高考数学一轮复习人教版解析几何第八单元听课正文第50讲圆的方程

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人教版高中总复习一轮数学精品课件第8章解析几何 8.3 圆的方程

命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.

高考数学一轮复习第八章解析几何第八讲曲线与方程学案理含解析新人教版

第八讲曲线与方程(理)知识梳理·双基自测知识梳理知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤归纳拓展1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y 的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2．( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二走进教材2．(必修2P 37T3)已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[解析] 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．(选修2－1P 37T1改编)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0)__．[解析] 设P (x ，y )，∵∠APO ＝∠BPO ， ∴|P A ||PB |＝|OA ||OB |＝2，即|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，(y ≠0)化简整理得P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0)．题组三走向高考4．(2020·山东改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．则下列结论错误的是( B ) A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－mnx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线[解析] A ．若m ＞n ＞0，则1m ＜1n ，则根据椭圆定义，知x 21m ＋y 21n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若m ＝n ＞0，则方程为x 2＋y 2＝1n ，表示半径为1n 的圆，故B 错误；C ．若m ＜0，n ＞0，则方程为x 21m ＋y 21n＝1，表示焦点在y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m nx ，若m ＞0，n ＜0，则方程为x 21m ＋y 21n ＝1，表示焦点在x 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m n x ，故C 正确；D ．当m ＝0，n ＞0时，则方程为y ＝±1n表示两条直线，故D 正确；故选B ．5．(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( C ) A ．① B ．② C ．①②D ．①②③[解析] 将x 换成－x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)；当x ＞0时，方程变为y 2－xy ＋x 2－1＝0，所以Δ＝x 2－4(x 2－1)≥0，解得x ∈⎝⎛⎦⎤0，233，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2－y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x ＞0时，由x 2＋y 2＝1＋xy 得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，(当x ＝y 时取等)，∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×1＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C ．考点突破·互动探究考点一曲线与方程——自主练透例1 关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2＝1，⎝⎛⎭⎫其中m 2≠23对应的曲线可能是 ①焦点在x 轴上的椭圆 ②焦点在y 轴上的椭圆 ③焦点在x 轴上的双曲线 ④圆其中正确结论个数为( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由题，若m 2＋2＞3m 2－2，解得－2＜m ＜2，3m 2－2＞0，解得m ＜－63或m ＞63，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－63∪⎝⎛⎭⎫63，2时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，①正确；若3m 2－2＞m 2＋2，解得m ＜－2或m ＞2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，②正确；若3m 2－2＜0，解得－63＜m ＜63，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，③正确；当m 2＝2时，方程为x 2＋y 2＝4，所以④正确．故选D ．〔变式训练1〕(2021·山东青岛一中期末改编)已知点F (1,0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为 ①y 2＝4x ②x 2＝4y ③x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2 ④x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2 其中正确结论个数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)；x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；当θ＝π4时，sin 2θ＝cos 2θ＝12，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1表示圆；双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2的焦点在x 轴上，且c ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选B ．考点二定义法求轨迹方程——自主练透例2 (1)(2021·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2021·福州模拟)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y 24＝1B ．x 236＋y 231＝1C ．x 29－y 24＝1D ．x 236－y 231＝1(3)(2021·江苏南京二十九中调研)已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( D )A ．x 2－y 28＝1 B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1) D ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)[解析] (1)由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r ＞|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B ．(2)由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1，故选A ．(3)设动圆M 的半径为r ，则|C 1M |＝r ＋1，|C 2M |＝3＋r ，∴|C 2M |－|C 1M |＝2＜6＝|C 1C 2|．∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线左支，且c ＝3，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选D ． [引申1]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1(x ≤－2)__． [引申2]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1(x ≥2)__． [引申3]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2都内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2－y 28＝1(x ≥1)__． [引申4]本例3中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2中一个内切一个外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1__．