结构可靠指标计算的蒙特卡罗法

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蒙特卡洛模型方法

蒙特卡罗模型是利用计算机进行数值计算的一类特殊风格的方法，它是把某一现实或抽象系统的某种特征或部分状态，用模拟模型的系统来代替或模仿，使所求问题的解正好是模拟模型的参数或特征量，再通过统计实验，求出模型参数或特征量的估计值，得出所求问题的近似解。目前评价不确定和风险项目多用敏感性分析和概率分析，但计算上较为复杂，尤其各因素变化可能出现概率的确定比较困难。蒙特卡罗模型解决了这方面的问题，各种因素出现的概率全部由软件自动给出，通过多次模拟，得出项目是否应该投资。该方法应用面广，适应性强。
二、理论和方法
蒙特卡洛模拟早在四十年前就用于求解核物理方面的问题。当管理问题更为复杂时，传统的数学方法就难以进行了。模拟是将一个真实事物模型化，然后对该模型做各种实验，模拟也是一个通过实验和纠正误差来寻求最佳选择的数值性求解的过程。模拟作为一种有效的数值处理方法，计算量大。以前只是停留在理论探讨上，手工是无法完成的。在管理领域由于规律复杂随机因素多，很多问题难以用线性数学公式分析和解决，用模拟则有效得多。在新式的计算机普及后，用模拟技术来求解管理问题已成为可能。
从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。
计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
设有统计独立的随机变量Xi（i＝1，2，3，…，k），其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g（x1，x2，…，xk）。

论建筑结构设计的可靠度影响原因与比较

论建筑结构设计的可靠度影响原因与比较摘要：近年来，建筑工程的结构设计方法已经逐渐走向了成熟，建筑工程结构可靠度设计也取得了实质的变化和突破性的进展。

本文阐述了建筑工程结构可靠度设计的方法、步骤，并针对不同时期影响建筑结构可靠度设计的原因进行比较，仅供参考。

关键词：建筑结构设计；可靠度；发展比较中图分类号：g267一、建筑结构设计可靠度概述工程结构可靠度习称安全度。

在规定的时间和条件下，工程结构完成预定功能的概率，是工程结构可靠性的概率度量。

工程结构可靠性，是指在规定时间和条件下，工程结构具有的满足预期的安全性、适用性和耐久性等功能的能力。

由于影响可靠性的各种因素存在着不定性，如荷载、材料性能等的变异，计算模型的不完善，制作质量的差异等，而且这些影响因素是随机的，因而工程结构完成预定功能的能力只能用概率度量。

结构能够完成预定功能的概率，称为可靠概率；结构不能完成预定功能的概率，称为失效概率。

工程结构设计的目的，就是力求最佳的经济效益，将失效概率限制在人们实践所能接受的适当程度上。

失效概率愈小，可靠度愈大，两者是互补的。

二、建筑结构设计可靠度的分析步骤及方法1、进行结构可靠度分析一般分三个步骤：一是收集与结构可靠度有关的随机变量（如风荷载、波浪荷载、地震荷载等）的试验、观测资料，进行统计分析，得出各随机变量的统计量（均值、标准差和分布类型）。

二是计算结构的荷载效应，确定抗力，建立极限状态方程。

荷载效应s可以是结构的应力、应变、内力、位移等，它们可用力学分析方法求得。

结构抗力 r是结构抗御破坏或变形的能力，如材料的屈服极限、构件截面的承载能力、容许的位移或变形等。

s和r都是随机变量。

它们的均值和标准差分别为┢s、┢r 和σs、σr。

设功能函数z=r-s。

当z 0，表示结构失效；z 0，表示结构可靠；z=0，表示结构处于极限状态。

此式称为极限状态方程。

三是根据随机变量的统计量和极限状态方程可以计算；z 0的失效概率pf；z≥0的可靠概率ps，即可靠度。

建筑结构可靠度分析方法比较

建筑结构可靠度分析方法比较作者：冯惠苗来源：《中国房地产业》 2015年第9期文/ 冯惠苗北京中外建建筑设计有限公司重庆分公司重庆 400045吕长浩广东省华城建筑设计有限公司重庆分公司重庆 400045【摘要】详细阐述了结构可靠度计算方法，对一次二阶矩法中的中心点法、HL 法、JC 法、几何法，二次二阶矩法，响应面法，蒙特卡罗法，基于最优化原理的蒙特卡罗法的计算方法进行了分析；同时对四种常用的方法JC法、几何法、二次二阶矩法、基于最优化原理的蒙特卡罗法，根据影响其结果精度的因素，以直接的蒙特卡罗法的结果为标准解，对其结果进行了对比分析。

【关键词】结构可靠度；JC 法；几何法；二次二阶矩法；基于最优化原理的蒙特卡罗法；功能函数1 结构可靠度的计算方法1.1 一次二阶矩法一次二阶矩法计算简便，其要点是非正态随机变量的正态变换及非线性功能函数的线性化。

1.1.1 中心点法设结构构件功能函数为该方法对于非线性功能函数,因略去二阶及更高阶项, 误差将随着线性化点到失效边界距离的增大而增大, 而均值法中所选用的线性化点(均值点)一般在可靠区而不在失效边界上,误差较大[2]。

1.1.2 改进一次二阶矩法（HL 法）针对均值一次二阶矩法的上述问题，人们把线性化点选在失效边界上，且选在与结构最大可能失效概率对应的设计验算点上，以克服均值一次二阶矩法存在的问题，提出了改进的一次二阶矩法。

