相似三角形培优难题集锦(含答_案)

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(完整版)相似三角形难题集锦(含答案),推荐文档

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2.如图,在△ABCABC,动点P以2m/s的速度从移动.同时,动点Q以1m/s的中,ACB90°,平分CDB点到达B点时,Q点随之的速度移动.如果P、Q同时出发,用<t<6)。

中,点A的坐标为(2,1),的图象与线段OA的夹角是45°,在△ABCAB=,为边在C建议收藏下载本文,以便随时学习!我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙,∠ACB=90°,点M是AC上的一轴上,.那么D点的坐标为()A. B.C. D.10..已知,如图,直线y=﹣2x+——A、X字型上一点,AD=AC,BC边上的AE交CD于F求证:求证:中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E为边上的任意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,发现如下事实:(1)当时,EF=;当时,;(3)当时,EF=.当时,参照上述研究结论,请你猜已知:如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、建议收藏下载本文,以便随时学习!我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙离等于该顶点对边上中线长的.)角平分线定理:三角形一个AB于点E、F.求证:.O,过O作EF//AB求证:.的四个顶点分别在△ABC 求证:.长为a.求证:.,点在平行延长线于点Q,S,交于点.求证:)如图2,图,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时,是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)建议收藏下载本文,以便随时学习!我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙建议收藏下载本文,以便随时学习!、G、H.求证:为直角.求证:求证:的延长线交于点E.))求证:.是BC的中点,连接、CG,AE与CG相交于点证:.分别是△ABC的两边上的高,过D作BA的延长线于F、H。

;(2)BG·CG=GF·GH交于点M,EF与AC交于点旋转,使得DE与BA三角形并证明你的结论.)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)建议收藏下载本文,以便随时学习!我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙中,AD⊥BC 于D 。

相似三角形培优训练(含答案)

相似三角形培优训练(含答案)

相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.〔1〕当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;〔2〕当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C 移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.〔1〕①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式;〔2〕在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC 于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.〔1〕当AD=CD时,求证:DE∥AC;〔2〕探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如下图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.〔1〕当x为何值时,PQ∥BC?〔2〕△APQ与△CQB能否相似?假设能,求出AP的长;假设不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t〔s〕表示移动的时间〔0<t<6〕。

相似三角形难题集锦(含答案)

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF 中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B 移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。

相似三角形难题整理汇编(含规范标准答案)(20201213130605).docx

相似三角形难题整理汇编(含规范标准答案)(20201213130605).docx

,.一、相似三角形中的动点问题(1)当 x 为何值时, PQ∥ BC?1. 如图,在Rt △ ABC中,∠ ACB=90°, AC=3,BC=4,过(2)△ APQ与△ CQB能否相似?若能,求出AP的长;点 B 作射线 BB1∥ AC.动点 D 从点 A 出发沿射线AC方向若不能说明理由.以每秒 5 个单位的速度运动,同时动点 E 从点 C 沿射线AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动.过点 D 作 DH⊥ AB于H,过点 E 作 EF⊥ AC交射线 BB1 于 F, G是 EF 中点,连接 DG.设点 D运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时, AD=AB,并求出此时 DE的长度;(2)当△ DEG与△ ACB相似时,求 t 的值.2.如图,在△ ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从A 点出发,沿 AC向点 C 移动.同时,动点Q以 1m/s 的速度从 C 点出发,沿 CB向点 B 移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t 秒.(1)①当 t=2.5s时,求△ CPQ的面积;②求△ CPQ的面积 S(平方米)关于时间t (秒)的函数解析式;(2)在 P, Q移动的过程中,当△ CPQ为等腰三角形时,求出 t 的值.5.如图,在矩形 ABCD中,AB=12cm, BC=6cm,点 P沿AB边从 A 开始向点 B以2cm/s 的速度移动;点 Q沿DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动.如果P、 Q同时出发,用 t (s)表示移动的时间( 0<t<6)。

