用因式分解法解一元二次不等式

一元二次不等式的解法

振动与波动
在振动和波动问题中，一元二次不等式可以用于描述振动和波动的频率、周期和振幅等参数的限制条件。
在实际生活中的应用
经济决策
一元二次不等式可以用于解决经济决策问题，例如求解最大利润、最小成本等经济目标下的最优解。
资源分配
在资源分配问题中，一元二次不等式可以用于描述资源的限制条件，例如求解在满足一定资源限制下的最大产出或最小投入等最优解。
它只含有一个未知数 x，并且未知数的最高次数是 2。
形式
标准形式
ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0
一般形式
ax^2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2，则 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的解集分别为 (-∞, x1)∪(x2, +∞) 和 (-
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式的乘积形式，从而求解。
详细描述
对一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$（或 $< 0$）进行因式分解，得到 $(x-x_1)(x-x_2) > 0$（或 $< 0$）。然后根据因式分解的结果，分别解出 $x_1$ 和 $x_2$ 的值，并判断不等式的符号。
详细描述
将一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$（或 $< 0$）的各项移到同一边，使常数项移到右边，得到 $ax^2 + bx + c = 0$。然后通过配方将其转化为 $(x+m)^2 = n$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是常数。最后解出 $x$ 的值，并判断不等式的符号。

一元二次不等式(三)

∴解集为：( ,2) ( 3,)
解法二.（根轴法）（－2）
（能取等号的用实心圆点，不能取等号的用空心圆点）
－2
3
2.画出根轴（没有原点的数轴）并标出各个根； 3.从根轴的左上方开始“穿针引线”； 4.由下列结论写出解集。
解法一. ∵两个因式相除大于0，∴两因式同号
x 3 0 (1) x 2 0 x 3 0 或( 2) x 2 0
解(1)得： x 3
解(2)得： x 2
∴原不等式解集为 { x x 3或x 2}
例.
x3 解不等式： x 2 0
二、解集类总：
(1)设a 0, 当 b 4ac 0 时
2
y
ax 2 bx c 0 两根之外 ax 2 bx c 0 两根之内
(2)设a 0, 当 b 2 4ac 0 时
x1 0
x2
x
y
ax 2 bx c 0(或 0) R
呢？仍然为R（或）再想一想：2 x 6 0(或 0） x
小结：设a 0,当 b2 4ac 0 时 2 不等式 ax bx c 0(或 0) 的解集是 R 不等式 ax 2 bx c 0(或 0) 的解集是
（2）解不等式
（2）二项式系数是负数时，两边同乘以－1化为正数（注意改变不等号的方向）
例：
(1) x 2 5 x 6 0 解：原不等式可化为：
( x 2)( x 3) 0
x 2 0 x 2 0 或( 2) 有(1) x 3 0 x 3 0
1 2 0 51 75 6 2 2
x

一元二次不等式的解法6种常见考法归类(原卷版)

2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a 有a >0和a <0两种，注意aa <0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x －x 1)(x －x 2)<0的解集是(x 1，x 2)，不等式(x －x 1)(x －x 2)>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab >0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0 ；ab <0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0.（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：∪确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；∪画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；∪由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p ＜q 时，若(x －p)(x －q)＞0，则x ＞q 或x ＜p ；若(x －p)(x －q)＜0，则p ＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∪，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A 、B 均为含x 的多项式（1）00>⇔>A AB B （2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB A B B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一解不含参数的一元二次不等式考点二含参数的一元二次不等式的解法考点三利用不等式的解集求参数考点四简单的分式不等式的解法考点五一元二次不等式的恒成立有解问题考点六一元二次不等式的实际应用考点一解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（） A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式：（1）22310x x -+-<；（2）()2160x -->；（3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式：（1）22320x x --> （2）2350x x -+>（3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式24410x x -+<的解集为 A ．1(,]2-∞B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．∅6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为∅的是（） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．2690x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭考点二含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.考点三利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（）A ．-10B ．-6C ．0D ．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（）A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（）A ．()1,2?B ．1,2C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(),1b ，求,a b 的值. (2)若0a >，求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式20x x c +-≤的解集为[]2,1-，则c = .20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为． 24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式3102x x +≤- 的解集是． 25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式： (1)2450x x -++>； (2)2221x ax a -≤-+； (3)132x x+≥-. 考点五一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．31．（2023·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值； (2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．考点六一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P （单位：元/件）与月销售量x （单位：件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本（单位：元）50030R x =+.若每月获得的利润y （单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x 的取值范围为（）A ．()20,45B ．[)20,45C ．(]20,45D ．[]20,4533．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,635．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是．(假设每件衬衫的售价是m )。

