第五讲 套利定价模型(APT)

定价公式：
1 r p r f
*
由此可见，1 代表因素风险报酬，即拥有单位因素
敏感度的组合超过无风险利率部分的预期收益率。为表
达方便，我们令 1 r p* ，即 1表示单位因素敏感度组 合的预期收益率，我们有：

ri r f ( 1 r f )bi

（5-7）
（二）两因素模型的定价公式 用同样的方法我们可以求出两因素模型中的APT资产
（一）单因素模型
单因素模型认为，证券的收益率只受一种因素的影
响。对于任意的证券 i，其在t时刻的单因素模型表达式 为：
rit ai bi Ft it
rit
（5-1）
其中
表示证券i在t时期的收益率，Ft表示该因
素在t时期的预测值，bi表示证券i对该因素的敏感度。
差为 ， a i为常数，它表示要素值为0时证券i的预期
b 其中
2 i
2 2 2 i F i 2 表示F因素的方差， F

（5-3）
2 i 表示随机变量的方差，
式（5-3）表明，某种证券的风险等于因素风险 2 加上非因素风险 。
i
(b )
2 i 2 F
在单因素模型下，证券i和j收益率的协方差为：
ij bi b j
x1 x2 x3 xn 0
条件2：
套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风
险。证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因 素敏感度的加权平均数，因此在单因素模型下该条件可表达为：
b1 x1 b2 x 2 bn x n 0
在双因素模型下，条件2表达式为：
证明单一风险资产均衡收益同β 风险、市场组合之间存
在某种有意义的关系。 因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模 糊，CAPM是无法检验的。
二、套利定价理论简介
罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础的 多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（Arbitrage
Pricing Theory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函
解：
令三种股票市值比重变化量分别为x1、x2和x3。根据(条件1)
和(条件2)我们有：
x1 x2 x3 0
0.9x1 3.1x2 1.9x3 0
上述方程组有多种解.作为其中的一个解，我们令x1 =0.1，
则可解出x2=0.083, x3=－0.183。 为了检验这个解能否提高预期收益率，我们把这个解用(条件 3)检验。则有： 0.10.16+0.0830.2－0.1830.13=0.881% 由于0.881%为正数，因此我们可以通过卖出274.5万元的第三 种股票(等于－0.1831500万元)同时买入150万元第一种股票(等 于0.11500万元)和124.5万元第二种股票(等于0.0831500万元) 就能使投资组合的预期收益率提高0.881%。
_
ri 0 1bi

i
（5-5）
0
从式(5-5)可以看出 ri 和 b i 必须保持线性关系，否则的 活，投资者就可以通过套利活动来提高投资组合的预期收 益率。式（5-5）可以用下图来表示：
和1是常数。
r
APT资产定价线 B S
bB=bS
bi
式（5-5）中的 0 和1 代表什么意思呢？ 我们知道，无风险资产的收益率等于无风险利率
L r2 0 1b2 0 x2
„„
L rn 0 1bn 0 xn L x1 x2 xn 0 0 L b1 x1 b2 x2 bn xn 0 1
由此我们可以得到在均衡状态下 ri 和 b 的关系： 这就是在单因素模型APT 定价公式,其中 _
x1r1 x2r2 xn rn 0
例题：
某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的 市值均为500万，投资组合的总价值为1500万元。假定这三
种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为16%、20%
和13%，其对该因素的敏感度(bi)分别为0.9、3.1和1.9。请 问该投资者能否修改其投资组合，以便在不增加风险的情况 下提高预期收益率。
一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔工
业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了检验，得 出的结果却与现实相悖。
2.单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定
的影响因素
Rosenberg and Marshe（1977）的研究发现，如果将 红利、交易量和企业规模加入计量模型，则β 系数会更有 说服力。 Basu(1977)发现，低市盈率股票的期望收益率高于资 本资产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表明，股 票收益率存在“规模效应”，即小公司股票有较高的超常 收益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动，即存
ri r f 。由于式（5-5）适用于所有证券包括无 ，即：

风险证券，而无风险证券的因素敏感度 bi 0 ，因此
根据式（5-5）我们有： ri 0 。由此可见，式（5-5）
中的 一定等于 r f ，因此式（5-5）可重新表示为：
0
_
ri r f 1bi