(1)当 t 为何值时,△ QAP为等腰直角三角形?(2)当 t 为何值时,以点 Q、A、 P 为顶点的三角形与△ ABC相似?3. 如图 1,在 Rt △ ABC中,ACB=90°,AC= 6,BC= 8,点D 在边 AB上运动, DE平分 CDB交边 BC于点 E, EM ⊥BD,垂足为 M, EN⊥ CD,垂足为N.(1)当 AD= CD时,求证: DE∥AC;(2)探究: AD为何值时,△ BME与△ CNE相似?4.如图所示,在△ ABC中, BA=BC=20cm, AC=30cm,点 P 从 A点出发,沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向B 点运动;同时点Q从C 点出发,沿 CA以每秒 3cm 的速度向 A 点运动,当 P 点到达 B 点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为 x.二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为 (2 , 1) ,正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式.7. 在△ ABC中, AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C点的异侧作△ ABD,使△ ABD为等腰直角三角形,求线段 CD的长.8.在△ ABC中,AC=BC,∠ ACB=90°,点 M是 AC上的一点,点N 是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C 恰好落在边 AB 上的 P 点.求证: MC: NC=AP:PB.,.求证:9. 如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边 OA在 x 轴上,边OC在 y 轴上,点 B 的坐标为( 1,3),将矩形沿对角线 AC翻折 B 点落在 D点的位置,且 AD交 y 轴于点 E.那么 D 点的坐标为()A.B.C. D.10.. 已知,如图,直线y=﹣2x+2 与坐标轴交于A、B 两点.以AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为 1﹕ 2。

相似三角形难题集锦(含答案)汇编

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学习-----好资料一、相似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt △ABC 中,/ ACB=90 , AC=3 BC=4 过点 B 作射线 BB1 // AC 动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的 P 点到达B 点时,Q 点随之停止运动.设运动的时间 为x .(1) 当x 为何值时,PQ// BC ? (2) ^ APQ M^ CQB 能否相似?若能,求出 AP 的长; 若不能说明理由.速度运动,同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个 单位的速度运动.过点 D 作DH L AB 于H,过点E 作EF 丄 AC 交射线BB1于F , G 是EF 中点,连接 DG 设点D 运动 的时间为t 秒.(1)当t 为何值时,AD=AB 并求出此时 DE 的长度;2. 如图,在△ ABC 中,/ ABC= 90°, AB=6m BC=8m 动 点P 以2m/s 的速度从A 点出发,沿 AC 向点C 移动.同 时,动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发,沿 CB 向点B 移 动•当其中有一点到达终点时,它们都停止移动•设移 动的时间为t 秒.(1) ①当t=2.5s 时,求△ CPQ 勺面积;②求△ CPQ 的面积S (平方米)关于时间 t (秒)的函数 解析式;(2) 在P , Q 移动的过程中,当△ CPQ 为等腰三角形时, 求出t 的值.沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动;点 Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如 果P 、Q 同时出发,用t (s )表示移动的时间(0v t v 6)。

