材料力学第二章-应力
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高等材料力学课件第二章应力状态
§2.3 平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
§2.5 平衡方程2
• x截面,应力分量 • σ x Շxy Շxz • x+dx截面,应力分量
x x xd,xx y x xy d,xx z x xd z ,x
数必须等于3个。
§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律
结构强度分析需要简化和有效的参数
——最大正应力、最大切应力以及方位 主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态
§2.6 主应力2
主应力和主平面
切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主 应力。
zx zy z
代数主子式之和
应力张量元素 构成的行列式
•§2.6应主应力力6 状态特征方程
• ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力 主轴方向。
• 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和 边界条件等，与坐标轴的选取无关。
• 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3 的值是不随坐标轴的改变而变化的。
§2.5 边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
边界面力已知——面力边界S
面力边界条件——
确定的是弹性体表面 外力与弹性体内部趋 近于边界的应力分量 的关系。
§2.5 边界条件2
面力边界条件
Fsj ijni
§2.5 边界条件3
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变 形连续条件。
高等材料力学课件第二章应力状态
应变与应力之间的关系
应变和应力之间存在着密切的关系。应变是材料变形程度的度量，而应力是 材料受力的表现。了解应变与应力之间的关系可以帮助我们更好地分析和控 制材料的行为。
应力的平面转动
应力的平面转动是指在不同的坐标系下，应力分量的变化。通过对应力的平 面转动进行研究，我们可以更好地理解材料在不同坐标系下的受力情况应力。掌握主应力和主应力方 向的概念可以帮助我们识别和分析材料的受力情况。
应力状态的分类
应力状态可以分为三种基本形式：平面应力、轴对称应力和空间应力。通过分类应力状态，我们可以更好地理解材 料在不同条件下的受力行为。
平面应力和轴对称应力
平面应力是指只存在于某一平面上的应力，而轴对称应力是指具有旋转对称 性的应力。通过研究平面应力和轴对称应力，我们可以更好地分析材料在不 同维度上的受力情况。
平面应力下的摩尔-库仑方程
摩尔-库仑方程是描述平面应力下材料力学行为的重要方程。通过掌握摩尔-库仑方程，我们可以更好地分析和预测 材料在平面应力下的受力行为。
高等材料力学课件第二章 应力状态
在本章中，我们将深入探讨应力的概念和定义，重点介绍主应力和主应力方 向的概念，以及应力状态的分类以及平面应力和轴对称应力的特点。
应力的定义和概念
了解应力是理解材料行为的关键。应力是材料内部的力，是单位面积上的力。通过深入研究应力的定义和概念，我 们可以更好地理解材料的力学行为。
《材料力学》第二章
F
F
F
F
横截面上 正应力分
横截面间 的纤维变
斜截面间 的纤维变
斜截面上 应力均匀
布均匀
形相同
形相同
m
分布
F
m
p
Page24
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 s t
n
F p
n p
FN FN p s 0 cos A A / cos
s p cos s 0 cos 2 s t p sin 0 sin 2
二、材料拉伸力学性能 低碳钢Q235
s
D E A
o
线弹性 屈服
硬化
缩颈
e
四个阶段：Linear, yielding, hardening, necking
Page32
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸试验 线性阶段
s
B A
规律：
s Ee （OA段）
变形：变形很小，弹性 特征点：s p 200MPa （比例极限）
应力——应变曲线（低碳钢）
思考：颈缩阶段后，图中应力为什么会下降？
Page37
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
名义应力与真实应力
真实应力曲线 名义应力曲线 名义应力
FN s A
变形前截面积
颈缩阶段载荷减小，截面积也减小，真实应力继续增加
Page38
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢试件在拉伸过程中的力学现象
材料力学应力分析的基本方法：
•试验观察
•几何方程
e const 变形关系
•提出假设
•物理方程
s Ee
材料力学-第二章
第二单元第二章 杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能§2-1 引言工程实例: 连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩……等等。