该方法无疑优于均值一次二阶矩法，为工程实际可靠度计算中求解β 的基础。

但该方法只是在随机变量统计独立、正态分布和线性极限状态方程才是精确的，否则只能得到近似的结果[1]。

1.1.3 JC 法针对工程结构各随机变量的非正态性，拉克维茨提出了JC 法。

其基本原理是将非正态的变量当量正态化，替代的正态分布函数要求在设计验算点处的累积概率分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF 值、PDF值相等。

当量正态化后，采用改进一次二阶矩法的计算原理求解结构可靠度指标。

基于matlab环境下蒙特卡罗法的实现

基于Matlab 环境下蒙特卡罗法的实现建筑与土木工程2011级 201121022 温秋平针对应用蒙特卡罗对连续型分布采取直接抽样法解决结构可靠度所遇到的困难，提出利用MATLAB 其强大数值计算功能来解决此类问题。

利用MATLAB 进行蒙特卡罗抽样模拟，在一定程度上减少了对连续型分布采用直接抽样时的困难，大大提高了计算效率。

1.蒙特卡罗法蒙特卡洛方法是以数理统计原理为基础的，又称随机模拟方法，是随着电子计算机的发展而逐步发展起不来的一种独特的数值方法。

用蒙特卡洛方法来研究事件的随机性是结构可靠度分析的一个重要方面。

蒙特卡洛方法的优点是，它回避了结构可靠度分析中的数学困难，不需要考虑结构极限状态曲面的复杂性，只需要得到结构的响应即可；缺点是计算虽大，因此目前还不作为一种常规的结构可靠度分析的方法来使用，只适用于一些情况复杂的结构，由于其具有相对较高的精度，常用于结构可靠度各种近似方法计算精度的检验和计算结果的校核。

直接抽样方法是蒙特卡洛分析最基本的一种方法，对于基本随机变量12(,,,)n X X X X =，其概率密度函数为()f x ，对应结构某一状态的功能函数为()Z g x =。

将随机样本值序列X 代入功能函数()Z g x =，若Z<0，则模拟的结构失效一次。

若总的模拟数为N ，功能函数Z<0的次数为f n ，则结构失效概率f P 的估计值ˆfP 为： ˆf fn P N= (1.1) 由伯努利大数定理：lim ()1f f N nP P Nε→∞-<= (1.2) 可得ˆfP 以概率收敛于f P 。

失效概率的同样可以表达为：[()]()f P I g x f x dx +∞-∞=⎰(1.3)其中[()]I g x 为()g x 的示性函数，即：1 ()0[()]0 ()0g x I g x g x <⎧=⎨≥⎩ (1.4)则结构失效概率f P 的估计值ˆf P 为：11ˆ[()]Nffii n P I g x NN===∑ (1.5)对于结构可靠度问题，其对应的结构失效概率的数量级通常为371010--。

基于改进蒙特卡洛法的电力系统可靠性评估介绍

基于改进蒙特卡洛法的电力系统可靠性评估摘要：近年来我国电力系统的智能化建设速度不断加快，人们对电能的需求量不断增加，对电能质量的要求不断提高，因此保证电力系统供电的可靠性对于我国电力事业的发展至关重要。

电力系统的可靠性评估是对电力系统运行能力、供配电质量的综合分析，包括电力系统的静态可靠性和动态可靠性两方面，目前常用的评估方法主要是蒙特卡洛法和解析法。

随着我国电力系统复杂程度的不断增加，常规的蒙特卡洛法的计算精度和计算速度面临严峻的挑战，通过改进重要抽样进行蒙特卡洛计算，可有效的提高了计算的效率和计算速度。

本文从电力系统可靠性评估的现状入手，分析常规蒙特卡洛法在电力系统可靠性评估中的应用情况，并提出分析改进蒙特卡洛法在电力系统可靠性评估中的应用情况，以期为我国电力系统可靠性评估工作提供参考。

关键词：改进；蒙特卡洛算法；电力系统；可靠性评估电力系统是为工业生产和人民生活提供电力来源以保障国民经济快发发展和人民生活正常进行的重要基础性设施，随着工业生产的快速发展和人民生活的不断提高，保证电力系统运行的可靠性、保证电力系统电能质量成为新时代人们对电力系统的主要要求。

电力系统的可靠性主要是指电力系统在正常运行的情况下能够连续不断的为用户输送高质量电能并保证能够满足需求的电能量的综合能力，电力系统可靠性是衡量电力系统运行能力和供电可靠性的重要指标。

电力系统在实际的运行过程中会受到多方面的原因造成可靠性的下降，同时今年来电力系统停电事故的不断发生，使国家经济和人民的生活都受到了严重的影响，因此对电力系统可靠性的评估，可有效的指导电力系统的规划建设，提高电力系统的安全运行能力，促进我国电力系统的快速发展。

一、电力系统可靠性评估的概念和基本方法（一）电力系统可靠性评估的相关概念电力系统可靠性评估主要包含电力系统的安全性和电力系统的充裕度两个方面，这也是近年来有关电力系统可靠性评估的主要研究方面。

电力系统的安全性主要是指电力系统在受到外界因素的干扰时其供电能力不受影响，可以实现持续不断供应电能的能力，又可称为电力系统的动态可靠性指标。

桥梁结构安全性评估方法简介

桥梁结构安全性评估方法简介摘要：桥梁安全性评估工作已有30多年的历史，现在已经发展出了许多的桥梁评估方法，这些方法对桥梁的养护维修、鉴定评估和改造加固，都产生了积极的作用。