(1) 当t 为何值时,△ QAP 为等腰直角三角形?(2) 当t 为何值时,以点 Q A 、P 为顶点的三角形 与厶ABC 相似?二、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy 中,点A 的坐标为(2 , 1), 正比例函数y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是45°,求 这个正比例函数的表达式.3. 如图 1,在 Rt △ ABC 中,—ACB= 90°, AC = 6, BC = 8, 点D 在边AB 上运动,DE 平分—CDB 交边BC 于点E , EM 丄BD,垂足为M , EN L CD 垂足为N. (1) 当 AD= CD 时,求证:DE// AC;(2) 探究:AD 为何值时,△ BME W^ CNE 相似?4. 如图所示,在△ ABC 中,BA= BC= 20cm, AC = 30cm,点 P 从 A点出发,沿着 AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动;同时点 Q 从C 点出发,沿CA 以每秒3cm 的速度向A点运动,当(2)当厶DEG 与厶ACB 相似时, 求t 的值.7.在厶 ABC 中, AB= ■ ,AC=4, BC=2以AB 为边在C 点的异侧 作厶ABD 使厶ABD 为等腰直角 三角形,求线段 CD 的长.12.四边形ABCD中, AC为AB AD的比例中项,且AC 平分/ DAB8.在厶ABC中,AC=BC /ACB=90,点M 是AC 上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB 上的P点.求证:MC NC=AP PB.求证:BE _ BC2ci-CD513.在梯形ABCD中, AB// CD AB= b, CD= a, E为AD 边上的任意一点,EF/ AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,空=1(1)当― 时,发现如下事实:a+b厂EF=9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO勺边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1, 3),将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么D 点的坐标为()EF= _ ;⑶当一站DEEF= .当一一时,参照上述研究结论,请你猜想用一般结论,并给出证明.B. D.2色汀丿3 12^10..已知,如图,直线y= - 2x + 2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD使得矩形的两边之比为1 : 2。

相似三角形难题集锦含答案

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC 向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。

相似三角形难题集锦(含答案)

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB 于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM ⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。

相似三角形难题集锦(含答_案)(精编文档).doc

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【最新整理,下载后即可编辑】一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t 的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB 上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME 与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC =20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B 点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q 点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。

相似三角形难题集锦(含答案解析)

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH ⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B 移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。

相似三角形培优训练(含答案)

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相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC 于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。

相似三角形培优训练(含答案)

相似三角形培优训练(含答案)