力学特征: 构件：直杆外力：合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?)内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N ，它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。
规定拉力为正，压力为负。
变形：轴向伸缩§2-2 拉压杆的应力一、拉压杆横截面上的应力(可演示，杆件受拉，上面所划的横线和纵线仍保持直线，仅距离改变，表明横截面仍保持为平面)平面假设→应变均匀→应力均匀AN=σ或A P =σ(拉为正，压为负)二、Saint-Venant 原理(1797-1886，原理于1855年提出)问题：杆端作用均布力，横截面应力均布。
杆端作用集中力，横截面应力均布吗? 如图, 随距离增大迅速趋于均匀。
局部力系的等效代换只影响局部。
它已由大量试验和计算证实，但一百多年以来，无数数学力学家试图严格证明它，至今仍未成功。
这是固体力学中一颗难以采撷的明珠。
三、拉压杆斜截面上的应力(低碳钢拉伸，沿45°出现滑移线，为什么?)0cos =-P Ap αα ασ=α=αcos cos AP p ασ=α=σαα2cos cos pασ=α=ταα22sin sin p ()0=ασ=σm ax ()452=ασ=τmax方位角α：逆时针方向为正剪应力τ：使研究对象有顺时针转动趋势为正。
例1和例2，看书p17,18§2-3 材料拉伸时的力学性能(构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且与材料的力学性能有关。
拉伸试验是最基本、最常用的试验。
)一、拉伸试验P18： 试样 拉伸图绘图系统放大变形传感器力传感器--→→→→二、低碳钢拉伸时的力学性能材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料(低碳钢：典型塑性材料)四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线)（可听见响声，屈服极限s σ）、强化阶段（b σ强度极限）、局部变形(颈缩)阶段（名义应力↓，实际应力↑） 三(四个)特征点：比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名义应力下降、实际应力仍上升)。
02.3.应力·拉(压)杆内的应力解析
4
FF
90106 Pa 90MPa
x
s2
FN 2 A2
20103 152 106
FN1 28.38k9N106 PaFN289M20PkaN
第19页
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
k
F
F
k
k
F
F
斜截面上的内力： F F
k
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相 互平行。
第二章 轴向拉伸和压缩
平均应力的定义
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
随所取ΔA的大小而不同。
F
M
A
第3页
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第二章 轴向拉伸和压缩
总应力定义：
该截面上M点处分布内力的集度为
p
lim F
A0 A
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第二章 轴向拉伸和压缩
ac
F
a
c
F
b
d
bd
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆 的分布内力集度又与杆件纵向线段的变形相对应，因而杆件
横截面上的正应力s呈均匀分布，亦即横截面上各点处的正 应力s 都相等。由合力概念知：
第15页
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 已知薄壁圆环 d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。
材料力学2--动荷载、交变应力
min r (1)应力比 r max r = -1 ：对称循环 ； r = 0 ：脉动循环 。
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力 m
max min
1 m ( max min ) 2
12.1 概述
一、静载荷与动载荷：
Байду номын сангаас
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加 速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯 性力），此类载荷为动载荷。 二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移 等），称为动响应。
速度不能确定，要采用“能量法”求解； 3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，疲劳问题。
12.2 构件有加速度时动应力计算
采用
动静法
在构件运动的某一时刻，将惯性力加在构件上， 使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成 平衡力系，然后按静荷作用下的问题来处理。
一、直线运动构件的动应力
例： 图示梁、钢索结构。起吊重物以等加速度a提升。 试求钢索横截面的动应力和梁的最大动应力。 解：(1) 钢索的轴力： a
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动响应 动荷因数K d 静响应
