(word完整版)七年级动点问题(已整理)

(word)七年级上期末动点问题专题(附答案)

七年级上期末动点问题专题1．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+〔a+1〕2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．1〕求线段AB的长．2〕设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．〔3〕M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当以下结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．2．如图1，数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．〔1〕PA= _________ ；PB= _________ 〔用含x的式子表示〕〔2〕在数轴上是否存在点 P，使PA+PB=5？假设存在，请求出x的值；假设不存在，请说明理由．〔3〕如图2，点P以1个单位/s的速度从点 D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．1〕假设点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；2〕假设点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；〔3〕如图2，假设点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，以下结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动〔C在线段AP 上，D在线段BP上〕〔1〕假设C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：〔2〕在〔1〕的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．〔3〕在〔1〕的条件下，假设C、D运动5秒后，恰好有PB上〕，M、N分别是CD、PD的中点，以下结论：，此时C点停止运动，D点继续运动〔D点在线段①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．5．如图1，数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200．〔1〕假设BC=300，求点A对应的数；〔2〕如图2，在〔1〕的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN〔不考虑点R与点Q相遇之后的情形〕；〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，假设点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？假设不变，求其值；假设不变，请说明理由．6．如图1，点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．〔1〕如图1，假设CF=2，那么BE= _________，假设CF=m，BE与CF的数量关系是〔2〕当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，〔1〕中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，在线段BE 上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？假设存在，请求出值；假设不存在，请说明理由．7．：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以左运动，运动方向如箭头所示〔C在线段AM上，D在线段BM上〕〔1〕假设AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．〔2〕假设点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM= _________AB．1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向〔3〕在〔2〕的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．8．数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．〔1〕如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_________；〔2〕数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？假设存在，请直接写出x的值；假设不存在，请说明理由．〔3〕如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？9．如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t〔t＞0〕秒．〔1〕写出数轴上点B表示的数_________，点P表示的数_________用含t的代数式表示〕；〔2〕动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，假设点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？〔3〕假设M为AP的中点，N为PB的中点．点 P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；10．如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t〔t＞0〕秒．〔1〕①写出数轴上点B表示的数_________，点P表示的数_________〔用含t的代数式表示〕；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；〔2〕动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，假设P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后那么停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？参考答案与试题解析一．解答题〔共10小题〕a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+〔a+1〕2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：1．点A在数轴上对应的数为AB=|a﹣b|．〔1〕求线段AB的长．〔2〕设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．〔3〕M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当以下结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN 的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：〔1〕根据非负数的和为0，各项都为0；2〕应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；3〕利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．解答：解：〔1〕∵|2b﹣6|+〔a+1〕2=0，a=﹣1，b=3，AB=|a﹣b|=4，即线段AB的长度为4．〔2〕当P在点A左侧时，|PA|﹣|PB|=﹣〔|PB|﹣|PA|〕=﹣|AB|=﹣4≠2．当P在点B右侧时，|PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2．∴上述两种情况的点P不存在．当P在A、B之间时，﹣1≤x≤3，|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x﹣3|=3﹣x，|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣〔3﹣x〕=2．解得：x=2；3〕由可得出：PM=PA，PN=PB，当①PM÷PN的值不变时，PM÷PN=PA÷PB．②|PM﹣PN|的值不变成立．故当P在线段AB上时，PM+PN= 〔PA+PB〕=AB=2，当P在AB延长线上或BA延长线上时，|PM﹣PN|= |PA﹣PB|=|AB|=2．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，表达了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．2．如图1，数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．〔1〕PA= |x+1|；PB=|x﹣3|〔用含x的式子表示〕〔2〕在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？假设存在，请求出x〔3〕如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点的值；假设不存在，请说明理由．A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：〔1〕根据数轴上两点之间的距离求法得出PA，PB的长；2〕分三种情况：①当点P在A、B之间时，②当点P在B点右边时，③当点P在A点左边时，分别求出即可；3〕根据题意用t表示出AB，OP，MN的长，进而求出答案．解答：解：〔1〕∵数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，PA=|x+1|；PB=|x﹣3|〔用含x的式子表示〕；故答案为：|x+1|，|x﹣3|；〔2〕分三种情况：①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去．②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x﹣3，∴〔x+1〕〔x﹣3〕=5，；③当点P在A点左边时，PA=﹣x﹣1，PB=3﹣x，∴〔﹣x﹣1〕+〔3﹣x〕=5，x=﹣；〔3〕的值不发生变化．理由：设运动时间为t分钟．那么OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，AM= AP=+3t，OM=OA﹣AM=5t+1﹣〔+3t〕=2t+，ON= OB=10t+，MN=OM+ON=12t+2，∴==2，∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，的值不发生变化．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．1〕假设点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；2〕假设点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；〔3〕如图2，假设点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，以下结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．考点：两点间的距离．分析：〔1〕求出MP，NP的长度，即可得出MN的长度；〔2〕分三种情况：①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，分别表示出MN的长度即可作出判断；3〕设AC=BC=x，PB=y，分别表示出①、②的值，继而可作出判断．解答：解：〔1〕∵AP=8，点M是AP中点，MP=AP=4，BP=AB﹣AP=6，又∵点N是PB中点，PN=PB=3，MN=MP+PN=7．〔2〕①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN= AB=7．〔3〕选择②．设AC=BC=x，PB=y，①==〔在变化〕；〔定值〕．点评：此题考查了两点间的距离，解答此题注意分类讨论思想的运用，理解线段中点的定义，难度一般．4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动〔C在线段AP 上，D在线段BP上〕〔1〕假设C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：〔2〕在〔1〕的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．〔3〕在〔1〕的条件下，假设C、D运动5秒后，恰好有PB上〕，M、N分别是CD、PD的中点，以下结论：个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．，此时C点停止运动，D点继续运动〔D点在线段①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一考点：比较线段的长短．