类似三角形分类进步练习一.类似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC.动点 D 从点 A 动身沿射线 AC 偏向以每秒 5 个单位的速度活动,同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 偏向以每秒 3 个单位的速度活动.过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,衔接 DG.设点 D 活动的时光为 t 秒.(1)当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度;(2)当△DEG与△ACB 类似时,求 t 的值.2.如图,在△ABC 中, ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A点动身,沿 AC 向点 C 移动.同时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点动身,沿 CB向点 B 移动.当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动.设移动的时光为 t 秒.(1)①当 t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积 S(平方米)关于时光 t(秒)的函数解析式;(2)在 P,Q 移动的进程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出 t 的值.3.如图 1,在 Rt△ABC 中, ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 在边 AB 上活动,DE 等分 CDB 交边 BC 于点 E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为 N.(1)当 AD=CD 时,求证:DE∥AC;(2)探讨:AD 为何值时,△BME 与△CNE 类似?4.如图所示,在△ABC 中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点 P 从 A 点动身,沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点活动;同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA 以每秒 3cm的速度向 A 点活动,当 P 点到达 B 点时,Q 点随之停滞活动.设活动的时光为 x.(1)当 x 为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ 与△CQB 可否类似?若能,求出 AP 的长;若不克不及解释来由.5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开端向点 B 以 2cm/s 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开端向点 A 以1cm/s 的速度移动.假如 P.Q 同时动身,用 t(s)暗示移动的时光(0<t<6).(1)当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形?(2)当 t 为何值时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似?二.结构类似帮助线——双垂直模子6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),正比例函数 y=kx的图象与线段 OA 的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式.7.在△ABC 中,AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段 CD 的长.8.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 是 AC 上的一点,点 N 是 BC 上的一点,沿着直线 MN 折叠,使得点 C 正好落在边 AB 上的 P 点.求证:MC:NC=AP:PB.9. 如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为(1,3),将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点 落在 D 点的地位,且 AD 交 y 轴于点 E.那么 D 点的坐标为()A.B.C.D.10..已知,如图,直线 y=﹣2x+2 与坐标轴交于 A.B 两点.以 AB 为短边在 第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的双方之比为 1﹕2.求 C.D 两点的坐 标. 三.结构类似帮助线——A.X 字型 11.如图:△ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F.求证:12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB.AD 的比例中项,且 AC 等分∠DAB.求证:13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E 为 AD 边上的随意率性 一点,EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实:(1)当 时,EF= ;(2)当 时,EF= ;(3)当时,EF= .当 时,参照上述研讨结论,请你猜测用a.b 和 k 暗示 EF 的一般结论,并给出证实. 14.已知:如图,在△ABC 中,M 是 AC 的中点,E.F 是 BC 上的两点,且 BE=EF =FC.求 BN:NQ:QM. 15.证实:(1)重心定理:三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 .(注:重心是三角形三条中线的交点) (2)角等分线定理: 三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比 例. 四.类似类定值问题 16.如图,在等边△ABC 中,M.N 分离是边 AB,AC 的中点,D 为 MN 上随意率性一点,BD.CD 的延伸线分离交 AC.AB 于点 E.F.求证:.17.已知:如图,梯形 ABCD 中,AB//DC,对角线 AC.BD 交于 O,过 O 作 EF//AB分离交 AD.BC 于 E.F.求证:.18.如图,在△ABC 中,已知 CD 为边 AB 上的高,正方形 EFGH 的四个极点分离在△ABC 上.求证:.19.已知,在△ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a.求证:.五.类似之共线线段的比例问题20.(1)如图 1,点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一向线过点 P 分离交BA,BC 的延伸线于点 Q,S,交于点 .求证:(2)如图2, 图 3, 当 点 在 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 或 的 延 伸 线 上时,是否仍然成立?若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由(请求仅以图 2 为例进行证实或解释);21.已知:如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作CF∥AB,延伸 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F.求证:BP2=PE·PF .22.如图,已知△ABC 中,AD,BF 分离为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延伸线于 H.求证:DE2=EG•EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过 P 的直线与AD.BC.CD 的延伸线.AB 的延伸线分离订交于点 E.F.G.H.求证:24.已知,如图,锐角△ABC 中,AD⊥BC 于 D,H 为垂心(三角形三条高线 的交点);在 AD 上有一点 P,且∠BPC 为直角.求证:PD2=AD·DH. 六.类似之等积式类型分解 25.已知如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延伸线交 CA 于 F.求证: 26 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH⊥BM 且 与 AC 的 延 伸 线 交 于 点 E. 