概率论知识点
概率论知识点
第一章随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是，在相同的条件下重复观察时，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先不能断言将出现哪种结果•例如,投掷一枚五分硬币，可能国徽”向上,也可能伍分”向上；从含有5件次品的一批产品中任意取出3件，取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一•指在科学研究或工程技术中，对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察（包括试验、实验、测量和观测等）,事先不能精确地断定其结果，而且在相同条件下可以重复进行，这种试验就称为随机试验。
样本空间：概率论术语。
我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为1。
样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点。
随机事件：实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E的样本空间I ■■的子集为E的随机事件，简称事件•在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.样本空间门包含所有的样本点，它是门自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集？不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A B =①，则称事件A与事件B是互斥（或互不相容）事件。
互逆事件：事件A与事件B满足条件A B =①，A B =1 ,则称A与B是互逆事件，也称A与B是对立事件，记作B （或A = B ）。
互不相容完备事件组：若事件组A,A2,…A满足条件A i A j二①，（i,i=t n ）,nA-、_:，则称事件组A, A2,…A n为互不相容完备事件组（或称A, A2,…A n为样本空i=1间门的一个划分）。
§ 1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。
考研数学概率论知识点总结
考研数学概率论知识点总结考研数学中的概率论是一个重要的组成部分，对于考生来说，掌握好概率论的知识点是取得高分的关键之一。
下面就为大家详细总结一下概率论的重要知识点。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括事件的包含、相等、和、积、差、互斥、对立等关系和运算。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
5、古典概型具有有限个等可能结果的概率模型。
6、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
7、条件概率在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
8、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
9、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式用于计算复杂事件的概率，贝叶斯公式用于在已知结果的情况下，反推原因发生的概率。
二、随机变量及其分布1、随机变量用来表示随机试验结果的变量。
2、离散型随机变量取值可以一一列出的随机变量。
3、离散型随机变量的概率分布包括分布律、分布函数等。
4、常见的离散型随机变量分布如 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。
5、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量。
6、连续型随机变量的概率密度函数其性质包括非负性和规范性。
7、常见的连续型随机变量分布如均匀分布、正态分布、指数分布等。
8、随机变量的函数的分布已知随机变量的分布，求其函数的分布。
三、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成的向量。
2、二维随机变量的分布函数其性质与一维类似。
3、二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律等。
4、二维连续型随机变量联合概率密度函数、边缘概率密度函数等。
5、条件分布在已知某一变量取值的条件下，另一变量的分布。
6、相互独立的随机变量如果两个随机变量的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称它们相互独立。
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
概率论必备知识点
概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用，从物理学、生物学、经济学到计算机科学等。
以下是一些概率论中的必备知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
计算概率的方法有多种。
对于等可能事件，概率等于事件所包含的基本结果数除以总的基本结果数。
例如，掷一个骰子，出现点数为 3的概率就是 1/6，因为骰子共有 6 个面，每个面出现的可能性相等，而点数为 3 的只有 1 种情况。
二、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
在古典概型中，试验的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率，这就是一个古典概型问题。
计算古典概型的概率，可以使用公式：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω)表示总的基本结果数。
三、几何概型几何概型是古典概型的推广，当试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时，就可以使用几何概型来计算概率。
例如，在一个时间段内等待公交车，求等待时间不超过 5 分钟的概率。
在几何概型中，概率等于事件对应的区域长度（面积或体积）除以总的区域长度（面积或体积）。
四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率。
概率知识点归纳整理总结
概率知识点归纳整理总结概率基础知识1. 样本空间和事件概率论的基本概念是样本空间和事件。
样本空间是一个随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的一些结果。
事件的概率描述了该事件发生的可能性有多大。
2. 概率的定义在样本空间Ω中，事件A包含n(A)个基本事件，概率P(A)定义为P(A)=n(A)/n(Ω)，即事件A的发生可能性是A包含的基本事件数目与样本空间的基本事件数目之比。
3. 概率的性质概率具有以下几个性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1；（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1；（3）可列可加性：若事件A1，A2，A3，...两两互斥，则P(A1∪A2∪A3∪...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。
4. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算逆概率的定理，它表示为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
概率的应用1. 排列与组合排列和组合是概率论的一个重要应用。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的种数，用P(n,m)表示，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的种数，用C(n,m)表示，其公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。