专题：数形结合．分析：〔1〕根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；2〕由题设画出图示，根据AQ﹣BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；3〕当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．解答：解：〔1〕根据C、D的运动速度知：BD=2PCPD=2AC，BD+PD=2〔PC+AC〕，即PB=2AP，点P在线段AB上的处；〔2〕如图：AQ﹣BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ；又AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴，∴．当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP=PQ'所以AQ'﹣BQ'=3PQ=AB所以=；〔3〕②．理由：如图，当点C停止运动时，有，∴；∴，∵，∴，∴；当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，．点评：此题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．5．如图1，数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200．〔1〕假设BC=300，求点A对应的数；〔2〕如图2，在〔1〕的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN〔不考虑点R与点Q相遇之后的情形〕；〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，假设点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？假设不变，求其值；假设不变，请说明理由．考点：一元一次方程的应用；比较线段的长短．分析：〔1〕根据BC=300，AB=AC，得出AC=600，利用点C对应的数是200，即可得出点A对应的数；〔2〕假设x秒Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，得出等式方程求出即可；〔3〕假设经过的时间为y，得出PE=10y，QD=5y，进而得出+5y﹣400=y，得出﹣AM=﹣y原题得证．解答：解：〔1〕∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应200，A点对应的数为：200﹣600=﹣400；〔2〕设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，MR=〔10+2〕×，RN= [600﹣〔5+2〕x]，MR=4RN，〔10+2〕×=4×[600﹣〔5+2〕x]，解得：x=60；60秒时恰好满足MR=4RN；3〕设经过的时间为y，那么PE=10y，QD=5y，于是PQ点为[0﹣〔﹣800〕]+10y﹣5y=800+5y，一半那么是，所以AM点为：+5y﹣400= y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．点评：此题考查了一元一次方程的应用，根据得出各线段之间的关系等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．6．如图1，点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．〔1〕如图1，假设CF=2，那么BE= 4，假设CF=m，BE与CF的数量关系是〔2〕当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，〔1〕中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？假设存在，请求出值；假设不存在，请说明理由．考点：两点间的距离；一元一次方程的应用．分析：〔1〕先根据EF=CE﹣CF求出EF，再根据中点的定义求出AE，然后根据BE=AB﹣AE代入数据进行计算即可得解；根据BE、CF的长度写出数量关系即可；〔2〕根据中点定义可得AE=2EF，再根据BE=AB﹣AE整理即可得解；〔3〕设DE=x，然后表示出DF、EF、CF、BE，然后代入BE=2CF求解得到x的值，再求出DF、CF，计算即可得解．解答：解：〔1〕∵CE=6，CF=2，∴EF=CE﹣CF=6﹣2=4，∵F为AE的中点，∴AE=2EF=2×4=8，∴BE=AB﹣AE=12﹣8=4，假设CF=m，那么BE=2m，BE=2CF；2〕〔1〕中BE=2CF仍然成立．理由如下：∵F为AE的中点，AE=2EF，BE=AB﹣AE，=12﹣2EF，=12﹣2〔CE﹣CF〕，=12﹣2〔6﹣CF〕，=2CF；3〕存在，DF=3．理由如下：设DE=x，那么DF=3x，EF=2x，CF=6﹣x，BE=x+7，由〔2〕知：BE=2CF，x+7=2〔6﹣x〕，解得，x=1，∴DF=3，CF=5，∴=6．点评：此题考查了两点间的距离，中点的定义，准确识图，找出图中各线段之间的关系并准确判断出BE的表示是解题的关键．7．：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示〔C在线段AM上，D在线段BM上〕1〕假设AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．〔2〕假设点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=AB．〔3〕在〔2〕的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：〔1〕计算出CM及BD的长，进而可得出答案；2〕根据图形即可直接解答；3〕分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．解答：解：〔1〕当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=6cmAB=10cm，CM=2cm，BD=6cmAC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣6=2cm2〕3〕当点N在线段AB上时，如图AN﹣BN=MN，又∵AN﹣AM=MN∴BN=AM= AB，∴MN= AB，即．当点N在线段AB的延长线上时，如图AN﹣BN=MN，又∵AN﹣BN=AB∴MN=AB，即．综上所述=点评：此题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．8．数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．〔1〕如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是﹣1；〔2〕数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？假设存在，请直接写出x的值；假设不存在，请说明理由．〔3〕如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：〔1〕根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=〔﹣3+1〕÷2进而求出即可；2〕根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；3〕分别根据①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P两侧时求出即可．解答：解：〔1〕∵M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，∴x的值是﹣1．2〕存在符合题意的点P，此时x=﹣或．〔3〕设运动t分钟时，点P对应的数是﹣3t，点M对应的数是﹣3﹣t，点N对应的数是1﹣4t．①当点M和点N在点P同侧时，因为 PM=PN，所以点M和点N重合，所以﹣3﹣t=1﹣4t，解得，符合题意．②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．情况1：如果点M在点N左侧，PM=﹣3t﹣〔﹣3﹣t〕=3﹣2t．PN=〔1﹣4t〕﹣〔﹣3t〕=1﹣t．因为PM=PN，所以3﹣2t=1﹣t，解得t=2．此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．情况2：如果点M在点N右侧，PM=〔﹣3t〕﹣〔1﹣4t〕=2t﹣3．PN=﹣3t﹣〔1+4t〕=t﹣1．因为PM=PN，所以2t﹣3=t﹣1，解得t=2．此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N右侧，符合题意．综上所述，三点同时出发，分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键．9．如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t〔t＞0〕秒．〔1〕写出数轴上点B表示的数﹣4，点P表示的数6﹣6t用含t的代数式表示〕；〔2〕动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，假设点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？〔3〕假设M为AP的中点，N为PB的中点．点 P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；考点：数轴；一元一次方程的应用；两点间的距离．专题：方程思想．分析：〔1〕B点表示的数为6﹣10=﹣4；点P表示的数为6﹣6t；2〕点P运动x秒时，在点C处追上点R，然后建立方程6x﹣4x=10，解方程即可；3〕分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．解答：解：〔1〕答案为﹣4，6﹣6t；〔2〕设点P运动x秒时，在点C处追上点R〔如图〕那么AC=6x，BC=4x，AC﹣BC=AB，∴6x﹣4x=10，解得：x=5，∴点P运动5秒时，在点C处追上点R．3〕线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP= AP+ BP=〔AP+BP〕=AB=5；②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP= AP﹣B P=〔AP﹣BP〕=AB=5，∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．点评：此题考查了数轴：数轴的三要素〔正方向、原点和单位长度〕．也考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离．10．如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t〔t＞0〕秒．〔1〕①写出数轴上点B表示的数﹣4，点P表示的数6﹣6t〔用含t的代数式表示〕；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；〔2〕动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，假设P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后那么停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．专题：动点型．分析：〔1〕①设B点表示的数为x，根据数轴上两点间的距离公式建立方程求出其解，再根据数轴上点的运动就可以求出P点的坐标；②分类讨论：当点P在点A、B两点之间运动时；当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN；〔2〕先求出P、R从A、B出发相遇时的时间，再求出P、R相遇时P、Q之间剩余的路程的相遇时间，就可以求出P一共走的时间，由P的速度就可以求出P点行驶的路程．解答：解：〔1〕设B点表示的数为x，由题意，得6﹣x=10，x=﹣4∴B点表示的数为：﹣4，点P表示的数为：6﹣6t；②线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：分两种情况：当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP= AP+ BP=〔AP+BP〕=AB=5；当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP= AP﹣B P=〔AP﹣BP〕=AB=5，∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．〔2〕由题意得：P、R的相遇时间为：10÷〔6+〕=s，P、Q剩余的路程为：10﹣〔1+〕×=，P、Q相遇的时间为：÷〔6+1〕=s，∴P点走的路程为：6×〔〕=点评：此题考查了数轴及数轴的三要素〔正方向、原点和单位长度〕．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，行程问题中的路程=速度×时间的运用．。

