理论力学平面汇交力系资料
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平面汇交力系
B
A
C
P
a
a
匀速起吊重P的预制梁如图所示，如果要求绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问a 角应在什么范围内？
思考题：
而如将力F沿正交的x、y坐标轴方向分解（图b），则所得分力Fx 、F y 的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。
图b
力在坐标轴上的投影
y
x
O
B
A
a
b
F
F
x
F
y
Fx
Fy
b1
a1
式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。
∑Fx=0 ， ∑Fy=0
x
O
y
FRx
FR y
FR
F1
F2
Fn
A
B
C
60
45
。
。
（a）
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。
例 题 2- 3
y
x
B
mg
FCB
30
。
FAB
45
。
(b)
注意:
力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无ห้องสมุดไป่ตู้谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
O
x
y
F1
F2
FR
a
b
c
A
B
C
3. 合成
x
O
y
FRx
FR y
理论力学23-平面汇交力系与平面力偶系
平衡方程的解法
通过代入法或消元法求解 平衡方程，得到各个力的 具体数值。
平面汇交力系的实例分析
实例一
分析一个固定在墙上的梯子的受力情 况，梯子受到的重力和人对梯子的推 力在同一直线上，可以合成一个合力 ，合力方向与重力方向相反。
实例二
分析一个水平放置的杠杆的受力情况 ，杠杆受到的重力和人对杠杆的压力 在同一直线上，可以合成一个合力， 合力方向与重力方向相反。
理论力学23-平面汇交力 系与平面力偶系
目录 CONTENT
• 平面汇交力系 • 平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联
系 • 习题与解答 • 总结与展望
01
平面汇交力系
平面汇交力系的合成
1 2
平面汇交力系合成的基本原理
根据力的平行四边形法则，将两个或多个力合成 一个合力。
力的三角形法则
解答4
根据力矩的平行四边形法则， 求出平面力偶系的总力矩。
05
总结与展望
总结
定义：作用在物体上的力，其作用线都在同一平面内且相交于一点。 平衡条件：合力为零。
总结
• 解题方法：利用力的合成与分解，将汇交力系简化为单一 的力或力的合成。
总结
定义
作用在物体上的力偶，其力偶矩 矢量都在同一平面内。
04
习题与解答
习题
题目1
题目2
题目3
题目4
求平面汇交力系的合力
求平面汇交力系的合力 矩
求平面力偶系的合力矩
求平面力偶系的总力矩
解答
01
02
03
04
解答1
根据力的平行四边形法则，求 出平面汇交力系的合力大小和
方向。
解答2
根据合力矩定理，求出平面汇 交力系的合力矩。
理论力学 02平面汇交力系
5
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在直角坐标轴上的投影
y
Fy
Fy
F
B
Fx
Fx F cos Fy F cos
Fy Fx cos , cos F F F Fx 2 Fy 2
A
j
O i
Fx
x
力在坐标轴上的投影是代数量，而分力则是矢量。 在直角坐标系中，它们之间的关系可表达为：
21
用解析法求解平衡问题的基本步骤为： 1、选取研究对象 一般原则为： （1）有已知求未知； （2）由简单到复杂。 2、画受力图 受力图是计算的基础，不容许出现任何差错。
3、建立坐标轴，列平衡方程 在选择坐标轴时，应使尽可能多的未知力与 坐标轴垂直，同时还要便于投影。 4、求未知量 解方程，求出未知量。
F F ix i y FR y Fi y FR x Fi x cos , cos FR FR FR FR FR FR x FR y
2 2 2 2
10
例2-3 已知 F1 200N、 、 F2 300N、 F3 100N F4 250N ， 各力方向如图所示， 试求该平面汇交力系的合力。
y
F
B A
F
C
B D
FAB
x
FBC
解：（1）先选取销钉 B为研究对象，画受力图。建立 图示坐标系Bxy ，相应的平衡方程为:
F 0, F 0,
x
y
FAB cos FBC cos 0
FAB sin FBC sin F 0
20
解得:
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在直角坐标轴上的投影
y
Fy
Fy
F
B
Fx
Fx F cos Fy F cos
Fy Fx cos , cos F F F Fx 2 Fy 2
A
j
O i
Fx
x
力在坐标轴上的投影是代数量，而分力则是矢量。 在直角坐标系中，它们之间的关系可表达为：
21
用解析法求解平衡问题的基本步骤为： 1、选取研究对象 一般原则为： （1）有已知求未知； （2）由简单到复杂。 2、画受力图 受力图是计算的基础，不容许出现任何差错。