一元二次不等式的代数解法

8、解不等式组：求一个不等式组的解集叫做解不等式组。
例1、解不等式：
x x 2 0
2
解：将不等式左边因式分解
:
x x 2 0
2
(x+1)(x-2) >0 x 1 0 x 2 0 或
x x
1 x 1 2 或 x 2

x 1 0 x 2 0
一、有关定义：
1、一元二次不等式：
只含一个未知数，且未知数的最高次数为 2次的不等式，称为一元二次不等式。 2 ax bx c ＞0（a≠0）标准形式：注：其中的“＞”也可以换成“＜”或“≥”、 “≤”。 2、不等式的解：使一个不等式成立的未知数x所取的每一个值叫做这个不等式的一个解。 3、不等式的解集：一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集。 4、解不等式：求一个不等式的解集叫做解不等式。
四、解不等式组。五、写出原不等式的解集：两个不等式组的解集的并集。
例2、解不等式： x2+x-6 ＜0
解： x2+x-6 ＜0 (x+3)(x-2)＜0

x 3 0 x 2 0 或

x 3 0 x 2 0

x 3 或 x 2

x 3 x 2
-3<x<2
x >2 或 x< -1
因此，不等式
x2 x 2 0
的解集是 :
{x|x>2}∪{x|x<-1} 即(2, ∞） ∪ （- ∞， 1)。
用因式分解法解一元二次不等式的基本步骤：
一、移项：使不等式右边为零。二、分解因式：将不等式左侧分解为一次因式乘积的形式。

一元二次方程因式分解法的四种方法

一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。

本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。

二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。

在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。

通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。

四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。

2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。

3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。

4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。

五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。

六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。

一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集

等价形式
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、不等式的性质以及数轴等方法，逐步化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平面区域来表示，通过确定临界点和约束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物线的开口方向和顶点坐标来表示，一元高次不等式的解集可以通过相应函数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不等式的解集，有助于解决复杂的不等式问题。
THANKS FOR WATCHING
函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体等问题时，可以通过一元二次不等式来描述物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一元二次不等式可以用来描述波的传播范围以及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为两个一次不等式的乘积形式，从而求解。

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)
y
一元二次函数
0
0
f (x)=ax2 bx c(a 0)
0
O
x1 {R x |xx1或 x } x2 ax2 bx x2
x
2
ax2 bx c 0的解 x 1 x x 2
有两相等实根 b x1=x2= 2a
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
探究3：
1：求不等式 x 2 5x 0 的解集. 的解集. 的解集. 的解集. 的解集.
2.求不等式 3.求不等式 4.不等式 5.求不等式
x 2 5x 0
x 2 5 x 6
x2 5 0
x2 5 0
例2.解不等式－3x2＋6x > 2
解: ∵－3x2＋6x >2
3 x 2－ 6 x ＋ 2 < 0
∵方程3x2－6x+2 =0的解是
3 3 x1 1 , x2 1 . 3 3
3 3 x 1 所以,原不等式的解集是 x | 1 3 3
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以不妨假设一次上网时间总小于17小时。那么，选用哪一家公司的网络更省钱？
定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的不等式，叫一元二次不等式。
即：ax bx c 0 或 ax bx c （a 0 0)
2 2
方程
x 2 5x 0
y
2 x 5x 0 当y=0时，即
y x 2 5x
得
x1 0
x2 5
2
当y>0时，即x