d Kd st
四、动应力分类： 1.简单动应力： 加速度可以确定，采用“动静法”求解。 2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变。此时，加
2h Δd Δst (1 1 ) Δst
2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力 m
max min
1 m ( max min ) 2
12.1 概述
一、静载荷与动载荷：
Байду номын сангаас
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加 速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯 性力），此类载荷为动载荷。 二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移 等），称为动响应。
速度不能确定，要采用“能量法”求解； 3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，疲劳问题。
12.2 构件有加速度时动应力计算
采用
动静法
在构件运动的某一时刻，将惯性力加在构件上， 使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成 平衡力系，然后按静荷作用下的问题来处理。
一、直线运动构件的动应力
例： 图示梁、钢索结构。起吊重物以等加速度a提升。 试求钢索横截面的动应力和梁的最大动应力。 解：(1) 钢索的轴力： a
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动响应 动荷因数K d 静响应
d Kd st
四、动应力分类： 1.简单动应力： 加速度可以确定，采用“动静法”求解。 2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变。此时，加
2h Δd Δst (1 1 ) Δst
2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst
材料力学性能——第二章
材料力学性能
一、缺口效应
（一）缺口试样在弹性状态下的应力分布（厚板）
理论应力集中系数
Kt max
与薄板相比， 厚板在垂直于板厚方向的收缩变形受到 约束，即：
z 0
z
1 E
[ z
(
x
y )]
z ( x y )
y＞ z＞ x
材料力学性能
一、缺口效应
（二）缺口试样在塑性状态下的应力分布（厚板）
一、应力状态软性系数α
(1)较硬的应力状态试验，主要用于塑性金属材料力学性能的测定。 (2)较软的应力状态试验，主要用于脆性金属材料力学性能的测定。
材料力学性能
第二节 压缩
一、压缩试验的特点
(1) 单向压缩试验的应力状态软性系数α=2，所以 主要用于拉伸时呈脆性的金属材料力学性能的测定。
(2) 拉伸时塑性很好的材料，在压缩时只发生压缩 变形而不断裂。
原因：
切应力：引起金属材料产生塑性变形以及韧性断裂。 正应力：引起金属材料产生脆性断裂。
反之亦然
1
材料力学性能
第一节 应力状态软性系数
材料在受到载荷作用时(单向拉伸)， max s
max k
产生屈服 产生断裂
在复杂的应力状态下（用三个主应力表示成σ1、σ2、 σ3 ）
最大切应力理论： max
一、缺口效应 定义
在静载荷作用下，由于缺口的存在，而使其尖端出现应力、应变集中； 并改变了缺口前方的应力状态，由原来的单向应力状态变为两向或三向 应力状态； 并使塑性材料的强度增加，塑性降低。
材料力学性能
一、缺口效应
（一）缺口试样在弹性状态下的应力分布（薄板）
在拉应力σ的作用下，缺口的存在使 横截面上的应力分布不均匀： 轴向应力σy分布：σy在缺口根部最大， 随着距离x↑ ，σy ↓ ，所以在缺口根部 产生了应力集中的现象。 横向应力σx分布：缺口根部可自由变形， σx=0，远离x轴，变形阻力增大， σx↑， 达到一定距离后，由于σy↓导致σx ↓。
一、缺口效应
（一）缺口试样在弹性状态下的应力分布（厚板）
理论应力集中系数
Kt max
与薄板相比， 厚板在垂直于板厚方向的收缩变形受到 约束，即：
z 0
z
1 E
[ z
(
x
y )]
z ( x y )
y＞ z＞ x
材料力学性能
一、缺口效应
（二）缺口试样在塑性状态下的应力分布（厚板）
一、应力状态软性系数α
(1)较硬的应力状态试验，主要用于塑性金属材料力学性能的测定。 (2)较软的应力状态试验，主要用于脆性金属材料力学性能的测定。
材料力学性能
第二节 压缩
一、压缩试验的特点
(1) 单向压缩试验的应力状态软性系数α=2，所以 主要用于拉伸时呈脆性的金属材料力学性能的测定。
(2) 拉伸时塑性很好的材料，在压缩时只发生压缩 变形而不断裂。
原因：
切应力：引起金属材料产生塑性变形以及韧性断裂。 正应力：引起金属材料产生脆性断裂。
反之亦然
1
材料力学性能
第一节 应力状态软性系数
材料在受到载荷作用时(单向拉伸)， max s
max k
产生屈服 产生断裂
在复杂的应力状态下（用三个主应力表示成σ1、σ2、 σ3 ）
最大切应力理论： max
一、缺口效应 定义
在静载荷作用下，由于缺口的存在，而使其尖端出现应力、应变集中； 并改变了缺口前方的应力状态，由原来的单向应力状态变为两向或三向 应力状态； 并使塑性材料的强度增加，塑性降低。
材料力学性能
一、缺口效应
（一）缺口试样在弹性状态下的应力分布（薄板）