3、建立坐标轴，列平衡方程 在选择坐标轴时，应使尽可能多的未知力与 坐标轴垂直，同时还要便于投影。 4、求未知量 解方程，求出未知量。
F F ix i y FR y Fi y FR x Fi x cos , cos FR FR FR FR FR FR x FR y
2 2 2 2
10
例2-3 已知 F1 200N、 、 F2 300N、 F3 100N F4 250N ， 各力方向如图所示， 试求该平面汇交力系的合力。
y
F
B A
F
C
B D
FAB
x
FBC
解：（1）先选取销钉 B为研究对象，画受力图。建立 图示坐标系Bxy ，相应的平衡方程为:
F 0, F 0,
x
y
FAB cos FBC cos 0
FAB sin FBC sin F 0
20
解得:
第二章 平面力系《理论力学》
第二章 平面力系
§2-2
平面力对点之矩 平面力偶理论
二、合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力 对平面内任一点之矩等于所有各分 力对于该点之矩的代数和。
M O(FR ) M O ( Fi )
该结论适用于任何合力存在的力系
M O(F) M O(Fy ) M O(Fx ) x F sin θ y F cosθ xFy yFx M O FR xi Fiy yi Fix
求： CD 杆及铰链 A 的受力.
第二章
平面力系
§2-1
平面汇交力系
解： CD 为二力杆，取 AB 杆，画受力图. 用几何法，画封闭力三角形.
按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
第二章
平面力系
§2-1
平面汇交力系
三、平面汇交力系合成的解析法
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
第二章 平面力系
§2-2
力偶
平面力对点之矩 平面力偶理论
三、力偶和力偶矩
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力 系称为力偶，记作 F , F
第二章
平面力系
§2-2
力偶矩
平面力对点之矩 平面力偶理论
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
平面力系
§2-3
平面固定端约束
平面任意力系的简化
第二章
平面力系
§2-3
平面任意力系的简化
=
=
≠
=
第二章
平面力系
§2-3
平面任意力系的简化
§2-2
平面力对点之矩 平面力偶理论
二、合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力 对平面内任一点之矩等于所有各分 力对于该点之矩的代数和。
M O(FR ) M O ( Fi )
该结论适用于任何合力存在的力系
M O(F) M O(Fy ) M O(Fx ) x F sin θ y F cosθ xFy yFx M O FR xi Fiy yi Fix
求： CD 杆及铰链 A 的受力.
第二章
平面力系
§2-1
平面汇交力系
解： CD 为二力杆，取 AB 杆，画受力图. 用几何法，画封闭力三角形.
按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
第二章
平面力系
§2-1
平面汇交力系
三、平面汇交力系合成的解析法
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
第二章 平面力系
§2-2
力偶
平面力对点之矩 平面力偶理论
三、力偶和力偶矩
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力 系称为力偶，记作 F , F
第二章
平面力系
§2-2
力偶矩
平面力对点之矩 平面力偶理论
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
平面力系
§2-3
平面固定端约束
平面任意力系的简化
第二章
平面力系
§2-3
平面任意力系的简化
=
=
≠
=
第二章
平面力系
§2-3
平面任意力系的简化
理论力学-平面汇交力系
F4
§2-1 平面汇交力系 3.3 平面汇交力的平衡条件与平衡方程
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。
FR
F F
2 xi yi
2
0
平衡方程：
Fxi 0 Fyi 0 F F
x y
或：
0 0
根据作用力与反作用力原理，有: FBA 7.321kN (压)
B
F FBC T2
x
FBC 27.32kN (压)
§2-1 平面汇交力系
A D 600 B
【说明：设拉原则】
FBA FT1
30o
y
B
60o
300
F FBC T2
P
BA T1 T2
x
C
y
30o
60o
Fx 0, F F cos30 F sin30 0 FT1 sin30 FT2 cos30 0 F 0, FBC
§2-1 平面汇交力系
作 业
习, Fy 0,
FA cos FC cos 45 0
FA
A
E
FA sin FC sin 45 F 0
C
F
45o
B x
5. 解得： FA =22.4kN FC =28.3kN
FC
§2-1 平面汇交力系
解题技巧及说明