本文对现有的桥梁安全性评估方法进行了总结和概括，对于今后评估方法的研究也具有积极的意义。

1引言桥梁结构的安全性评估研究，是近几十年来随着结构工程研究理论的不断发展和工程实际需要而提出的新课题。

安全性评估是通过获得的检测数据和计算结论，获得结构安全性能的整体评价。

安全性评估不但可以科学的给出结构的可靠性，还是制定养护和维修计划的重要参考。

2 基于外观检查评定法2.1 评分系统这一方法最早用于建筑结构损伤程度的评估，并逐步发展成为一种量化的评分系统。

评分标准及损伤程度分类需要根据调查统计和试验分析结果预先制定。

在应用时，由有经验的工程师对既有桥梁进行检查评分，并依据对材料质量、损伤程度等进行评价。

我国的《公路养护技术规范》（jtj073-96）中桥梁的综合评定结果共分为四类[1]：一类需要进行正常保养；二类则需要进行小修；三类需要进行中、大修或加固；四类需通过桥梁检验（荷载试验）确定加固或改建。

此法的特点是应用简单，主要用于对桥梁运营状态的评估，其结论的可信程度基于评估者的工程经验和判断能力。

2.2 经验系数该方法是依据广泛的调查研究，确定若干影响承载能力的系数及其取值范围，对桥梁承载能力进行评估的方法。

例如，被评估桥梁的承载能力[2]p可表示为：p=p0·k1·k2·k3·k4式中：p0为原设计承载能力；k1为残存承载能力系数（依结构损伤、材料老化程度而定）；k2为反映桥面条件的系数；k3为反映实际交通情况的系数；k4为桥梁建造使用年限系数。

此方法的特点是应用简便，各系数由评估者根据现场情况决定。

但由于这种研究工作做的不多，系数的确定比较困难（尤其是k1），其适用性有所限制，计算结果较为粗糙。

工程结构可靠度计算方法

工程结构可靠度计算方法工程结构可靠度计算是一种用来评估工程结构系统在给定的设计条件下能够正常运行的能力。

通过可靠度计算，可以评估结构在各种设计负载下的可用寿命、安全系数以及潜在的失效模式。

因为结构的可靠性直接关系到工程安全性和经济性，因此可靠度计算在工程领域中具有非常重要的意义。

工程结构可靠度的计算方法有多种，下面将介绍常见的几种方法。

一、确定性方法确定性方法是最简单的可靠度计算方法，它假设结构的参数和负载都是确定值，并且不考虑不确定性因素的影响。

在确定性方法中，常用的计算方法有极限状态法和等效正态法。

极限状态法是通过将结构的参数和负载转化为正态分布的随机变量，利用统计方法进行计算。

该方法假设结构的失效状态是定义好的，当结构的极限状态超过给定的设计阈值时，认为结构失效。

这种方法在可靠性计算中广泛应用，其计算过程相对简单，适用于一般的工程结构。

等效正态法是将结构的参数和负载转化为正态分布的随机变量，并通过概率统计的方法计算结构的可靠度。

该方法假设结构的失效状态服从正态分布，在计算过程中需要对结构各参数的概率分布进行估计。

这种方法计算精度较高，但计算过程相对复杂。

二、概率方法概率方法是一种基于概率论的可靠度计算方法，它充分考虑了结构参数和负载的不确定性因素，通过对模型进行概率分析，得到结构的可靠度指标。

概率方法包括蒙特卡罗模拟法、局部线性化法和形式法等。

蒙特卡罗模拟法是一种基于统计随机过程的可靠度计算方法，通过随机数生成来模拟结构的参数和负载的随机变化，进行多次重复实验来估计结构的可靠度。

这种方法计算精度较高，但计算量较大。

局部线性化法是一种逼近方法，在计算过程中将非线性结构系统转化为线性系统，通过求解线性方程组来得到结构的可靠度。

这种方法在计算精度和计算速度之间能够取得较好的平衡。

形式法是一种基于形式可靠度指标的可靠度计算方法，通过建立结构的失效模式，利用形式可靠度指标来评估结构的可靠性。

该方法适用于结构有多个失效模式的情况，计算过程相对简单，但计算精度有一定的误差。

结构可靠度计算分析方法研究

２工程结构可靠度分析方法
２．一次二阶矩法１
ｚ … ，）以与正态分布等价的条件变换为当量正态分布，，ｚ处这样可使所得的可靠指标与失效概率之间有一个明确的对应关系，而在口中合理地反映分布类型的影响。该法能够考虑从非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠度指标进行精度较高的近似计算，求得满足极限状态方程的“ 验算点” 设计值，便于根据规范给出的标准值计算分项系数，以便于工作人员采用惯用的多系数表达式。３映射变换法）３。对于结构可靠度分析中的非正态随机变量，Ｃ法用当量正态化的方法将非正态随机变量“ Ｊ当量 ” 为正态随
结构可靠度计算分析方法研究
李
摘系可靠度的研究是今后可靠度发展的方向。关键词：可靠度，Ｃ法，Ｊ蒙特卡罗法
中图分类号：Ｕ３１２Ｔ１．文献标识码：Ａ
刚冯秀梅
要：基于可靠度理论，介绍了工程结构点和结构体系可靠度的各种分析方法，并探讨了各种方法的特点，出结构体指
矩；．ｂ将非线性功能函数在随机变量均值处展开不合理，展开后机变量，而应用正态随机变量可靠度的计算方法来计算结构的从的线性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态曲面；可靠指标。如采用数学变换的方法将非正态随机变量变换为正Ｃ可靠度指标会因选择不同的变量方程而发生变化；．．ｄ当基本变态随机变量，问题也同样可以解决。从计算过程上与ＪＣ法比较，量不服从正态或对数正态分布时，计算结果常与实际偏差较大。