在拉应力σ的作用下，缺口的存在使 横截面上的应力分布不均匀： 轴向应力σy分布：σy在缺口根部最大， 随着距离x↑ ，σy ↓ ，所以在缺口根部 产生了应力集中的现象。 横向应力σx分布：缺口根部可自由变形， σx=0，远离x轴，变形阻力增大， σx↑， 达到一定距离后，由于σy↓导致σx ↓。
材料力学——2-1～3 轴力 应力
危险点：应力最大的点。
s
max
max(
FN ( x) A( x)
)
16
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
10
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
5kN
8kN – -3kN
8kN 3kN
11
简
OA
便
求
5P
法
OA
RO=2P
5P
FN
2P +
–
- -3P
PD = P, 轴力图如何？ FN
3
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 内力、截面法、轴力及轴力图
例如： 截面法求FN
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替：
P
FN A
平衡：
X 0 P FN 0 P FN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
6
3. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN
0
–
-5P
BC 8P 4P
《材料力学》第二章课后习题及参考答案
简答题2答案
在材料力学中，应力和应变是描述材料受力状态的基本物理量。应力表示单位面积上的 力，而应变则表示材料的变形程度。
简答题3答案
弹性力学和塑性力学是材料力学的重要分支。弹性力学主要研究材料在弹性范围内的应 力、应变和位移，而塑性力学则研究材料在塑性变形阶段的力学行为。
选择题答案
80%
选择题1答案
选择题3解析
这道题考察了学生对材料力学中 弯曲应力的理解，学生需要理解 弯曲应力的概念和计算方法，并 能够根据实际情况进行选择和应 用。
计算题解析
01
计算题1解析
这道题主要考察了学生对材料力学中拉压杆的计算能力，学生需要掌握
拉压杆的应力、应变计算方法，并能够根据实际情况进行选择和应用。
02
计算题2解析
计算题2答案
根据题意，先求出梁的剪力和弯矩，然后根据剪力和弯矩的关系 求出梁的位移分布，最后根据位移和应力的关系求出应力分布。
03
习题解析Biblioteka 简答题解析简答题1解析这道题考查了学生对材料力学 基本概念的理解，需要明确应 力和应变的概念及关系，并能 够解释在材料力学中如何应用 。
简答题2解析
这道题主要考察了学生对材料 力学中弹性模量的理解，以及 如何利用弹性模量进行相关计 算。学生需要理解弹性模量的 物理意义，掌握其计算方法。
C. 材料力学的任务之一是研究材 料的各种力学性能，包括强度、 刚度和稳定性等。
100%
选择题2答案
D. 在材料力学中，应力和应变是 描述材料受力状态的基本物理量 。
80%
选择题3答案
B. 材料力学主要研究材料的力学 性能和内部结构的关系，包括弹 性、塑性和韧性等。
计算题答案
在材料力学中，应力和应变是描述材料受力状态的基本物理量。应力表示单位面积上的 力，而应变则表示材料的变形程度。
简答题3答案
弹性力学和塑性力学是材料力学的重要分支。弹性力学主要研究材料在弹性范围内的应 力、应变和位移，而塑性力学则研究材料在塑性变形阶段的力学行为。
选择题答案
80%
选择题1答案
选择题3解析
这道题考察了学生对材料力学中 弯曲应力的理解，学生需要理解 弯曲应力的概念和计算方法，并 能够根据实际情况进行选择和应 用。
计算题解析
01
计算题1解析
这道题主要考察了学生对材料力学中拉压杆的计算能力，学生需要掌握
拉压杆的应力、应变计算方法，并能够根据实际情况进行选择和应用。
02
计算题2解析
计算题2答案
根据题意，先求出梁的剪力和弯矩，然后根据剪力和弯矩的关系 求出梁的位移分布，最后根据位移和应力的关系求出应力分布。
03
习题解析Biblioteka 简答题解析简答题1解析这道题考查了学生对材料力学 基本概念的理解，需要明确应 力和应变的概念及关系，并能 够解释在材料力学中如何应用 。
简答题2解析
这道题主要考察了学生对材料 力学中弹性模量的理解，以及 如何利用弹性模量进行相关计 算。学生需要理解弹性模量的 物理意义，掌握其计算方法。
C. 材料力学的任务之一是研究材 料的各种力学性能，包括强度、 刚度和稳定性等。
100%
选择题2答案
D. 在材料力学中，应力和应变是 描述材料受力状态的基本物理量 。
80%
选择题3答案
B. 材料力学主要研究材料的力学 性能和内部结构的关系，包括弹 性、塑性和韧性等。
计算题答案
材料力学 第2章应力集中 剪切与挤压
键的右侧的下半部分受到轴给键的作用力，合力大小F‘；
(3)、剪切面： 两组力的作用线交错的面；
A = bl
(4)、挤压面： 相互压紧的局部接触面；
Abs
=
hl 2
(5) 挤压应力
σ bs
=
F Abs
例 齿轮与轴由平键（b×h×L=20 ×12 ×100）连接，它传递的
扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[τ]= 60M Pa ，许用挤压应力为[σbs]= 100M Pa，试校核键的强度。
h
L
AQ
b
m P
d
综上，键满足强度要求。
接头的强度计算 在铆钉钢板的接头中，有几种可能的破坏？
P P
可能造成的破坏： （1）因铆钉被剪断而使铆接被破坏；
（2）铆钉和板在钉孔之间相互挤压过大，而使铆接被 破坏；
（3）因板有钉孔，在截面被削弱处被拉断。
N1a − N3a = 0
Δl1
=
N 1l EA
Δl2
=
N2l EA
Δ与原长相比为无穷小；