1、通常，对于只受三个力作用而平衡的物体，且角 度特殊时用几何法比较简便。- 解力三角形 2、对于受多个力作用平衡的物体，均用解析法。 3、投影轴的选择原则：与未知力垂直或平行，最好 使每个方程中只有一个未知数。 4、解析法解题时，如果力的指向不能确定，可任意 假定，如求出负值，说明力的实际方向与假设方 向相反。 如：对于二力构件，可先预先设为拉力。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系的工程实例： 平面汇交力系的工程实例：
平面汇交力系： 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点 的力系。 的力系。 共点力系：如所有的力都作用在同一点，该力系称为共点力 共点力系：如所有的力都作用在同一点， 刚体 系。
汇交力系
等价
共点力系
理由： 理由：力的可传性原理
§2-2 平面汇交力系合成的几何法
∑F = 0
D
F5 FR
F1
F3
F2
F3
平衡几何条件： 力多边形自行封闭 平衡几何条件：
F3 F3
F2 F2
F4
F3
F2
F2 F2 B
C
F4 F F1 4 F4 F4各力的汇交点
F1 A F1 F1
§2-4
y
平面汇交力系合成的解析法
一、力在坐标轴上的投影
B
Fx = F ⋅ cosα
投影: 投影:
A
力的投影和力的分量是两个不同的概念。 力的投影和力的分量是两个不同的概念。 是两个不同的概念
投影是代数量
而分力是矢量
投影无所谓作用点 分力作用点必须作用 在原力的作用点上 另外：仅在直角坐标系中, 另外：仅在直角坐标系中, 力在坐标上的 投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。 投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
力多边形的封闭边
各力的汇交点
合力为力多边形的封闭边
力多边形法则：把各力向量首尾相接后得到开口多边形， 力多边形法则：把各力向量首尾相接后得到开口多边形，然后由 第一个力的起点指向最后一个力的终点所构成的向量即为各力的 合力。这种求合力的方法为力多边形法则 合力。这种求合力的方法为力多边形法则 合成的结果：是一个合力， 合成的结果：是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边来 表示，其作用线通过各力的汇交点。 表示，其作用线通过各力的汇交点。即合力等于各分力的向量和 或几何和）。 （或几何和）。
理论力学第二章(汇交力系)
力多边形 各分力矢与合力矢构成的多边形。
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
FR FRx 2 FRy 2
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
平面汇交力系与平面力偶理论(精品资料)PPT
一、力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
第2章平面汇交力系
投影定义：过力的起点 A 和终点 B 向 x 轴作垂线，垂足
分别为 a、b；垂足之间的距离为投影的大小，由 a 到 b 的指向与x 轴一致投影为正；反之，为负。
y
FR
α
B
y
B P
α x
A a
A
x
Fx
b
a
Px
b
Fx ab＝FR cos
Px －ab＝ P cos
已知力 FR(作用点A) 与坐标轴 x、y 夹角为θ 、β ，求力 FR 在x、y 轴上的投影。 y B b’ FR β FRy Fy θ A F a’ Rx j x Fx i b a 投影： Fx FR cos
P cot 5.72kN 2
P R cot 2
§2—3
平面力对点之矩的概念与计算
1 力对点之矩（力矩）
度量力使物体在平面内绕一点转动的效果。
A
MO ( F ) Fh
O——为矩心(转动中心)。
O
h
F B
h——为矩心到力作用线的距离，称为力臂。 由图可知：MO(F)= ±2△OAB 规定：力使物体绕矩心作逆时针转动时，力矩为正； 在平面问题中，力使物体的转动方向只有两个，故用 顺时针转动时，力矩为负。 正负号表示转向。因此平面问题中的力矩为代数量。
O
FR
F4 F b 3 c F2 F F4
F4
a
R1
力多边形法则：
O O 汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd，
F1
FR 2
FR
d
FR
称为不封闭的力多边形（力链）。合力为力多边形的封闭边Od， 方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。 合力大小与分力的次序无关。
分别为 a、b；垂足之间的距离为投影的大小，由 a 到 b 的指向与x 轴一致投影为正；反之，为负。
y
FR
α
B
y
B P
α x
A a
A
x
Fx
b
a
Px
b
Fx ab＝FR cos
Px －ab＝ P cos
已知力 FR(作用点A) 与坐标轴 x、y 夹角为θ 、β ，求力 FR 在x、y 轴上的投影。 y B b’ FR β FRy Fy θ A F a’ Rx j x Fx i b a 投影： Fx FR cos
P cot 5.72kN 2
