角速度； u—车速；δ —前轮转角； m—汽车质量；L —轴距； a，b — 汽车质心到前后轴的距离； k1，k2 — 前后轮侧偏刚度。
图中c点是质心位置，cn是中性转向点。汽车向右转向。
中性转向点到前轮中心的距离为：
a Fy2 L k22 L Fy1 Fy2 k11 k22
k22 L k2 L
k12 k22
k1 k2
当轮胎和轴距一定时，中性转向点到前轮中心的距离便确定。
注意到汽车作稳态圆周运动时，横摆角加速度为0，前后轮实际侧偏 力合力作用点即在质心位置。
根据
u/L 1 Ku2
稳态横摆角速度增益较小，即较小。但因R= u / ，故
不足转向汽车转向半径随车速增大而增大。
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
5第五章 稳定性理论
Lyapunov稳定性的定义和概念 Lyapunov直接法
11
5.2.1 系统的基本概念
1、自治系统：输入为0的系统 对于一般系统
f ( x, t ) , t t0 x
(*)
对于线性系统，就是齐次状态方程
A(t ) x x
2、平衡状态（平衡点） 对于（*）系统，如果存在某个状态xe，使下式成立
5.2.2 Lyapunov稳定性的定义
1.李氏意义下的稳定 xe为如下系统的一个孤立平衡状态
f ( x, t ) , t t0 x
如果对任一正实数 满足 其中初态 平衡状态
(*)
0 都对应存在另一个正实数 ( , t0 ) 0
x0 xe ( , t0 )
y (t ) k , t [t 0 , )
那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定， 简记为BIBO稳定。 BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然 是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关。
2
2、外部稳定性的判断 1）线性时变系统 对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响 应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数 k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t,) 的每一个元gij (t,)都满 足下式
t1
t0
g ij (t , ) d
g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0
1 那么当外加输入 u j (t ) Sgn[ g ij (t1 , t )] 0 1
t1 t1 t0 t0
yij (t1 ) g ij (t , )u j ( )d g ij (t , ) d
波动知识点总结范文
波动知识点总结范文波动是物理学中的重要概念，涉及到电磁波、声波、水波等各种类型的波动。
本文将对波动的基础知识进行总结，包括波动的定义、波动的特性、波动的传播和干涉衍射等方面。
波动的定义：波动是指能够沿空间传播的物理量的传播现象。
波动是振荡的结果，可以传播能量而无需物质传输。
波动的特性：1.振幅：波动的最大偏离位置与平衡位置的距离，反映了波动的强度。
2.波长：波动传播一个完整周期所需要的距离，通常用λ表示。
3.周期：波动传播一个完整周期所需要的时间，用T表示。
4.频率：单位时间内波动的周期数，通常用ν表示，其倒数称为周期。
5.相位：反映了波动相对于其中一参考点的位置关系。
波动的传播方式：1.机械波：机械波是指需要介质传播的波动，例如声波和水波。
机械波的传播需要介质的弹性与密度来实现波动的能量传递。
2.电磁波：电磁波是指在真空或介质中传播的电场和磁场的联合振荡。
电磁波无需介质传播，可以在真空中传播。
3.纵波和横波：纵波的振动方向与波动传播方向一致，例如声波；而横波的振动方向与波动传播方向垂直，例如光波。
波动的干涉和衍射：1.干涉：干涉是指两个或多个波动相遇时产生的叠加效应。
当两个波动处于相位差一致的状态下，会出现加强的干涉现象，这被称为构成干涉。
当两个波动的相位差为180°时，则会出现减弱或者抵消的干涉现象，这被称为破坏性干涉。
2.衍射：衍射是指波动在通过一个窄缝或者遇到一个小孔时的传播现象。
衍射会导致波动弯曲和扩散，使得波动能够传播到原本看不见的区域。
波动的实际应用：波动在生活中和科学研究中有广泛的应用1.通信技术：电磁波可以用于无线通信。
例如，无线电波、微波和红外线都是利用波动的性质进行信息传输的。
2.医学成像：利用声波和电磁波的干涉和衍射现象，可以实现超声波和X射线的成像技术，用于医学诊断。
3.光学仪器：光学仪器如显微镜、望远镜、干涉仪和衍射光栅等都是基于波动原理设计的。
这些仪器可以用于观察微观结构和距离遥远的天体。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
05 第五章 大气稳定度和不稳定能量,
大气稳定度和不稳定能量
一、大气稳定度
指气层内某一气块受垂直方向的扰动后，返回或 远离原平衡位置的趋势和程度。 a= g (Ti-T) /T 气块温度低于环境温度，气块重，气层稳定 气块温度高于环境温度，气块轻，气层不稳定 气块温度与环境温度相同，气层是中性的
