概率论知识点

第一章 随机事件及其概率

§1.1 随机事件及其运算

随机现象：概率论的基本概念之一。是人们通常说的偶然现象。其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.

随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.

互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），

Ω== n 1i i A

,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空

间Ω的一个划分)。

§1.2 随机事件的概率

概率：随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。 统计概率：在一定条件下，重复做n 次试验，A n 为n 次试验中事件A 发生的次数，如果随着n 逐渐增大，频率n n A 逐渐稳定在某一数值p 附近，则数值p 称为事件A

在该条件下发生的概率，记做P(A)=p 。这个定义成为概率的统计定义。

古典概型：若随机现象有下列两个特征 (1) 试验的可能结果（基本事件）只有有限个；

(2)试验中每个可能结果（基本事件）出现的可能性相等.则称这类现象的数学模型为古典概型.古典概率：在古典概型中，如果基本事件的总数为n ，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ

（ ），则定义事件Ａ的概率 为 .即

把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重复试验。

§1.3 概率的基本运算法则

加法公式: 设B A ,为任意两个事件，则)()()()(AB P B P A P B A P -+= .当B A ,满足ΦB A = 时,加法公式为)()()(B P A P B A P += 。

乘法公式：设B A ,为任意两个事件，若0)(>B P ，则))()(B A P B P B A P = 。同理， 若0)(>A P ，)()()(A B P A P B A P = ，

事件的独立性：如果事件A 与B 满足)()(B A P A P =，则称事件A 关于事件B 是独立的。 独立性是相互的性质，即A 关于B 独立，B 一定关于A 独立，或称A 与B 相互独立。 §1.4 全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式：设事件组n B B B ,,21是样本空间Ω的一个划分,且0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任意的事件Ω∈A ，有

∑==n

i i i B A P B P A P 1)/()()(

此公式称为全概率公式。

贝叶斯公式：设事件组n B B B ,,21是样本空间Ω的一个划分，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，

对任意的事件A ，且0)(>A P ，则 ∑==n i i

i j j j B A P B P B A P B P A B P 1)/()()

/()()/(， .,,2,1n j =

此公式称为贝叶斯公式。

第二章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量

随机变量：设E 是一随机试验，它的样本空间为 {e}Ω=，如果对于Ω内的每一个e ，变量X 都有一个确定的实数值X(e)与之对应，则变量X 是样本点e 的实函数，记作X(e)X =。这样的变量称为随机变量。

随机变量的分布：要全面了解一个随机变量，不但要知道它取哪些值，而且要知道它取这些值的统计规律，随机变量取值的统计规律就称为它的概率分布，简称分布。

分布函数：设X 是一随机变量，x 是任意实数，由 }{)(x X P x F ≤= 确定的函数称为随机变量X 的分布函数。如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x 处的函数值就表示X 落在区间),(x -∞上的概率。对于任意实数21x x <，

=≤-≤=≤<}{}{}{1221x X P x X P x X x P )()(12x F x F -，

因此分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

离散型随机变量：如果随机变量X 的可能取值只有限个或可列个，则称它为离散型随机变量。若X 的可能取值为i x ),2,1( =i ，相应的概率i i p x X P ==}{称为离散型随机变量X 的概率函数或分布律。

Bernoulli 试验：只有两个可能结果的随机试验称Bernoulli 试验。

试验的独立性：若是试验E 1的可能结果与E 2的可能结果的发生与否是独立的，则称试验E 1 与E 2是相互独立的。

n 重Bernoulli 试验：把Bernoulli 试验重复独立进行n 次，称为n 重Bernoulli 试验。 n 重Bernoulli 试验是一种非常重要的的概率模型，它是“在相同条件下进行重复试验或观察”的一种数学模型.

二项分布：若将Bernoulli 试验中的一个可能结果记为A 且p A P =)()10(<