结构设计的几种可靠度计算方法对比

结构设计的几种可靠度计算方法对比刘连杰;张劲松;贺渝【摘要】Five common reliability calculation methods in the structural design are introduced, i.e. Monte Carlo Method,important sampling method,JC method,response surface method,as well as the basic calculation theory of the one time progressive method. From the three aspects of the variable types, nonlinearity and statistical parameters,Matlab programming language is used to compare the application performance of the various algorithms.%该文介绍了结构设计中五种常用的可靠度计算方法：Monte Carlo法、重要抽样法、JC法、响应面法以及一次渐进法的基本计算原理，从变量类型、非线性程度和统计参数三个方面着手，利用Matlab程序语言对比了各种算法的性能及适用范围。

【期刊名称】《重庆建筑》【年(卷),期】2015(000)008【总页数】5页(P49-53)【关键词】工程结构可靠度;Monte Carlo法;重要抽样法;JC法;响应面法;一次渐进法【作者】刘连杰;张劲松;贺渝【作者单位】重庆市建筑科学研究院，重庆 401147;中国建筑科学研究院，北京100013;重庆市渝北区建设工程质量监督站，重庆 401120【正文语种】中文【中图分类】TU3180 引言结构设计属于非定值问题，其不定性可能是由参数的随机性以及计算模型的理想程度等引起的。