七年级动点问题大全

七年级动点问题大全（一）例1:如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b 满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2:如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）在（2）的条件下，从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4:已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A 点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6:在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表 - 24，- 10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

七年级动点问题大全(给力)【范本模板】

七年级动点问题大全例1 如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2｜+（b+3a）2=0(1)求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数；（3)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒)，①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2如图,有一数轴原点为O,点A所对应的数是—1 2,点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1)如果OA=OB,那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3)从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动,3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1)求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2)若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动,几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在(2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时,另一动点C同时从B点位置出发向A运动,当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A 点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1、3,点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A,点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由;（3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P 所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动,且A点的运动速度为2个单位/秒．（1)点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以(1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1)中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB:CA=1:2，若干秒钟后，C 停留在-10处，求此时B点的位置？例6在数轴上，点A表示的数是-30,点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动,同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇,求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m 处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时,电子青蛙n也向右运动,假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10,10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒.⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位?⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行,问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下,当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

(完整版)初一动点问题答案

.线段与角的动点问题1. 如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当P 运动到线段AB 上且PA＝2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段OC 的三等分点，求点Q 的运动速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q 两点相距70cm？【解答】解：（1）P 在线段AB 上，由PA＝2PB 及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P 运动时间为60 秒．若CQ＝OC 时，CQ＝30，点Q 的运动速度为30÷60＝（cm/s）；若OQ＝OC，CQ ＝60，点Q 的运动速度为60÷60＝1（cm/s）．（2）设运动时间为t 秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5 或40，∵点Q 运动到O 点时停止运动，∴点Q 最多运动30 秒，当点Q 运动30 秒到点O 时PQ＝OP＝30cm，之后点P 继续运动40 秒，则PQ＝OP＝70cm，此时t＝70 秒，故经过 5 秒或70 秒两点相距70cm．2. 如图，直线l 上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm．（1）若点P 从点O 出发，沿OA 方向以4cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 B 出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点Q 运动速度为1cm/ s，则经过t 秒后P，Q 两点之间的距离为|160﹣5t| cm（用含t 的式子表示）②若点Q 运动到恰好是线段AB 的中点位置时，点P 恰好满足PA＝2PB，求点Q 的运动速度．（2）若两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．【解答】解：（1）① 依题意得，PQ＝|160﹣5t|；故答案是：|160﹣5t|；②如图1 所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得t＝30，则点Q 的运动速度为：＝2（cm/s）；如图 2 所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，则点Q 的运动速度为：＝（cm/ s）；综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或cm/ s；（2）如图3，两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．OP＝xBQ＝y，则MN ＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），所以，＝＝2．3．如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点P 运动到AB 的中点时，所用的时间为90 秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q 两点相距30cm？【解答】解：（1）当点P 运动到AB 的中点时，点P 运动的路径为60cm+30cm＝90cm，所以点P 运动的时间＝＝90（秒）；故答案为90；（2）当点P 和点Q 在相遇前，t+30+3 t＝60+60+10 ，解得t＝25（秒），当点P 和点Q 在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10 ，解得t＝40（秒），答：经过25 秒或40 秒时，P、Q 两点相距30cm．4. 如图，在数轴上点 A 表示的数是﹣3，点B 在点A 的右侧，且到点 A 的距离是18；点 C在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的 2 倍．（1）点 B 表示的数是15 ；点 C 表示的数是 3 ；（2）若点P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点Q 之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点Q 与点 B 之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点 B 表示的数是﹣3+18＝15；点 C 表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；（2）点P 与点Q 相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P 与点Q 相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P 在点C 左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴ 6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P 表示的数是1；当点P 在点C 右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P 表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC +QB＝4，此时点P 表示的数为 1 或．5. 将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图① ，若∠ AOB＝155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数．（2）如图①，你发现∠AOD 与∠BOC 的大小有何关系？∠AOB 与∠DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图② ，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．【解答】解：（1）∠AOD ＝∠BOC ＝155°﹣90°＝65°，∠DOC ＝∠BOD ﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∠AOD ＝∠BOC，∠AOB +∠DOC ＝180°；（3）∠AOB+∠COD +∠AOC+∠BOD＝360°，∵∠AOC＝∠BOD ＝90°，∴∠AOB+∠DOC ＝180°．6. 以直线AB 上点O 为端点作射线OC，使∠BOC ＝60°，将直角△DOE 的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，若直角△DOE 的边OD 放在射线OB 上，则∠COE ＝30°；（2）如图2，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠AOC，说明OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）如图3，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得∠COD ＝∠AOE．求∠BOD 的度数．【解答】解：（1）∵∠ BOE＝∠COE +∠COB ＝90°，又∵∠ COB＝60°，∴∠COE ＝30°，故答案为：30°；（2）∵ OE 平分∠ AOC，∴∠C OE ＝∠AOE＝COA ，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB ＝90°，∠ COE+∠COD ＝90°，∴∠COD ＝∠DOB ，∴OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）设∠ COD ＝x°，则∠ AOE＝5x°，∵∠DOE ＝90°，∠ BOC＝60°，∴6x＝30 或5x+90﹣x＝120∴x＝5或7.5，即∠ COD ＝5°或7.5°∴∠ BOD＝65°或52.5°．7. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠BOC ＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON 是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1 中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为13 或49 ．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解答】解：（1）平分，理由：延长NO 到 D ，∵∠MON ＝90°∴∠ MOD ＝90°∴∠MOB +∠NOB＝90°，∠MOC +∠COD ＝90°，∵∠MOB ＝∠MOC ，∴∠NOB ＝∠COD ，∵∠NOB ＝∠AOD ，∴∠COD ＝∠AOD ，∴直线NO 平分∠ AOC；（2）分两种情况：① 如图2，∵∠ BOC ＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON 恰好平分锐角∠AOC 时，∠AOD＝∠COD ＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，5t＝65°解得t＝13（s）；② 如图3，当NO 平分∠ AOC 时，∠ NOA ＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65 °＝245°，由题意得，5t＝245°，解得t＝49（s），综上所述，t＝13s 或49s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝40°，理由：∵∠ AOM＝90°﹣∠AON∠NOC ＝50°﹣∠AON ，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠ AON ）﹣（50°﹣∠ AON）＝40°．9. 已知∠ AOC ＝40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点O 进行旋转，点M，O，N 在同一条直线上，OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图1，当点 A 与点M 重合，点 B 与点N 重合，且射线OC 和射线OD 在直线MN 的同侧时，求∠ BOP 的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠ BOD 从ON 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠ AOC 从OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图 2 所示，当旋转6s 时，求∠ DOP 的度数．【解答】解：（1）∵∠ AOC＝40°，∠ BOD ＝30°，∴∠COD ＝180°﹣40°﹣30°＝110°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝55°，∴∠BOP＝85°，∴∠ BOP 的余角的度数为5°；（2）∠DOP 的度数为49°，旋转6s 时，∠MOA ＝3×6°＝18°，∠NOB ＝5×6°＝30°，∴∠COM ＝22°，∠ DON ＝60°，∴∠COD ＝180°﹣∠COM ﹣∠DON ＝98°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝49°．10. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON 是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC＝120°．将图 1 中的三角板绕点O 按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为10 或40 （直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）直线ON 平分∠ AOC ．理由如下：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠ BOC，∴∠ MOC ＝∠MOB ，又∵ OM⊥ON，∴∠MOD ＝∠ MON＝90°，∴∠ COD ＝∠ BON，又∵∠ AOD＝∠BON，∴∠COD ＝∠AOD ，∴OD 平分∠ AOC，即直线ON 平分∠ AOC．（2）∵∠BOC ＝120°∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠COD ＝30°，即旋转60°时ON 平分∠ AOC，由题意得，6t＝60°或240°，∴t＝10 或40；（3）∵∠MON ＝90°，∠ AOC＝60°，∴∠ AOM ＝90°﹣∠ AON、∠NOC ＝60°﹣∠AON，∴∠ AOM ﹣∠NOC ＝（90°﹣∠ AON ）﹣（60°﹣∠AON ）＝30°．即∠ AOM ＝∠NOC+30°．11. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 在直线AB 的下方．（1）将图1 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得OM 落在射线OA 上，此时ON 旋转的角度为90 °；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得OM 在∠BOC 的内部，则∠BON﹣∠COM ＝30 °；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM 恰为∠BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为（24n+16）秒，简要说明理由．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON ，且∠MON ＝90°．故填：90；（2）如图3，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°，∵∠BON＝90°﹣∠ BOM，∠COM ＝60°﹣∠ BOM，∴∠ BON﹣∠COM ＝90°﹣∠BOM ﹣60°+∠BOM ＝30°，故填：30；（3）16 秒．理由如下：如图4．∵点O 为直线AB 上一点，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°．∵OM 恰为∠ BOC 的平分线，∴∠COM ′＝30°．∴∠AOM+∠AOC+∠COM ′＝240°．∵三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O 的运动最短时间为＝16（秒）．∴三角板绕点O 的运动时间为（24n+16 ）（n 是整数）秒．故填：（24n+16 ）．第9页。

七年级动点问题(已整理)

七年级数学上册动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12 或12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K 和点C所对应的数。

2、动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．①3、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？4、数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？②5、在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D 点处相遇，求D点所表示的数6、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

七年级动点问题大全

七年级动点问题大全（一）例1:如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；①求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2:如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）在（2）的条件下，从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4:已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6:在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A 点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表- 24，- 10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

(完整word)初中数学动点问题归纳,推荐文档

图(1) 图(2) 图(3)题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点31、( 2009年齐齐哈尔市)直线 y x 6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，4同时到达A 点，运动停止•点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 7 yB位长度，点P 沿路线O T B T A 运动. (1) 直接写出A 、B 两点的坐标； (2)设点Q 的运动时间为t 秒，△ OPQ 的面积为S ,求出S 与t 之间 _ .- O「 48(3)当S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的5坐标.解：1、A ( 8, 0) B (0, 6)r , 22、当 0 v t v 3 时，S=t当 3 v t v 8 时，S=3/ 8(8-t)t提示：第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论：已知三定点 O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市)如图，AB 是O O 的直径，弦 BC=2cm , / ABC=60 o .(1) 求O O 的直径；(2) 若D 是AB 延长线上一点，连结 CD ，当BD 长为多少时，CD 与O O 相切；(3) 若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点 F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿动点问题的函数关系式;P tQBC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2)，连结EF，当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(3)问按直角位置分类讨论D共3、(2009重庆綦江)如图，已知抛物线y a(x 1)2 3. 3(a 0)经过点A( 2, 0)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM// AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ ,当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.注意：发现并充分运用特殊角/ DAB=60 °当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

(完整word版)初一数学动点问题答题技巧与方法

初一数学动点问题答题技巧与方法关键：化动为静，分类讨论。

解决动点问题，关键要抓住动点，我们要化动为静，以不变应万变，寻找破题点（边长、动点速度、角度以及所给图形的能建立等量关系等等）建立所求的等量代数式，攻破题局，求出未知数等等。

动点问题定点化是主要思想。

比如以某个速度运动，设出时间后即可表示该点位置；再如函数动点，尽量设一个变量，y尽量用x来表示，可以把该点当成动点，来计算。

步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求正解。

数轴上动点问题问题引入：如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是﹣1，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数．练习：1.动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4 （速度单位：单位长度/秒）．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，A、B两点到原点的距离恰好相等？例题精讲：例1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？⑵乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D 点对应的数。

(完整word版)七年级动点问题(已整理)

七年级数学上册动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12 或12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K 和点C所对应的数。

2、动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．①3、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？4、数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？②5、在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D 点处相遇，求D点所表示的数6、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

初一数学动点问题例题集(可编辑修改word版)