P R cot 2
§2—3
平面力对点之矩的概念与计算
1 力对点之矩（力矩）
度量力使物体在平面内绕一点转动的效果。
A
MO ( F ) Fh
O——为矩心(转动中心)。
O
h
F B
h——为矩心到力作用线的距离，称为力臂。 由图可知：MO(F)= ±2△OAB 规定：力使物体绕矩心作逆时针转动时，力矩为正； 在平面问题中，力使物体的转动方向只有两个，故用 顺时针转动时，力矩为负。 正负号表示转向。因此平面问题中的力矩为代数量。
O
FR
F4 F b 3 c F2 F F4
F4
a
R1
力多边形法则：
O O 汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd，
F1
FR 2
FR
d
FR
称为不封闭的力多边形（力链）。合力为力多边形的封闭边Od， 方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。 合力大小与分力的次序无关。
平面力系—平面汇交力系(理论力学)
y x
④解平衡方程
FAC P
代入下式解得：
解析法求解平面共点力系平衡问题的一般步骤:
1. 选分离体，画受力图（分离体选取应最好含题设的已知 条件）。
2. 在力系平面内选坐标系。 3. 将各力向二坐标轴投影，并应用平衡方程求解。
∑Fx=0，∑Fy=0
FR= Fx2+ Fy2=( Fx)2+( Fy)2 合力F的方向余弦
y
A Fx
Fy Fy
F B
θ
x
O
Fx
COS Fx Fix ,COS Fy Fiy
FR
FR
FR
FR
四、平面汇交力系平衡的解析条件
平面共点力系平衡的充要解析条件是： 力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分 别等于零。 平面共点力系的平衡方程：
例2-1 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P 的作用下AC、BC所受力的大小。
B
解： ①选铰链C为研究对象
C AP
②取分离体画受力图
由于BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与 FAC和外力P构成一平面汇交力系且平衡。 由平衡的几何条件—力多边形封闭，得
FBC
P FAC
用矢量式表示为：
FR F1 F2 F3 Fn Fi
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该 力系的合力等于零。
用矢量式表示，即：
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力 的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。
于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系 的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
一、力在坐标轴上的投影
工程力学第1节 平面汇交力系
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
平面汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合
力等于零。也即各分力F1﹑F2﹑…﹑Fn所构成的力多
边形自行封闭。
平面汇交力系 平衡的充分必要条件
n
Fi 0
i 1
注意 因为力是矢量，其包括大小和方向二个元
素。所以用封闭力多边形可以求出二个未知元素， 即可以有一个力大小和方向都未知，或者有二个力 各有一个未知元素（大小或方向）。
第二章 平面力系
关于力系的分类
为了研究方便，我们将力系按其作用线的分 布情况进行分类： • 空间力系：力系中各力的作用线不处在同一平面的
一群力。 • 平面力系：各力的作用线处在同一平面内的一群力。
平面汇交力系：各力作用线相交于一点的平面力系。 平面平行力系：作用线相互平行的平面力系。 平面任意力系：作用线即不平行又不相交于一点的
作用在 BC 上的三个 力应满足三力平衡汇交定
理。从而可确 FB 作用
线的方位。
法一
取坐标系Bxy，列出平面汇交力系的平衡方程：
n
Fix 0
in1
Fiy 0
i1
F FB cos 450 FC cos 450 0 FB sin 450 FC sin 450 0
因C为AB的中点，则E
为DB的中点，A为AB的中
点： DA AF x
FN
FT
在直角三角形BFD中
2
BF
a2
(2x)2
(1)
G
x
2
BF
a2
(2x)2
(1)
y
在直角三角形BFA中
2
FR F1 F2 Fn Fi i1
平面汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合
力等于零。也即各分力F1﹑F2﹑…﹑Fn所构成的力多
边形自行封闭。
平面汇交力系 平衡的充分必要条件
n
Fi 0
i 1
注意 因为力是矢量，其包括大小和方向二个元
素。所以用封闭力多边形可以求出二个未知元素， 即可以有一个力大小和方向都未知，或者有二个力 各有一个未知元素（大小或方向）。
第二章 平面力系
关于力系的分类
为了研究方便，我们将力系按其作用线的分 布情况进行分类： • 空间力系：力系中各力的作用线不处在同一平面的