求 证 : ( 1 ) △AED∽△CBM; ( 2 )27.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延伸线与 CB 的延伸线交于点 F.(1)求证:.(2)若G 是 BC 的中点,衔接 GD,GD 与 EF 垂直吗?并解释来由.28.如图,四边形 ABCD.DEFG 都是正方形,衔接 AE.CG,AE 与 CG 订交于点M,CG 与 AD 订交于点 N.求证:.29.如图,BD.CE 分离是△ABC 的双方上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分离交 CE 及 BA 的延伸线于F.H.求证:(1)DG2=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH七. 类似根本模子运用30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的极点 E 位于边 BC 的中点上.(1)如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图 2,将△DEF 绕点 E 扭转,使得 DE 与BA 的延伸线交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,于是,除(1)中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论.31.如图,四边形ABCD 和 四 边 形ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分离交 AC.CD 于点 P.Q.(1)请写出图中各对类 似三角形(类似比为 1 除外);(2)求 BP:PQ:QR. 32.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证: 答 案 : 1. 答 案 : 解 : ( 1 ) ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5 又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时 CE=3,∴DE=3+3-5=1(2)如图当点 D 在点 E 左侧,即:0≦t≦ 时,DE=3t+3-5t=3-2t.若△DEG 与△ACB类似,有两种情况:①△DEG∽△ACB,此时,即:,求得:t= ;②△DEG∽△BCA, 此 时,即:,求得:t= ;如图,当点 D 在点 E 右侧,即:t> 时,DE=5t-(3t+3)=2t-3.若△DEG 与△ACB 类似,有两种情况:③△DEG∽△ACB,此时,即:,求得:t= ;④△DEG∽△BCA,此时,即:,求得:t= .综上,t 的值为 或 或 或 .3.答案:解:(1)证实:∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 等分 CDB 交边 BC 于 点 E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB 为 △CDB 的 一 个 外 角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC ( 2 ) ①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE, 如 图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵ 在Rt△ABC 中 ,ACB = 90°,AC = 6,BC =8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC, 如 图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵ 在 Rt△ABC中,ACB = 90°,AC = 6,BC =8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上:AD=5 或 时,△BME 与△CNE 类似.4. 答 案 : 解 ( 1 ) 由 题 意 : AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ∥BC时,,即:解得:( 2 ) 能 ,AP= cm 或AP=20cm①△APQ∽△CBQ, 则,即解得: 或(舍)此时:AP= cm②△APQ∽△CQB, 则,即解得:(相符题意)此时:AP= cm 故 AP= cm 或 20cm 时,△APQ 与△CQB 能类似. 5.答案:解:设活动时光为 t,则 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t.(1)若 △QAP 为等腰直角三角形,则 AQ=AP,即:6-t=2t,t=2(相符题意)∴t=2 时,△QAP 为等腰直角三角形.(2)∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即:,解得: (相符题意);②当△PAQ∽△ABC时,,即:,解得: (相符题意).∴ 当 或 时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似.6. 答 案 : 解 : 分 两 种 情 况 第 一 种 情 况 , 图 象 经 由 第 一 . 三 象 限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知:=90°由双垂直模子知:△OCA∽△ADB∴∵A(2,1),= 45°∴OC = 2,AC = 1,AO = AB∴AD = OC = 2,BD = AC = 1∴D 点 坐 标 为 (2,3)∴B 点坐标为(1,3)∴此时正比例函数表达式为:y=3x 第二种情况,图象经由第二.四象限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知:= 90° 由 双 垂 直 模 子 知 :△OCA∽△ADB∴∵A(2,1),=45°∴OC=1,AC=2,AO=AB∴AD=OC=1,BD=AC=2∴D 点坐标为(3,1)∴B 点坐标为(3,﹣1)∴此时正比例函数表达式为:y= x 7. 答 案 : 解 : 情 况 一 :情况二:情况三:8.答案:证实:办法一:衔接 PC,过点 P 作 PD⊥AC 于D, 则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC : CN=PD : DC∵PD=DA∴MC : CN=DA :DC∵PD//BC∴DA : DC=PA : PB∴MC : CN=PA : PB 办 法 二 : 如图,过 M 作 MD⊥AB 于 D,过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直 模 子 , 可 以 推 知 △PMD∽NPE, 则,依据等比性质可知,而 MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC:CN=PA:PB 9.答案:A解题思绪:如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延伸线于点 M,交 x 轴于点 N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由 B(1,3)∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设 CM=x, 则 DN=3x,AN=1 + x,DM =∴3x+ =3∴x= ∴,则. 答案为 A10.答案:解:过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC 的延伸线于 E.∵直线 y=﹣2x+2与坐标轴交于 A.B 两点∴A(1,0),B(0,2)∴OA=1,OB=2,AB= ∵AB:BC=1:2∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C(4,4)同理可得△ADF∽△BAO,得 (5,2)∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案:证实:(办法一)如图衔接延伸 AE 到 M 使得 EM=AE, CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴(办法二)过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,∵AD=AC,BE=CE∴12.