微积分— 边际分析与弹性分析

解 总利润为：L(q) R(q) C(q) 13q (2q2 4q 21) 2q2 17q 21
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二、函数变化率——边际
边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数
分析 在点xx0处 当x1时 有 y dyf (x0)xf (x0)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
弹性的意义
E Ex
f
(x0)
表示在点
xx0
处
当 x 产生 1%的改变时 fx0)%

在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近
R(100) 1002 6100 10600
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(3) 利润函数
总利润等于总收益与总成本之差，一般用L(q)表示.
L(q) R(q) C(q)
例4.已知某产品的成本函数为C(q) 2q2 4q 21，该产品的 单位价格为13，求该产品的总利润函数.
ff(x((0xx)00)f)
x0xx00 f(fx((0xx)00))

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x x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
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最大利润原则 设R(Q)为收益函数 C (Q)为成本函数 则 得取最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即
R(Q)C (Q) 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边
际成本的变化率 即R(Q)C (Q) 提示
设总利润为L 则 LL(Q)R(Q)C(Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)R(Q)C (Q)
(2) 收益函数
总收益函数是指生产者出售商品所得到的全部收入, 一般用R表示. 设销售量为q, 商品价格为p，则
R pq.
例3. 某商品的市场需求规律为q p 6，求销售100个商品 时的总收入.
解 总收益函数为： R(q) pq (q 6)q q2 6q
销售100个商品时的总收益为：
际成本的变化率 即R(Q)C (Q) 提示
设总利润为L 则 LL(Q)R(Q)C(Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)R(Q)C (Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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定义45(函数的弹性)
设函数yf(x)在点x0处可导 函数的相对改变量与自变量
的相对改变量之比y/ y0 x/ x0

称为函数 f(x)从 xx0 到 xx0x 两点
间的平均相对变化率(弧弹性)
若极限
lim
x0
y x
/ /
y0 x0
存在，则称该极限为f
(x)在点x

x0处的
似” 二字
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x x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
（2）求生产50个产品时的平均成本和边际成本， 并解释后者的经济意义.
__
解：（1）平均成本函数为C

C(q)

0.001q2

0.3q

40

1000
,
q
q
边际成本函数为C(q) 0.003q2 0.6q 40；
__
（2）当q=50时， C(50) 47.5，C(50) 17.5.
两种商品涨价的幅度大不相同 商品A涨了10% 而商品B 涨了01% 哪种商品涨价后销售量会有较大波动? 这种波动由什么
因素决定?
1元
绝对改变量
1% 0.1%
相对改变量
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定义 (绝对改变量与相对改变量)
变量 t从初值t0 变到终值 t1 ，则称
这说明 当x产生一个单位的改变时 y近似改变f (x0)个单位 在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似” 二字
边际的意义
当x在点x0处改变一个单位时，函数f (x)改变f (x0 )个单位.
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边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数
相对变化率(点弹性).
记为
Ey Ex xx0
或E Ex
f
(x0)

即即即
EEyEyy EExExxx
lilmliimmyy/y/y/y0y00lilmliimmyyyx0xx00f xxx0xx00 xxx000xx/xx//0xx00 xxx000xxxyy0y00
ff
((xxx))
f
(x)
例7 求函数y32x在x3处的弹性
解 Ey y x 2 x 2x Ex y 32x 32x
Ey Ex
|x3
23 3 23

2 3

例例89. 求函数 y100e3x 的弹性函数EEyx 及EEyx |x2
解
Ey Ex
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例1 （1）设某电子产品的月销售量是价格的线性函数．当 价格为580元时，每月售出800件；当价格为680元时，每月 售出600件. 试求需求函数 ； （2）该电子产品供应商每月向商场供给量也是价格的线性 函数．当价格为580元时，每月提供800件；当价格为680元 时，每月多提供200件，试求供给函数.
x 20% y 44%
x
y
此时，
y x
/ /
y x