名师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．〔变式训练2〕 (1)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( B )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x(2)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是__①②__．①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 [解析] (1)双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，由题意可知点M 的轨迹是以F 为焦点、原点为顶点、对称轴为x 轴的抛物线，故其方程为y 2＝－8x ．故选B ．(2)如图两根电杆AB ，CD ，①当|AB |＝|CD |时，∵∠BP A ＝∠DPC ，∴|P A |＝|PC |， ∴P 的轨迹是AC 的中垂线， ②当|AB |＝λ|CD |(λ≠1，λ＞0)时，由∠BP A ＝∠DPC 知Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴|AP ||CP |＝|AB ||CD |＝λ，以AC 所在直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，记A (－1,0)，C (1,0)，P (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝λ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－12，轨迹为圆，故答案为①②．考点三,直接法求轨迹方程——师生共研例3 (1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A (0,2)且与直线y ＝－2相切，则圆心C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＝4yB ．x 2＝8yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． ①求动圆圆心的轨迹C 的方程；②已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．[解析] (1)设圆心C (x ，y )，由题意知x 2＋(y －2)2＝|y ＋2|，化简得x 2＝8y ，故选B ．(2)①设动圆圆心P (x ，y )，线段MN 的中点为E ，则|P A |2＝|PE |2＋42，即(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，化简得y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x ． ②设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝8x ，k 2x 2－(8－2kb )x ＋b 2＝0(其中Δ＞0)，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝8－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，则k PB ＋k QB ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋bx 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b (x 1＋1)(x 2＋1)＝8(k ＋b )k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即k ＝－b ．故直线l 的方程为y ＝k (x －1)，直线l 过定点(1,0)．名师点拨直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．〔变式训练3〕(1)已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线(2)(2021·湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q (1,0)，直线l ：x ＝2．若动点P 在直线l 上的射影为R ，且|PR →|＝2|PQ →|，设点P 的轨迹为C ．①求C 的轨迹方程；②设直线y ＝x ＋n 与曲线C 相交于A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，其表示以(2,0)为圆心，4为半径的圆，故选B ．(2)①设P (x ，y )，由|PR →|＝2|PQ →|，得|2－x |＝2·(x －1)2＋y 2，平方化简得C 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(x ＋n )2－2＝0，即3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4n 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2n ＝2n 3．假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，则OM →＝OA →＋OB →，所以(x 3，y 3)＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)，所以x 3＝x 1＋x 2＝－4n 3，y 3＝y 1＋y 2＝2n3．由点M 在曲线C 上得x 232＋y 23＝1，代入得8n 29＋4n 29＝1，解得n 2＝34，n ＝±32．所以当n ＝±32时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－233，33或者M ⎝⎛⎭⎫233，－33，当n ≠±32，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形．考点四,代入法(相关点法)求轨迹方程——师生共研例4 (2021·河南新乡模拟)在直角坐标系xOy 中，点M (－2,0)，N 是曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，动点C 满足MC →＋NC →＝0．(1)求点C 的轨迹方程；(2)经过点P (1,0)的动直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点D (异于点P )，使得∠ADP ＝∠BDP ？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设C (x ，y )，N (x 0，y 0)，则MC →＝(x ＋2，y )，NC →＝(x －x 0，y －y 0)， MC →＋NC →＝(2x －x 0＋2,2y －y 0)．又MC →＋NC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 0＋2＝0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋2，y 0＝2y .因为点N 为曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，所以x 0＝14y 20＋2，所以2x ＋2＝14(2y )2＋2，整理得y 2＝2x ，故点C 的轨迹方程为y 2＝2x ． (2)设存在点D (t,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ，所以k DA ＋k DB ＝0．由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0°，故设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1代入y 2＝2x ，得y 2－2my －2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2．