2. 事件的独立性在概率论中，独立性是一个重要的概念。
事件A和事件B称为独立事件，如果P(A∩B)=P(A)P(B)，即事件A的发生与事件B的发生互不影响。
在实际应用中，很多情况下要求两个事件的独立性，以便于计算事情发生的可能性。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它是一个从样本空间到实数的映射。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性和概率分布。
在现实生活中，概率论广泛应用于统计学、金融、工程、生物学等领域。
下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结。
一、基本概念1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集。
3. 概率：随机事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
4. 事件的互斥与对立：互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件至少有一个发生。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可数可加性：如果事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 加法定理：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
三、条件概率1. 定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
3. 乘法公式：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)。
四、独立事件1. 定义：事件A发生与否不受事件B发生与否的影响。
2. 判别条件：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯定理1. 全概率公式：设事件B1、B2、...、Bn为样本空间的一个划分，即B1∪B2∪...∪Bn = S，且P(Bi) > 0，有P(A) = ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
2. 贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，可以得到P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
六、随机变量与概率分布1. 随机变量：将数学状态与随机事件的结果联系起来的变量。
2. 离散型随机变量与连续型随机变量。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况。
4. 均匀分布、正态分布、泊松分布等。
七、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值趋于总体均值。
概率论必备知识点
概率论与数理统计知识点：第一章 随机事件及其概率1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1） 试验可在相同的条件下重复进行；2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3） 每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为e .（3）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件，常用A 、B 、C 等大写字母表示；可表述为样本空间中样本点的某个集合，分为复合事件和简单事件，还有必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃；B A B A ⊂⇔=且A B ⊂.（2）和事件（并）：“事件A 与B 至少有一个发生”，记为B A ⋃. （3）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发生”，记为B A ⋂或AB .（4）差事件、对立事件(余事件)：“事件A 发生而B 不发生”，记为A －B 称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对立事件；易知：B A B A =-.（5）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB . （6）事件的运算法则：1) 交换律：A B B A ⋃=⋃，BA AB = ； 2) 结合律：C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃)()(，)()(BC A C AB =； 3) 分配律：BC AC C B A ⋃=⋃)(，))(()(C B C A C AB ⋃⋃=⋃；4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =⋃，B A AB ⋃=，可推广kkkkkkkkAA A A ==,.3、频率与概率（1）频率的定义：事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则比值nn A称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(. （2）统计概率：当∞→n 时，频率)()(A P nnA f A n →=.当n 很大时，)()(A f P A P n ≈=称为事件A 的统计概率.（3）古典概率：若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则试验对应古典概型（等可能概型），事件A 发生的概率为：nA k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（4）几何概率：若试验基本事件数无限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何概型，“在区域Ω中随机地取一点落在区域g 中”这一事件g A 发生的概率为：的测度的测度＝Ωg A P g )(.（5）概率的公理化定义：设(F ,Ω)为可测空间，在事件域F 上定义一个实值函数),(A P F A ∈，满足：1) 非负性：0)(≥A P ，对任意F A ∈；2) 规范性：1)(=ΩP ；3) 可列可加性：若有一列,,2,1, =∈i F A i i Φ=j i A A ，使得∑∞=∞==11)()(j jj jA P A P ，则称),(A P F A ∈为σ域F 上的概率测度，简称“概率”． 4、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：)(ΦP ＝0.（2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即j i A A ＝Φ，（j i ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ⋃⋃⋃ ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件B ⊃A ，则P (B )≥P (A )，且P (B －A )＝P (B )－P (A ).（4）互补性：P (A )＝1－P (A )，且P (A )≤1.（5）加法公式：对任意两事件B A 、，有=⋃)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推广到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=. 5、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是Ω中的两个事件，即F B A ∈、，则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率．