机械振动大作业——简支梁的各情况分析

机械振动大作业

姓名：徐强

学号：SX1302106

专业：航空宇航推进理论与工程

能源与动力学院

2013年12月

简支梁的振动特性分析

题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。 解答：

一、 单自由度简支梁的振动特性

如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+•

•kx x m ,固有频率ωn =

eq

eq m k ，其中k 为等效刚度，

eq m 为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有

频率。

根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而

引起的变形为）（2

24348EI F -)(x l x x y -=（2

0l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠

度，则： eq k =δF

=

348EI

l

梁本身的最大动能为：

）（224348EI F -

)(x l x

x y -==）（223

max

43x l l x y -

T max =2×dx x y l m l 2

20)(21⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）

（

如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：

T max =2max

21

•y m eq

所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 35

17=

故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：

ωn =

eq

eq m k =

3

171680ml

EI

m

k

图1 简支梁的单自由度模型

二、 双自由度简支梁的振动特性

如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：

m m eq 258≈

所以，质量矩阵为：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→

1001258m m

双自由度简支梁的柔度矩阵：

在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为：）（222

6EI b -

)(b x l l

x x y --=则3/l 处的变形为：δ712=a ，同理可求：δ721=a ，δ82211==a a ，其中EI

l 4863

=δ。

所以，柔度矩阵为：

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=→

8778δa

动力矩阵：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

→

877825

8δm D

令特征行列式为零，得到频率方程为：

=-=∆→

→

D I λ

其中，2

1

ωλ=

，将上式整理得：

116158177812=+-=---=

∆a a a

a a a

-

其中，25

82582

δωλδm m a ==。 解上述方程的根为：

15

1

1=

a ,δωm 245

1= 12=a ,δ

ωm 825

2=

由式→

→

→

→=-0)(）（i i X D I λ，2,1=i

其中⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=→

)(2)(1i i i X X X

）（，分别将1ω、2ω代入上式，得 第一、二阶主振型分别为：

⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→

11)1(1

1X X

）（， ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=→1-1)1(12X X ）（

图2 简支梁的双自由度模型

三、 三自由度简支梁的振动特性

如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：

m m m 41m 231≈

≈=

因此，质量矩阵为：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→

1000100014m m 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=→

91171116117119δa

其中，EI

l 7683=δ。 动力矩阵：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=→

911711161171194δm D

令特征行列式为零，得到频率方程为： 0=-=∆→

→D I λ

其中，2

1

ω

λ=

，将上式整理得：

091117111611171191=---------=∆a

a a a a a a

a

a

其中，442

δωλδm m a ==。

利用Matlab 软件,求解上述方程的根为：

0317

.01=a ,δωm a 1

14=

5.02=a ,δωm a 2

24=

254.23=a ,δ

ωm a 3

34=

由式→

→

→

→=-0)(）（i i X

D I λ，3,2,1=i

其中⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→

)(3)(2)

(1i i i i X X X X ）（，分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→

121)1(11X X

）（， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→1-01)2(12X X ）（, ⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→

12-1)1(13X X ）（