因为k DA ＋k DB ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0，所以2my 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)＝0，即－4m ＋2m ·(1－t )＝0，所以t ＝－1．故存在点D (－1,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ．名师点拨代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律． (2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； ②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程； ④检验：注意检验所求方程是否符合题意．〔变式训练4〕(2021·河北石家庄模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( D )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆[解析] 设P (x ，y )，Q (x 0，y 0)，椭圆C 的左焦点F 1(－2,0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －22，y 0＝y 2又x 2016＋y 2010＝1，∴(x －2)264＋y 240＝1，故选D ．考点五,参数法求轨迹方程——师生共研例5 (2021·河北衡水中学调研)已知圆C 1：x 2＋y 2＝2，圆C 2：x 2＋y 2＝4，如图，C 1，C 2分别交x 轴正半轴于点E ，A ．射线OD 分别交C 1，C 2于点B ，D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点E 作直线l 交曲线C 与点M ，N ，射线OH ⊥l 于点H ，且交曲线C 于点Q ．问：1|MN |＋1|OQ |2的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由． [分析] 显然点P (x ，y )的变动由∠AOD 的大小α(或k OD )决定，故可通过α(或k OD )建立x ，y 间的关系，即点P 的轨迹方程．[解析] (1)解法一：如图设∠BOE ＝α，则B (2cos α，2sin α)，D (2cos α，2sin α)，所以x P ＝2cos α，y P ＝2sin α．所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1．解法二：当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 2＋y 2＝2得y 2P ＝2k 21＋k 2，同理得x 2P ＝41＋k 2，所以x 2P ＋2y 2P ＝4即有动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1．当射线OD 的斜率不存在时，点(0，±2)也满足． (2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x ＝my ＋2(斜率不为0时)且设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2x 2＋2y 2＝4，得(m 2＋2)y 2＋22my －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22mm 2＋2y 1y 2＝－2m 2＋2，所以1|MN |＝11＋m 2|y1－y 2|＝m 2＋24(m 2＋1)，又射线OQ 方程为y ＝－mx ，代入椭圆C 的方程得x 2＋2(mx )2＝4，即x 2Q ＝41＋2m 2，y 2Q ＝4m 21＋2m 2，1|OQ |2＝1＋2m 24(m 2＋1)，所以1|MN |＋1|OQ |2＝m 2＋24(m 2＋1)＋1＋2m 24(m 2＋1)＝34，又当直线l 的斜率为0时，也符合条件．综上，1|MN |＋1|OQ |2为定值，且为34．名师点拨](1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练5〕若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__x ＋y －1＝0__．[解析] 当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k(x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，l 2与y 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫1－1k ，y ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝⎛⎭⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0(x ≠12)，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫x ≠12．当直线l 1(或l 2)的斜率不存在时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，此点在直线x ＋y －1＝0上．综上，AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0．另解：由题意易知|MP |＝|MO |， ∴M 的轨迹为线段OP 的中垂线，其方程为y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y －1＝0．名师讲坛·素养提升高考中的轨迹问题例6 (2019·课标Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12．记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ．①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值． [解题思路] (1)由题直译得关系→化简，观察方程形式得结论(2)①设直线PQ ：y ＝kx →与C 的方程联立得P ，Q 两点坐标→得直线QG 的方程→与C 的方程联立得G 的坐标→求PG 的斜率→得结论②利用公式求面积→得关于k 的函数→判断单调性求最值→得结论[解析] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． (2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2．记u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎨⎧y ＝k2(x －u )x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0．① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2．从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uku (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k ．所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2ukk 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝⎛⎭⎫1k ＋k 1＋2⎝⎛⎭⎫1k ＋k 2．设t ＝k ＋1k ，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号，因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．[解题关键] ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键．〔变式训练6〕(2020·新课标Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点C 是动点，若OC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( A )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线[解析] 不妨以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设C (x ，y )，A (－c,0)，B (c,0)，c ＞0，则AC →＝(x ＋c ，y )，BC →＝(x －c ，y )，由AC →·BC →＝1，得(x ＋c )(x －c )＋y ·y ＝1，即x 2＋y 2＝c 2＋1＞0， ∴点C 的轨迹为圆．故选A ．。