一群力。 • 平面力系：各力的作用线处在同一平面内的一群力。
平面汇交力系：各力作用线相交于一点的平面力系。 平面平行力系：作用线相互平行的平面力系。 平面任意力系：作用线即不平行又不相交于一点的
作用在 BC 上的三个 力应满足三力平衡汇交定
理。从而可确 FB 作用
线的方位。
法一
取坐标系Bxy，列出平面汇交力系的平衡方程：
n
Fix 0
in1
Fiy 0
i1
F FB cos 450 FC cos 450 0 FB sin 450 FC sin 450 0
因C为AB的中点，则E
为DB的中点，A为AB的中
点： DA AF x
FN
FT
在直角三角形BFD中
2
BF
a2
(2x)2
(1)
G
x
2
BF
a2
(2x)2
(1)
y
在直角三角形BFA中
2
第二章 平面汇交力系
（一）几何法 F1 F2 O = O R F1
F2
F4 C B F12 A F123
F3
F4
F3
D
E
利用力的可移性原理，我们可以将 各个力都移至汇交点O，我们可以 连续用平行四边形法则或三角形法 则来把它合成如左图，则矢量AE就 表示这个平面汇交力系合力的大小 和方位。
实际上，在我们合成的时候，完全可以不画出这些中间矢量， 而将这所有的力首尾相接，最后画出一个开口的力的多边形， 然后，我们从起始点向终止点画出一条有向线段，就表示合 力的大小和方向，这种以力多边形求合力的作图规则，称为 力多边形法则，这种求合力的方法，称为几何法。 合力是各分力的向量和（几何和）
y
A
30° 30°
B
SAB P SBC
30°
B
30°
x
C
Q
P
a
b
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
Fx 0 Fy 0
y
S BC con 30 S AB Q sin 30 0
S BC cos 60 P Q cos 30 0
C 节点 B E a D P a P SAD
SAB
A SDE D
SBD
SAD
（1） A SBC B
（2） SAB SBD （3）
SBE
注意到，各杆都为二力杆，各杆所受的力都是沿杆的轴线方 向，所以其施加在各个销钉（节点）的力也是沿杆的轴线。 要求各个杆件所受的力，应选节点为研究对象，而且各节点 所受的力系为平面汇交力系，而平面汇交力系一次只能求解 两个未知量，所以应该从只有两个未知量的节点开始分析。 也就是说，分析物体系统的力学问题，选取研究对象有一个 先后次序问题。有一个局部和整体的问题。
F2
F4 C B F12 A F123
F3
F4
F3
D
E
利用力的可移性原理，我们可以将 各个力都移至汇交点O，我们可以 连续用平行四边形法则或三角形法 则来把它合成如左图，则矢量AE就 表示这个平面汇交力系合力的大小 和方位。
实际上，在我们合成的时候，完全可以不画出这些中间矢量， 而将这所有的力首尾相接，最后画出一个开口的力的多边形， 然后，我们从起始点向终止点画出一条有向线段，就表示合 力的大小和方向，这种以力多边形求合力的作图规则，称为 力多边形法则，这种求合力的方法，称为几何法。 合力是各分力的向量和（几何和）
y
A
30° 30°
B
SAB P SBC
30°
B
30°
x
C
Q
P
a
b
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
Fx 0 Fy 0
y
S BC con 30 S AB Q sin 30 0
S BC cos 60 P Q cos 30 0
C 节点 B E a D P a P SAD
SAB
A SDE D
SBD
SAD
（1） A SBC B
（2） SAB SBD （3）
SBE
注意到，各杆都为二力杆，各杆所受的力都是沿杆的轴线方 向，所以其施加在各个销钉（节点）的力也是沿杆的轴线。 要求各个杆件所受的力，应选节点为研究对象，而且各节点 所受的力系为平面汇交力系，而平面汇交力系一次只能求解 两个未知量，所以应该从只有两个未知量的节点开始分析。 也就是说，分析物体系统的力学问题，选取研究对象有一个 先后次序问题。有一个局部和整体的问题。
02 平面汇交力系
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
1.平面汇交力系合成的几何法
力多边形法则:平面汇交力系的合力是将力系中各力矢量 依次首尾相连组成一个不封闭的力多边形，并将该多边形 由起点向终点作有向线段，该有向线段(封闭边)表示该力
系合力的大小和方向，且合力的作用线通过汇交点。
力的多边形法则
FR
F
FR
FRx FRy ( F x) ( F y )
2
2
2
2
Fx cos(FR , i ) FR Fy cos(FR , j ) FR
tg FRy FRx
y
FRy
FR
o
x
FRx
4. 平面汇交力系的平衡方程
F
R
( F x) ( F y)
FR
F
4
3. FRx FRy FRxi FRy j
FRx FR cos FRy FR cos
y
FRy
FR
o
x
FRx
合矢量投影定理
F Rx F x F
y
F
1
2
Fy Ry
F
3
F
F
o
F
R
4
x
合力矢的大小和方向余弦
引 言
静力学 第二章 平面汇交力系
引 言
力系分为：平面力系、空间力系
①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