Hale Waihona Puke 一、大气稳定度积雨云顶高
层结曲线 露点曲线
颠簸层顶高 颠簸层底高
状态曲线
层状云顶高
颠簸层顶高 颠簸层底高 颠簸层顶高 层状云底高 颠簸层底高 积雨云底高
三、逆温层
（一）辐射逆温 （二）平流逆温 （三）湍流逆温 （四）下沉逆温 （五）锋面逆温
（一）辐射逆温
夜间地面、雪面、冰面或云层顶部等因辐射冷却 造成的逆温。
练习
1、有充沛水汽的近地面层，出现逆温时的特征 是（ ）。
A. B. C. D.
将有强对流发生 能见度变坏 大气不稳定度增加 有积雨云出现
2、以下用气块温度直减率γ判断大气稳定度的 描述中正确的有———。
A．γ值越大，气层越不稳定；γ值越小，气层越稳定 B．γ值越小，气层越不稳定；γ值越大，气层越稳定 C．γ<γm时绝对稳定，γ>γd时绝对不稳定
地形逆温
夜间，由于山上冷空气沿山坡流到低洼地区使 原来洼地底部的较暖空气被迫抬升形成的逆温。
地形逆温使洼地常出现霜冻。
辐射逆温、平流逆温、融雪逆温、地形逆 温属于近地面层逆温，其中以辐射逆温为 主。近地面层逆温多由热力原因引起。
（三）湍流逆温
由于低层空气的湍流混合作用而形成的逆温。 湍流强，湍流层厚，逆温层发生的高度高 湍流弱，湍流层薄，逆温层发生的高度低 逆温层之下，水汽大量聚集；逆温层之上水汽 含量骤减。
第五章波动-精品
T 1 0.2s
5
1m
3
u 1.67ms-1 T
（2）波谷经过原点的时刻
(y ,t) 0 .0 c2 1 o t 0 s 6 ( y )
u t = 0 Tu
Y
0
k
2
(0,0)0.02
再过T/2 = 0.1 s 第一个波谷经过原点， 以后每过T=0.2s 时间波谷经过原点。
F
* 震中
五、 流体中的声波 u B
0
B-体变弹性模量, 0-无声波时的流体密度
p
理想气体: u RT
= Cp /Cv , 摩尔质量 p
V0+ V
p
声压： p B V
V0
p 容变
5.3 波的能量 波的强度
一、传播介质的能量
振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1.弹性波的能量密度 (以细长棒为例)
波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是 质点的传播。
2. 横波和纵波
横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。 纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。
波谷
振动方向
传播方向 波密
波峰 波疏
注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。
结论：
1）质元并未“随波逐流”： 波的传播不是介质质元的传播
y峰 （ 6 ） kk 3 m （ k0， 1 ， 2 ， ）
例题 已知：平面简谐波波函数
yx,tAco s tu x 3
求：原点和 x 处质点的振动表达式， 并画出振动曲线 。
4
解： 1）原点y：(0 x,＝t)0，该A处c的o振 s动t( 表达式)为：
personality第五章
第五章特质学派的人格理论5•1 奥尔波特的人格模型——成熟的人5•2 玛丽·爱因斯沃斯人格三类型5•3 大五人格5•4 九型人格5•5 杨氏华人七大向度人格引子：特质（trait）——源自个体差异的观念。
人格心理测试就是最典型和具有代表性的特质理论的概念，如16PF、EPQ等。
A型人格、B型人格、C型人格等特质与心血管疾病Ⅰ型、Ⅱ型&癌症等医学临床流调概率类似，关乎心理健康和身心疾病（心因性疾病）。
性格类型举例：经济环境大萧条，某公司裁员，有六个人都要被裁掉。
在他们的工作都是无过错和过失的前提下，面对这个问题——第一个人：沮丧、叹气——敏感、伤己型；第二个人：找关系，托朋友联系工作——人际型；第三个人：培训，升华，准备找更好的工作——自挖、自创型；第四个人：平时除了工作外还喜欢帮助人，失业后他忙于慈善工作——助人型；第五个人：兴趣爱好很多，失业后可以干他自己喜欢干的事情了，可能会转换工作角度，成为自由职业者——浪漫、活跃型；第六个人：找公司领导大吵一架，出了气后到外面冲撞——冒险型；此外，还可以有很多种性格表现。
人格特质的遗传性千差万别，多数特质同时受先天性、后天教养和自身修养的影响，但有一些特质是高度遗传的。
有关人格的一致性的争论持续了半个多世纪。
如今心理学家已经意识到人&情境交互作用的复杂性，有些人格只有在特定情境下才会显现。