工程结构可靠度分析方法的综述

科
建筑工程Ｉ｝Ｉ
工程结构可靠度分析方法的综述
李沫
（阳建筑大学，宁沈阳１００）沈辽１００
摘要：工程结构可靠度是指结构在规定的时间内，定的条件下，在规完成预定功能的能力。
关键词：工程结构；可靠度；分析方法工程结构可靠度是指结构在规定的时间收敛快、精度高的优点，但其结果亦为近似解。的解析表达式，然后用插值的方法来确定表达内，在规定的条件下，完成预定功能的能力。自１．５中心点法式中的未知参量，进而求解。４蒙特卡罗￣ｏｔＣｒ）ｎｅａｌ法ｏ２世纪２年代起，国际上开始了结构可靠性０Ｏ中心点法是结构可靠度研究初期提出的一基本理论的研究，并逐步扩展到建筑结构分析种方法。其基本思想是首先将非线性功能函数Ｍｎ－ａｏｏｔＣｒ法是最直观、确、ｅｌ精获取信息和设计领域。我国对结构可靠度理论的研究始在随机变量的平均值（中心点）处作泰勒级数展最多、对高次非线性问题最有效的结构可靠度于２世纪５年代，在诸多专家、学者的努力开并保留至一次项，ＯＯ然后近似计算功能函数的统计计算方法。其基本原理是对各随机变量进下，２世纪８年代以来，自ＯＯ在结构可靠度方面平均值和标准差。中心点法的最大特点是计算行大量抽样，结构失效次数占抽样数的频率即的理论和应用有了很大的进展。本文对目前关简便，不需进行过多的数值计算。但也存在明显为其失效概率。由于该方法的工作量太大，对于于工程结构可靠度分析方法的现状和存在的问的缺陷：能考虑随机变量的分布概型；不将非线大型复杂结构的使用受到限制。为了提高工作题做了论述。性功能函数在随机变量的平均值处展开不合效率，尽可能地减少必需的样本量，应通常用减１一次二阶矩法理，随机变量的平均值不一定在极限状态曲面少样本方差、提高样本质量两种方法达到此目在实际工程中，一次二阶矩法计算简便，上；对有相同力学含义但不同数学表达式的极的。蒙特卡罗法回避了结构可靠度分析中的数大多数情况下计算精度又能满足工程要求，应限状态方程求得的结构可靠度不同。因此，中心学困难，不需考虑功能函数的非线性和极限状用相当广泛，已成为国际上结构可靠度分析和点法计算的结果比较粗糙，一般常用于结构可态曲面的复杂性，直观、确、精通用性强；缺点是计算的基本方法。其要点是非正态随机变量的靠度计算精度要求不高的情况。计算量大，效率低。正态变换及非线性功能函数的线性化。２高次高阶矩法５结论工程结构可靠度基本理论的研究是一个比１１．均值一次二阶矩法２１．二次二阶矩法早期结构体系可靠度分析中，假设线性化当结构的功能函数在验算点附近的非线性较活跃的研究课题，是工程结构设计者与使用点ｘ就是均值点，而由此得线性化的极限化程度较高时，一次二阶矩法的计算精度就不者非常关注的问题，对工程可靠度设计问题更状态方程，随机变量 Ⅺ （ｌ，ｎ统计独立能满足一些特别重要结构的要求了。在ｉ， …，＝２）近年来，一是一个切合实际的问题。对于极限状态方程线的条件下，接获得功能函数ｚ直的均值ｍ及标些学者把数学逼近中的拉普拉斯渐进法用于可性或非线性程度不高的简单结构，用一次二阶：简单易行。对于准差由此再由可靠指标８的定义求取靠度研究中，取得了较好的效果。从公式的表达矩法计算可靠度足以满足要求，Ｂ＝ｔ＂该方法对于非线性功能函数，ｍａｏ。因略去上可以看出，二次二阶矩法的结果是在一次二大型复杂结构，其功能函数一般不能显示表达，应用响应面法、蒙特二阶及更高阶项，误差将随着线性化点到失效阶矩法结果的基础上乘１个考虑功能函数二次大多是非线性的高次方程，边界距离的增大而增大，而均值法中所选用的非线性影响的系数，所以可以看作是对一次二卡洛法、机有限元法则具有一定的优势。程随工花费少、易于实线性化点（均值点）一般在可靠区而不在失效边阶矩法结果的修正。需要强调的是，在广义随机结构点可靠度的计算程序简单、界上，误差较大。空间中，对于随机变量变换前后相关系数的取现，但不能真正反应体系安全度问题，越来越不１．２改进一次二阶矩法值依据的是变换前后的相关系数近似相等，这能满足实际需要。今后，在完善可靠度的基础针对均值一次二阶矩法的上述问题，人们相当于一次二阶矩法随机变量间的一次变换，上，必须加强工程结构体系可靠度计算方法的把线性化点选在失效边界上，且选在与结构最对于二次二阶矩法是否考虑随机变量问的二次研究。因此，随着科技的进步，结构体系可靠度大可能失效概率对应的设计验算点上，以克服变换项，以及二次变换项如何考虑是需要进一的研究必将是可靠度的发展方向，其计算方法必将不断完善。均值一次二阶矩法存在的问题，提出了改进的步研究的问题。次二阶矩法。该方法无疑优于均值一次二阶２２．二次四阶矩法参考文献陈于郑基ｓｎｌｔ变换的矩法，为工程实际可靠度计算中求解Ｂ的基上述方法的精度能得以保证的一个基本前ｎ１安龙，雷，云龙．于Ｒｏｅｂａｔ础。但该方法只是在随机变量统计独立、正态分提是采用的随机变量分布概型是正确的，且随阶可靠度分析方法 Ⅲ．大连理工大学学报，布和线性极限状态方程才是精确的，否则只能机变量的有关统计参数是准确的。而随机变量２Ｏ０ｏ．得到近似的结果。分布概型是应用数理统计的方法经过概率分布『李国强，２１李继华．二阶矩矩阵法关于相关随机Ｊ重庆］１ｃ法－Ｊ３的拟合优度检验后推断确定的，统计参数是通向量的结构可靠度计算［．建筑工程学院针对工程结构各随机变量的非正态性，拉过统计估计获得的，Ｊ法。基本原理是将非正态的确与否依赖于样本的容量、统计推断及参数估【】国藩．易．Ｃ其３赵曹居张宽权编著．工程结构可靠度变量当量正态化，替代的正态分布函数要求在计的方法。二次四阶矩法利用信息论中的最大『．京：利电力出版社，９４Ｍ１北水１８．设计验算点处的累积概率分布函数（Ｄ）ＣＦ和概熵原理构造已知信息下的最佳概率分布，基本［】４李继祥．谢桂华．耿树勇．军．刘建计算结构可靠率密度函数（Ｆ值分别和原变量的ＣＦ值、上避免了上述方法因采用经过人为加工处理过度的ＪＰ）ＤＤｃ法改进方法『．武汉工业学院学报，Ｊ１ＰＦ值相等。Ｄ当量正态化后，采用改进一次二阶的基本资料而可能改变其对现实真实反映的问２Ｏ０４．矩法的计算原理求解结构可靠度指标。题。『１晓利，国藩．进的Ｒｓｎｌｅｈ方法及其５佟赵改ｏｅｂｕｔ在结构可靠度分析中应用［．Ｊ大连理工大学学】１．４几何法３响应面法１９．用Ｊｃ法计算时，迭代次数较多，而且当极大型复杂结构的内力和位移一般要用有限报。９７限状态方程为高次非线性时，其误差较大，为此元法进行分析，这时结构的响应与结构上外部人们提出了几何法。该方法仍采用迭代求解，其激励之间的关系不能再用显式来表达。当对结基本思路是先假定验算点将验算点值代入构或结构构件进行可靠度分析时，所建立的极极限状态方程Ｇ（）ｘ，沿着Ｇ（：）ｘＧ）所表示限状态方程也不再是显式，从而造成了迭代求的空间曲面在ｘ处的梯度方向前进（点或后解可靠度的困难。响应面法是处理此类问题的退）得到新的验算点，后再进行迭代。几何法 …种有效方法，其基本思想是先假设一个包括，然责任编辑：张雨与一般的一次二阶矩法相比，具有迭代次数少、一些未知参量的极限状态变量与基本变量之间一

