专题1-2解三角形重难点、易错点突破(含答案)

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破

(建议用时：60分钟)

三角形定“形”记

根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．

1．通过角之间的关系定“形”

例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形

2．通过边之间的关系定“形”

例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c

a ，则△ABC 是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

细说三角形中解的个数

解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨．

1．出现问题的根源

我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，

把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数．

显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情

况：

当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：

根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当

a 不小于

b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b

时才有解．

2．解决问题的策略 (1)正弦定理法

已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B .

根据正弦定理a sin A ＝b

sin B

，可得sin B ＝

b sin A

a

. 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0

(2)余弦定理法

已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求c .

利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，

整理得c2－2bc cos A－a2＋b2＝0.

适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解．

(3)公式法

当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：

A<90°A≥90°

a≥b

a

a

>b

a

≤b a>b sin

A

a＝

b sin A

a

A

一解二解一解无解

一

解

无

解

3．实例分析

例在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝2(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个

挖掘三角形中的隐含条件

解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中

的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．

隐含条件1.两边之和大于第三边

例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围．

隐含条件2.三角形的内角范围

例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．

例3 在△ABC 中，tan A tan B ＝a

2

b 2，试判断三角形的形状．

例4 在△ABC 中，B ＝3A ，求b a

的取值范围．

正弦、余弦定理三应用

有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例．

1．平面几何中的长度问题

例1 如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，求梯形的高．

2．求范围

例2 如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝1，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的取值范围(注：0

时，f (x )＝x －1

x

为增函数)．

3．判断三角形的形状

例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →

＝k ，(k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破参考答案

三角形定“形”记

例1 分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．

解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理

2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 2

2ac

＝c ，

即a 2

＋c 2

－b 2

＝c 2

，即a 2

－b 2

＝0，即a 2

＝b 2

，故a ＝b . 所以△ABC 是等腰三角形．故选B. 方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ，

得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π， 所以A －B ＝0，即A ＝B .

所以△ABC 是等腰三角形，故选B. 答案 B

点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系．

例2分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，可得

sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝b ＋c

a ，整理得a (a ＋c )＝

b (b ＋

c )，

即a 2

－b 2

＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0. 因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ， 所以△ABC 是等腰三角形．故选C. 答案 C