如：灾难等。
特质人格理论走的是实证测量之路。
由此产生了大量人格量表和遗传性的实证研究。
但是，也仅仅是对人格的描述，并非能够解释清楚人格的由来。
5．1奥尔波特的人格模型——成熟的人一、G·W·奥尔波特的生平高尔顿·威拉德·奥尔波特（Gordon Willard Allport 1897.11.11－1967.10.09）奥尔波特出身于美国一个中产阶级家庭，是一个医师的4个孩子之一,父母在他的成长中起到了健康而又深刻的积极影响。
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零（保证系统输入输出描述的唯一性），外部稳定性定义如下：（ｔ时刻输出仅取决于ｔ时刻及之前的输入） 定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
（有界输入－有界输出）β为有界常数。
１范数：向量各元素绝对值之和；２范数：向量各元素平方之和的１／２次方。
性质１： 非负性；齐次性；三角不等式。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是（设Ｈ（ｔ，τ）为系统脉冲响应矩阵，ｈｉｊ（ｔ，τ）一个元） 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L 证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有 ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt t t t t ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t )∞<≤1β)(t u∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()( 即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得∞=∫ττd t h t t 101),(构造有界输入（分段函数）⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==010*******),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
波动理论知识点总结
波动理论知识点总结随着科技的进步和全球信息的快速传播，金融市场的波动性越来越引人注目。
波动理论成为了投资者和分析师们研究市场行为和预测价格走势的重要工具。
本文将对波动理论的一些知识点进行总结，并探讨其在金融市场中的应用。
1. 波动性的定义和意义波动性是指价格或资产收益率的波动幅度，反映了市场的不确定性和风险水平。
波动性的变化对投资者和交易者来说具有重要意义，因为它们可以影响决策和风险管理策略。
在金融市场中，波动性通常可以通过计算历史波动率或隐含波动率等指标来衡量和预测。
2. 历史波动率和隐含波动率历史波动率是通过计算某一资产或指数的实际波动幅度得出的，它基于过去的价格数据。
隐含波动率则是通过期权市场价格来计算的，它反映了投资者对未来波动性的预期。
两者都可以提供关于市场风险和价格走势的重要信息，但各有不同的应用场景。
3. 波动率的预测模型许多经济学家和数学家提出了各种各样的波动率预测模型，其中最著名的是ARCH模型和GARCH模型。
ARCH模型适用于描述股票价格的短期波动，而GARCH模型则更适用于描述股票价格的长期波动。
这些模型可以通过对历史数据的分析来估计未来的波动率，从而帮助投资者制定风险管理策略。
4. 波动率交易策略波动率交易策略是一种利用波动率预测进行交易的方法。
常见的波动率交易策略包括日内波动率突破策略、期限结构交易策略和波动率互换交易策略等。
这些策略旨在通过对波动率的预测和波动率之间的差异来获取利润。
然而，波动率交易策略也存在风险，需要投资者具备一定的市场经验和风险管理能力。
5. 常见的波动率指标在金融市场中，常用的波动率指标包括平均真实波动范围（ATR）、波动率通道指标（Bollinger Bands）、相对强弱指数（RSI）等。
这些指标可以帮助投资者判断市场的趋势和临界点，并作为交易决策的依据。
总结起来，波动理论是金融市场分析中重要的一部分，它可以帮助投资者和交易者理解市场行为并作出相应的决策。
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