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第50讲椭圆课件理20180713485

2 3 3
�� 2 4
椭圆
第50讲 PART 8
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
3.了解圆锥曲线的简单应用.
4.理解数形结合的思想.
教学参考
考情分析
考点椭圆的定义
教学参考
3.[2017· 全国卷Ⅱ] 设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: 2 +y =1 上,过 M 作 x 轴
2
�� 2
由��· ��=1 得-3m-m +tn-n =1,
2 2
的垂线,垂足为 N,点 P 满足 �� = 2 �� . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且��· ��=1, 证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
又由(1)知 m +n =2,故 3+3m-tn=0,
2 2
所以��· �� =0,即��⊥�� .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
教学参考
4.[2014· 全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,F 是
1 2
C.
2 3

2020年高考数学(文科)一轮复习第八单元听课手册第50讲抛物线

听课手册第50讲抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离的点的轨迹叫作抛物线,点F 叫作抛物线的焦点,直线l 叫作抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质y =2px (p>0) y =-2px (p>0)(续表))x =2py (p>0)x =-2py (p>0)y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R常用结论1.焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F之间的线段叫作抛物线的焦半径,记作r=|PF|.(1)y2=2px(p>0),r=x0+;(2)y2=-2px(p>0),r=-x0+;(3)x2=2py(p>0),r=y0+;(4)x2=-2py(p>0),r=-y0+.2.焦点弦的常用结论以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影分别为A1,B1,则有以下结论:(1)x1x2=,y1y2=-p2;,|BF|=;(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=-(3)|AB|=x1+x2+p=(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;(4)S△AOB=(其中θ为直线AB的倾斜角);(5)+=(定值);(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°;(9)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.3.y2=ax(a≠0)的焦点坐标为,准线方程为x=-.题组一常识题1.[教材改编]抛物线8x2+y=0的焦点坐标为,准线方程为.2.[教材改编]抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2,则a的值为.3.[教材改编]若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为.4.[教材改编]抛物线y2=8x的焦点为F,P在抛物线上,若|PF|=4,则P点坐标为.5.[教材改编]过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=4,则|PQ|等于.题组二常错题◆索引:忽视抛物线的类型;不注意抛物线方程的标准形式;在方程中没有限制条件p>0的情况下,p可以为负值.6.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为.7.抛物线x2+2py=0的焦点到准线的距离为4,则p= .8.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径,那么抛物线y=-x2(a≠0)的通径长为.探究点一抛物线的标准方程例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为双曲线-=1的右焦点,则此抛物线的方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π 则抛物线的方程为.[总结反思] 求抛物线方程的基本方法是定义法和待定系数法:(1)定义法就是根据抛物线的定义得到其焦参数、焦点位置,然后根据抛物线方程的形式写出其方程.(2)待定系数法就是根据已知得到焦参数的方程,求出焦参数,求解的关键是求出焦参数p和确定抛物线的焦点位置,焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可以用x2=λy(λ≠0)表示.变式题(1)直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A. y2=-12xB. y2=-8xC. y2=-6xD. y2=-4x(2)已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()A. y2=±2xB. y2=±2xC. y2=±4xD. y2=±4x探究点二抛物线的定义有关问题微点1动弦中点到坐标轴距离最短问题例2 (1)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C. 1D. 2(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上的两个动点,且|AB|=8,则x1+x2的最小值是()A. 4B. 6C. 8D. 10[总结反思] 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段的两个端点到准线距离之和的一半,再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式,这是解决此类问题的一般方法.微点2距离之和最小问题例3 (1)若点B的坐标为(3,2),F是抛物线y2=6x的焦点,点P在抛物线上移动时,使|PF|+|PB|取得最小值的P的坐标为()A. (0,0)B.C. (1,)D. (2,2)(2)已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为.[总结反思] 利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离之间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线距离有关问题的有效途径.涉及距离和最小值的两个常见转化策略:①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;②将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.微点3焦点弦中距离之和最小问题例4 (1)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.(2)[2018·江西上饶三模]已知抛物线y2=2x,焦点为F,过F点的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为.[总结反思] 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,通径是抛物线过焦点的所有弦中最短的,若能将问题转化为与通径有关的问题,则可以用“通径最短”求最值.应用演练1.【微点1】定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动,设点P为线段MN的中点,则点P到y轴的距离的最小值为()A.6B.5C.3D.22.【微点3】[2018·重庆巴蜀中学月考]直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F且交抛物线C 于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为()A. 3+2B. 2+3C. 6D. 43.【微点3】[2019·唐山海港高级中学模拟]过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+|BF|的最小值是 ()A. 2B.C. 4D. 24.【微点2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为其焦点,若B(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为.5.【微点2】已知M是抛物线x2=8y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是.探究点三抛物线的几何性质例5 (1)[2018·东北三省三校一模]抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为 ()A. 2B. 1C. D.(2)[2018·厦门二模]已知拋物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A,B两点,|AB|=6,则AB的中点到y轴的距离是()A. 1B. 2C. 3D. 4[总结反思] 抛物线的几何性质主要表现为两点:一是抛物线上的点与焦点和准线的关系;二是抛物线的焦点弦,利用抛物线的定义以及一些常用结论公式即可解决问题.变式题(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线交抛物线于A,B两点(A在B的上方),且与准线交于点C,若=4,则=()A. B.C. 3D. 2(2)[2018·银川4月质检]已知F1,F2分别为双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为()A. x=-4B. x=-3C. x=-2D. x=-1探究点四直线与抛物线的位置关系例6 已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,|AB|<8,直线l与抛物线y=x2-4交于M,N两点,且M,N两点在y轴的两侧.(1)证明:y1y2为定值;(2)求直线l的斜率的取值范围;(3)若·=-48(O为坐标原点),求直线l的方程.[总结反思] 直线与抛物线相交问题处理规律:(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,避免求交点坐标的复杂运算,特别是有关弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则使用弦长公式|AB|=-;(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问题的处理,最好是作出草图,由图形结合几何性质作出解答,并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.变式题[2019·四川华蓥一中调研]已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为,且△OCD的面积是△OAB的面积的倍(O为坐标原点),求l1和l2的方程.完成课时作业(五十)。