（2）乘法公式：设F B A ⊂、，则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 称为事件A 、B 的概率乘法公式.6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件F B ∈，有∑=ni iiA B P A P B P 1)|()()(＝，称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件F B ∈，有),,1(,)|()()|()()|(1n j A B P A P A B P A P B A P ni iij j j ==∑=，称为贝叶斯公式或逆概率公式. 7、事件的独立性（1）两事件的独立：设),,(P F Ω为一概率空间，事件F B A ∈、，且0)(>A P ，若)|()(A B P B P =，则称事件A 与B 相互独立；等价于：)()()(B P A P AB P =.（2）多个事件的独立：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立． 8、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用)(A P p =表示，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独立地进行n 次，所得的试验称为n 重贝努里试验，记为nE ． （3）把E 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为∞E ．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）nE 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n k n k k n ≤≤=---其中1=+q p .第二章 随机变量及其分布1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常用大写字母Z Y X 、、等表示. 2、分布函数及其性质设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为随机变量X 的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质： （1）)(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F ； （2）如果21x x <，则)()(21x F x F ≤； （3）)(x F 为右连续，即)()0(x F x F =+； （4）1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）)()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<. 3、离散型随机变量及其概率分布如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的一切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.列成表格形式，也称为分布列(表2-1)： 表2-1其中1,0=≥∑iii pp .常见的离散型随机变量的分布有： （1）0-1分布，记为)10(~-X ，概率函数10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k ；（2）二项分布，记为),(~p n B X ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n ；（3）泊松分布，记为)(~λP X ，概率函数0,,1,0,!}{>===-λλλ k k e k X P k ；泊松定理 设0>λ是一常数，n 是任意正整数，设λ=n np ，则对于任一固定的非负整数k ，有!)1(lim k e p p C k kn n k nkn n λλ--∞→=-.当n 很大且p 很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k kn k k nλλ--≈-，其中np =λ.（4）超几何分布，记为),,(~N M n H X ，概率函数),min(,,1,0,}{M n k C C C k X P nNk n MN k M ===--，其中M N n 、、为正整数，且N n N M ≤≤,.当N 很大，且Nn p =较小时，有k n k k n nN k n MN k M p p C C C C ----≈)1(.] （5）几何分布，记为)(~p G X ，概率函数10,,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k .4、连续型随机变量及其概率分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负函数)(x f ，使对于任一实数x ，有⎰∞-=xdt t f x F )()(，则称X 为连续型随机变量.函数)(x f称为X 的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）0)(≥x f ； （2）1)(=⎰+∞∞-dt t f ；（3）⎰=≤<21)(}{21x x dt t f x X x P ； （4）0}{1==x X P ；（5）如果)(x f 在x 处连续，则)()(x f x F ='. 常见的连续型随机变量的分布有：（1）均匀分布，记为),(~b a U X ，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,,1)(b x a a b x f .相应的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(；（2）指数分布，记为)(~λE X ，概率密度为⎩⎨⎧≥=-其它,0,0,)(x e x f λλ.相应的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ； （3）正态分布，记为),(~2σμN X ，概率密度为+∞<<-∞=--X ex f x ,21)(222)(σμπ，相应的分布函数为⎰∞---=xx dt ex F 222)(21)(σμπ；当1,0==σμ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别用)(x ϕ和)(x Φ表示X 的密度函数和分布函数，即⎰∞---=Φ=x t x dt e x ex 222221)(,21)(ππϕ.具有性质：)(1)(x x Φ-=-Φ.一般正态分布),(~2σμN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σμ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)： 表2-2则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)： 表2-3i y 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为)(x f X ，则)(X g Y =的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f X Y . 其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数.2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑⎰∆=≤=≤=k y xY k dx x fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(，然后求])([)('=y F y f Y Y .第三章 多维随机变量及其分布1、二维随机变量及其联合分布函数设X ，Y 为随机变量，则称它们的有序数组（Y X ,）为二维随机变量. 设（Y X ,）为二维随机变量，对于任意实数x 、y ，称二元函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=为（Y X ,）的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质： （1）),(y x F 是变量x 或y 的非减函数； （2）1),(0≤≤y x F 且1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ， ， ，；（3）),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（4）对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表示随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为二维离散型随机变量.