基于响应面和蒙特卡罗法结构位移可靠度

ａｄＭｏｔｒｏｍｅｈｄｎｎｅＣａｌｔｏ
ＬＩＹｕａｙｉｇ，ＺＨＡＮＧｅｈｅｎｎＤｓｎｇ
（ｃｏｌｆｖｌｎｉｅｒｇＪａｉｇＩｓｔｔ，ｅｈｕ５４１，ｈｎ）ＳｈｏｉＥｇｎｅｉ，ｉｙｎｔｕｅＭｉｏ１０５ＣｉａｏＣｉｎｎｉｚ
（应学院土木工程学院，广东梅州５４１）嘉１０５
摘
要：为了研究结构位移可靠度，以门式框架为例，利用ＭＡＬＢ软件编制基于蒙特卡采用数值模拟方法对结构进行可靠度分析。得到结构的失效概率、可靠指标、结构最不利点水平位移的概率分布情况。计算结果表明：这几种方法计算结构的失效概率与文献【１５结果接近，但蒙特卡罗法的计算工作量大、时间最长，响应面法的计算时问最短。响应面一蒙特卡罗法、响应面一重要抽样蒙特卡罗法在较少样本的情况下可以达到较高的精度要求，且计算效率较高。本文基于ＭＡＬＢ编制的可靠度模拟ＴＡ
分析程序为复杂结构可靠度分析提供了参考。中图分类号：Ｔｌ．ｕ３１２文献标志码：Ａ
关键词：ＭＡＬＴＡＢ；响应面；蒙特卡罗法；可靠度；结构位移
Ｒｅｉｂｌ、Ｏｒｃｕａｉｐａｅｅｔａｅｎｒｓｏｓｕｆｃｌｉｔｆｓｕｔｒｌｓｌｃｍｎｓｄｏｅｐｎｅｓｒａｅａｉ，ｔｄｂ
２１年６月０１
Ｊｎ．ｕ２ｌＯｌ
文章编号：１０－５２２１）３０９ —４ＤＩＣＫ：１１７／．０１６２２４．３０８０６（０１０—３２０Ｏ：ＮＩ —３９Ｎ２１００．３５０２０

蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的统计模拟方法，被广泛应用于金融、科学工程、计算机图形学等领域。

它的核心思想是通过随机抽样来估计数学问题的解，是一种以概率统计理论为基础的数值计算方法。

蒙特卡洛方法最早由美国科学家冯·诺伊曼在20世纪40年代提出，得名于摩纳哥蒙特卡洛赌场。

它的基本思想是通过大量的随机抽样来近似计算数学问题的解，从而避免了传统数值计算方法中复杂的数学推导和积分计算。

蒙特卡洛方法的优势在于能够处理复杂的多维积分、微分方程、概率分布等问题，同时也能够处理非线性、高维度、高复杂度的数学模型。

蒙特卡洛方法的应用非常广泛，其中最为著名的就是在金融领域的期权定价问题。

在期权定价中，蒙特卡洛方法通过模拟股票价格的随机演化，来估计期权合约的价格。

相比于传统的解析方法，蒙特卡洛方法能够更加灵活地处理各种复杂的期权合约，同时也能够更好地适应市场的波动性和随机性。

除了金融领域，蒙特卡洛方法还被广泛应用于科学工程领域。

在物理学中，蒙特卡洛方法被用来模拟粒子的运动轨迹、核反应、辐射传输等问题；在生物学中，蒙特卡洛方法被用来模拟分子的构象、蛋白质的折叠、生物分子的相互作用等问题；在工程学中，蒙特卡洛方法被用来进行可靠性分析、风险评估、系统优化等问题。

在计算机图形学领域，蒙特卡洛方法被广泛应用于光线追踪、全局光照、体积渲染等问题。

通过蒙特卡洛方法，可以模拟光线在场景中的传播和反射，从而实现逼真的图像渲染效果。

总的来说，蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算方法，它通过随机抽样来近似计算数学问题的解，能够处理各种复杂的数学模型，被广泛应用于金融、科学工程、计算机图形学等领域。

随着计算机计算能力的不断提高，蒙特卡洛方法将会在更多领域发挥重要作用，成为解决复杂问题的重要工具之一。

论述结构可靠度分析的实用方法

科技信息
高校理科研究
论述结构可靠度分析昀实用方法
四川建筑职业技术学院王西宁
［要］摘现有的结构可靠度分析方法较多，中系统地介绍了结构点可靠度的计算方法并对其进行了分类概括和评述，文着重对一次二阶矩法、高次高阶矩法、蒙特卡罗法、响应面法和随机有限元法进行了分析。为人们在进行结构可靠度计算时提供了一个有价值的参考。［关键词】可靠度一次二阶矩法高次高阶矩法响应面法蒙特卡罗法随机有限元法
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去求解结构可靠度的方法。由于该法将功能函数Ｚｇｎ＝（， …ｘ在某点ｘＸ】用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩法。由于将非线性功能函数作了线性化处理，以该类方法是一所种近似的计算方法，但具有很强的适用性，计算精度能够满足工程需求。均值一次二阶矩法、改进的一次二阶矩法、Ｃ法、Ｊ几何法都是以一次二阶矩法为基础的可靠度计算方法。
图１两变量问题的失效边界（）１均值一次二阶矩法。早期结构可靠度分析中，假设线性化点ｘａ就是均值点，由此得线性化的极限状态方程，而在随机变量】ｉ１２【＝，，ｉ（ｎ统计独立的条件下，接获得功能函数ｚ的均值ｍ）直及标准差：，由此再由可靠指标的定义求取１ｍｏ。该方法对于非线性功能函数，３／，＝ｒ因略去二阶及更高阶项，误差将随着线性化点到失效边界距离的增大而增大，而均值法中所选用的线性化点（均值点）一般在可靠区而不在失效边界上，结果往往带来相当大的误差。同时对承受同一荷载的同一结构构件，若采用不同的功能函数来描述结构构件的同一功能要求，则采用均值一次二阶矩法将得出不同的值。因此该方法存在严重的缺陷。ｆ改进一次二阶矩法。针对均值一次二阶矩法将功能函数线性化２）点取作基本随机变量均值点带来的问题，改进的一次二阶矩法将功能