(第12讲) 第五章 劳斯稳定性判据
a 0 s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n 0
则该系统稳定的条件为： a. 特征方程的各项系数 a i ( i 0 , , n 1) 都不等于零； b. 特征方程的各项系数 a i 的符号都相同； 此两项为必要条件。
例 如 ： q s s 2 s s 4 s s 2s 8
2
s1 , 2
a1
a1 4 a 2 a 0
2
2a2
只有 a 2 , a 1 , a 0 都大于零，系统才稳定（负实根或实部 为负）。 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以 下描述的代数稳定性判据。
06-7-20
控制系统的稳定性分析
13
5.3 代数稳定性判据
5.3.1 劳斯稳定性判据 设线性系统的闭环特征方程为：
B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到 一定范围之后，系统不再稳定。 2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系 统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛 还是发散。
5.2 系统稳定的充要条件
设系统或环节的微分方程为：
y
(n)
( t ) a n 1 y
(m )
06-7-20 控制系统的稳定性分析 2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
其他：
一个反馈系统要么是稳定的，要么是不稳定的---绝对稳定性。 具有绝对稳定性的系统称为稳定系统； 若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性来进一步衡 量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战 斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗 机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。
初中物理知识点的波动理论
初中物理知识点的波动理论波动理论是初中物理中一个重要的知识点，它涉及到光、声、水波等各种波动现象的产生和传播规律。
通过学习波动理论，我们可以更好地理解和解释周围环境中所发生的各种波动现象。
本文将就波动理论的相关内容进行详细介绍。
首先，我们来了解一下波动的基本概念。
波动是一种能量的传递方式，是由能量的传递而导致介质中的质点做振动的现象。
波动的传播需要介质的存在，例如光可以在真空中传播的原因是因为光是电磁波，不需要介质的支持。
在波动理论中，波有很多重要的性质。
首先是波的传播速度。
波的传播速度是指波动在单位时间内在介质中传播的距离。
光在真空中的传播速度是恒定的，等于光速，约为300,000km/s。
其次是波的频率和波长。
波的频率是指波型在单位时间内经过某一点的次数，单位是赫兹（Hz）。
波的波长是指波的一个完整周期所对应的长度。
频率和波长之间有一个简单的关系，即波速等于频率乘以波长。
最后是波动的干涉和衍射现象。
波动的干涉是指两个或者更多波动相遇产生的干涉图样，而波动的衍射是指波通过障碍物或者绕过障碍物后会发生的扩散现象。
根据波动的性质和传播方式，我们可以将波分为机械波和电磁波两大类。
机械波需要介质的支持传播，例如水波和声波，而电磁波可以在真空中传播，例如光波和电磁信号。
机械波的特点是需要介质的振动传递，而电磁波是由电场和磁场的相互作用产生的能量传递。
在光学中，波动理论有着广泛的应用。
光的波动理论可以解释很多光学现象，例如光的折射和反射、光的干涉和衍射等。
根据光的波动性，我们可以解释为什么光在通过不同介质之间时会发生折射现象，即光线会改变方向。
光的干涉和衍射也是利用波动理论解释的现象，它们可以用来解释朗伯现象、光栅实验等。
波动理论还可以解释光的颜色和光的频谱，通过分析光的频谱可以得到物体的组成和结构信息。
在声学中，波动理论同样有着重要的应用。
声波的传播也是通过介质的振动传递能量。
波动理论可以解释声音在不同介质中的传播速度差异，例如声音在固体中传播速度大于在气体中传播速度的原因。
第五章-波动
障碍后的波线
. . . . . . . . .