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间的关系：判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax 3、解一元二次不等式步骤：1、把二次项的系数变为正的。

（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。

（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。

（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x |x< 1 3 或 1 2≤x ≤1或x>2}.2-4 -5 2 21 1 3 1一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x8、01242<--x x 9、012532>-+x x 10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x12、071522≤++x x 13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x 19、2230x x --+≥20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x 22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x17、 24、03442>-+x x 25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x 31、03282>--x x32、031082≥-+x x 33、041542<--x x 34、02122>--x x 35、021842>-+x x36、05842<--x x 37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x 43、0242942≤--x x44、0182142>--x x 45、08692>-+x x 46、0316122>-+x x 47、0942<-x48、0320122>+-x x 49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二.填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是；2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是；4、不等式2210x x -+≤的解集是；5、不等式245x x -<的解集是；9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N = ； 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为__________. 12、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是___________ .13、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________. 三、典型例题：1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．（1）03222<--a ax x （2）0)1(2<--+a x a x。

解一元二次不等式的分解因式法

只含一个未知数，且未知数的最高次次数是2次的不等式。
2、一元二次不等式的标准形式：
•
ax2+bx+c＞0 （a≠0）
• ax2+bx+c＜0 （a≠0） • ax2+bx+c≥0 （a≠0）
• ax2+bx+c≤0 （a≠0）
例1：解不等式： x2－x－12＞0
•分析：不等号左侧是二次三项式x2－x－12，可
或或
x－3≤0 x≤1 x≤3
x≥3
因此，不等式（x－2）2≥1 的解集为［3，＋∞）∪（－∞，1］
小结
1、步骤：
① 移项，不等式的右端变为0
② 不等式左端用平方差公式或十字相乘法分解因式
③ 根据“同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数”的法则把一元二次不等式转化成为两个一次不等式组，进而求解
ax+b＜0
ax+b≥0
（a≠0）
（a≠0）
ax+b≤0
（a≠0）
3、一元一次不等式组
答：由两个或多个一元一次不等式组成的不等式组
4、说出下列不等式组的解集
x＞－3 x＜4 （－3，4） x＞3 x＞－1 （3，＋∞） x＜－1 x＜－4 （－∞，－4） x＜0 x＞2 φ
1、一元二次不等式：
因此，不等式x2+5x+6≥0 的解集为［－2，＋∞）∪（－ ∞，－3］
作业：
1、（2x－5）2＜9 2、（x+1）2＞25
以因式分解成（x+3）（x－4），我们把（x+3）和（x－4）看成两个数，根据两个实数相乘的符号法则：即当且仅当它们同为正或同为负时，它们的积才大于零，当且仅当它们异号时，它们的积才小于零。因此解原不等式等价于解下列两个不等式组。