（5-6）
为了理解 1 的含义，我们考虑一个纯因素组合 ( p * ) 其因素敏感度等于1，即代入（5-6），我们有：
b11 x1 b12 x 2 b1n x n 0
b21 x1 b22 x2 bnn xn 0
在多因素模型下，条件2表达式为：
b11 x1 b12 x2 b1n xn 0
„„
bk1 x1 bk 2 x2 bkn xn 0
Hale Waihona Puke Baidu
条件3： 套利组合的预期收益率应大于零，即：
2 F
（5-4）
单因素模型可以大大简化马科维茨模型中确定切点处投 资组合的麻烦。
在单因素模型中，证券组合的方差等于：
b
2 p 2 p 2 F
2 p
（5-4）
其中，
bp
x i bi
i 1
N

2 p
x i2 2i
i 1
N
（二）两因素模型
两因素模型认为，证券收益率取决于两个因素，其表达 式为：
五、套利定价模型
投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证券同时 卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收益率偏高 的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时使收益率偏 低的证券价格下降，其收益率相应回升。这一过程将一直 持续到各种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏感度保
持适当的关系为止。下面我们就来推导这种关系：
数推导而出，其理论基础为一价定律（The Law of One Price），即两种风险－收益性质相同的资产不能按不同价 格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产 收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则 保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险 厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释 能力。
指数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单个风
险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起 的，没有实际意义；
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产
收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选 择。 该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的， CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能够
四、套利组合
根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资者将
利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预期收益
率。那么，什么是套利组合呢？ 根据套利的定义，套利组合要满足三个条件：
条件1：
套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自融 资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的变化 (从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正可负)， 则该条件可以表示为：
i
it 为证券i在t时期的随机变量，其均值为零，标准
收益率。因素模型认为，随机变量ε与因素是不相关的，
且两种证券的随机变量之间也是不相关的。
根据式（5-1），证券i 的预期收益率为：
ri ai bi F



（5-2）
其中 F 表示该要素的期望值。 根据式（5-1），证券i 收益率的方差为：
MaxL ( x1 r1 x2 r2 xn rn ) 0 ( x1 x2 xn ) 1 (b1 x1 b2 x2 bn xn )
L取最大值的一价条件是上式对xi和 的偏导等于
零，即：



L r 1 0 1b 1 0 x1
（一）单因素模型的定价公式
投资者套利活动的目标是使其套利组合预期收益率
最大化(因为根据套利组合的定义,他无需投资,也没有 风险)。而套利组合的预期收益率为：
rp x1r 1 x2 r 2 xn r n
但套利活动要受到式(条件1)和(条件2)两个条件 的约束。根据拉格朗日定理，我们可建立如下函数：
rit ai bi1 F1t bi 2 F2t it

其中,F1t和F2t分别表示影响证券收益率的两个因素在t时 期的预测值,bi1和bi2分别表示证券i对这两个因素的敏感度.
证券i的预期收益率为： r a b F b F i i i1 1 i2 2
证券i收益率的方差为：
（二）CAPM的实证检验问题
1.市场组合的识别和计算问题
CAPM刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方法。所 有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特点是，均衡资产的收 益率取决于市场资产组合的期望收益率。理论上，市场资产 组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的权数等于该 资产总市场价值占所有资产总价值的比重。但实际上，市场 资产涵盖的范围非常广泛，因此，在CAPM的实际运用中要识 别一个真正的市场组合几乎是不可能的。
三、因素模型
套利定价理论认为，证券收益是跟某些因素相关的。 为此，在介绍套利定价理论之前，我们先得了解因素模型（ Factor Models）。因素模型认为各种证券的收益率均受某 个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要 是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要 目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的 敏感度。
2 2 2 2 i2 bi2 b 2 b b COV ( F , F ) 1 F1 i2 F 2 i1 i 2 1 2 i
其中COV(F1,F2)表示两个因素F1和F2之间的协方差。 证券i和证券j的协方差为：
2 2 ij bi1b j1 F b b 1 i 2 j 2 F 2 (bi1b j 2 bi 2 b j1 )COV ( F1 , F2 )
第五讲 套利定价模型 （APT）
本讲的主要内容：
1、CAPM模型的缺陷 2、因素模型 3、套利组合 4、APT模型
5、CAPM与APT的比较
一、CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无 成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格。
（三）多因素模型
多因素模型认为，证券i 的收益率取决于K个因素，
其表达式为：
rit ai bi1F1t bi 2 F2t bik Fkt it
应该注意的是，与资本资产定价模型不同，因素模型
不是资产定价的均衡模型。在实际运用中，人们通常通过 理论分析确定影响证券收益率的各种因素，然后，根据历 史数据，运用时间序列法、跨部门法、因素分析法等实证 方法估计出因素模型。
在季节效应。
上述两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释能 力。
（三）关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’s Critique）
Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见：
1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所
有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效率。
2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票