初一数学动点问题集锦1、如图，已知△ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后， △BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？解：（1）①∵t = 1秒， ∴ BP = CQ = 3⨯1 = 3 厘米，∵ AB = 10 厘米，点D 为 AB 的中点， ∴ BD = 5 厘米．又∵厘米，∴ PC = 8 - 3 = 5 厘米PC = BC - BP ，BC = 8 ，∴PC = BD ．又∵ AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴△BPD ≌△CQP ．（4 分）②∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ ，又∵△BPD ≌△CQP ，∠B =∠C ，则BP =PC = 4，CQ =BD = 5 ，t =BP=4∴点P ，点Q 运动的时间 3 3 秒，v =CQ=5=15Q t 4 4∴ 3 厘米/秒．（7 分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，15x = 3x + 2 ⨯10由题意，得4 ，x =80解得 3 秒．80⨯ 3 = 80∴点P 共运动了3 厘米．∵80 = 2 ⨯ 28 + 24 ，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．（12 分）y =-3x + 62、直线 4 与坐标轴分别交于A、B 两点，动点P、Q 同时从O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1 个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒， △OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；S =48（3）当5 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） 1 分（2） OA = 8，OB = 6∴ AB = 108= 8点Q 由O 到 A 的时间是1 （秒）6 +10 = 2∴点P 的速度是 8 （单位/秒） 1 分当P 在线段OB 上运动（或 0≤ t ≤ 3 ）时， OQ = t ，OP = 2tS = t 2 1 分当 P 在线段 BA 上运动（或 3 < t ≤ 8 ）时，OQ = t ，AP = 6 +10 - 2t = 16 - 2t ,PD = AP 如图，作PD ⊥ OA 于点D ，由 BO AB ，得 ∴ S = 1 OQ ⨯ PD = - 3 t 2 + 24tPD =48 - 6t5，1 分 2 5 5 1 分（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）yBPO QAxP ⎛8 24 ⎫，⎪（3）⎝5 5 ⎭ 1 分I ⎛28 24 ⎫⎛12 24 ⎫⎛12 24 ⎫1 5⎪，M2 - ，⎪，M3 ，-⎪⎝ 5 ⎭⎝ 5 5 ⎭⎝5 5 ⎭3 分3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8 分别与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3 为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？，4 4 5解：（1）⊙P 与 x 轴相切.∵直线 y=－2x －8 与 x 轴交于 A （4，0），与 y 轴交于 B （0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k ， ∴PB=PA=8+k.在 Rt △AOP 中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与 x 轴相切.（2）设⊙P 与直线 l 交于 C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于 E.1 3∵△PCD 为正三角形，∴DE= 2 CD= 2 ，PD=3，3 3∴PE= 2 .∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，3 3AO PE ,即 = 2∴AB PB PB ，PB = 3 15 ,∴2PO = BO - PB = 8 -3 15∴2 ，P (0, 3 15 - 8)∴ 2 ，k = 3 15 - 8 ∴ 2 .当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0,－ 3 15 2 －8)，∴k=－ 3 152－8，∴当 k= 3 152－8 或 k=－ 3 152－8 时，以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.4（09 哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ，AB 边交 y 轴于点 H ．（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△PMB 的面积为 S （S ≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．解：5 在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻BEQDA图 16C以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ，且交PQ 于点D，交折线QB-BC-CP 于点E．点P、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P、Q 运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2 时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．8解：（1）1， 5 ；（2）作QF⊥AC 于点F，如图3，AQ = CP= t，∴ AP = 3 -t ．由△AQF∽△ABC，BC == 4 ，QF=t得 4 5 ．∴S =1(3 -t) ⋅4tQF =4t5 ．∴ 2 5 ，S =-2t 2+6t即 5 5 ．（3）能．①当DE∥QB 时，如图4．图 4 ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．QGD C (E )PQGDA PC (E )[ (5AQ = AP由△APQ ∽△ABC ，得 AC AB ， Bt =3 - t 即35．解得t = 9 8 ．②如图 5，当 PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形 QBED 是直Q D角梯形． E 此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQ =APAB AC ， APC图 5Bt =3 - t 即5 3 ．解得 t = 15 8 ．（4）（4）t = 52 或t =45 14 ．①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C ．连接 QC ，作 QG ⊥BC 于点 G ，如图 6．A图 6B =3 24 2 PC = t ， QC 2 = QG 2 + CG 2 [ (5 - t )] 5+[4 - (5 - t )] 5 ． t 2 =3 24 25 由PC 2 = QC 2 ，得 [ (5 - t )] 5 +[4 - (5 - t )] 5 t = ，解得 2．②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C ，如图 7．图 7(6 - t )2 = 3 - t )]2 +[4 - 4 (5 - t )]2 5 5t =45， 14 】6 如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90°，∠B = 60°BC = 2 ．点O 是 AC 的中点，过点O 的直线l 从与 AC A重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交 AB 边于点D ．过点C 作CE ∥ AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为．A（1） ①当=度时，四边形EDBC 是B（备用图）等腰梯形，此时AD 的长为；l E OD CCO②当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长3 为；（2）当90° 时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解（ 1） ① 30， 1； ② 60，1.5； .............................................................................. 4 分（2）当∠α=900 时，四边形 EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵ CE//AB, ∴ 四边形 EDBC 是平行四边形 ................................................. 6 分在 Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2 . 1AC∴AO= 2 =. ……………………8 分在 Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形 EDBC 是平行四边形，∴ 四边形 EDBC 是菱形 .................................................................................. 10 分352 - 42 ADA DN7 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，AD = 3，DC = 5，AB = 4 2，∠B = 45︒ 动AD点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长N度的速度向终点C 运动；动点 N 同时从C 点出 BM发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN ∥ AB 时，求t 的值．（3）试探究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形．解：（1）如图①，过 A 、D 分别作 AK ⊥ BC 于K ， DH ⊥ BC 于H ，则四边形 ADHK 是矩形∴KH = AD = 3在Rt △ABK 中， 1 分AK = AB sin 45︒ = 4 2． 2= 4 2BK = AB cos 45︒ = 4 22 = 42 2 分在Rt △CDH 中，由勾股定理得，HC = = 3 ∴ BC = BK + KH + HC = 4 + 3 + 3 = 10 3 分BK H（图①）CBCG M（图②）（2）如图②，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN ∥AB∴MN ∥DG∴BG =AD = 3∴GC = 10 - 3 = 7 4 分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，CN =t，CM = 10 - 2t∵DG ∥MN∴∠NMC =∠DGC又∠C =∠C∴△MNC ∽△GDCCN=CM∴CD CG 5 分t=10 - 2t即5 7t =50解得，17 6 分（3）分三种情况讨论：①当NC =MC 时，如图③，即t = 10 - 2tt =10∴ 3 7 分A DN A DNM HB C B E CM（图③）（图④）②当MN =NC 时，如图④，过N 作NE ⊥MC 于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得cos c =EC=5 -tEC =1MC =1 (10 - 2t )= 5 -t2 2在Rt△CEN 中，NC t 又在Rt△DHC 中，5 -t=3cos c =CH=3CD 5∴t 5t =25解得8 8 分解法二：∵∠C =∠C，∠DHC =∠NEC = 90︒ ∴△NEC ∽△DHCNC=EC∴DC HCt =5 -t即5 3t =25∴8 8 分③当MN =MC 时，如图⑤，过M 作MF ⊥CN 于F 点. FC =1NC =1t2 2解法一：（方法同②中解法一）1 tA Dcos C = FC MC = 2 = 310 - 2t 5 t = 60 解得 17B 解法二：∵∠C =∠C ，∠MFC = ∠DHC = 90︒ ∴△MFC ∽△DHC（图⑤）N FH MCFC = MC∴HC DC1 t2 = 10 - 2t即 3 5 t = 60∴ 17t =10 t = 25t =60综上所述，当 3 、 8 或 17 时，△MNC 为等腰三角形 9分8 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 AB 的中点，过点E 作EF ∥ BC 交CD 于点F ． AB = 4，BC = 6 ，∠B = 60︒.