Δl3
=
N3l EA
且由静力学关系得知 Δl1 = Δl3
3、协调关系 作协调图，确定各变形量之间的关系； 协调关系 Δ -⊿L2= ⊿L1
4、补充方程
Δ -⊿L2= ⊿L1 5、联立求解
Δ − N2l = N1l EA EA
A
B
由于在安装阶段，迫使杆件产生变形，
必定会在杆内 产生应力; 装配应力：
12
3
静不定结构中， 由于杆件的尺寸不准确， A
B
强行装配在一起，在未受载荷之前，杆内已产生应力。
即由于强行装配在一起而引起的应力。 装配应力的特点：
弹性力学-第二章应力状态
§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律 结构强度分析需要简化和有效的参数 ——最大正应力、最大切应力以及方位 主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态
§2.6 主应力2 • 主应力和主平面
p np n xip n yjp n zk
pnxpnipn icospn,i l pnypn jcospn,j m , pnzn
变换规律。 • 因此从数学上证明了一点的应力状态是一个二阶张量，在坐标转换时具有不变性。即物体内一点的
客观受力状态不会因人为地选择参考坐标而改变。 • 通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了，但九个分量作为一个“整体”，所描述的一点的应力
状态是不会改变的。 • 由于 • 因此应力张量是对称张量。
i` j` j`i`
• 应力 – 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想平面将物体截为两部分， 将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微面积ΔS 上内力的平均值称平均应力
• 应力矢量 – 应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。 因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
斜截面上的应力
设 面ABC 的外法线n的方向余弦为 l,m,n ; 三个坐标轴的单位向量分别为 i ,j ,k;
研究图示四面体的平衡。设四面体 除受四个面上的应力作用以外， 还受到体积力的作用，以
表示单位体积力的分量。
Fbx, Fby, Fbz
§2.4 应力状态3 则四面体所受体积力为
斜面上所受应力矢量为
§2.4 应力状态11
通过 x三,者y的轮,换z，
可得到其余六个应力分量；
2-第二章_各向异性材料的应力-应变关系
(2.7)
1 C11 C 2 21 3 C31 23 C41 31 C51 12 C61
C12 C13 C14 C15 C16 1 C22 C23 C24 C25 C26 2 C32 C33 C34 C35 C36 3' C42 C43 C44 C45 C46 23' C52 C53 C54 C55 C56 3'1 C62 C63 C64 C65 C66 12
11 C1111 C 22 2211 33 C3311 23 C2311 图2.1 各向异性体上 31 C2111 一点的应力状态 12 C1211 C ij (i, j 1, 2, 3) 32 3211 13 C1311 C 21 2111 C1122 C2222 C3322 C2322 C3122 C1222 C1133 C2233 C3333 C2333 C3133 C1233 C1123 C2223 C3323 C2323 C3123 C1223 C1131 C2231 C3331 C2321 C3131 C1231 C1112 C2212 C3312 C2312 C3112 C1212 C1132 C2232 C3332 C2332 C3132 C1232 C1113 C2213 C3313 C2313 C3113 C1213 C1121 C2221 C3321 C2321 C3121 C1221 C3221 C1321 C2121 11 22 33 23 31 12 32 13 21
1 C11 C 2 21 3 C31 23 C41 31 C51 12 C61
C12 C13 C14 C15 C16 1 C22 C23 C24 C25 C26 2 C32 C33 C34 C35 C36 3' C42 C43 C44 C45 C46 23' C52 C53 C54 C55 C56 3'1 C62 C63 C64 C65 C66 12
11 C1111 C 22 2211 33 C3311 23 C2311 图2.1 各向异性体上 31 C2111 一点的应力状态 12 C1211 C ij (i, j 1, 2, 3) 32 3211 13 C1311 C 21 2111 C1122 C2222 C3322 C2322 C3122 C1222 C1133 C2233 C3333 C2333 C3133 C1233 C1123 C2223 C3323 C2323 C3123 C1223 C1131 C2231 C3331 C2321 C3131 C1231 C1112 C2212 C3312 C2312 C3112 C1212 C1132 C2232 C3332 C2332 C3132 C1232 C1113 C2213 C3313 C2313 C3113 C1213 C1121 C2221 C3321 C2321 C3121 C1221 C3221 C1321 C2121 11 22 33 23 31 12 32 13 21
应力状态分析