答案:证实:过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC 为 AB.AD 的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案:解:证实:过点 E 作 PQ∥BC 分离交 BA 延伸线和 DC 于点 P 和点 Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB=EF=CQ,又∵AB=b,CD=a∴AP=PB-AB=EF-b,DQ=DC-QC=a-EF∴∴14. 答 案 : 解 :衔 接 MF∵M 是 AC 的 中 点 ,EF =FC∴MF∥AE 且 MF= AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN:BM=BE:BF=NE:MF∵BE=EF ∴BN:BM=NE:MF=1:2 ∴BN:NM=1:1 设 NE=x,则 MF= 2x,AE=4x ∴AN=3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ:QM=AN:MF =3:2 ∵BN:NM=1:1,NQ:QM=3:2 ∴BN:NQ:QM=5:3:215.答案:证实:(1)如图 1,AD.BE 为△ABC 的中线,且AD.BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE,交 AD 的延伸线于点 F∵CF∥BE 且 E 为 AC中 点 ∴∠AEO = ∠ACF,∠OBD = ∠FCD,AC = 2AE∵∠EAO =∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D 为 BC 的 中 点 ,∠ODB =∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO=CF∴∴同理,可证别的两条中线∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 (2)如图 2,AD 为△ABC 的角等分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD的 延 伸 线 于 E 则 ∠BAD=∠E∵AD 为 △ABC 的 角 等 分 线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC=CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案:证实:如图,作 DP∥AB,DQ∥AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形∴BP+CQ=MN,DP = DQ = PQ∵M.N 分 离 是 边 AB,AC 的 中 点 ∴MN = BC =PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,∴∵DP = DQ = PQ = BC = AB∴ AB()= ∴17.答案:证实:∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,∴∴18.答案:证实∵EF∥CD,EH∥AB∴,∵,: ∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,∵EF =EH∴∴19.答案:∵EF∥AC,DE∥BC∴,证实:∵,∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,∴∵EF=DE=a∴ 20. 答 案 : ( 1 ) 证 实 : 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴同来由AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴(2)证实 : 成 立 , 来 由 如 下 : 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴同来由21. 答 案 : 证 实 :∵AB = AC,AD 是 中线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2=PE·PF 即证所求22. 答 案 : 证 实 : ∵DE⊥AB∴= 90°∵=90°∴ ∵BF⊥AC∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2== 90°∵= 90° 且∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴=∴DE2=EG•EH23.答案:证实: 形∵四边形 ABCD 为平行四边∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案:证实:如图,衔接 BH 交 AC 于点 E,∵H为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即∵∠BPC 为直角,AD⊥BC ∴PD2=BD·DC ∴PD2=AD·DH25. 答 案 : 证 实 :∵CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高,E 为 BC 的 中 点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即26.答案:证实:(1)∵∠ACB=∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∠BCM+∠ACD=90°∴∠A=∠BCM 同理可得:∠MDH=∠MBD∵∠CMB=∠CDB+∠MBD = 90° + ∠MBD∠ADE = ∠ADC + ∠MDH = 90° + ∠MDH∴∠ADE =∠CMB∴△AED∽△CBM(2)由上问可知:,即故只需证实即 可 ∵∠A = ∠A,∠ACD =∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴27. 答 案 : ( 1 ) 将 结 论 写 成 比 例 的 情 势 ,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD ( 已 经 有 一 个 公 共 角 ∠F ) Rt△ACD 中 ,E 是 AC 的 中 点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴(2)断定:GD 与 EF 垂直 Rt△CDB 中 ,G 是 BC 的 中 点 , ∴GD = GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB(1 的结论) ∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案:证实:由四边形 ABCD.DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则 ∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中∴≌则 ∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND 则∴29. 答 案 : 证 实 : 找 模 子 . ( 1 ) △BCD.△BDG,△CDG 组 成 母 子 型 类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2 = BG·CG ( 2 ) 剖 析 : 将 等 积式转化为比例式.BG·CG=GF·GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG·CG =GF·GH.30.答案:(1)证实:∵∠MEB+∠NEC=180°-45°=135°=∠MEB+∠EMB ∴∠NEC = ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE ( 2 )△COE∽△EON证 实 : ∵∠OEN=∠C = 45°,∠COE = ∠EON∴△COE∽△EON31.答案:解:(1)△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP ( 2 )∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点 C 为 BE 的中点∴又 ∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵ 点 R 为 DE 的 中 点∴DR=RE∴综上:BP:PQ:QR=3:1:232. 答 案 : 证 实 : ∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴ AE AB 同理可证:AD²=AF AC∴AE AB=AF AC∴AD² =。