基于响应面和蒙特卡罗法结构位移可靠度

的联合概率密度函数，当 X 为一组相互独立的随机
n
∏ 变量时，有 f ( X ) = f (x1 , x2 ,", xn ) = f (xi ) ； i =1
G( X ) 是一组结构的极限状态函数，当 G( X ) < 0 ，
结构发生破坏，反之，结构处于安全； Df 是与 G( X ) 相对应的失效区域；Φ (⋅) 为标准正态分布的
式近似的功能函数．从而确定结构极限状态方程；
④ 由 JC 法求解验算点 P*(k ) 及可靠指标 β (k ) ；
⑤ 计算 β (k ) − β (k −1) ＜给定精度。如条件满
足则计算失效概率 pf = Φ (−β (k) ) ，输出 pf 及 β
结束；如条件不满足，则通过插值得到新的展开点：
P(k) M
累积概率函数。用蒙特卡罗法计算结构的可靠度时，式（1）
可写为
∑ Pˆf
=
1 N
N
I[G(Xˆ i )]
i =1
（3）
N 为抽样模拟总数；当 G( Xˆ i ) < 0 时，
I[ = 0 。式（3）的抽样方差为
σˆ 2
=
1 N
pˆ f
(1 −
构最不利点水平位移的概率分布情况。计算结果表明：这几种方法计算结构的失效概率与文献[5]结果接近，但蒙
特卡罗法的计算工作量大、时间最长，响应面法的计算时间最短。响应面—蒙特卡罗法、响应面—重要抽样蒙特
卡罗法在较少样本的情况下可以达到较高的精度要求，且计算效率较高。本文基于 MATLAB 编制的可靠度模拟
进行可靠度分析，求解验算点和可靠指标。用二次多项式不含交叉项表示响应面函数的形式为[3-9]，
∑ ∑ Z = G ( X1, X 2 ,", X n ) = a + n bi Xi + n ci Xi2 （5）

蒙特卡洛法

蒙特卡罗方法【蒙特卡罗方法】（Monte Carlo method）蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。

早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。

19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。

本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。

可用民意测验来作一个不严格的比喻。

民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。

其基本思想是一样的。

科技计算中的问题比这要复杂得多。

比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。

对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Curse of Dime nsionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。

Monte Carl o方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。

以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。

为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。

另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。

构可靠指标计算的蒙特卡罗法

以相对误差来表示，有则上式可以近似表示为：

ˆ pf pf pf
ˆ 1 p f 2 ˆ Np f
2 ˆ Np f
4 N ˆ p f 2
ˆ 0.2 N 100/ p f 工程结构的失效概率是一个小量，可见， N足够大时才能给出正确的估计。
对于正态分布而言，具有95％置信度的
数学方法产生随机数

用数学方法产生的“随机数”，由于是按确定的算法计算出来的，所以并不是真正的随机数，但如果计算方法选择得当，它们就近似地是相互独立和均匀分布的，经得起数理统计中的独立性检验和均匀分布检验。鉴于此，人们把这种数叫作伪随机数。用数学方法产生的“随机数”，常用的方法是同余法，包括加同余法、乘同余法和混合同余法。
1946年冯.诺伊曼等人用电子计算机模拟了裂变物质的中子连锁反应，由于研究涉及秘密工作（原子弹的
研制），将所使用的随机模拟方法称为蒙特卡罗法。
5.1.3利用随机模拟研究结构安全问题的数学基础

利用随机模拟方法研究结构安全问题是一种很自然的方法，因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。在结构设计阶段，由于设计变量存在着不确定性，其具体的量值是未知的，只能通过对以往实验、实测和调查资料的统计分析，从概率角度来推断结构未来的性状；在结构建成并使用到设计规定期后，设计中所用的变量都成了规定值，结构的最终状态也完全得以确定（完好或失效）。所以结构从建造到使用期内的表现，就是对所设计结构的一次随机实验结果。
ri xi m1 以模除上式得：
此即第i个均匀分布的随机数，反复迭代可以产生一个随机数序列r1、r2、r3……
K i Int (

蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法是一种通过随机抽样来解决问题的数值计算方法。

它的名称来源于摩纳哥蒙特卡罗赌场，因为在这种方法中，随机数起着核心作用，就像赌场中的随机事件一样。

蒙特卡罗方法在统计学、物理学、金融学、计算机图形学等领域得到了广泛的应用，它的核心思想是通过大量的随机抽样来近似地求解问题，从而避免了复杂问题的精确求解。

蒙特卡罗方法最早是由美国科学家冯·诺伊曼在20世纪40年代提出的，用于研究核爆炸的中子输运问题。

随后，蒙特卡罗方法在众多领域得到了广泛的应用，并且随着计算机技术的发展，它的应用范围变得越来越广泛。

在实际应用中，蒙特卡罗方法通常包括以下几个步骤，首先，确定问题的随机模型；然后，进行大量的随机抽样；接着，根据抽样结果进行统计分析；最后，得出问题的近似解。

蒙特卡罗方法的优势在于，它可以处理各种复杂的问题，不受问题维度的限制，而且在一定条件下可以得到问题的近似解。

在统计学中，蒙特卡罗方法被广泛应用于概率分布的模拟和统计推断。

通过大量的随机抽样，可以得到概率分布的近似结果，从而对统计问题进行求解。

在物理学中，蒙特卡罗方法可以用于模拟粒子的输运过程、热力学系统的平衡态分布等问题。

在金融学中，蒙特卡罗方法可以用于期权定价、风险管理等领域。

在计算机图形学中，蒙特卡罗方法可以用于光线追踪、体积渲染等领域。

总的来说，蒙特卡罗方法是一种强大的数值计算方法，它通过随机抽样来解决各种复杂问题，具有广泛的应用前景。

随着计算机技术的不断发展，蒙特卡罗方法将会在更多的领域得到应用，并为解决实际问题提供更加有效的数值计算手段。

基于拉丁超立方抽样的蒙特卡罗数值模拟在桥梁结构可靠度分析中的应用

基于拉丁超立方抽样的蒙特卡罗数值模拟在桥梁结构可靠度分析中的应用基于拉丁超立方抽样的蒙特卡罗数值模拟在桥梁结构可靠度分析中的应用摘要：根据《公路工程结构可靠度设计统一标准》概率原理已经被引入并作为结构设计的一般方法。

运用蒙特卡罗数值模拟对结构进行可靠度分析也已经被广泛接受，但是，蒙特卡罗法的抽样方法还存在优化的空间，拉丁超立方抽样法作为抽样研究领域的最新研究成果，运用到蒙特卡罗法中，可以提高抽样的效率、节省样本空间并减少运算时间。

关键字：拉丁超立方抽样；桥梁可靠度；蒙特卡罗；标准误；线性功能函数中图分类号：[TU997] 文献标识码：A引言梁结构的安全性是桥梁设计中的重大问题。

桥梁工程的建设耗资巨大，一旦失效不仅会造成结构本身和人民生命财产的巨大损失，还往往产生难以估量的次生灾害和附加损失。

桥梁结构在设计、施工、使用过程中具有种种影响结构安全、使用、耐久的不确定性因素。

这些不确定性使我们在判断结构是否可靠时，不能用一个简单的“是”或“否”来衡量，而必须采用以概率形式为基础的可靠度指标来表达。

在这样一个背景下，结构的可靠度理论与方法便应运而生。

[1] 目前，蒙特卡罗法在结构可靠度设计中已经成为一种普遍方法，得到了广泛的应用。

作为一种基于概率论的数值模拟方法，抽样方法的好坏决定了其解的精确性，而现在常用的抽样方法在精确性、稳定性和可操作性方面均有改进的空间。

[2]拉丁超立方抽样作为抽样领域的最新研究成果，运用到蒙特卡罗法中，可以提高抽样的效率，节省样本空间并减少运算时间。

本文将拉丁超立方抽样应用到蒙特卡罗法中，并对北盘江大桥进行可靠度分析，通过实际抽样结果的对比证明了拉丁超立方抽样法较蒙特卡罗直接抽样的明显改进，得到了令人满意的结果。

拉丁超立方抽样在北盘江大桥可靠度分析中的应用北盘江大桥工程介绍北盘江特大桥为预应力混凝土悬浇空腹（斜腿）式连续刚构桥（如图1所示）。

图 1 主桥桥型布置图（单位：cm）主桥部分总长度度为895m，桥跨布置为82.5+220+290+220+82.5m。

关于可靠度分析的若干方法

关于可靠度分析的若干方法1.一次二阶矩法（1）中心点法中心点法的基本思路就是将非线性功能函数在其随机变量均值(中心点)处Taylor 级数展开并取至一阶项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，而结构可靠度可用功能函数的均值和标准差来表示。

假设n x x x ,...,,21为结构中互不相关的n 个基本随机变量，其均值为),...,2,1(n i ix =μ标准差为),...,2,1(n i i x =σ，将功能函数Z=G(n x x x ,...,,21)在均值处Taylor 级数展开并取至一阶项：)(),...,,(121i n x i ni i x x x x x G G Z μμμμμ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=∑= 由此可计算出功能函数的均值和标准差为：),...,,(21nx x x Z G μμμμ=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ni x i Z i x G 122σσμ从而结构的可靠度可表示为：∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==ni x i x x x Z Z inx G G 122),...,,(21σμμμσμβμ由以上论述可知，中心点法的最大的优势在于计算简便，不需要进行过多的数值计算，但其缺陷也是非常明显的：①不考虑随机变量的分布类型；②将非线性功能函数在基本随机变量均值处展开不合理，这是因为均值不一定在结构的极限状态面上，因此展开后的功能函数可能会较大地偏离原来的极限状态面；③对有相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程，求得的结构可靠指标值不同。

（2）验算点法（JC 法）验算点法的特点是能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠指标β进行精度较高的计算。

对于极限状态方程中包含非正态分布的随机变量的情形，在进行其可靠度分析时，一般要把非正态随机变量当量化为正态随机变量。

当量正态化方法即为JC 法。

它的基本思想就是：①在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的分布函数值*I X F 与原随机变量(其均值*i x μ ，标准差为*I x σ)的分布函数值*I x F 相等；②在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的概率密度函数值*IX f 与原随机变量(其均值*ix μ ，标准差为*Ix σ)的概率密度函数值*Ix f 相等。