障碍物
平面波波面
声
3、用惠更斯原理解释
波
波的散射、反射、折射现象 的
（自学）
衍 射
障碍物
33
§5-6 波的叠加和干涉
一、波的叠加
两水波的叠加
S 1
S 2
34
1.波的独立传播原理:
几列同时在媒质中传播的波，它们的传播特性
（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在 而发生变化。
T0
T0
u
S
—单位:焦耳/秒
u
3、波的强度
I（平均能流密度）:
1 T
T 0
dt
1 2
A2 2
通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。
I P u 1 22u
s
2
—单位:焦耳/秒米2
28
波动在无吸收的、均匀无限大介质中传播，
1、平面波：A保持不变。
1
2
2、球面波：A与r成反比。 证明：1、无吸收， P1 P2
(x-
xo）] x0 }
结论：确定波动方程的二个条件 1. 已知u
2. 波线上一点的振动方程
19
三、波动方程物理意义(正向传播波为例)
y
A
cos[
(t
x u
)
0
]
1. 在空间某位置 x = x1，有
2. 它在表某示时y 刻x A=tco=xs1t1处ω，的t有振xu1动 函o数 ，A其cos中ωtooux1ω为ux1初 相。
12
三. 波的特征量
1.波速u
概念：振动状态传播的速度 由媒质的性质决定与波源情况无关。
第5章 波动的不稳定理论 全章总结
第五章波动的不稳定理论全章总结李国平2008.12惯性不稳定•惯性－惯性力－惯性风－惯性振荡－惯性波－惯性不稳定•地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题•扰动发展的能源主要来自基本气流的动能•惯性不稳定的判据为：•表示惯性振荡或快波的不稳定发展现象0a u f yζ∂=−<∂惯性不稳定的基流分布正压不稳定•正压：正压大气－正压基流•正压大气中，由于平均纬向气流的水平切变引起的大气长波扰动发展的动力机制•不稳定发展的能源来自于基本气流的动能•可能是热带辐合带（ITCZ）中弱扰动发展的可能机制或是热带某些扰动发展初期的机制正压不稳定的必要条件•第一必要条件（Kuo 判据）•第二必要条件（判据）在某些地方必须改变符号或至少存在一点为零22a u y y ζβ∂∂=−∂∂FjortoftFjortoft 与基本气流与其绝对涡度经向梯度在某些地方正相关212220y y u u dy y β⎛⎞∂−Ψ>⎜⎟∂⎝⎠∫斜压不稳定•由基本气流的垂直切变所引起的罗斯波波（大气长波）不稳定，即由于基本场的南北向温度梯度所造成的长波不稳定•不稳定产生的斜压长波发展的能源主要来自基本气流的有效位能，也可部分来自基本气流的动能•是中纬度天气尺度波动发展的主要机制，温带气旋的生成、斜压罗斯贝波的发展即为斜压不稳定的典型现象。
斜压不稳定判据•充分条件•必要条件22CT uu >C L L >CL L >Tu斜压不稳定判据的意义•波长较短的长波始终是稳定的，上下层的波动只有振幅不同，而位相一致•对于波长较长的长波，当基流切变小于最小临界切变时，波动仍是稳定的•当基流切变大于最小临界切变时，有一部分波动开始变为不稳定，此时上下层的波动既有振幅的差异，又有位相的差异•在这种水平、垂直结构下，槽前的暖空气一边向北流且同时上升；而槽后的冷空气一边向南流且同时下沉•平均有效位能转换为扰动有效位能再转换为扰动动能，使扰动得以发展K-H不稳定•开尔文—赫姆霍兹波（K—H波）：密度差和风的垂直切变可在两层流体的分界面上产生重力内波•K-H波的发展→K-H不稳定•稳定层结下形成的波状云可认为由此不稳定引起•锋面波不稳定：旋转大气中，密度和速度不连续的倾斜分界面上，产生的惯性重力内波的发展急流不稳定•急流内不稳定，混合不稳定•不稳定不仅与垂直切变有关，而且与水平（南北）切变有关，是一种由正压和斜压组合的不稳定•夏季在非洲大陆大气低层经常产生2000～3000km的扰动，可认为是该地区以高度700hPa 为中心的东风急流不稳定引起的),(p y u u =),(p y u u =大气扰动与动力不稳定的关系。
第五讲波动理论
2 1 2 1
A2e il2 Y A1 eil1 Y 0
2 D
k l L
1 2
k1
2 2 2 k1 l2 L D