人教A版高中数学高三一轮第八章平面解析几何 8.3 圆的方程【教案】

高三一轮第八章平面解析几何8.3 圆的方程【教学目标】1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【重点难点】1.教学重点：掌握确定圆的几何要素及圆的标准方程与一般方程；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】2．必清误区方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形，当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆，因此在求参数的值或范围时，应注意条件的使用．考点分项突破考点一：求圆的方程1．若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆C 与y 轴相切，所以圆的半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3.故选D.【答案】 D2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2 3 则圆C 的标准方程为______________________．【解析】因圆C 的圆心在直线x －2y ＝0上，且与y 轴的正半轴相切，所以设圆心C (2b ，b )(b >0)，半径r ＝2b .又圆C 截x 轴所得弦的长为23，圆心C 到x 轴的距离为b ，所以由勾股定理b2－b 2＝3，解得b ＝1.因此圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝43．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________．【解析】由题意设圆的方程为(x －a )2＋(y ＋4a )2＝r 2(r >0)，由圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)得⎩⎪⎨⎪⎧|a －4a －1|2＝r ，－4a ＋2a －3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8 归纳；1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．考点二: 与圆有关的轨迹问题(1)已知点A (－1,0)，点B (2,0)，动点C 满足|AC |＝|AB |，则点C 与点P (1,4)所连线段的中点M 的轨迹方程为________．(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． ①求M 的轨迹方程；②当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】 (1)由题意|AC |＝|AB |＝3，则动点C 的轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，设C (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎨⎧12x 0＋＝x ，12y 0＋＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －4.又(x 0＋1)2＋y 20＝9，所以4x 2＋(2y －4)2＝9.即x 2＋(y －2)2＝94.【答案】 x 2＋(y －2)2＝94(2)①圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为几何法——利用圆的几何性质得出方程的方法| 代入法相关点法——找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法考点三: 与圆有关的最值问题1.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则(x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.跟踪训练：1．设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36【解析】 (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝5－2＋－2＝5.则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36，故选D. 【答案】 D2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2)【解析】直线AB 的方程为x －1＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝2＋25＝455，则点P 到直线AB 的距离最大值为455＋1，最小值为455－1，又|AB |＝5，则△P AB 面积的最大值S max ＝12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝12(4＋5)，△P AB 面积的最小值S min ＝12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝12(4－5)，故选B.【答案】 B归纳：与圆有关的最值问题的常见解法1．形如μ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．2．形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．3．形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动。

2020高考数学大一轮复习第八章解析几何第二节圆的方程课件理新人教A版

D2＋E2－4F 2
思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？
提示：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A ＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF＞0.
知识点2 点与圆的位置关系 (1)理论依据： _______点_____与____圆__心______的距离与半径的大小关系．
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
解析：选A.根据题意可设圆的方程为 x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
2．[一题多解]圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)， B(－2，－5)的圆的方程为________．
(5)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为－a2，－a ，半径为12 －3a2－4a＋4的圆．( × )
(6)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．( √ )
2．(知识点1)已知圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________． ⇐ 源自必修二P124A组T4
答案：(x－1)2＋y2＝20
3．(知识点3)点M(3，－6)到圆(x－3)2＋(y＋2)2＝16上点的最大距离为________． ⇐ 源自必修二P123练习T3
答案：8
4．(知识点1)(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点 (0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．