高二数学一元二次不等式及其解法

是
x1 x2 ?
否
原不等式的解集为R
原不等式的解集为｛x|x R且x x1 ｝
原不等式的解集为｛x| x x1或x x2 ( x1 x2 )｝
结束
；金百国际娱乐
wod80xqy
吐出来啊。”慕容凌娢给了许晨涵一个死鱼眼。“你不也吃的很开心吗。”“你那么好心的请我，我怎么忍心拒绝呢。” 许晨涵笑嘻嘻的吐了吐舌头，“时间不早了，我先走了。”“走好啊！”看着她穿过斑马线，慕容凌娢低下了头，“好奇怪啊，我怎么会保有一丝希望……”回到家，慕容凌娢喝着剩下的半杯奶茶，环顾了一下客厅四周，和往常一样冷清，毕竟大多数时间家里都只有自己一个。不然自己也不会过如此凌乱的‘吃土’生活了……说多了都是泪啊。“喵～”一道黑影敏捷的窜到了慕容凌娢的怀里，温顺的蹭了蹭她手。“Jasmine,我现在就只有你了。”慕容凌娢一把抱住茉莉并且想要狂抓她那两只柔软的耳朵。“喵～喵呜～”茉莉惊险的躲开了慕容凌娢的魔爪，顺势吧不知从何处翻出的玉石坠子抛到了凌娢的手中。“这是什么？”慕容凌娢仔细端详起不明来由的坠子。坠子上的血玉引起了她的注意。这是一块非常美丽的玉石，周身翠绿，犹如碧波潭水光滑剔透的表面，似乎能透出彩光。在这块玉石的中心，存在着一抹鲜艳的红，仿佛一朵盛开的花，被定格在最美的时刻。透过光线观察，慕容凌娢觉得这是一块真正的玉，一块价值连城的玉。 “Jasmine,你真是个天才，不当搜救犬实在是太可惜了。”慕容凌娢伸手就要抱住茉莉。“喵～喵～……(我是只高贵的猫，不要把我和那些愚蠢的汪星人联系到一起！)”茉莉此时内心是拒绝的。在躲避凌娢熊抱的同时，茉莉打翻了还没喝完的奶茶。奶茶理所当然的溅在了血玉上。血玉发出了殷红的光泽，毫无预兆的把慕容凌娢笼罩在其中。慕容凌娢只是觉得眼前一道红光闪过，便失去了知觉。(古风一言)愿你遇良人，与你欢喜城，长歌暖浮生。第003章把某人认作自己的闺蜜当慕容凌娢再次醒来，发现自己身处于一条幽静的小巷子里。“嗯？这个梦做的很宏伟啊！”慕容凌娢若无其事的拍了拍校服上的尘土，“场景都这么真实……还都是仿古建筑。”慕容凌娢兴奋的以为这次的穿越只是自己的一个梦。“没想到那只冰淇淋效果这么好，居然能控制人的梦境……店主姐姐绝对不是什么普通人，唉！居然连名字都没有问呢。”她似乎已经把自己对冷品店店主那些不友好的事情全忘了。沿着幽静的小巷子走到了尽头，慕容凌娢被眼前的场景惊呆了，这里竟是一条繁华的街道。人们还都穿着古装。天呐！我不会是被带到某个古装剧的剧组里来了吧？她终于怀疑起这不是梦。毕竟梦里请不来这么多的龙套。话说怎么没有摄像机呢？导演呢？慕容凌娢大大方方的走入了人群中，想要寻找摄像机，丝毫没有发现其余人都用怪异的目光看着她。“哟！这位姑娘，看你这身打扮想必不是本地人吧！”有一人突然挡在了慕

《解一元二次不等式》因式分解法

分解法简化求解过程。
Байду номын сангаас
数学竞赛
因式分解法是数学竞赛中常用的解题方法之一，对于提高解题速度和准确度具有重要作用。
数学教育
因式分解法是中学数学教育中的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重要意义。
03 解一元二次不等式的因式分解法实例
简单的一元二次不等式实例
总结词：简单易懂
详细描述：对于形式简单的一元二次不等式，因式分解法是一种直观且易于理解的方法。例如，对于不等式x^2 - 2x - 3 > 0，可以通过因式分解为(x - 3)(x + 1) > 0，从而得出解集为x < -1或x > 3。
解集为 $varnothing$。解析：首先将不等式 $-3x^2 + 4x - 4 < 0$ 进行因式分解，得到 $(2x - 2)(3x - 2) > 0$。由于临界点 $x = frac{2}{3}$ 和 $x = 1$ 不满足不等式，因此不等式的解集为空集。
解集为 $varnothing$。解析：首先将不等式 $x^2 - 2x + 1 > 0$ 进行因式分解，得到 $(x 1)^2 > 0$。由于平方项始终大于等于0，因此不等式的解集为空集。
复杂的一元二次不等式实例
总结词：技巧性强
详细描述：对于形式复杂的一元二次不等式，因式分解法需要一定的技巧和经验。例如，对于不等式x^2 - 6x + 9 > 0，可以先将常数项移至右侧，得到x^2 - 6x > -9，然后通过配方转化为(x - 3)^2 > 0，从而得出解集为所有实数x，除了x = 3。
《解一元二次不等式》因式分解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是数学中常见的问题类型，解决一元二次不等式可以帮助我们理解不等式的性质以及找到合适的解集。

