黑体辐射公式的推导

普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导

1 引言

马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。

这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。

2 公式推导

2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导

黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1） 用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)=

则（1）式可分解为三个方程：

222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dy

d Z k Z dz

⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中2222x y z

k k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：

112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )

x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n

∂=∂及0D E ⋅=可得：

123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k z

E A k x k y k z

⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π

=，y y k n L π=，z z k n L π= ,,0,1,2,x y z n n n

= （其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）

则j k （j 表示第j 个本征态）的绝对值为： 2222222

()()()j x y z j k n n n n L L

ππ=++= 换成第j 个本征态的频率得：222()2j j c n L

ν= 当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有： 222()2c n L

ν= （2） （2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。因此，频率区间ν内的本征模数，在数值上等于整数n 空间内数值半径由n n n →+范围内球壳体积的八分之一（这是因为矢量有三个分量，每一个分量都为正数时的概率为1/8）。，即：

2

322314()44()L dN n n V B c c πνππνννν=⋅==⋅⋅ （V 为腔的体积） 又因为每一个频率为ν的单色平面波还存在着两个独立的相互垂直的偏振态，则频率间隔ν内的本征模数为：238()V dN d c πννν=

设(,)T εν表示温度为T ，频率为ν的本征振动的平均能量，(,)T ρν为相应的能量密度，则振动频率在ν到d νν+之间的能量为：

238(,)(,)()(,)V V T d T dN T d c

πρννενννενν== 238(,)(,)T T c

πρννεν= （3） 本征振动是简谐振动，由三维谐振子的能量本征值：3()2

n E n h ν=+

（n=0，1，2…）

系统处于热平衡状态时，处于各本征能量的谐振子分布遵从麦克斯韦-波尔兹曼分布律： 即：exp()n n E E N kT

∝- 所以：exp()(,)exp()n n n n n

E E kT T E kT εν-=-∑∑ （4） 若令1kT β=，exp()n n

Z E β=-∑ 则（4）式可改写为：1(,)dZ T Z d ενβ

=-

由

3exp()exp[()]23exp()exp()23exp()21exp()

n n n

n Z E n h h n h h h ββννβννβν=-=-+=---=--∑∑∑ 所以：1(,)exp()1dZ h T h Z d kT

νεννβ=-=-

代入（3）式得：

3233881(,)(,)exp()1h T d T d d h c c kT ππνρνννενννν==-

581(,)exp()1hc

T d d hc kT

πρλλλλλ=- 此即为普朗克黑体辐射公式。

若按经典理论，由热力学与统计物理的能量均分定理可知平均能量为：(,)T kT εν=

则: 223388(,)(,)T d T d kT d c c

ππρνννενννν== 48(,)T d kTd πρλλλλ=

此即为瑞利-金斯黑体辐射公式。