应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆. 重点1.应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3.⾯⼒边界条件；4.应⼒分量的转轴公式；5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。
⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。
只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。
⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。
当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。
⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。
学习要点：1. ⾯⼒边界条件。
物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。
在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。
材料力学--第2讲
所以：上述的9个应力分量就变成了6个应力分量
4、应力状态分类
三向应力状态：亦称空间应力状态，是最一般最复杂的； 二向应力状态：单元体只有两对面上承受应力并且作用线均在同一 平面内，另外一对面上没有任何应力，亦称平面应力状态；
单向应力状态：当平面应力状态中切应力为0，且只在一个方向上 有正应力作用时，称为——
而过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应
力状态。
2.3 一点的应力状态 切应力互等定律
1、单元体：（对连续均匀介质用极限的概念）来要描述构件上 一点a，就围绕a取一微小的六面体，当三个垂直的棱边趋近于0 时的极性时，即点a，称此微小六面体为——; 用截面外法线方向来命名截面，x面是指该截面的外法线法线沿x 轴，或者说该截面垂直于x轴；
斜面ABC上总应力矢量pn在x，y，在， 三个方向分量为：
pnx，pny，pnz，四面体处于平衡状态，在x轴方向则有：
斜面ABC上正应力
为总应力矢量pn在法线N上的投影，即是
pn的三个分量pnx，pny，pnz，在法线N上的投影的代数和：
2、主应力与主方向
过点O的斜面A*B*C*就是主平面，其方向余弦l* 、 m* 、 n*就是一 个主方向。因为主平面无切应力，则A*B*C*面上的全应力就是正 应力分量。该面上的全应力在坐标轴上的投影为：
△Ｐ
ｐ称为总应力或全应力。
应力求法
常用的表示方法是把p分解为两个分量:
垂直于截面的分量：正应力，用σ表示 沿截面的切向分量：切应力，用τ表示
正应力或法向应力σ : 剪应力或切应力τ :
总结：
Ｋ点的总应力p与截面方向有关。过Ｋ点在另外方向取 一截面，可定义另外一个不同的总应力矢量。过Ｋ点 可以有无限多个不同方向的截面，相应可得无限多个 不同的总应力矢量。 仅有一个方向截面的应力矢量，不能全面描述一点的 应力特性。
第二章 应力与应变
pn
F S
F pn lim S 0 S
第2章 应力和应变
2.3 应力
• 应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于 截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此 凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面 的应力。 • 一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力状态对 于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定 点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不 可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一 点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
第2章 应力和应变
2.3 应力
• 讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个 截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢 量分解。 • 应力矢量的一种分解方法是将应力矢量pn在给定的坐标系下沿三个坐 标轴方向分解，如用px, py, pz表示其分量，则 • pn=px i + py j+ pz k • 这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为 工具用于推导弹性力学基本方程。
第2章 应力和应变
2.3 应力
• 将应力矢量 pn沿微分面Δ S的法线和切线方向分 解。与微分面Δ S 法线 n方向的投影称为正应力， 用σ n表示；平行于微分面Δ S 的投影称为切应力 或剪应力，切应力作用于截面内，用τ n 表示。 • 弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此 这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。 • 由于微分面法线 n 的方向只有一个，因此说明 截面方位就确定了正应力 σ n的方向。但是平行 于微分面的方向有无穷多，因此切应力τ n不仅需 要确定截面方位，还必须指明方向。
