第五节定积分在几何中的应用

第五节 定积分在几何中的应用本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何中的应用。

一、微元法本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤中，关键是第二步，即确定()i i x f A ∆≈∆ξ在实用上，为简便起见，省略下标。

i 用A ∆表示任一小区间[]dx x x +,上的小曲边梯形的面积，这样∑∆=A A取[]dx x x +,的左端点x 为i ξ，以点x 处的函数值()x f 为高，dx 为底的矩形面积为A∆的近似值（如图5-14中阴影部分所示），即()dx x f A ≈∆上式右端()x f dx 称为面积微元， 记为()dx x f dA =，于是面积A 就是将这些微元在区间[]b a ,上的“无限累加”，即a 到b 的定积分()dxx f dA A b aba⎰⎰== 分通过上面的作法，我们可以把定积分——和式的极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。

概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F 的积分表达式，可按以下步骤确定：（1） 确定积分变量x ，求出积分区间[]b a ,。

（2） 在[]b a ,上，任取一微小区间[]dx x x +,，求出部分量F ∆的近似值F ∆()dx x f dF =≈（称它为所求量F 的微元）。

（3） 将dF 在[]b a ,积分，即得到所求量()dxx f dF F b aba⎰⎰==，通常把这种方法叫做微元法（或元素法）下面用微元法讨论定积分在几何中的应用。

二、平面图形的面积1. 直角坐标情形根据定积分的几何意义，由区间[]b a ,连续曲线()()()()[]()b a x x g x f x g y x f y ,,∈≥==、及直线b x a x ==、所围成的平面图形的图 5-14面积A ，由定积分的性质，此式可写为()()[]dxx g x f A ba⎰-=利用微元法求解可得同样的结果。

其中d ()()[]dx x g x f A -=，就是面积元素例1计算由两条抛物线y x x y ==22和围成的图形面积。

解 （1）如图5-15所示，确定积分变量为x 由方程组{22x y xy ==解得两抛物线交点为（0，0）、（1，1），从面可知所求图形在直线x=0及x=1之间，即积分区间[]1,0（2）在区间[]1,0上，任取小区间[]dx x x +,对应的窄条面积近似于高为()2x x -，底为dx 的小矩形面积，从而得面积元素()dx x x dA 2-=(3) 所求图形面积为()103123132⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A =31（平方单位） 例2、求曲抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的图形面积。

解：（1）如图5-16所示确定积分变量为y ，解方程组{x y x y =-=22解得交点（1,-1）及(4,2)从而知这图形在1-=y 与y=2之间，即积分区间[]21，- （2）在区间[]2,1-上，任取一小区间[]dy y y +,，对应的窄条面积近似于高为dy ，底为()22y y -+的矩形面积从而得到面积元素()[]dy y y dA 22-+=（3） 求图的面积为()2132212312212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=⎰y y y dy y y A =平方单位）(29如果取x 为积分变量，则积分区间须分成[][]4110，，，两部分，且每个区间对应的面积元素并不相同。

所以计算比较复杂，因此应恰当选择积分变量。

一般地，由区间[]d c ,上的连续曲线()()()()[]()d c y y y y x y x ,,∈≥==φϕφϕ、及直线5-15图 5-16d y c y ==、所围成平面图形面积为()()[]dyy y A dc⎰-=φϕ面积元素是()()[]dy y y dA φϕ-=一般说来，求平面图形面积的步骤为：（1） 作草图，确定积分变量和积分区间； （2） 求出面积微元。

（3） 计算定积分求出面积。

2、极坐标情形某些平面图形，用极坐标计算它们的面积方便。

用微元法计算：由极坐标方程()θρρ=比较示的曲线与射线βθαθ==、、所围成的所表曲边扇形面积（图5-17）。

以极角θ为积分变量，积分区间为[]βα，，在[]βα，上任取一小区间[]θθθd +,，与它相应的小曲边扇形面积近似于以θd 为圆心角。

()θρρ=为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素()[]θθρd dA 221=于是所求面积为()[]θθρβαd A 221⎰=例3 计算心形线())0(cos 1>+=αθαρ所围成的平面图形的面积（图5-18）。