本文将介绍一元二次不等式的解法，并以具体的例题展示解题过程。

一、基本概念在解决一元二次不等式之前，我们先来了解一下一元二次不等式的基本概念。

1. 一元二次不等式的形式一元二次不等式的一般形式为：ax² + bx + c > 0 或者 ax² + bx + c < 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

2. 解的定义对于一元二次不等式 ax² + bx + c > 0，如果存在实数x使得 ax² + bx + c > 0 成立，则称x是一元二次不等式的解。

同理，对于一元二次不等式 ax² + bx + c < 0，如果存在实数x使得 ax² + bx + c < 0 成立，则称x是一元二次不等式的解。

二、解法一元二次不等式的解法主要有以下几种方式：图像法、分析法、公式法等。

1. 图像法使用图像法解决一元二次不等式，可以通过绘制一元二次函数的图像来帮助我们理解问题，并找到合适的解集。

例如，对于不等式 x² - 3x + 2 > 0，我们可以绘制函数 y = x² - 3x + 2 的图像，然后观察图像在x轴上的位置。

通过分析图像在x轴上方的部分，我们可以确定该不等式的解集。

2. 分析法分析法是一种较为常用的解一元二次不等式的方法，通过对不等式进行因式分解、配方法等运算，将不等式转化为易于判断的形式来求解。

例如，对于不等式 x² - 3x + 2 > 0，我们可以通过将其进行因式分解得到 (x - 1)(x - 2) > 0，进而找到满足 (x - 1)(x - 2) > 0 的解集。

3. 公式法公式法是一种直接利用一元二次方程求根公式来求解一元二次不等式的方法。

一元二次不等式及其解法

“三个二次”的关系如下表(a >0) 三个二次” 三个二次
△=b2-4ac
二次函数
△> 0
Y
△=0
Y x1
△< 0
Y
y=ax2+bx+c
的图象
0 x1 x2
X
0
X
0
X
ax2+bx+c=0
的根一元二次不等式
二次方程
有两个不等实根 x1≠ x2
有两个相等实根 x1=x2 = b 2a
无实根
ax2+bx+c>0
③
的解集为{x ①不等式x2≥4的解集为 │ x ≥±2}; 不等式的解集为 ± 的解集为{x ②不等式x2 -9<0的解集为 │ x <3}; 不等式的解集为 ③不等式(x-1)2 <2的解集为 │1 2 < x <1+ 2} 的解集为{x 不等式的解集为的两个实根， ④设x1、x2 为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1<x2, 的两个实根、则不等式ax 的解集为{x 则不等式 2+bx+c<0的解集为 │ x1 <x<x2} 的解集为
已知一元二次不等式a 例2 . 已知一元二次不等式 x2 ＋bx+1>0 6 . 的解集为{x 的解集为 │- 1＜x＜1/3}, 则ab= ＜＜分析:二次不等式的解是通过相应二次方程的分析二次不等式的解是通过相应二次方程的根来确定的，根来确定的，由此可以理解为 a x2 ＋bx+1＝0 ＝的根为-1，。的根为，1/3。解：由条件可知：方程a 的根-1，方程 x2 ＋bx+1＝0的根，1/3 ＝的根又解在两根之间; 又解在两根之间 ∴a＜0 ＜

一元二次方程与不等式

一元二次方程与不等式一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一种含有未知数的二次项、一次项和常数项的方程。

通常形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a≠0。

一元二次方程的解即为满足方程的未知数的值。

二、求解一元二次方程的方法1.配方法：即通过乘以一个合适的因式，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式。