材料力学性能(第二章)
三、缺口敏感性与敏感度 1、缺口脆化效应：缺口根部的应力集中 缺口脆化效应： 会促使萌生裂纹， 会促使萌生裂纹，加上根部较硬的应力状 态使构件趋于脆性状态， 态使构件趋于脆性状态，从而使缺口构件 脆性断裂的危险性增大。 脆性断裂的危险性增大。 2、缺口敏感性：金属材料因存在缺口造 缺口敏感性： 成三向应力状态和应力应变集中而变脆的 倾向。 倾向。
2、近缺口顶端区产生两向应力状态（薄 近缺口顶端区产生两向应力状态（ 或三向应力状态（厚板）。 板）或三向应力状态（厚板）。 (1)自缺口根部向内侧， (1)自缺口根部向内侧，横向拉应力由零 自缺口根部向内侧 逐渐增大，达到一定数值后逐渐减小， 逐渐增大，达到一定数值后逐渐减小，薄 板缺口内侧是两向拉伸的平面应力状态。 板缺口内侧是两向拉伸的平面应力状态。 (2)厚板由于在板厚方向的收缩变形受到 (2)厚板由于在板厚方向的收缩变形受到 约束，也存在拉应力， 约束，也存在拉应力，厚板缺口内侧是三 向拉伸是平面应力状态。 σy＞σx＞ 向拉伸是平面应力状态。 （σy＞σx＞ σz） σz）
3、脆性材料和低塑性材料进行缺口试样 拉伸时，往往由弹性变形过度到断裂， 拉伸时，往往由弹性变形过度到断裂，且 其抗拉强度比光滑试样低。 其抗拉强度比光滑试样低。 此时应力状态软性系数α 0.5， 此时应力状态软性系数α＜0.5，很 难通过缺口根部塑性变形使应力重新分布， 难通过缺口根部塑性变形使应力重新分布， 往往发生断裂。 往往发生断裂。 由于断裂是在试样缺口根部的最大纵 向应力作用下产生的， 向应力作用下产生的，其抗拉强度必然低 于光滑试样。 于光滑试样。
缺口内侧σx≠0 必须增加σy σx≠0， σy才能产 ② 缺口内侧σx≠0，必须增加σy才能产 生屈服。如果不断增加σy σy， 生屈服。如果不断增加σy，塑性变形将 自表面向心部扩展。 自表面向心部扩展。 (2)缺口强化：塑性较好的材料， (2)缺口强化：塑性较好的材料，由于缺 缺口强化 口的存在，出现了三向应力状态， 口的存在，出现了三向应力状态，并产生 了应力集中， 了应力集中，使得试样的屈服应力比单向 拉伸时高。 拉伸时高。 缺口使塑性下降，脆性上升。 缺口使塑性下降，脆性上升。不是强 化金属材料的手段。 化金属材料的手段。
材料力学第2章
扭转试样中的应力与应变
第二章
3、扭转试验的力学性能指标
试样在弹性范围内表面切应力τ和切应变γ为：
T W
d 0
3 式中，W为试样抗扭截面系数，圆柱试样 (d0 ) / 16 1、切变模量G 弹性范围内，切应力τ与切应变γ之比。 测出扭矩增量ΔT和相应扭角增量Δφ，求出切应力与切应变， 即得 32TL0
缺口引起的应力集中程度常用理论应力集中系数Kt 表示： max kt
max 缺口净截面上的最大应 力 平均应力
Kt值与材料性质无关，只决定于缺口几何形状。
缺口效应Ⅰ
引起应力集中，并改变缺口前方的应力状态，使缺 口试样或机件所受应力由原来的单向应力状态变为 两向或三向应力状态。
使塑性材料强度增高，塑性降低。
二、缺口试样静拉伸试验
缺口试样静拉伸试验又可分为轴向拉伸和偏斜拉伸两种。
第二章
常用缺口试样的抗拉强度σbn与等截面尺寸光滑试样的
抗拉强度σb的比值作为材料的缺口敏感性指标，称为缺口敏 感度，用qe或NSR。
bn qe b q ↑→缺口敏感性↓。
e
脆性材料：qe＜1 ，高强度材料qe＜1。表明缺口根部尚
2 L0
G
2、扭转屈服点τs 在扭转曲线或试验机扭矩读盘上读出屈服时的扭矩Ts即可得 扭转屈服点 τs T
第二章
d 04
s
s
W
3、规定非比例扭转应力τp 试样标距部分表面的非比例切应变γP达到规定数值时， 按弹性扭转公式计算的切应力，称为规定非比例扭转应 力τp
p
Tp
W
4、抗扭强度τb 试样在扭断前承受的最大扭矩Tb，利用弹性扭转公式计 算的切应力为抗扭强度。
材料力学02(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)
F 1＝ A1 sin F 2＝A2 tan
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
材料力学1-2z_第二章_轴力与应力
W
例 已知压缩机汽缸直径 D= 400mm，气压 q =1.2 MPa， 缸盖用 M20 螺栓与汽缸联接，d2 =18 mm，活塞杆 [σ]1 = 50MPa，螺栓 [σ]2 = 40 MPa， 求：活塞杆直径 d1 和螺栓个数 n。
D q d1
解： D2 F qA q N 4 N 1 ≤ 1 (压) A1
F
N = F
N N 0， 0 横截面正应力 A N 0， 0
拉应力 压应力
例1 画图示杆的轴力图。
Ⅰ
60kN 80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
第一段:
30kN
FN1 60kN
第二段:
Ⅰ 60kN
Ⅱ
Ⅲ
30kN
轴力图
⊕
○ － 20 kN
⊕
FN2 20kN
第三段:
FN3 30kN
并在图上表出数值和正负号。
×
2.2
等直杆横截面的应力 应变
方法一：实验 变形
F
胡克定律
应力
F
现象：纵线仍平行于轴线，且各线段均匀伸长 横线仍为直线，且垂直于轴线和纵线。 推论： 0 0 假设：变形前横截面内各点，变形后仍在同一平面内
由实验和假设可以得出，在横截面内各点沿轴线 方向的变形是均匀的，内力分布也是均匀的。
NB
50 10 -20
N （kN）
x
轴力图