设),(Y X 为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为 ,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布律.表3.1联合分布律具有下列性质：（1）0≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数),(y x p ,使得二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有 ⎰⎰∞-∞-=x ydy dx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是二维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）对一切实数y x ,，有0),(≥y x p ； （2）1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平面域D 上，),(Y X 取值的概率⎰⎰=∈Ddxdy y x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p yx y x F =∂∂∂. 4、二维随机变量的边缘分布设),(Y X 为二维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X ，},{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i 分别为),(Y X 关于X 和关于Y的边缘分布律.当),(Y X 为连续型随机变量，则称⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx y x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()( 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（1）离散型随机变量的条件分布设),(Y X 为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为),2,1,(}{,}{,},{.. ========j i p y Y P p x X P p y Y x X P j j i i ij j i ，则当j 固定，且0}{.>==j j p y Y P 时，称,2,1,}{},{}|{.========i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i 为j y Y =条件下随机变量X的条件分布律.同理，有 ,2,1,}|{.====j p p x X y Y P i ij i j（2）连续型随机变量的条件分布设),(Y X 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：)(),(),,(y p x p y x p Y X .则当0)(>y p Y 时，在),(y x p 和)(x p X 的连续点处，),(Y X 在条件y Y =下，X 的条件概率密度函数为：)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =.同理，有)(),()|(|x p y x p y x p X X Y =.6、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对任何实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdy y x p z F zy x Z ⎰⎰≤=),(),()(ϕ.（1）Y X Z +=的分布若),(Y X 为离散型随机变量，联合分布律为ij p ，则Z 的概率函数为：∑-=ii k i k Z x z x p z P ),()(或∑-=jj k j k Z y z y p z P ),()(.若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：dy y y z p dx x z x p z p Z ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.（2）YXZ =的分布 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰+∞∞-=dy y yz p y z p Z ),()(.第四章 随机变量的数字特征1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果广义积分⎰+∞∞-dx x xp )(绝对收敛，则称此积分值⎰+∞∞-=dx x xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(； （2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+； 对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独立，则)()()(2121X E X E X X E =； 对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为 2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为⎰+∞∞-=dx x p x g x g E )()()]([，式中积分绝对收敛.3、随机变量的方差设X 是一个随机变量，则})]({[)()(2X E X E X Var X D -==称为X 的方差.)()(X X D σ=称为X 的标准差或均方差.计算方差也常用公式22)]([)()(X E X E X D -=. 方差具有如下性质：（1）设C 是常数，则0)(=C D ；（2）设C 是常数，则)()(2X D C CX D =；（3）若21X X 、相互独立，则)()()(2121X D X D X X D +=+； 对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=+++ ；（4）0)(=X D 的充要条件是：存在常数C ，使))((1}{X E C C X P ===. 4、几种常见分布的数学期望与方差（1）)1()(,)().10(~p p X D p X E X -==-； （2）)1()(,)().,(~p np X D np X E p n B X -==； （3）)1())(()(,)().,,(~2---==N N n N M N nM X D N nM X E N M n H X ； （4）λλλπ==)(,)().(~X D X E X ；（5）2/)1()(,/1)().(~p p X D p X E p G X -==； （6）12/)()(,2/)()().,(~2a b X D b a X E b a U X -=+=； （7）2/1)(,/1)().(~λλλ==X D X E e X ； （8）22)(,)().,(~σμσμ==X D X E N X . 5、矩设X 是随机变量，则 ,2,1),(==k X E k k α称为X 的k 阶原点矩.如果)(X E 存在，则 ,2,1},)]({[=-=k X E X E k k μ称为X 的k 阶中心矩. 设),(Y X 是二维随机变量，则 ,2,1,),(==l k Y X E l k kl α称为),(Y X 的l k +阶混合原点矩； ,2,1,},)]([)]({[=-⋅-=l k Y E Y X E X E l k kl μ称为),(Y X 的l k +阶混合中心矩.5、二维随机变量的数字特征(1) ),(Y X 的数学期望)](),([),(Y E X E Y X E =；若),(Y X 是离散型随机变量，则∑∑∞=∞==11)(i j ijipx X E ，∑∑∞=∞==11)(i j ijipy Y E .