l2 l1 0
l2 l1 0
1 1 1
A2 A1e 2 il1Y
1
2 Re{ A1ei ( k x l y t ) e 2il Y }
34
观测到的长Rossby波波速
35
7 Rossby波的能量传播图
2 F L D
k 0 2 2 2 [k ] l F 2 2 4
k2 l2 F
波矢必须位于k-l平面的一个圆上 ,0) 圆心：(
2
2 ( 2 F )1 2 半径： 4
5
频散波和非频散波的特点
非频散波
频散波
6
二 浅水运动中的小振幅波动
运动方程 f=0（无旋转）下平面无限等深流体内的波动 ——浅水重力波 f=C（f平面）下平面无限等深流体内的波动 ——Poincare（邦加莱）波 f=C（f平面）下水平有界等深流体内的波动 ——Kelvin（开尔文）波 f不为常数下的波动——Rossby（罗斯贝）波19Ke Nhomakorabeavin波
c0 k
波动传播的x方向满足地转平衡，由于y方向存在边 界限制，波动在y方向不满足地转平衡，整个波动是 非地转的。由于y方向存在边界限制，只有y方向上 有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减 。开尔 文波的传播方向和边界位置有关，对于一个面向波 转播方向的观察者来说，在北半球，边界位于其右 侧，而在南半球，边界位于其左侧。
38
反射的示意图
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第五章波动的不稳定理论全章总结
李国平
2008.12
惯性不稳定
•惯性－惯性力－惯性风－惯性振荡－惯性波－惯性不稳定
•地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题•扰动发展的能源主要来自基本气流的动能
•惯性不稳定的判据为：•表示惯性振荡或快波的不稳定发展现象
0a u f y
ζ∂=−<∂
惯性不稳定的基流分布
正压不稳定
•正压：正压大气－正压基流
•正压大气中，由于平均纬向气流的水平切变引起的大气长波扰动发展的动力机制
•不稳定发展的能源来自于基本气流的动能•可能是热带辐合带（ITCZ）中弱扰动发展的可能机制或是热带某些扰动发展初期的机制
正压不稳定的必要条件
•第一必要条件（Kuo 判据）
•第二必要条件（判据）
在某些地方必须改变符号或至少存在一点为零
22a u y y ζβ∂∂=−∂∂Fjortoft
Fjortoft 与基本气流与其绝对涡度经向梯度在某些地方正相关
2
12220
y y u u dy y β⎛⎞∂−Ψ>⎜⎟∂⎝⎠∫
斜压不稳定
•由基本气流的垂直切变所引起的罗斯波波（大气长波）不稳定，即由于基本场的南北向温度梯度所造成的长波不稳定
•不稳定产生的斜压长波发展的能源主要来自基本气流的有效位能，也可部分来自基本气流的动能
•是中纬度天气尺度波动发展的主要机制，温带气旋的生成、斜压罗斯贝波的发展即为斜压不稳定的典型现象。
斜压不稳定判据
•充分条件•必要条件22C
T u
u >C L L >C
L L >T
u
斜压不稳定判据的意义
•波长较短的长波始终是稳定的，上下层的波动只有振幅不同，而位相一致
•对于波长较长的长波，当基流切变小于最小临界切变时，波动仍是稳定的
•当基流切变大于最小临界切变时，有一部分波动开始变为不稳定，此时上下层的波动既有振幅的差异，又有位相的差异
•在这种水平、垂直结构下，槽前的暖空气一边向北流且同时上升；而槽后的冷空气一边向南流且同时下沉
•平均有效位能转换为扰动有效位能再转换为扰动动能，使扰动得
以发展
K-H不稳定
•开尔文—赫姆霍兹波（K—H波）：密度差和风的垂直切变可在两层流体的分界面上产生重力内波
•K-H波的发展→K-H不稳定
•稳定层结下形成的波状云可认为由此不稳定引起•锋面波不稳定：旋转大气中，密度和速度不连续的倾斜分界面上，产生的惯性重力内波的发展
急流不稳定
•急流内不稳定，混合不稳定
•不稳定不仅与垂直切变有关，而且与水平（南
北）切变有关，是一种由正压和斜压组合的不稳定
•夏季在非洲大陆大气低层经常产生2000～
3000km的扰动，可认为是该地区以高度700hPa 为中心的东风急流不稳定引起的
)
,(p y u u =)
,(p y u u =
大气扰动与动力不稳定的关系。