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥ EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ，连结PN ，设EP = x .AD E F A D E F A EPD N F ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， △PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图 3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.BCBMCBCM 图 1 图 2 图 3 （第 25 题） ADEFBC图4（备用）BC图5（备用）22 -12 NH 2 + PH 2 ⎛ 5 ⎫22⎝ 2 ⎭ ⎪ + ⎛ 3 ⎫⎝ 2 ⎭ ⎪ 3 7 A D EFAND E PF H3 解（1）如图 1，过点E 作EG ⊥ BC 于点G ．1 分 ∵ E 为 AB 的中点，BE = 1AB = 2∴2 在Rt △EBG 中，∠B = 60︒ ∴∠BEG = 30︒2 分BGC图 1BG = 1BE = 1，EG = = ∴2即点E 到BC 的距离为 3． 3 分（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时， △PMN 的形状不发生改变．∵PM ⊥ EF ，EG ⊥ EF ∴ PM ∥ EG∵EF ∥ BC ∴ EP = GM ， PM = EG =同理MN = AB = 4． 4 分如图 2，过点P 作PH ⊥ MN 于H ，∵ MN ∥ AB ， ∴∠NMC =∠B = 60︒，∠PMH = 30︒PH = 1 PM = 3∴2 2∴MH = PM cos 30︒ = 2BG MC图 2NH = MN - MH = 4 - 3 = 5则2 2PN = = = 在Rt △PNH 中，∴△PMN 的周长= PM + PN + MN = + + 4． 6 分②当点 N 在线段 DC 上运动时， △PMN 的形状发生改变，但△MNC 恒为等边三角形．33 7AEPDN FR3 当PM = PN 时，如图 3，作PR ⊥ MN 于R ，则MR = NRMR = 3类似①，2 ∴ MN = 2MR =3 7 分∵△MNC 是等边三角形，∴ MC = MN = 3此时， x = EP = GM = BC - BG - MC = 6 -1- 3 = 2 8 分A DEP FNADEF （P ） NBGMCBGMCBGM C图 3图 4图 5当MP = MN 时，如图 4，这时MC = MN = MP = 此时，x = EP = GM = 6 -1- = 5 - 当NP = NM 时，如图 5，∠NPM =∠PMN = 30︒ 则∠PMN = 120︒ 又∠MNC = 60︒ ∴∠PNM +∠MNC = 180︒因此点P 与F 重合， △PMC 为直角三角形．∴MC = PM tan 30︒ = 1．此时， x = EP = GM = 6 -1-1 = 4综上所述，当x = 2 或 4 或(5 - 分3)时， △PMN 为等腰三角形． 109 如图①，正方形 ABCD 中，点 A 、B 的坐标分别为（0，10），（8， 4），点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发33沿A→B→C→D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P、Q 保持原速度不变，当点P 沿A→B→C→D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1） Q（1，0） 1 分点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度． 2 分（2）过点 B 作 BF ⊥y 轴于点 F ， BE ⊥ x 轴于点 E ，则 BF ＝8，OF = BE = 4 ．∴AF = 10 - 4 = 6 ．在 Rt △AFB 中， AB == 10过点C 作CG ⊥ x 轴于点G ，与FB M ∵∠ABC = 90︒,AB = BC∴△ABF ≌△BCH ．∴ BH = AF = 6, CH = BF = 8 ．∴OG = FH = 8 + 6 = 14, CG = 8 + 4 = 12 ． ∴所求 C 点的坐标为（14，12）．4 分（3）过点 P 作 PM ⊥y 轴于点 M ，PN ⊥ x 轴于点 N ，则△APM ∽△ABF ．AP= AM =MP∴ t = AM = MP∴AB AF BF ． 10 6 8 ．AM = 3 t ，PM = 4 tPN = OM = 10 - 3 t , ON = PM = 4t∴5 5 ． ∴55 ．设△OPQ 的面积为S （平方单位）S = 1 ⨯ (10 - 3 t )(1+ t ) = 5 + 47 t - 3t 2∴2 5 10 10（0≤ t ≤10） 5 分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．47 t = -10 = 47 a = - 3∵ 10 <0∴当分2 ⨯ (- 3) 10 6时， △OPQ 的面积最大． 6DFDFFD94 53此时P 的坐标为（15 ，10 ）．7 分（4）当t =53 或t =29513 时，OP 与PQ 相等．9 分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF = 90 ，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A A AB C E GB B图1 图2 图 3）D F（2 分解：（1）正确．（1 分）证明：在 AB 上取一点M ，使 AM = EC ，连接ME ．A ∴ BM = BE ．∴∠BME = 45° ，∴∠AME = 135° ．CF 是外角平分线， ∴∠DCF = 45° ， ∴∠ECF = 135° ． ∴∠AME = ∠ECF ．∠AEB + ∠BAE = 90° ， ∠AEB + ∠CEF = 90° ，∴ ∠BAE = ∠CEF ．∴△AME ≌△BCF （ASA ）．（5 分）∴ AE = EF ．（6 分）（2）正确．（7 分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使 AN = CE ，连接 NE ．（8分）∴ BN = BE ． ∴∠N = ∠PCE = 45° ．四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ∥ BE ． ∴∠DAE = ∠BEA ．∴∠NAE = ∠CEF ．∴△ANE ≌△ECF （ASA ）．（10 分）∴ AE = EF ．（11 分）FDMBECGN ABC E G11 已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB = 90°，OA = 2，OB = 4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边 AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点 A（Ⅱ）若折叠后点 B 落在边OA 上的点为 B '，设OB ' = x ， OC = y ，试写出 y 关于x 的函数解析式，并确定 y（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ' ，且使B 'D ∥OB ，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点 A 则△ACD ≌△BCD .设点C 的坐标为(0，m )(m > 0) . 则BC = OB - OC = 4 - m . 于是 AC = BC = 4 - m .在Rt △AOC 中，由勾股定理，得 AC 2 = OC 2 + OA 2，(4 - m )2= m 2+ 22，解得 m = 32 .⎛ 0 3 ⎫∴点C 的坐标为⎝ ， ⎪2 ⎭ . 4 分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则△B 'CD ≌△BCD . 由题设OB ' = x ，OC = y ，则B 'C = BC = OB - OC = 4 - y ，在Rt △B 'OC 中，由勾股定理，得B 'C 2= OC 2+ OB '2.∴(4 - y )2= y 2 + x 2y = - 1x 2 + 2即8 6 分由点B '在边OA 上，有0 ≤ x ≤ 2 ，y = - 1x 2 + 2 (0 ≤ x ≤ 2)∴ 解析式8为所求.∴ 当0 ≤ x ≤ 2 时， y 随x 的增大而减小，3≤ y ≤ 2∴ y 的取值范围为 2. 7 分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ' ，且B 'D ∥OB . 则∠OCB ' = ∠CB 'D .又 ∠CBD = ∠CB 'D ，∴∠OCB ' = ∠CBD ，有CB '∥ BA . ，即5 MF∴Rt △COB ' ∽ Rt △BOA . OB ' = OC有OA OB ，得OC = 2OB ' . 9 分在Rt △B 'OC 中，设OB ' = x 0 ( x > 0) ，则OC = 2x 0 .由（Ⅱ）的结论，得2x 0 = - 1 x 2+ 2 8 0 ，解得x 0 = -8 ± 4 5．x 0 > 0，∴ x 0 = -8 + 4 . ∴点C 的坐标为(0，8 5 -16) . 10 分12 问题解决A D如图（1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点B 落在ECD 边上一点E （不与点C ， D 重合），压平后得到折痕CE 1 AMBNC=MN ．当CD 2 时，求 BN 的值．图（1）方法指导： AM 为了求得BN的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2类比归纳CE = 1，AMCE = 1在图（1）中，若CD 3 则 BN 的值等于；若CD 4AMCE =1 AM则 BN 的值等于；若 CD n （ n 为整数），则 BN 的值等M F于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点EAB = 1(m > 1CE = 1（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设BC m )，F CD n 则 AMAMD BN 的值等于．（用含m ，n 的式子表示）EBNC图（2）解：方法一：如图（1-1），连接BM ，EM ，BE ．AEBNC图（1-1）由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM =EM，BN =EN 1 分∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠D =∠C = 90° , AB =BC =CD =DA = 2CE=1，∴CE=DE=1∵CD 2 设BN =x 则NE =x NC = 2 -x 在Rt△CNE 中，NE2=CN 2+CE2．x2=(2-x)2+12x =5解得4BN =5，即 4 3 分在Rt△ABM 和在Rt△DEM 中，AM 2+AB2=BM 2，DM 2+DE2=EM 2，∴AM 2+AB2=DM 2+DE2 5 分设AM =y则DM=2-y，∴y2+22=(2-y)2+12y =1，AM =1．解得 4 即AM=1∴ BN 5 7 分4 6 分BN =5方法二：同方法一， 4 3 分如图（1－2），过点N 做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∴⎨ ⎩ △BCE ≌△NGM ，EC = MG∵AD ∥ BC ∴四边形GDCN 是平行四边形．∴ NG = CD = BC同理，四边形 ABNG 也是平行四边形．∴ ∵MN ⊥ BE ，∴∠EBC + ∠BNM = 90°AG = BN = 5 4 NG ⊥ BC ，∴∠MNG + ∠BNM = 90°，∴∠EBC = ∠MNG 在△BCE 与△NGM 中⎧∠EBC = ∠MNG ， ⎪BC = NG ， ⎪∠C = ∠NGM = 90° ∴５分AM = AG - MG ，AM = 5 -1 = 1∵AM =1 4 4 6 分 ∴ BN 57 分类比归纳2 4 9(n -1)25 （或10 ）； 17 ； n 2 +1 10 分联系拓广n2m2- 2n +1n2m2+1 12 分。