相似三角形培优难题集锦(含答案)

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。

相似三角形难题集锦(含答案)

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB 于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM ⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。

相似三角形难题集锦(含答案)

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB 于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM ⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。

相似三角形难题集锦(含答案)

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,ABC2m/s的速度从A点出移动.同时,动点Q以1m/s的速度从中,ACB=90°,AC=6,BC=平分CDB开始向点A以1cm/s的速度同时出发,用t(s)表示移动的时——双垂直模型,点A的坐标为(2,的图象与线段OA的夹角是45AB=,,∠ACB=90°,点M是AC上的一轴于点E.那么D点的坐标为A. B.C. D.——A、X字型AE交CD于F求证:平分∠DAB。

求证:某同学在研究这一问题时,发现如下事实:(1)当时EF=;当时;(3)当时.当时,参照上述研究结论,请你猜想用a、b和k表示EF的)重心定理:三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.)角平分线定理:三角形一个角的于点E、F.求证:.O,过O作EF//AB求证:.求证:.已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边.求证:.,点在平行四边形ABCD的对角线上,一直线过点P分别交,BC的延长线于点,交于点.求证:,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时,是否长线分别相交于点E、求证:中,AD⊥BC于D,H为;在AD上有一点P,斜边AB上的高,E为的中点,ED的延长线交CA求证:的延长线交于点E.))求证:.CG,AE与CG相交于点.ABC的两边上的高,过DBA的延长线于F、H。

,△DEF的顶点E位于交于点M,EF与AC交于点三角形并证明你的结论.)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除ABC中,AD⊥DE=3+3-5=1。

求证:)≦时相似,有两种情况:①△DEG∽△ACB,此时,即:,求得:t=;②△DEG∽△BCA,此时,即:,求得:t=;t>时,相似,有两种情况:③△DEG∽△ACB,此时,即:,求得:t=;④△DEG∽△BCA,此时,即:,求得:t=.的值为或或或.∠ACD平分CDB∴△BME∽△CNE,如图∵∠NCE=∠MBEAD=BD=AB中,ACB ∴△BME∽△ENC,如图∵∠NCE=∠MEB中,ACB ∴△ACD∽△ABC∴∴或时,△∥BC时,,即:解得:AP=cm AP=20cm①△APQ∽,解得:或(舍)AP=cm②△APQ∽,解得:(符合题意)此时:AP=cmAP=cm①当△,,解得:(符合题意)②当△,,解得:(符合题意)当或时,以点过点A作AB⊥OA,交待求直线于点y轴的直线交x轴于点C,过点B作则由上可知:=由双垂直模型知:△OCA∴,=第二种情况,图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA,交待求直线于点轴的直线交y轴于点C,过点B作则由上可知:=由双垂直模型知:△OCA∴,==x 答案:解:情形一:情形二:情形三:8.答案:证明:方法一:连接PC,过点P作PD⊥AC于D,则PD//BC 根据折叠可知MN⊥CPPB方法二:如图,由双垂直模型,知,解题思路:如图∴△DMC∽△AND,∴CM=x,则=+=∴x=∴,则。

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一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。

(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式.7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C 点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:MC:NC=AP:PB.9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为()A. B.10..已知,如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线——A、X字型11.如图:△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD 于F。

求证:12.四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB。

求证:13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB =b,CD=a,E 为AD边上的任意一点,EF∥AB ,且EF交BC 于点F ,某同学在研究这一问题时,发现如下事实:(1)当时,EF=;(2)当时,EF=;究结论,请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论,并给出证明.14.已知:如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两点,且BE=EF=FC。

求BN:NQ:QM.15.证明:(1)重心定理:三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.(注:重心是三角形三条中线的交点)(2)角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.四、相似类定值问题AB于点E、F.求证:.17.已知:如图,梯形ABCD中,AB//DC,对角线AC、BD交于O,过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。