C．x2＋y2－230x＋4＝0
D．x2＋y2＋230x＋4＝0

(精品人教)2020届高考数学一轮复习第8单元解析几何听课学案理

第八单元解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为.(2)范围:倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .若x1=x2,则直线的斜率,此时直线的倾斜角为90°.3.直线方程的五种形式常用结论直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:题组一常识题1.[教材改编]已知直线经过点A(4,-2),B(1,1),则直线AB的斜率为,倾斜角α为.2.[教材改编]一条直线经过点M(-2,3),且它的斜率是直线y=2x的斜率的3倍,则该直线的方程为.3.[教材改编]若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数,且绝对值相等,则直线l的方程为. 题组二常错题◆索引:忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是.5.已知A(2,2),B(-1,3),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.6.过点(-2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是.课堂考点探究探究点一直线的倾斜角和斜率1 (1)设直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.(2)[2017·湖北部分重点中学联考]直线l:x-y sin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.B.∪C.D.∪[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,直线垂直于x轴.式题 (1)平面上有相异两点A(cos θ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是.(2)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则k的取值范围是. 探究点二直线的方程2 求适合下列条件的直线l的方程:(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.式题 (1)直线l1:x-y+-1=0绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,则旋转后得到的直线l2的方程为()A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.3x-y-1=0(2)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()A.B.C.D.探究点三直线方程的综合应用3 (1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,△AOB的面积为S,则当S取得最小值时直线l的方程为.(2)[2018·江西师大附中月考]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y-1=0和x+ay+2=0上,且线段AB的中点为P0,,则线段AB的长为.[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.式题 (1)已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.(2)[2017·遵义四中月考]已知直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是()A.2B.4C.6D.2第47讲两直线的位置关系、距离公式课前双击巩固1.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:2.两直线的交点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组的解.(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.3.距离公式常用结论1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.过两直线交点的直线系方程若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.4.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).题组一常识题1.[教材改编]已知过A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值为.2.[教材改编]过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是.3.[教材改编]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.4.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离为.题组二常错题◆索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况.5.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a= .6.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是.7.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a= .课堂考点探究探究点一两条直线的位置关系1 (1)[2017·咸阳二模]已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·广州二模]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A.B.C.D.[总结反思] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”.式题 (1)[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考]“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·沈阳二中一模]已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos-2α的值为()A. B.-C.2 D.-探究点二距离问题2 (1)[2017·河北武邑中学月考]已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c=()A.-12B.48C.36D.-12或48(2)若(a≠b),则坐标原点O(0,0)到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离为.[总结反思] (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离的最小值是()A.B.C.D.(2)[2017·辽宁锦州中学期中]若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4探究点三对称问题考向1点关于点的对称3 (1)点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10B.m=3,n=10C.m=-3,n=5D.m=3,n=5(2)直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是()A.2x-y+1=0B.2x-y+5=0C.2x-y-1=0D.2x-y-5=0[总结反思] 中心对称问题主要有两类:(1)点关于点的对称:点P(x,y)关于O(a,b)对称的点P'(x',y')满足(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.考向2点关于线对称4 (1)已知直线l的方程为2x-y-3=0,点A(1,4)与点B关于直线l对称,则点B的坐标为.(2)点M(3,-4)和点N(m,n)关于直线y=x对称,则()A.m=-4,n=-3B.m=4,n=-3C.m=-4,n=3D.m=4,n=3[总结反思] 若点A(a,b)与点B(m,n)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)对称,则直线Ax+By+C=0垂直平分线段AB,即有考向3线关于线对称5 (1)直线l1:2x+y-4=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程为.(2)直线l1:3x-y+1=0与直线l2:3x-y+7=0关于直线l对称,则直线l的方程为.[总结反思] 求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法:(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),若直线l的方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),则有从中解出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.考向4对称问题的应用6 (1)一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为.(2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3,-2)与点(-1,2)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn= .[总结反思] 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上”.强化演练1.【考向3】与直线x+3y-2=0关于x轴对称的直线方程为()A.x-3y-2=0B.x-3y+2=0C.x+3y+2=0D.3x+y-2=02.【考向2】两点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则()A.a=-4,b=2B.a=4,b=-2C.a=4,b=2D.a=2,b=43.【考向3】若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)4.【考向1】直线y=3x+3关于点M(3,2)对称的直线l的方程是.5.【考向4】[2017·西安一中一模]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为点(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是.6.【考向4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.第48讲圆的方程课前双击巩固1.圆的定义及方程圆心为,2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则.(2)若M(x0,y0)在圆上,则.(3)若M(x0,y0)在圆内,则.常用结论常见圆的方程的设法:题组一常识题1.[教材改编]若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是.2.[教材改编]已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]已知圆C经过点A(1,1)和B(4,-2),且圆心C在直线l:x+y+1=0上,则圆C的标准方程为.4.[教材改编]与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0对称的圆的一般方程是.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.5.若方程x 2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是.6.半径为2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为.7.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x2+4y2的最大值为.课堂考点探究探究点一圆的方程1 (1)[2017·包头一模]圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为()A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=(2)[2017·广西名校一模]过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4[总结反思] 求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.