例如，对于方程x² + bx = c，我们可以乘以2a来得到2ax² + 2abx = 2ac，然后将左边的两项进行平方，得到(2ax + b)² =b² - 4ac。

最后开根号并移项即可求解出x的值。

2.因式分解法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，如果可以将其因式分解为(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0的形式，那么方程的解即为x = -b₁/a₁和x = -b₂/a₂。

3.求根公式法：根据一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0，我们可以通过求解根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)来得到方程的解。

三、一元二次方程的实际应用一元二次方程在数学和实际生活中具有广泛的应用。

以下列举了几个常见的实例：1.物体自由落体：根据牛顿第二定律，我们可以得到物体自由落体的距离和时间之间的二次关系。

其中，距离可以表示为s = gt²/2，其中g为重力加速度，t为时间。

2.消费模型：一元二次方程可以用来描述不同商品价格和销售数量之间的关系，从而帮助企业进行合理定价和销售策略。

3.投射运动：当物体在一个斜面上进行投射运动时，我们可以利用一元二次方程描述物体在x轴和y轴上的运动轨迹。

四、不等式及其基本性质不等式是数学中常见的一种表示关系的工具，用于描述数的大小和大小之间的关系。

例如，x > 3就是一个不等式，表示x的值大于3。

用因式分解法解一元二次不等式

0 0
,
或者（2）xx
x1 x2
0 0
问题：不等式 ax2 bx c 0 如何解？
返回
示范例题
例1 解不等式（x+4）（x-1）＞0 例2 解不等式 t t
在此实际情境下，时间t 应大于0
返回
巩固练习
返回
本课小结
知识要点
1 用因式分解法解一元二次不等式
2 因式分解的一般方法：
若x1, x2是一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的两个实根，则 ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 )
3 注意到当解答有实现背景的数学题时，应该结合实际情况得到答案.
返回
布置作业
ห้องสมุดไป่ตู้ 习题册P18
习题2.2（2）/A组2、3
B组
返回
因式分解
预备知识
若x, x是一元二次方程 ax bx c (a ) 的两个实根，则
ax bx c a( x x )( x x )
例如：x²+2x-3
返回
新课导入
用因式分解法解一元二次不等式
x2 2x 3 0
返回
双基讲解
1 用因式分解法解一元二次不等式
x (1)x
x1 x2

一元二次不等式的解法

3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
（三）不等式的恒成立
4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
分析：先考虑是不是二次不等式，若是二次不等式，需要对于任意一个x，y都小于0，画图只能开口向下，与x轴没有交点。
解答
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
第二级讨论：对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论. 若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
再见！
0或
a
0 0
ax2
bx
c
0恒成立
a c
b 0
0 或 a
0 0
ax2
bx
c
0恒成立
a c
b 0
0 或 a
0 0
题型与解法
（四）含参数的一元二次不等式的解法例4 解关于x下列不等式：x2 – ax – 6a2 < 0. 解：原不等式可化为：(x – 3a)(x +2a) < 0. ①当a=0时，x2 < 0,无解； ②当a>0时，3a > -2a，则有-2a<x<3a； ③当a<0时， 3a < -2a，则有3a<x<-2a. 综上，当a=0时，原不等式的解集为空集；当a>0时，原不等式的解集为{x|-2a<x<3a}；当a<0时，原不等式的解集为{x|3a<x<-2a}.
O x1
x
x O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根

一元二次不等式的解法和解题技巧

一元二次不等式的解法和解题技巧一元二次不等式是高中数学知识点中的重要内容，所以一元二次不等式的解法是非常重要的。

高中网校的数学老师称同学们对于一元二次不等式的题目一定要首先掌握一元二次不等式的解法和技巧，本文中酷课网老师就像同学们介绍一下一元二次不等式的解法和解题技巧。

定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。

它的一般形式是ax^2+bx+c>0 或ax^2+bx+c<0(a不等于0)其中ax^2+bx+c是实数域内的二次三项式。

一元二次不等式的解法解法一当△=b^2-4ac≥0时，二次三项式，ax²+bx+c有两个实根，那么ax²+bx+c 总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。