求证:.18.如图,在△ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。

求证:.长为a .求证:.五、相似之共线线段的比例问题20.(1)如图1,点在平行四边形ABCD的对角线BD 上,一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交于点.求证:(2)如图2,图3,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时,是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);21.已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF 于F.求证:BP2=PE·PF.22.如图,已知ΔABC中,AD,BF分别为BC,AC 边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。

求证:DE2=EG•EH23.已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证:24.已知,如图,锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且∠BPC为直角.求证:PD2=AD·DH。

六、相似之等积式类型综合25.已知如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。

求证:26如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证:(1)△AED∽△CBM;(2)27.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC 的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证:.(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由.28.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:.29.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG ⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H。

求证:(1)DG2=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH七、相似基本模型应用30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.31.如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);(2)求BP:PQ:QR.32.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。

求证:答案:1.答案:解:(1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时CE=3,∴DE=3+3-5=1(2)如图当点D在点E左侧,即:0≦t ≦时,DE=3t+3-5t=3-2t.若△DEG与△ACB相似,有两种情况:①△DEG∽△ACB ,此时,即:,求得:t=;②△DEG∽△BCA ,此时,即:,求得:t=;如图,当点D在点E右侧,即:t>时,DE=5t-(3t+3)=2t-3.若△DEG与△ACB相似,有两种情况:③△DEG∽△ACB ,此时,即:,求得:t=;④△DEG∽△BCA ,此时,即:,求得:t=.综上,t 的值为或或或.3.答案:解:(1)证明:∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 平分CDB交边BC于点E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB为△CDB的一个外角∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE∴DE∥AC(2)①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE,如图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD=AB∵在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC,如图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上:AD=5或时,△BME与△CNE相似.4.答案:解(1)由题意:AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x ,当PQ∥BC 时,,即:解得:(2)能,AP=cm或AP=20cm①△APQ∽△CBQ ,则,即解得:或(舍)此时:AP=cm②△APQ∽△CQB ,则,即此时:AP=cm故AP=cm或20cm时,△APQ与△CQB能相似.5.答案:解:设运动时间为t,则DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t.(1)若△QAP为等腰直角三角形,则AQ=AP,即:6-t=2t,t=2(符合题意)∴t=2时,△QAP为等腰直角三角形.(2)∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC 时,,即:,解得:(符合题意);②当△PAQ∽△ABC 时,,即:,解得:(符合题意).∴当或时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.6.答案:解:分两种情况第一种情况,图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA,交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD⊥AC则由上可知:=90°由双垂直模型知:△OCA∽△ADB∴∵A(2,1),=45°∴OC=2,AC=1,AO=AB∴D点坐标为(2,3)∴B点坐标为(1,3)∴此时正比例函数表达式为:y=3x第二种情况,图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA,交待求直线于点B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD⊥AC则由上可知:=90°由双垂直模型知:△OCA∽△ADB∴情形二:∵A(2,1),=45°∴OC=1,AC=2,AO=AB∴AD=OC=1,BD=AC=2∴D点坐标为(3,1)∴B点坐标为(3,﹣1)∴此时正比例函数表达式为:y =x7.答案:解:情形一:情形三:8.答案:证明:方法一:连接PC,过点P作PD⊥AC于D,则PD//BC根据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC:CN=PD:DC∵PD=DA∴MC:CN=DA:DC∵PD//BC∴DA:DC=PA:PB∴MC:CN=PA:PB方法二:如图,过M作MD⊥AB于D,过N作NE⊥AB于E由双垂直模型,可以推知△PMD∽NPE,则,根据等比性质可知,而MD=DA,9.答案:A解题思路:如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M,交x 轴于点N,则∠M=∠DNA=90°,由于折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由B(1,3)∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设CM=x,则DN=3x,AN=1+x,DM =∴3x +=3∴x =∴,则。

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