理论力学平面汇交力系
Rx
Ry
平衡方程 FRx 0 FRy 0
Fx 0
Fy 0
注：1、两个独立的方程，求解两个未知量 2、x,y可以任意轴
例1 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束力。
B P
A
C
求解步骤：
2m 1.取研究对象， 画受力图；
FX 0 FA cos FCD cos 45 0 0
FY 0 P FA sin FCD sin 45 0 0
由EB=BC=0.4m，
tg EB 0.4 1
AB 1.2 3
解得：
FCD
sin
450
P cos 450
tg
4.24 kN；FA
FCD
cos 450
cos
3.16 kN
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
二、平面汇交力系平衡的几何条件
FR F1 F2 ..... Fn Fi (i 1,2......n. )
平面汇交力系平衡的充要条件:
FR Fi 0
力系中各力的矢量和等于零
力多边形自行封闭
F1 F3
Fn
F2
FR F1 F2
2. 任意个共点力的合成
FR F1 F2 .F 3 F4
★
平面汇交力系可以简化为一合力，合力的 大小和方向等于各分力的矢量和，合力的 作用线过汇交点。
FR F1 F2 ..... Fn Fi (i 1,2......n. )
FR1 F1 F2
3
第4节 平面汇交力系
第四节 平面汇交力系一、平面汇交力系合成的几何法和平衡条件各力作用线在同一平面内，并且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。
在图7-6中的梁和吊环都是受到平面汇交力系作用的例子。
c) d)图7-l5 平面汇交力系合成的几何法 设刚体上作用有一个平面汇交力系F 1、F 2和F 3，见图7－15a ； 根据力的可传性，可简化为一个等效的平面共点力系．见图7-15b ；连续应用力三角形法则，见图7－15c ：先将F 1和F 2合成为合力 F 12， 再将 F 12与 F 3合成为合力F ，则F 就是力系的合力。
如果只需求出合力F ，则代表F 12的虚线可不必画出，只需将力系中各力首尾相接，连成折线，则封闭边就表示合力F ，其方向与各分力的绕行方向相反。
比较图7－15c 和图7－15d 可以看出，画分力的先后顺序并不影响合成的结果。
这种用作力多边形来求平面汇交力系合力的方法称为几何法。
显然，上面求两力合力的力三角形法则是力多边形法则的特例。
同时对于有n 个力的平面汇交力系，上述方法也是适用的。
可见平面汇交力系合成的结果为一个合力F ，它等于各分力的矢量和，写为∑∑==+++==ini i n F F F F F F 121 （7-3） 显然，物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零，即∑=0iF （7-4） 如上所述，平面汇交力系的合力是用力多边形的封闭边来表示的。
当合力等于零时，力多边形的封闭边（图7-15 c 和d 中的F 边）不再存在。
所以平面汇交力系平衡的几何条件是力系中各力构成自行封闭的力多边形。
二力平衡公理中的两力等值、反向、共线，其合力等于零，它是平面汇交力系中最简单的平衡力系。
二、平面汇交力系合成的解析法和平衡条件1．力在坐标轴上的投影图7-16 力在坐标轴上的投影设有一力F ，见图 7-16，在力F 作用平面内选取直角坐标系Oxy ，过力F 的起点A 和终点B 分别向x 轴和y 轴作垂线，得垂足a 1、b l 和a 2、b 2，则线段a 1b l 和a 2b 2分别称为力F 在x 轴上和y 轴上的投影，并分别用F x 和F y 表示。
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FX 0 FA cos FCD cos 45 0 0
FY 0 P FA sin FCD sin 45 0 0
由EB=BC=0.4m，
tg EB 0.4 1
AB 1.2 3
解得：
FCD
sin
450
P cos 450
tg
4.24 kN；FA
FCD
cos 450
cos
3.16 kN
FR F1 F2
2. 任意个共点力的合成
FR F1 F2 .F 3 F4
★
平面汇交力系可以简化为一合力，合力的 大小和方向等于各分力的矢量和，合力的 作用线过汇交点。
FR F1 F2 ..... Fn Fi (i 1,2......n. )
FR1 F1 F2
3
FR2 FR1 FR3 Fi
平衡方程 FRx 0 FRy 0
Fx 0
Fy 0
注：1、两个独立的方程，求解两个未知量 2、x,y可以任意轴
例1 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束力。
B P
A
C
求解步骤：
2m 1.取研究对象， 画受力图；
D
2.列平衡方程；
第二章 平面汇交力系
力系的分类： 1、按作用线在空间的位置。 ①平面力系；②空间力系 2、按作用线是否相交。 ①汇交力系；②平行力系；
③任意力系 (一般力系)
例：起重机的挂钩。
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个共点力的合成
F2
FR
FR
F2