这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。

一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。

举例：试解一元二次不等式2x²-7x+6<0解：利用十字相乘法2x -3x-2得(2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论：1) 2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2。

不成立2)2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。

得最后不等式的解集为：1.5完毕。

解法二另外，你也可以用配方法解二次不等式。

如上例题：2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125<02(x-1.75)^2<0.125(x-1.75)^2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。

一元二次不等式定义域-定义说明解析

一元二次不等式定义域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它是对一元二次函数的研究和应用。

定义域是一元二次不等式的重要概念之一，它指的是一元二次函数中自变量的取值范围。

本文将对一元二次不等式的定义域进行深入探讨，包括定义域的概念、求解方法以及应用等方面，旨在帮助读者更好地理解和应用一元二次不等式的定义域，为进一步学习和研究提供基础。

部分的内容1.2 文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将会对一元二次不等式的概述进行介绍，同时也会描述本文的结构和目的。

正文部分将会详细讨论一元二次不等式的定义、解法和图像，以及相关的数学概念和定理。

在结论部分，将对一元二次不等式的定义域进行总结，并探讨其在实际应用中的作用，同时也会展望一元二次不等式在未来的研究方向。

整篇文章将会全面而系统地介绍一元二次不等式的相关内容，为读者提供全面的信息和知识。

1.3 目的：本文的目的在于对一元二次不等式的定义域进行深入探讨和分析。

首先，我们将介绍一元二次不等式的定义域的概念和意义，以及为什么需要研究和应用一元二次不等式的定义域。

其次，我们将探讨一元二次不等式的定义域在实际问题中的应用，以及在解决数学和实际生活中的问题时的重要性。

最后，我们将展望一元二次不等式的定义域的研究方向，探讨可能的拓展和应用领域，为相关领域的进一步研究和应用提供一定的参考和启发。

通过本文的研究，旨在加深对一元二次不等式的定义域的理解，拓展其应用领域，促进相关领域的发展和应用。

2.正文2.1 一元二次不等式的定义一元二次不等式是指一个形式为ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。

在一元二次不等式中，x代表未知数，而a、b、c则是已知的常数。

不等式的解是满足不等式的x的取值范围。

对于一元二次不等式，我们需要找到它的定义域，即使得不等式成立的x的取值范围。

一元二次不等式的解法

1 x1 = x 2 = 2
y
解法2:由于由于4x 解法由于 2-4x+1=(2x-1)2≥0
1 所以原不等式的解集为x x≠ 2 2－4x＋1 ≤0 ⇒ x x= 注：4x
o x
1 2
的解集。例2.求不等式－x2 ＋2x－3 > 0的解集。求不等式－的解集
若改为:不等式若改为不等式 2x2－3x－2 < 0 . －
1 解集为 : x − < x < 2 2
x
1 − 2
开口向上,小于开口向上小于0 小于解集是大于小根且解集是大于小根且小于大根(取中间小于大根取中间) 取中间
2
利用图象解一元二次不等式其方法步骤是: 其方法步骤是: (1)化标准型a +bx+c>0（ <0） (1)化标准型ax2+bx+c>0（或<0）（a＞0）化标准型 (2)求出和相应方程的根，求出Δ (2)求出Δ和相应方程的根， (3)根据函数图象写出不等式的解集根据函数图象写出不等式的解集。 (3)根据函数图象写出不等式的解集。
⇒解集为R
例3.求不等式 2x2－3x > 2的解集 . 求不等式的解集
解法1: 解法不等式可化为 2x2－3x -2> 0
因为△ 因为△ =(-3)2-4×2×(-2)=25>0, × × 方程 2x2－3x－2 =0有两根－有两根
− 1 2
1 x1 = − , x 2 = 2 . 2 1 ∴ 原不等式的解集为 x | x < − 或x > 2 . 2
课后作业
必做题 1.课本P80习题3.2 1.2