第五讲 套利定价模型(APT)

证明单一风险资产均衡收益同β 风险、市场组合之间存
在某种有意义的关系。 因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模 糊，CAPM是无法检验的。
二、套利定价理论简介
罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础的 多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（Arbitrage
Pricing Theory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函
第五讲 套利定价模型 （APT）
本讲的主要内容：
1、CAPM模型的缺陷 2、因素模型 3、套利组合 4、APT模型
5、CAPM与APT的比较
一、CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无 成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格。
定价公式：
x1 x2 x3 xn 0
条件2：
套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风
险。证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因 素敏感度的加权平均数，因此在单因素模型下该条件可表达为：
b1 x1 b2 x 2 bn x n 0
在双因素模型下，条件2表达式为：
MaxL ( x1 r1 x2 r2 xn rn ) 0 ( x1 x2 xn ) 1 (b1 x1 b2 x2 bn xn )
L取最大值的一价条件是上式对xi和 的偏导等于
零，即：



L r 1 0 1b 1 0 x1
_
ri 0 1bi

i
（5-5）
0
从式(5-5)可以看出 ri 和 b i 必须保持线性关系，否则的 活，投资者就可以通过套利活动来提高投资组合的预期收 益率。式（5-5）可以用下图来表示：
和1是常数。
r
APT资产定价线 B S
bB=bS
bi
式（5-5）中的 0 和1 代表什么意思呢？ 我们知道，无风险资产的收益率等于无风险利率
四、套利组合
根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资者将
利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预期收益
率。那么，什么是套利组合呢？ 根据套利的定义，套利组合要满足三个条件：
条件1：
套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自融 资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的变化 (从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正可负)， 则该条件可以表示为：
ri r f 。由于式（5-5）适用于所有证券包括无 ，即：

风险证券，而无风险证券的因素敏感度 bi 0 ，因此
根据式（5-5）我们有： ri 0 。由此可见，式（5-5）
中的 一定等于 r f ，因此式（5-5）可重新表示为：
0
_
ri r f 1bi

（5-6）
为了理解 1 的含义，我们考虑一个纯因素组合 ( p * ) 其因素敏感度等于1，即代入（5-6），我们有：
在季节效应。
上述两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释能 力。
（三）关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’s Critique）
Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见：
1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所
有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效率。
2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票
（二）CAPM的实证检验问题
1.市场组合的识别和计算问题
CAPM刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方法。所 有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特点是，均衡资产的收 益率取决于市场资产组合的期望收益率。理论上，市场资产 组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的权数等于该 资产总市场价值占所有资产总价值的比重。但实际上，市场 资产涵盖的范围非常广泛，因此，在CAPM的实际运用中要识 别一个真正的市场组合几乎是不可能的。
指数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单个风
险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起 的，没有实际意义；
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产
收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选 择。 该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的， CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能够
2 2 2 2 i2 bi2 b 2 b b COV ( F , F ) 1 F1 i2 F 2 i1 i 2 1 2 i
其中COV(F1,F2)表示两个因素F1和F2之间的协方差。 证券i和证券j的协方差为：
2 2 ij bi1b j1 F b b 1 i 2 j 2 F 2 (bi1b j 2 bi 2 b j1 )COV ( F1 , F2 )
一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔工
业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了检验，得 出的结果却与现实相悖。
2.单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定
的影响因素
Rosenberg and Marshe（1977）的研究发现，如果将 红利、交易量和企业规模加入计量模型，则β 系数会更有 说服力。 Basu(1977)发现，低市盈率股票的期望收益率高于资 本资产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表明，股 票收益率存在“规模效应”，即小公司股票有较高的超常 收益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动，即存
数推导而出，其理论基础为一价定律（The Law of One Price），即两种风险－收益性质相同的资产不能按不同价 格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产 收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则 保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险 厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释 能力。
x1r1 x2r2 xn rn 0
例题：
某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的 市值均为500万，投资组合的总价值为1500万元。假定这三
种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为16%、20%
和13%，其对该因素的敏感度(bi)分别为0.9、3.1和1.9。请 问该投资者能否修改其投资组合，以便在不增加风险的情况 下提高预期收益率。
（一）单因素模型
单因素模型认为，证券的收益率只受一种因素的影
响。对于任意的证券 i，其在t时刻的பைடு நூலகம்因素模型表达式 为：
rit ai bi Ft it
rit
（5-1）
其中
表示证券i在t时期的收益率，Ft表示该因
素在t时期的预测值，bi表示证券i对该因素的敏感度。
差为 ， a i为常数，它表示要素值为0时证券i的预期
rit ai bi1 F1t bi 2 F2t it

其中,F1t和F2t分别表示影响证券收益率的两个因素在t时 期的预测值,bi1和bi2分别表示证券i对这两个因素的敏感度.
证券i的预期收益率为： r a b F b F i i i1 1 i2 2
证券i收益率的方差为：
1 r p r f
*
由此可见，1 代表因素风险报酬，即拥有单位因素
敏感度的组合超过无风险利率部分的预期收益率。为表
达方便，我们令 1 r p* ，即 1表示单位因素敏感度组 合的预期收益率，我们有：

ri r f ( 1 r f )bi

（5-7）
（二）两因素模型的定价公式 用同样的方法我们可以求出两因素模型中的APT资产
b11 x1 b12 x 2 b1n x n 0
b21 x1 b22 x2 bnn xn 0
在多因素模型下，条件2表达式为：
b11 x1 b12 x2 b1n xn 0
„„
bk1 x1 bk 2 x2 bkn xn 0
条件3： 套利组合的预期收益率应大于零，即：
（三）多因素模型
多因素模型认为，证券i 的收益率取决于K个因素，
其表达式为：
rit ai bi1F1t bi 2 F2t bik Fkt it
应该注意的是，与资本资产定价模型不同，因素模型
不是资产定价的均衡模型。在实际运用中，人们通常通过 理论分析确定影响证券收益率的各种因素，然后，根据历 史数据，运用时间序列法、跨部门法、因素分析法等实证 方法估计出因素模型。
i
it 为证券i在t时期的随机变量，其均值为零，标准
收益率。因素模型认为，随机变量ε与因素是不相关的，
且两种证券的随机变量之间也是不相关的。
根据式（5-1），证券i 的预期收益率为：
ri ai bi F



（5-2）
其中 F 表示该要素的期望值。 根据式（5-1），证券i 收益率的方差为：
2 F
（5-4）
单因素模型可以大大简化马科维茨模型中确定切点处投 资组合的麻烦。
在单因素模型中，证券组合的方差等于：
b
2 p 2 p 2 F
2 p
（5-4）
其中，
bp
x i bi
i 1
N

2 p
x i2 2i
i 1
N
（二）两因素模型
两因素模型认为，证券收益率取决于两个因素，其表达 式为：
三、因素模型
套利定价理论认为，证券收益是跟某些因素相关的。 为此，在介绍套利定价理论之前，我们先得了解因素模型（ Factor Models）。因素模型认为各种证券的收益率均受某 个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要 是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要 目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的 敏感度。