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七年级动点问题大全例1 如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-1 2，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B 点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P 所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m 处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

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线段与角的动点问题1 如图，射线0M上有三点A、B、C,满足OA = 20cm, AB= 60cm, BC= 10cm (如图所示)，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点Q运动到点O时停止运动)，两点同时出发.(1)当P运动到线段AB上且PA= 2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度；(2)若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm?【解答】解：(1) P在线段AB上，由PA = 2PB及AB = 60,可求得PA = 40, OP = 60,故点P运动时间为60秒.60 十60 = 1 (cm/s).(2)设运动时间为t秒，贝U t+3t = 90± 70,解得t= 5或40,•••点Q运动到O点时停止运动，•••点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ = OP= 30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ = OP= 70cm，此时t= 70 秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm.2.如图，直线I上依次有三个点O, A, B, OA= 40cm, OB= 160cm.(1)若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动，两点同时出发①若点Q运动速度为1cm/s,则经过t秒后P, Q两点之间的距离为1160 —5t| cm (用含t的式子表示)②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA= 2PB,求点Q的运动速度.(2)若两点P, Q分别在线段OA, AB 上,分别取OQ和BP的中点M , N，求：的值.0A B【解答】解：(1)①依题意得，PQ= |160 - 5t|;若CQ=^OC 时, CQ= 30,点Q的运动速度为30 - 60=二(cm/s);2若OQ = CQ = 60,点Q的运动速度为故答案是：|160-5t|;②如图 1 所示：4t - 40= 2 ( 160 - 4t )，解得 t = 30 ,如图 2 所示：4t - 40= 2(4t - 160)，解得 t = 7, 则点Q 的运动速度为：旦1=上_ (cm/s );70 7综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或丄cm/s ;7(2)如图3,两点P , Q 分别在线段 OA , AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M , N ,求上 …千—® ----- T --- . —________ 11>占图3 (1)» ■-17 0AQ■P图：, 1■i.图13•如图，射线 OM 上有三点 A 、B 、C ,满足 OA = 60cm , AB = 60cm , BC = 10cm (如图所示)，点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动. (1) 当点P 运动到AB 的中点时，所用的时间为90秒.(2) 若另有一动点 Q 同时从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，速度为 3cm/秒，求经过多长时间 P 、Q 两点相距30cm ?I ----------- 1 ---------------------------- 1 1 -------------------O AB C【解答】解：(1)当点P 运动到AB 的中点时，点P 运动的路径为60cm+30cm = 90cm ,gn所以点P 运动的时间=〒=90 (秒); 故答案为90;(2)当点P 和点Q 在相遇前，t+30+3t = 60+60+10，解得t = 25 (秒)，则点Q 的运动速度为:的(160- y ) +x(x+y ),当点P和点Q在相遇后，t+3t - 30= 60+60+10，解得t= 40 (秒)，答：经过25秒或40秒时，P、Q两点相距30cm.4. 如图，在数轴上点A表示的数是-3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18;点C 在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍.(1 )点B表示的数是15 ;点C表示的数是 3 ;(2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动•设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6?(3)在(2)的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB= 4?若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由.| ■•鼻A O C B【解答】解：(1)点B表示的数是-3+18 = 15;点C表示的数是-3+18X丄=3.3故答案为：15, 3;(2)点P与点Q相遇前，4t+2t= 18 - 6,解得t= 2;点P与点Q相遇后，4t+2t= 18+6，解得t= 4;(3)假设存在，当点P在点C左侧时，PC = 6 -4t, QB = 2t,•/ PC+QB= 4,••• 6 - 4t+2t= 4,解得t= 1.此时点P表示的数是1 ;当点P在点C右侧时，PC = 4t - 6, QB = 2t,•/ PC+QB= 4, • 4t - 6+2t= 4，解得t =殳.3此时点P表示的数是—.综上所述，在运动过程中存在PC+QB= 4，此时点P表示的数为1或 .5. 将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O.(2)如图①，你发现/ AOD与/ BOC的大小有何关系？/ AOB与/ DOC有何关系？直接写出你发现的结论.(3)如图②，当△ AOC与厶BOD没有重合部分时，(2)中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.【解答】解：(1)Z AOD = Z BOC = 155°- 90°= 65°,/ DOC =Z BOD -Z BOC= 90°- 65°= 25°;(2)Z AOD = Z BOC,Z AOB + Z DOC = 180°;(3)Z AOB+Z COD + Z AOC+Z BOD = 360° ,vZ AOC = Z BOD = 90°,•••Z AOB+Z DOC = 180°.6. 以直线AB上点O为端点作射线OC,使Z BOC = 60°,将直角△ DOE的直角顶点放在点O处.(1)如图1,若直角△ DOE的边OD放在射线OB上，则Z COE = 30°;(2)如图2,将直角△ DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分Z AOC ,说明OD所在射线是Z BOC的平分线；(3)如图3,将直角△ DOE绕点O按逆时针方向转动，使得Z COD =—Z AOE.求Z BOD的度数.又vZ COB= 60°,•••/ COE = 30°,故答案为：30°;(2 )T OE 平分/ AOC ,•••/ COE = Z AOE = — COA,2•••/ EOD = 90°,•••/ AOE+Z DOB = 90°,/ COE+ / COD = 90 ° ,•••/ COD = / DOB ,•OD所在射线是/ BOC的平分线；(3)设/ COD = x°，则/ AOE = 5x°,•// DOE = 90°,/ BOC = 60°,•- 6x = 30 或5x+90 - x= 120•- x= 5 或7.5,即/ COD = 5° 或7.5°•/ BOD = 65° 或52.5°.7. 如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使/ BOC = 130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在/ BOC的内部，且恰好平分/BOC,问：此时直线ON是否平分/ AOC ?请直接写出结论：直线ON 平分 (平分或不平分)/ AOC .(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角/ AOC，则t的值为13或49 .(直接写出结果)(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究：当ON始终在/ AOC的内部时(如图3) , / AOM与/ NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D ,•••/ MON = 90°「./ MOD = 90°•••/ MOB+ / NOB= 90°,/ MOC + / COD = 90 ° ,•••/ MOB = Z MOC ,•••/ NOB = Z COD ,•••/ NOB = Z AOD ,•••/ COD = Z AOD ,•直线NO平分/ AOC ;(2)分两种情况：①如图2,•••/ BOC = 130°•••/ AOC = 50°,当直线ON恰好平分锐角/ AOC时，/ AOD = Z COD = 25°,•••/ BON = 25°,/ BOM = 65°,即逆时针旋转的角度为65 °,由题意得，5t = 65°解得t= 13 ( s);②如图3，当NO平分/ AOC时，/ NOA = 25°,•••/ AOM = 65°,即逆时针旋转的角度为：180° +65 ° = 245 ° ,由题意得，5t = 245 ° ,解得t= 49 ( s),综上所述，t= 13s或49s时，直线ON恰好平分锐角/ AOC ;(3)Z AOM -Z NOC = 40理由：T Z AOM = 90 °-Z AON Z NOC = 50°-Z AON , •••Z AOM -Z NOC=(90°-Z AON)9. 已知Z AOC = 40°,Z BOD = 30°,Z AOC和Z BOD均可绕点O进行旋转，点M , O, N在同一条直线上，OP是Z COD的平分线.(1)如图1,当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求Z BOP的余角的度数；(2)在(1 )的基础上，若Z BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5° /s，同时ZAOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3° /s,如图2所示，当旋转6s 时，求Z DOP的度数.【解答】解：(1)T Z AOC = 40°,Z BOD = 30°,•Z COD = 180° - 40°- 30°= 110°,•/ OP是Z COD的平分线，•Z DOP = —Z COD = 55°,2•Z BOP = 85°,•Z BOP的余角的度数为5 ° ;(2) Z DOP 的度数为49°,旋转6s 时，Z MOA = 3X 6° = 18°, Z NOB = 5X 6° = 30°,•Z COM = 22°,Z DON = 60° ,•Z COD = 180° -Z COM -Z DON = 98°,•/ OP是Z COD的平分线，•Z DOP = —Z COD = 49°.210. 如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,将一直角三角形的直角顶点放在50°-Z AON)点0处，一边 0M 在射线0B 上，另一边 ON 在直线AB 的下方.(1) 将图1中的三角板绕点 0逆时针旋转至图2,使一边0M 在/ BOC 的内部，且恰好平分/ B0C ，问：直线 0N 是否平分/ A0C ?请说明理由；(2) 若/ B0C = 120°.将图1中的三角板绕点 0按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线0N 恰好平分锐角/ A0C ,则t 的值为 10或40 (直接写出结果)；(3) 在(2)的条件下，将图1中的三角板绕点 0顺时针旋转至图3，使0N 在/ A0C 的内部，请探究：/ A0M 与/ N0C 之间的数量关系，并说明理由.【解答】解：(1)直线0N 平分/ A0C .理由如下：•••/ A0C = 60°, •••/ B0N = Z C0D = 30°,即旋转60°时0N 平分/ A0C , 由题意得，6t = 60°或240 °,• t = 10 或 40;(3) •••/ M0N = 90°,/ A0C = 60°,•••/ A0M = 90°-/ A0N 、/ N0C = 60°-/ A0N ,• / A0M -/ N0C =( 90°-/ A0N )-(60°-/ A0N )= 30°.即/ A0M = / N0C+30°.11. 如图1,点0为直线AB 上一点，过点 0作射线0C ,使/ A0C ：/ B0C = 2 : 1,将一设0N 的反向延长线为0D , •/ 0M 平分/ B0C ,•••/ M0C = Z M0B ,又••• 0M 丄 0N ,•••/ M0D = Z M0N = 90°, •••/ C0D = Z B0N ,又•••/ A0D = Z B0N ,•••/ C0D = Z A0D ,•••0D 平分/ A0C ,即直线0N 平分/ A0C .(2)•••/ B0C = 120°直角三角板的直角顶点放在点0 处，一边0N 在第9页(1) 将图1中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2的位置，使得OM 落在射线OA 上, 此时ON 旋转的角度为 90 ° ;(2)继续将图2中的三角板绕点 O 按顺时针方向旋转至图 3的位置，使得 OM 在/ BOC 的内部，则/ BON -Z COM = 30 ° ; (3)在上述直角三角板从图 1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15 ° 的速度旋转，当 OM 恰为Z BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为(24n+16) 秒，简要说明理由.【解答】解：(1)如图2,依题意知，旋转角是Z MON ，且Z MON = 90°. 故填：90;(2) 如图 3,Z AOC :Z BOC = 2: 1 ,•••Z AOC = 120°,Z BOC = 60°,vZ BON = 90°-Z BOM , Z COM = 60°-Z BOM , • Z BON -Z COM = 90°-Z BOM - 60° + Z BOM = 30°,故填：30;(3) 16秒.理由如下：如图4.v 点 O 为直线 AB 上一点，Z AOC : Z BOC = 2: 1,• Z AOC = 120° ,Z BOC = 60°.•/ OM 恰为Z BOC 的平分线，• Z COM '= 30°.• Z AOM + Z AOC+ Z COM '= 240 °. v •三角板绕点O 按每秒钟15 °的速度旋转，•三角板绕点O 的运动最短时间为：学=16 (秒).射线OA 上,15•三角板绕点O的运动时间为(24n+16) (n是整数)秒. 故填：(24n +16).第9页。