F2
A
F1
A
F1
A
F1 FR
联立两式得: FA = 0.35P FB = 0.79P
例题3 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
600
C
B
150
300
D
E A
B
TBC
150150 300
TBD
FAB E
TBD=G
G 解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
FX = 0 FY = 0
- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0
FX = 0 - TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0 TBC = 9.65 kN
600
C
B
150
300
D
E A
y
B
TBC
150150 300
TBD
FAB E G
x TBD=G
[例] 已知 P=2kN 求CD杆的内力，A支座的约束力
解：CD为二力杆
取AB为研究对象，受力如图
求解步骤：
1.取研究对象， 画受力图；
2.列平衡方程；
A
3.求解未知量。
P
l/2 C
l B
l
l
解: AC为二力构件
P
取整体为研究对象，受力如图
O C
l l
cos
2
0.95
l
l 2
l
2
A
2 2
FA
Sin = 0.32
B
FB
FX = 0 FY = 0
0.71 FA - 0.32 FB = 0 0.71 FA +0.95 FB – P = 0
FR
Fi
三.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 1.力在坐标轴上的投影
Fx F cosθ
F F cosβ y
注：投影是个代数量，可 正可负，可为零。
2.力沿轴的分解
F Fx Fy
★ 四.平面汇交力系合成的解析法
FR F1 F2 ..... Fn Fi (i 1,2......n. )
得：FAC=P/sin600
∑FX=0 FAC cos600 － FAB = 0
FAB= FAC cos600 =P×ctg600
解题技巧及说明：
1、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
2、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。
i 1
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
二、平面汇交力系平衡的几何条件
FR F1 F2 ..... Fn Fi (i 1,2......n. )
平面汇交力系平衡的充要条件:
FR Fi 0
力系中各力的矢量和等于零
力多边形自行封闭
F1 F3
Fn
F2
- TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0
FAB = 45 kN
TBC = 9.65 kN
y
600
C
B
150
300
D
E A
B
300
TBC
150150 300
TBD
FAB E G
x TBD=G
解二： FY = 0
- TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0 FAB = 45 kN
[例4] 图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。
求解步骤： 1.取研究对象， 画受力图； 2.列平衡方程； 3.求解未知量。
F AB A
60° P
F AC
F AB
A
60°
P
F AC
y
x
解：AB，AC 为二力杆 取节点A为研究对象，受力如图
列平衡方程
∑FY=0
FAC sin600 － P = 0
4m
3.求解未知量。
例1 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束反力。
B P
A
C P
2m
B FA
D
A
4m
C
D FND
解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。
2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系： y
3、列平衡方程并求解： B
由合矢量投影定理，得合力投影定理
F Rx
F ix
F Ry
F iy
则，合力的大小为： F F 2 F 2
R
Rx
Ry
方向为：
cos FR , i
Fix FR
cos FR , j
Fiy FR
合力的作用线过汇交点。
五.平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
F R
F 2F 2
Rx
Ry
P
FX = 0 P +FA cos = 0 FA = - 22.36 kN A
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。
FY= 0
FA sin +FND = 0 FND =10 kN
C
x
FA
2m
D
4m
FND
tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.447
例题2.求图示支座A和B的约束反力.自重不计.