式题 (1)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C的标准方程为.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.探究点二与圆有关的最值问题考向1斜率型最值问题2 (1) 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为()A.B.C.D.(2)[2017·抚州临川一中二模]点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是()A.∪B.∪∪C.∪D.[总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.考向2截距型最值问题3 (1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值是.(2)已知P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最小值为.[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.考向3距离型最值问题4 (1)[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是.(2)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3+1D.1+[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.考向4利用对称性求最值5 [2017·赤峰期末]一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是()A.4B.5C.3-1D.2[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.强化演练1.【考向1】设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()A.B.∪C.D.(-∞,-]∪[,+∞)2.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.B.5C.2D.103.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ()A.5 -4B.-1C.6-2D.4.【考向3】[2017·合肥一中三模]若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则的最小值为.5.【考向2】[2017·广东华南师大附中月考]已知实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=1,则|3x+4y-26|的最小值为.6.【考向3】已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,则的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题6 (1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.y=(2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1[总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点P,动点Q满足=2,则点Q的轨迹方程为()A.+y2=1B.x2+=1C.x2+=1D.+y2=1第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M+x N和x M·x N,则|MN|=·.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.7.若直线过点P-3,-且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)[2017·海南中学模拟]直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)[2017·渭南二模]直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x2+2y2=1与直线x sin θ+y-1=0θ∈R,θ≠+kπ,k∈Z的位置关系是(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)[2017·长沙长郡中学三模]过定点P(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l 的斜率的取值范围是.探究点二圆的切线与弦长问题2 (1)[2017·淄博二模]过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当=4时,直线l的方程为.(2)[2017·南充三模]已知圆的方程是x2+y2=1,则经过上一点M,的切线方程是.[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.式题 (1)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+m=0相切,则实数m的值为.(2)[2017·重庆巴蜀中学三诊]设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则= .(3)已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆O:x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为 2,则实数a的值为()A.±2B.±3C.±4D.±2探究点三圆与圆的位置关系3 (1)[2017·银川二模]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思] (1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题 (1)[2017·绵阳二诊]已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第50讲椭圆课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质+=1(a>b>0) +=1(a>b>0)常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tan =c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min=.(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则①弦长l==|y1-y2|;②直线AB的斜率k AB=-.题组一常识题1.[教材改编]椭圆36x2+81y2=324的短轴长为,焦点为,离心率为.2.[教材改编]已知动点P(x,y)的坐标满足+=16,则动点P的轨迹方程为.3.[教材改编]若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-,0),则椭圆的标准方程为.4.[教材改编]椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为.题组二常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.6.短轴长等于6,离心率等于的椭圆的标准方程为.7.设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则5x2+y2-6x的最大值为.课堂考点探究探究点一椭圆的定义1 (1)过椭圆+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为()A.8B.4C.4D.2(2)[2017·西宁一模]在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则+的最大值为()A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.式题 (1)[2017·汕头三模]若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b= .探究点二椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1(2)[2017·马鞍山三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若线段AB 的中点的坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.式题 (1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2) 过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1探究点三椭圆的几何性质3 (1)[2017·西宁二模]设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的☉F2交椭圆于点E,且点E恰好是直线EF1与☉F2的切点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.(2)椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△FAB外接圆的圆心P(m,n)在直线y=-x的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:(1)求出a,c,代入公式e=.(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且=2.若·=0,则e2=()A.-1B.2-C.2-D.-2(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.探究点四直线与椭圆的位置关系4 [2018·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]已知点M是圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.[总结反思] (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==(k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:式题 [2017·咸阳三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点M0,,且MN⊥PQ,求线段MN所在的直线方程.第51讲双曲线课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质-=1(a>0,b>0-=1(a>0,b>0)),常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|,则①-=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.②-=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.题组一常识题1.[教材改编]若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=4,则|PF2|= .2.[教材改编]已知双曲线经过点P(3,-2)和点Q(6,-7),则该双曲线的标准方程为.3.[教材改编]双曲线C:12x2-3y2=24的离心率是,渐近线方程是.题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F1F2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F1(6,0),F2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是.6.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是.7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为.8.P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|= .探究点一双曲线的定义及标准方程1 (1)F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且=8,则△PF1F2的周长为()A.15B.16C.17D.18。