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.线段与角的动点问题1. 如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当P 运动到线段AB 上且PA＝2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段OC 的三等分点，求点Q 的运动速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q 两点相距70cm？【解答】解：（1）P 在线段AB 上，由PA＝2PB 及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P 运动时间为60 秒．若CQ＝OC 时，CQ＝30，点Q 的运动速度为30÷60＝（cm/s）；若OQ＝OC，CQ ＝60，点Q 的运动速度为60÷60＝1（cm/s）．（2）设运动时间为t 秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5 或40，∵点Q 运动到O 点时停止运动，∴点Q 最多运动30 秒，当点Q 运动30 秒到点O 时PQ＝OP＝30cm，之后点P 继续运动40 秒，则PQ＝OP＝70cm，此时t＝70 秒，故经过 5 秒或70 秒两点相距70cm．2. 如图，直线l 上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm．（1）若点P 从点O 出发，沿OA 方向以4cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 B 出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点Q 运动速度为1cm/ s，则经过t 秒后P，Q 两点之间的距离为|160﹣5t| cm（用含t 的式子表示）②若点Q 运动到恰好是线段AB 的中点位置时，点P 恰好满足PA＝2PB，求点Q 的运动速度．（2）若两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．【解答】解：（1）① 依题意得，PQ＝|160﹣5t|；故答案是：|160﹣5t|；②如图1 所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得t＝30，则点Q 的运动速度为：＝2（cm/s）；如图 2 所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，则点Q 的运动速度为：＝（cm/ s）；综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或cm/ s；（2）如图3，两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．OP＝xBQ＝y，则MN ＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），所以，＝＝2．3．如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点P 运动到AB 的中点时，所用的时间为90 秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q 两点相距30cm？【解答】解：（1）当点P 运动到AB 的中点时，点P 运动的路径为60cm+30cm＝90cm，所以点P 运动的时间＝＝90（秒）；故答案为90；（2）当点P 和点Q 在相遇前，t+30+3 t＝60+60+10 ，解得t＝25（秒），当点P 和点Q 在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10 ，解得t＝40（秒），答：经过25 秒或40 秒时，P、Q 两点相距30cm．4. 如图，在数轴上点 A 表示的数是﹣3，点B 在点A 的右侧，且到点 A 的距离是18；点 C在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的 2 倍．（1）点 B 表示的数是15 ；点 C 表示的数是 3 ；（2）若点P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点Q 之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点Q 与点 B 之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点 B 表示的数是﹣3+18＝15；点 C 表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；（2）点P 与点Q 相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P 与点Q 相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P 在点C 左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴ 6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P 表示的数是1；当点P 在点C 右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P 表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC +QB＝4，此时点P 表示的数为 1 或．5. 将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图① ，若∠ AOB＝155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数．（2）如图①，你发现∠AOD 与∠BOC 的大小有何关系？∠AOB 与∠DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图② ，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．【解答】解：（1）∠AOD ＝∠BOC ＝155°﹣90°＝65°，∠DOC ＝∠BOD ﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∠AOD ＝∠BOC，∠AOB +∠DOC ＝180°；（3）∠AOB+∠COD +∠AOC+∠BOD＝360°，∵∠AOC＝∠BOD ＝90°，∴∠AOB+∠DOC ＝180°．6. 以直线AB 上点O 为端点作射线OC，使∠BOC ＝60°，将直角△DOE 的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，若直角△DOE 的边OD 放在射线OB 上，则∠COE ＝30°；（2）如图2，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠AOC，说明OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）如图3，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得∠COD ＝∠AOE．求∠BOD 的度数．【解答】解：（1）∵∠ BOE＝∠COE +∠COB ＝90°，又∵∠ COB＝60°，∴∠COE ＝30°，故答案为：30°；（2）∵ OE 平分∠ AOC，∴∠C OE ＝∠AOE＝COA ，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB ＝90°，∠ COE+∠COD ＝90°，∴∠COD ＝∠DOB ，∴OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）设∠ COD ＝x°，则∠ AOE＝5x°，∵∠DOE ＝90°，∠ BOC＝60°，∴6x＝30 或5x+90﹣x＝120∴x＝5或7.5，即∠ COD ＝5°或7.5°∴∠ BOD＝65°或52.5°．7. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠BOC ＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON 是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1 中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为13 或49 ．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解答】解：（1）平分，理由：延长NO 到 D ，∵∠MON ＝90°∴∠ MOD ＝90°∴∠MOB +∠NOB＝90°，∠MOC +∠COD ＝90°，∵∠MOB ＝∠MOC ，∴∠NOB ＝∠COD ，∵∠NOB ＝∠AOD ，∴∠COD ＝∠AOD ，∴直线NO 平分∠ AOC；（2）分两种情况：① 如图2，∵∠ BOC ＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON 恰好平分锐角∠AOC 时，∠AOD＝∠COD ＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，5t＝65°解得t＝13（s）；② 如图3，当NO 平分∠ AOC 时，∠ NOA ＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65 °＝245°，由题意得，5t＝245°，解得t＝49（s），综上所述，t＝13s 或49s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝40°，理由：∵∠ AOM＝90°﹣∠AON∠NOC ＝50°﹣∠AON ，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠ AON ）﹣（50°﹣∠ AON）＝40°．9. 已知∠ AOC ＝40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点O 进行旋转，点M，O，N 在同一条直线上，OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图1，当点 A 与点M 重合，点 B 与点N 重合，且射线OC 和射线OD 在直线MN 的同侧时，求∠ BOP 的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠ BOD 从ON 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠ AOC 从OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图 2 所示，当旋转6s 时，求∠ DOP 的度数．【解答】解：（1）∵∠ AOC＝40°，∠ BOD ＝30°，∴∠COD ＝180°﹣40°﹣30°＝110°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝55°，∴∠BOP＝85°，∴∠ BOP 的余角的度数为5°；（2）∠DOP 的度数为49°，旋转6s 时，∠MOA ＝3×6°＝18°，∠NOB ＝5×6°＝30°，∴∠COM ＝22°，∠ DON ＝60°，∴∠COD ＝180°﹣∠COM ﹣∠DON ＝98°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝49°．10. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON 是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC＝120°．将图 1 中的三角板绕点O 按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为10 或40 （直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）直线ON 平分∠ AOC ．理由如下：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠ BOC，∴∠ MOC ＝∠MOB ，又∵ OM⊥ON，∴∠MOD ＝∠ MON＝90°，∴∠ COD ＝∠ BON，又∵∠ AOD＝∠BON，∴∠COD ＝∠AOD ，∴OD 平分∠ AOC，即直线ON 平分∠ AOC．（2）∵∠BOC ＝120°∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠COD ＝30°，即旋转60°时ON 平分∠ AOC，由题意得，6t＝60°或240°，∴t＝10 或40；（3）∵∠MON ＝90°，∠ AOC＝60°，∴∠ AOM ＝90°﹣∠ AON、∠NOC ＝60°﹣∠AON，∴∠ AOM ﹣∠NOC ＝（90°﹣∠ AON ）﹣（60°﹣∠AON ）＝30°．即∠ AOM ＝∠NOC+30°．11. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 在直线AB 的下方．（1）将图1 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得OM 落在射线OA 上，此时ON 旋转的角度为90 °；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得OM 在∠BOC 的内部，则∠BON﹣∠COM ＝30 °；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM 恰为∠BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为（24n+16）秒，简要说明理由．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON ，且∠MON ＝90°．故填：90；（2）如图3，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°，∵∠BON＝90°﹣∠ BOM，∠COM ＝60°﹣∠ BOM，∴∠ BON﹣∠COM ＝90°﹣∠BOM ﹣60°+∠BOM ＝30°，故填：30；（3）16 秒．理由如下：如图4．∵点O 为直线AB 上一点，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°．∵OM 恰为∠ BOC 的平分线，∴∠COM ′＝30°．∴∠AOM+∠AOC+∠COM ′＝240°．∵三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O 的运动最短时间为＝16（秒）．∴三角板绕点O 的运动时间为（24n+16 ）（n 是整数）秒．故填：（24n+16 ）．第9页。