解 由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积1A ，再2倍即得所求面积A 。

对于极轴以上部分图形，θ的变化区间为[]π,0。

相应于[]π,0上任一小区间[]θθθd +,的窄曲边扇形的面积近似于半径为()θαcos 1+、圆心角为θd 的圆扇形的面积。

从而得到面积元素()θθαd dA 22cos 121+=于是()θθαπd A 2201cos 121+=⎰=()θθθαπd ⎰++022cos cos 2121=θθθαπd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++022cos 21cos 22321 =πθθθα022sin 41sin 22321⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ =243πα所求，所求面积为图 5-17图 5-1821232πα==A A三 、体积1、 旋转体的体积设一旋转体是由曲线()x f y =与直线b x a x ==、、及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成（图5-19）。

现用微元法求它的体积。

在区间[]b a ,上任取[]dx x x +,，对应于该小区间的小薄片体积近似于以()x f 为半径，以dx 为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为()[]dx x f dV 2π=从a 到b 积分，得旋转体体积为()dxx fV ba⎰=2π类似地，若旋转体是由连续曲线()y x ϕ=与直线d y c y ==、及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转而成，则其体积为()dyy V dc⎰=2ϕπ例 4 求椭圆12222=+b ya x 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）。

解 将椭圆方程化为()22222x a a b y -=体积元素为()()dxx a a b dx x f dV 22222-==ππ所求体积为()()⎰⎰-=-=-aaa dx x a a bdx x aa bV 0222222222ππ =20322234312ab x x a a baππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-当a=b=R 时，得球体积334R V π= 例5 试求由过点0（0，0）及点P(r,h)的直线,h y =及y 轴围成的直角三角形绕y 轴旋转而成圆锥体的体积（图5-21）。

解 过OP 的直线方程为图 5-19x r h y =即y h r x =因为绕y 轴旋转，所以取y 为积分变量，积分区间为[0，h]。

体积元素为dyy h r dV 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=π于是圆锥体的体积为hr y h r dy y h r V bh20322203131πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰2、 平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算。

如图5-22所示，取上述定轴为x 轴，并设该立体在过点x=a 、x=b 且垂直于x 轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。

A(x)为x 的已知的连续函数。

取x 为积分变量，它的变化区间为[]b a ,。

立体中相应于[]b a ,上任一小区间[]dx x x +,的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx 的扁柱体的体积，即体积元素()dx x A dV = 于是所求立体的体积为()dxx A V ba ⎰=例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α（图5-23）。

计算这个平面截圆柱所得立体的体积。

解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，以过底圆中心且垂直x 轴的直线为y 轴。

此时，底圆的方程为222R y x =+。

立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是直 角三角形。

它的两条直角 边的长度分别为ay y tan 及，即图 5-20图 5-21 图 5-22图 5-23a x R x R tan 2222--及。

于是截面面积为()()ax R x A tan 2122-=因此所求立体体积为()adx x R V RR tan 2122-=⎰-=a R x x R a RR tan 323tan 21332=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--习题 5-51.求由下列已知曲线围成的图形的面积：（1）；x y x y 2,3==（2）;0,7ln ,3ln ,ln ====x y y x y（3）()0,2,22=-==y x y x y ; （4）();0.2,222>=+=x y x x y （5）x y x y -==2,2（6）.2,,1===y x y x y2. 求由下列各曲线或射线围成图形的面积：（1）()πθθααθρ2,0,0==>=(2)();0cos 2>=a θαρ(3)θρcos 3=和θρcos 1+=的内部(4)().02cos 22>=a a θρ 3. 求由下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：（1） x y x y ==22,,绕x 轴（2） ,0,,0,cos ====y x x x y π绕x 轴 （3） ,0,0,042===+-y x y x 绕y 轴（4） ,0,42=-=y x y 绕y 轴 （5）()16522=-+y x ,绕x 轴4.计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面是等边三角形的立体体积（图5-24）。

5. 计算以半径R 的圆为底，以平行于底且长度等于该圆直径的线段为顶，高为h 的正劈锥体（图5-25）的体积。

图5-24 图5-25。