人教版高考数学一轮复习《圆的方程》课件新人教版

解：（1）已知方程表示圆的充要条件是
[2(m 3)]2 [2(1 4m2 ]2 4(16m4 9) 0
即7m2 6m 1 0, 解得 1 m 1 7
故当 1 m 1，方程表示圆 7
典型例题2
设方程x2 y2 2(m 3)x 2(1 4m2 ) y 16m4 9 0, 若该方程表示一个圆，（1）求m的取值范围；（2）求其中圆面积最大的圆的方程；
y
线段BC的中垂线方程为y 11 (x 9)
由
y y
1
11 2
1 2
(x 6) (x 9
2
)
2
解得
x y
2
2 3
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心E(2,-3) 半径长EA （2-5）2 （-3-1）2 5
所求圆的方程为（x-2）2 (y 3)2 25
圆的一般方程
当D2+E2-4F>0 时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般
方程. 此时圆心为 ( D , E ) ,半径 r 1 D2 E 2 4F
22
2
当D2+E2-4F=0 时, 方程表示点（- D ,- E );
22
当D2+E2-4F<0 时, 方程不表示任何图形；
圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
直线l : x y 2 0的对称点都在C上，则a 2
解析：由题意可知直线l必过圆心把圆心（-1，- a ）带入直线方程
2 x - y 2 0得 1 a 2 0
2
解得a 2
基础训练
2、若圆x2 y2 2x 2 y 1 0，则它关于直线x y 1 0 对称的圆的方程为 (x 2)2 ( y 2)2 1.

高三数学单元课时设计复习课件第50讲圆的方程

2 2
点 B(1, 0) ,点 P 是圆上动点,求 d PA PB 的最大、最小值及对应的 P点坐标.
分析:设点 P( x0 , y0 ) , 则 d ( x0 1)2 y02 ( x0 1)2 y02
12 16 答案: dmin 34 对应的点 P1 ( , ) 5 5 18 24 dmax 74 对应的点 P2 ( , ) 5 5
3. 已知直线 ax by c 0 与圆 O : x y 1 相交
2 2
于 A、 B 两点,且
1 AB 3 ,则 OA OB 2
3答案
补充思考
补充思考: 2 2 经过圆 C1 : x y 6 x 2 y 6 0 和
圆 C2 : x y 8 x 14 0 的交点 , 且
2 2
( x 4) y 2 面积最小时圆的方程为______________.
2 2
例 3(全品 P103 例 4) 已知 C : ( x 3) ( y 4) 1 , 点 A( 1, 0) ,
第 50 讲圆的方程
知识点拨
例1
例2
课后自学例3
补充练习
作业:《全品》 P
第 50 讲圆的方程
圆是我们在平面几何中专门研究过的图形,它有许多几何性质 ,我们都比较熟悉,如垂径定理、圆周角定理、相交弦定理、切线长定理、切割线定理等，还有关于点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系判断也作了充分的研究. 因此，研究圆有关的问题我们应该充分借助几何知识来分析，这一思想方法也充分体现了数形结合的思想. 今天，我们来复习巩固圆的方程有关知识.
D E D 2 E 2 4F (圆心为 ( , ) ,半径为 ) 2 2 2 注:圆的直径式方程: 已知圆的直径端点是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

届高考数学一轮总复习第8章解析几何第三节圆的方程课件文新人教A版

角度三：距离型最值问题 3．在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．
解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为
2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.
2．确定圆心位置的 3 种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第 1 题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
考点二与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
()
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3
B．(x－2)2＋(y± 3)2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4
D．(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析
2．(2016·石家庄一检)若圆 C 的半径为 1，点 C 与点(2,0)关于
点(1,0)对称，则圆 C 的标准方程为
()
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
()
A．.53
B．
21 3
C．2 3 5
D．43
解析
[谨记通法] 1．求圆的方程的 2 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．

高考数学一轮复习 人教版 解析几何第八单元 听课正文 第50讲圆的方程

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