(完整word版)初一动点问题

线段与角的动点专项1．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动,点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动),两点同时出发．（1）当P运动到线段AB上且PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点,求点Q的运动速度；（2）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？2．如图，直线l上依次有三个点O，A，B,OA＝40cm，OB＝160cm．（1）若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动,两点同时出发①若点Q运动速度为1cm/s，则经过t秒后P，Q两点之间的距离为cm（用含t的式子表示）②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA＝2PB，求点Q的运动速度．（2）若两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M,N，求的值．3．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1)当点P运动到AB的中点时，所用的时间为秒．（2）若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动,速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q两点相距30cm？4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18;点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是;（2）若点P从点A出发,沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒,在运动过程中,当t为何值时，点P与点Q 之间的距离为6？(3）在(2)的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中,是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在,请说明理由．5．将一副三角板放在同一平面内,使直角顶点重合于点O．（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．（2)如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系?∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，(2)中你发现的结论是否还仍然成立,请说明理由．6．以直线AB上点O为端点作射线OC,使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1)如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝;（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC,说明OD所在射线是∠BOC的平分线;（3)如图3,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数．7．如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC，使∠BOC＝130°,将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC,问：此时直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON(平分或不平分)∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中,第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为．(直接写出结果）（3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究:当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值；若变化，请举例说明．9．已知∠AOC＝40°,∠BOD＝30°,∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M,O，N在同一条直线上,OP 是∠COD的平分线．(1）如图1，当点A与点M重合,点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP 的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转,转速为5°/s，同时∠AOC从OM 处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3°/s,如图2所示，当旋转6s时，求∠DOP的度数．10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC＝120°．将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）；（3）在(2）的条件下，将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部，请探究:∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在∠BOC的内部，则∠BON ﹣∠COM＝°;(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转,当OM 恰为∠BOC的平分线时,此时,三角板绕点O的运动时间为秒,简要说明理由．。

(完整版)初一动点问题答案

.线段与角的动点问题1. 如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当P 运动到线段AB 上且PA＝2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段OC 的三等分点，求点Q 的运动速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q 两点相距70cm？【解答】解：（1）P 在线段AB 上，由PA＝2PB 及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P 运动时间为60 秒．若CQ＝OC 时，CQ＝30，点Q 的运动速度为30÷60＝（cm/s）；若OQ＝OC，CQ ＝60，点Q 的运动速度为60÷60＝1（cm/s）．（2）设运动时间为t 秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5 或40，∵点Q 运动到O 点时停止运动，∴点Q 最多运动30 秒，当点Q 运动30 秒到点O 时PQ＝OP＝30cm，之后点P 继续运动40 秒，则PQ＝OP＝70cm，此时t＝70 秒，故经过 5 秒或70 秒两点相距70cm．2. 如图，直线l 上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm．（1）若点P 从点O 出发，沿OA 方向以4cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 B 出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点Q 运动速度为1cm/ s，则经过t 秒后P，Q 两点之间的距离为|160﹣5t| cm（用含t 的式子表示）②若点Q 运动到恰好是线段AB 的中点位置时，点P 恰好满足PA＝2PB，求点Q 的运动速度．（2）若两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．【解答】解：（1）① 依题意得，PQ＝|160﹣5t|；故答案是：|160﹣5t|；②如图1 所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得t＝30，则点Q 的运动速度为：＝2（cm/s）；如图 2 所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，则点Q 的运动速度为：＝（cm/ s）；综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或cm/ s；（2）如图3，两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．OP＝xBQ＝y，则MN ＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），所以，＝＝2．3．如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点P 运动到AB 的中点时，所用的时间为90 秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q 两点相距30cm？【解答】解：（1）当点P 运动到AB 的中点时，点P 运动的路径为60cm+30cm＝90cm，所以点P 运动的时间＝＝90（秒）；故答案为90；（2）当点P 和点Q 在相遇前，t+30+3 t＝60+60+10 ，解得t＝25（秒），当点P 和点Q 在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10 ，解得t＝40（秒），答：经过25 秒或40 秒时，P、Q 两点相距30cm．4. 如图，在数轴上点 A 表示的数是﹣3，点B 在点A 的右侧，且到点 A 的距离是18；点 C在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的 2 倍．（1）点 B 表示的数是15 ；点 C 表示的数是 3 ；（2）若点P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点Q 之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点Q 与点 B 之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点 B 表示的数是﹣3+18＝15；点 C 表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；（2）点P 与点Q 相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P 与点Q 相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P 在点C 左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴ 6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P 表示的数是1；当点P 在点C 右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P 表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC +QB＝4，此时点P 表示的数为 1 或．5. 将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图① ，若∠ AOB＝155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数．（2）如图①，你发现∠AOD 与∠BOC 的大小有何关系？∠AOB 与∠DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图② ，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．【解答】解：（1）∠AOD ＝∠BOC ＝155°﹣90°＝65°，∠DOC ＝∠BOD ﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∠AOD ＝∠BOC，∠AOB +∠DOC ＝180°；（3）∠AOB+∠COD +∠AOC+∠BOD＝360°，∵∠AOC＝∠BOD ＝90°，∴∠AOB+∠DOC ＝180°．6. 以直线AB 上点O 为端点作射线OC，使∠BOC ＝60°，将直角△DOE 的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，若直角△DOE 的边OD 放在射线OB 上，则∠COE ＝30°；（2）如图2，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠AOC，说明OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）如图3，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得∠COD ＝∠AOE．求∠BOD 的度数．【解答】解：（1）∵∠ BOE＝∠COE +∠COB ＝90°，又∵∠ COB＝60°，∴∠COE ＝30°，故答案为：30°；（2）∵ OE 平分∠ AOC，∴∠C OE ＝∠AOE＝COA ，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB ＝90°，∠ COE+∠COD ＝90°，∴∠COD ＝∠DOB ，∴OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）设∠ COD ＝x°，则∠ AOE＝5x°，∵∠DOE ＝90°，∠ BOC＝60°，∴6x＝30 或5x+90﹣x＝120∴x＝5或7.5，即∠ COD ＝5°或7.5°∴∠ BOD＝65°或52.5°．7. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠BOC ＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON 是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1 中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为13 或49 ．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解答】解：（1）平分，理由：延长NO 到 D ，∵∠MON ＝90°∴∠ MOD ＝90°∴∠MOB +∠NOB＝90°，∠MOC +∠COD ＝90°，∵∠MOB ＝∠MOC ，∴∠NOB ＝∠COD ，∵∠NOB ＝∠AOD ，∴∠COD ＝∠AOD ，∴直线NO 平分∠ AOC；（2）分两种情况：① 如图2，∵∠ BOC ＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON 恰好平分锐角∠AOC 时，∠AOD＝∠COD ＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，5t＝65°解得t＝13（s）；② 如图3，当NO 平分∠ AOC 时，∠ NOA ＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65 °＝245°，由题意得，5t＝245°，解得t＝49（s），综上所述，t＝13s 或49s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝40°，理由：∵∠ AOM＝90°﹣∠AON∠NOC ＝50°﹣∠AON ，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠ AON ）﹣（50°﹣∠ AON）＝40°．9. 已知∠ AOC ＝40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点O 进行旋转，点M，O，N 在同一条直线上，OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图1，当点 A 与点M 重合，点 B 与点N 重合，且射线OC 和射线OD 在直线MN 的同侧时，求∠ BOP 的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠ BOD 从ON 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠ AOC 从OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图 2 所示，当旋转6s 时，求∠ DOP 的度数．【解答】解：（1）∵∠ AOC＝40°，∠ BOD ＝30°，∴∠COD ＝180°﹣40°﹣30°＝110°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝55°，∴∠BOP＝85°，∴∠ BOP 的余角的度数为5°；（2）∠DOP 的度数为49°，旋转6s 时，∠MOA ＝3×6°＝18°，∠NOB ＝5×6°＝30°，∴∠COM ＝22°，∠ DON ＝60°，∴∠COD ＝180°﹣∠COM ﹣∠DON ＝98°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝49°．10. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON 是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC＝120°．将图 1 中的三角板绕点O 按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为10 或40 （直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）直线ON 平分∠ AOC ．理由如下：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠ BOC，∴∠ MOC ＝∠MOB ，又∵ OM⊥ON，∴∠MOD ＝∠ MON＝90°，∴∠ COD ＝∠ BON，又∵∠ AOD＝∠BON，∴∠COD ＝∠AOD ，∴OD 平分∠ AOC，即直线ON 平分∠ AOC．（2）∵∠BOC ＝120°∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠COD ＝30°，即旋转60°时ON 平分∠ AOC，由题意得，6t＝60°或240°，∴t＝10 或40；（3）∵∠MON ＝90°，∠ AOC＝60°，∴∠ AOM ＝90°﹣∠ AON、∠NOC ＝60°﹣∠AON，∴∠ AOM ﹣∠NOC ＝（90°﹣∠ AON ）﹣（60°﹣∠AON ）＝30°．即∠ AOM ＝∠NOC+30°．11. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 在直线AB 的下方．（1）将图1 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得OM 落在射线OA 上，此时ON 旋转的角度为90 °；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得OM 在∠BOC 的内部，则∠BON﹣∠COM ＝30 °；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM 恰为∠BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为（24n+16）秒，简要说明理由．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON ，且∠MON ＝90°．故填：90；（2）如图3，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°，∵∠BON＝90°﹣∠ BOM，∠COM ＝60°﹣∠ BOM，∴∠ BON﹣∠COM ＝90°﹣∠BOM ﹣60°+∠BOM ＝30°，故填：30；（3）16 秒．理由如下：如图4．∵点O 为直线AB 上一点，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°．∵OM 恰为∠ BOC 的平分线，∴∠COM ′＝30°．∴∠AOM+∠AOC+∠COM ′＝240°．∵三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O 的运动最短时间为＝16（秒）．∴三角板绕点O 的运动时间为（24n+16 ）（n 是整数）秒．故填：（24n+16 ）．第9页。