44% 20%

2.2

这表示在(10 12)内 从x10开始 x改变1%时 y平均改变22% 我们称它为从x10到x12 函数yx2的平均相对变化率
(弧弹性)
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表示价格改变一个单位，需求量改变Q( p)个单位.
（2）边际供给 Q( p)
表示价格改变一个单位，供给量改变Q( p)个单位.
（3）边际成本 C(q)
表示生产第(q +1)个产品的成本.
（4）边际收益 R(q)
表示销售第(q +1)个产品的收入.
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总成本 总成本是生产一定数量的产品所需的费用总额
总成本C(Q)由固定成本C0和可变成本C1(Q)两部分组成： C(Q) C0 C1(Q).
平均成本 平均成本是生产一定量产品 平均每单位产品的成本
生产 Q 个单位产品时的平均成本为： C C(Q) Q
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解： (1)设需求量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q a bp.
800 a 580b 600 a 680b 解得 a 1960,b 2. 故需求函数为 Q 1960 2 p. (2)设供给量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q c dp.
800 c 580d 1000 c 680d 解得 c 360,d 2. 故需求函数为 Q 360 2 p.
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例2 设某商品的需求函数为QbaP(a、b0) 供给函数为 QcPd(c、d0) 求均衡价格P0
解 令baP0cP0d
得
P0

bd ac

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2. 成本函数、收益函数、利润函数 (1) 成本函数
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(2) 供给函数
含义：生产商向市场提供的商品的数量. 供给量也主要受到商品价格的影响，亦可视为价格 的函数.记为Q Q( p). 通常降低商品的价格会使供给量增加，提高价格会 使供给量减少．因此供给函数是单调递增函数.
(3) 均衡价格 市场上需求量与供给量相等时的价格 此时的需求量与供给量称为均衡商品量 一般来说 市场上的商品价格 是围绕均衡价格摆动的
Δt = t1- t0为变量 t 在 t0处的绝对改变量；
t t0
称为t在t0处的相对改变量.
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引例 已知yx2 则当x由10改变到12时 y由100改变到144 此时自变量与因变量的绝对改变量分别为:
x2 y44 相对改变量分别为:
L(Q)取得最大值的充分条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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三、函数的相对变化率——弹性
问题思考 商品A的单位价格为10元 涨价1元 商品B的单位价格为1000元 也涨价1元 两种商品价格的绝对改变量都是1元 但各与原价相比
记作

| ( p0 , p0 p)
Q / Q0 p / p0
.
而把
lim
p0
Q / Q0 p / p0
称为该商品在p

p0处的需求弹性(点弹性)，
§4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用
一、常用经济函数 二、函数变化率——边际 三、函数的相对变化率——弹性
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一、常用经济函数
1.需求函数与供给函数 (1) 需求函数 含义：消费者对某种商品的需求量. 需求量主要受到商品价格的影响，可视为价格的函数. 设价格为p, 则需求函数记为Q Q( p). 通常降低商品的价格会使需求量增加，提高价格会 使需求量减少．因此需求函数是单调递减函数.
边际成本的经济意义：第51个产品的成本为17.5元.
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最大利润原则 设R(Q)为收益函数 C (Q)为成本函数 则： 取得最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即
R(Q)C (Q) 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边
★ 边际分析 (利用边际函数来进行分析)
（5）边际利润
生产并销售 q 个单位产品的利润为：
L(q) R(q) C(q) 边际利润为 L(q) R(q) C(q)
它表示销售第(q +1)个产品所增加的利润.
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例6. 已知总成本函数为C(q) 0.001q3 0.3q2 40q 100（0 元）， 求：（1）平均成本函数和边际成本函数；

y
x y

300
e3x100xe3x

3x

Ey Ex
|x2
326
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定义46(需求弹性)
设某商品的需求函数Q

f
( p)在p

p0处可导，则称
Q p
/ /
Q0 p0
为该商品在p p0与p p0 p两点间的需求弹性(弧弹性)，
边际的意义
当x在点x0处改变一个单位时，函数f (x)改变f '(x0 )个单位.
例5 函数yx2 y2x 在点x10处的边际函数值y(10)20 它表示当x10时 x改变一个单位 y(近似)改变20个单位
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★ 边际分析 (利用边际函数来进行分析) （1）边际需求 Q( p)