二、轴力图 一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压 杆各截面的的轴力的图象称为轴力图。 轴力图的画法步骤如下： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；
⒉
⒊ ⒋
将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；
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l2
l1
2
l3
引用胡克定律，可得：
l1
N2
N1
2
N3
l2
l3
例：求图示等直杆件的两端支反力。 杆件两端固定
CL2TU21
解：
变形协调条件：
l lAC lCD lDB 0 R a (R P) a R a 0 EA EA EA
例：如图所示，钢柱与铜管 等长为ｌ，置于二刚性平板 间,受轴向压力Ｐ.钢柱与铜 管的横截面积、弹性模量、 线膨胀系数分别为Ａs、Ｅs 、αs，及Ａc、Ｅc、αc。 试导出系统所受载荷Ｐ仅由 铜管承受时，所需增加的温 度ΔＴ。（二者同时升温）
3杆轴力为最大,其强度条件为:
3
N3 A3
9P 14 A
[ ]
P 14 [ ]A
9
[ P] 14 [ ]A
9
例：求图示结构结点A的垂直位移。
CL2TU17
解：静力平衡条件：
N1 N3
2 N1 cos N 2 P
变形协调条件： N1 N2
N3
作业（下周二交）
P25-31 1（a）（c） 8，11，16，23，25 29，32，34，36
二、装配应力
CL2TU18
解：静力平衡条件：
N1 N3
2 N1 cos N 2
变形协调条件：
l2
l1
cos
h
引用胡克定律：
N2l cos N1l h EA EAcos
三、温度应力
温度升高T
线膨胀系数 α : 单位长度的杆温度升 高1℃时杆的伸长量CL2TU19
解：
变形协调条件：
lT lN 即： lT R l
CL2TU22
解：变形协调条件为铜管伸长等于钢柱伸长，即
ClT
Pl EC AC
S l T
例：一薄壁圆环， 平均直径为D，截面 面积为A，弹性模量 为E，在内侧承受均 布载荷q作用，求圆 环周长的增量。
CL2TU23
解： N qD 2
S
N
S
qD
2
D
EA EA
q D2
2E A
18750 210 109
0.2
0.022
0.4 0.0252
0.2
0.0122
4
4
0.272 mm (缩短）
例：求图示结构结点A的垂直位移。
①②
CL2TU11
解:
N1
N2
P
2 cos
l1
l2
N1l EA
Pl
2 EA cos
①
②Байду номын сангаас
①
②
例：求图示结构结点A的垂直位移和 水平位移。
壁厚为 t，平均直径为 D，t《D
CL2TU14
D2
N p
4
N pD Dt 4t
N p D1 p D
N pD
2t 2 t
§2-7 拉伸与压缩的静不定问题
一、静不定问题及其解法 静定问题：根据静力平衡方程即可求出全
部支反力和轴力 静不定问题：未知力数目多于静力平衡方
程数目。
1.2 103
12.5 106
12.5
38
N 12.5 200 109
A
1.2
103
N 75.8 MPa (压）
A
例：如图所示，ＡＣ为刚杆，1、2、3 杆Ｅ、Ａ、ｌ均相同，求各杆内力值。
CL2TU20
解：静力平衡条件：
N1 N2 N3 P 2N1 N2 0 变形协调条件：
CL2TU12
解:
N1 P, N2 0
l1
Pl , EA
l2 0
N1 N2 P
例：图示结构中三杆的刚度均为EA, AB 为刚体，P、l、EA皆为已知。求C点的 垂直和水平位移。
CL2TU13
解:
N1
N3
P ,
2
N2 0
l1
l3
Pl 2EA
,
l2 0
N1 N2
N3
§2-6 圆筒形薄壁容器的应力
例：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆， 2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm 的圆杆。已知2段杆内的应力σ2=-30MPa， E=210GPa，求整个杆的伸长△l
CL2TU10
解: P 2 A2 30 252 18.75 kN
l N1l1 N 2l2 N 3l3 E A1 E A2 E A3
EA R E T (压）
A
例:在温度为２℃时安装的铁轨， 每段长度为12.5m，两相邻段铁轨间预 留的空隙为Δ=1.2mm，当夏天气温升为 40℃时，铁轨内的温度应力为多少？已 知：E=200GPa，线膨胀系数
α＝12.5×10-6 １／℃。
解： 变形协调条件为
l
lT
lN
lT
Nl EA
CL2TU16
解：静力平衡条件： N1 2N2 3N3 3P (1) 变形协调条件：
l2 2l1 , l3 3l1
即： N 2 l 2 N1 l , N 3 l 3 N1 l EA EA EA EA N2 2N1 , N3 3N1 (2)
联立求解(1)和(2), 得：
3
6
9
N1 14 P , N2 14 P , N3 14 P
例：求图示杆的支反力。
CL2TU15
解：静力平衡条件：RA RB P (1) 变形协调条件：l lAC lBC 0 引用胡克定律： RA l1 RB l2 0
EA EA
由此得：
RA l1 RB l2 (2)
联立求解(1)和(2), 得：
RA
l2 l
P
,
RB
l1 l
P
例：刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆 材料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量 为 E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结 构的许可载荷[P]