若),(Y X 是连续型随机变量，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xp X E ),()(，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x yp Y E ),()(.这里，级数与积分都是绝对收敛的.（2）),(Y X 的方差)](),([),(Y D X D Y X D =若),(Y X 是离散型随机变量，则∑∑∞=∞=-=112)]([)(i j ij ip X E xX D ，∑∑∞=∞=-=112)]([)(i j ij i p Y E y Y D .若),(Y X 是连续型随机变量，则⎰⎰+∞∞-+∞∞--=dxdy y x p X E x X D ),()]([)(2，⎰⎰+∞∞-+∞∞--=dxdy y x p Y E y Y D ),()]([)(2.这里，级数与积分都是绝对收敛的.6、协方差与相关系数随机变量),(Y X 的协方差为)]}()][({[),cov(Y E Y X E X E Y X --=.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：)()()(),cov(Y E X E XY E Y X -=.随机变量),(Y X 的相关系数为DYDX Y X XY ),cov(=ρ.相关系数具有如下性质： （1）1≤XY ρ；（2）⇔=1XY ρ存在常数b a ,，使}{b aX Y P +==1，即X 与Y 以概率1线性相关； （3）若Y X ,独立，则0=XY ρ，即Y X ,不相关.反之，不一定成立.第五章 大数定律和中心极限定理1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-><-X P 成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定理:设 ,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，数学期望)(i X E 和方差)(i X D 都存在，且C X D i <)(),2,1( =i ，则对任意给定的0>ε，有1}|)]([1{|lim 1=<-∑=∞→εni i i n X E X n P . （2）贝努利大数定理:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp nn P An . 贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率A n A /依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性. 3、中心极限定律（1）独立同分布中心极限定理:设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2 =≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n Xn XY ni ini in ∑∑==-=-=11)(的分布函数)(x F n 满足⎰∞--∞→∞→=≤=xtn n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:设 ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2=≠=i X D i i σ .记 ∑==ni inB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→-∑=++ni ii nX E Bδδμ, 则随机变量nni ini ini i ni i ni in B X X D X E XZ ∑∑∑∑∑=====-=-=11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰∑∑∞--==∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n ni i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ.当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==ni n i ni in B N XN Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.第六章 数理统计的基本概念1、总体与样本在数理统计中，将研究对象的全体称为总体；组成总体的每个元素称为个体.从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本；样本中个体的个数称为样本的容量. 从分布函数为)(x F 的随机变量X 中随机地抽取的相互独立的n 个随机变量，具有与总体相同的分布，则n X X X ,,,21 称为从总体X 得到的容量为n 的随机样本.一次具体的抽取记录n x x x ,,,21 是随机变量n X X X ,,,21 的一个观察值，也用来表示这些随机变量. 2、统计量设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，则不含未知参数的样本的连续函数),,,(21n X X X f 称为统计量.统计量也是一个随机变量，常见的统计量有（1）样本均值 ∑==ni i X n X 11；（2）样本方差 ][11)(11122122∑∑==--=--=ni in i i X n X n X X n S ； （3）样本标准差 2S S =；（4）样本k 阶原点矩 ,2,1,11==∑=k X n A n i ki k ；（5）样本k 阶中心矩 ,2,1,)(11=-=∑=k X X n B k ni i k .2、经验分布函数设n x x x ,,,21 是总体X 的一组观察值将它们按大小顺序排列为：**2*1n x x x ≤≤≤ ，称它为顺序统计量.则称⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=+**1**2*1*1,1,,1,0)(nk k n x x x x x nkx x x n x x x F 为经验分布函数（或样本分布函数）. 3、一些常用统计量的分布（1）2χ分布设)1,0(~N X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，则统计量∑==ni i X 122χ服从自由度为n 的2χ分布，记作)(~22n χχ.（2）t 分布 设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且Y X ,相互独立，则随机变量nY X t /=服从自由度为n 的t 分布，记作)(~n t t .t 分布又称为学生分布.（3）F 分布 设)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且Y X ,相互独立，则随机变量21//n Y n X F =服从自由度为),(21n n 的F 分布，记作),(~21n n F F . 4、正态总体统计量的分布设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，则 （1）样本均值X 服从正态分布，有),(~2nN X σμ或)1,0(~/2N nX U σμ-=；（2）样本方差)1(~)1(222--n S n χσ；（3）统计量)1(~/--n t nS X μ.设),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，1,,,21n X X X 是X 的一个样本，2,,,21n Y Y Y 是Y 的一个样本，两者相互独立.则（1）统计量)1,0(~//)()(22212121N n n Y X σσμμ+---；（2）当21σσ=时，统计量)2(~/2/1)()(212121-+⋅+---n n t S n n Y X wμμ，其中2)1()1(21222211-+-+-=n n S n S n S w ； （3）统计量 )1,1(~//2122222121--n n F S S σσ； （4）统计量),(~/)(/)(2112221222112121n n F n n yx n j jn i i⋅--∑∑==σμσμ.第七章 参数估计1、参数的点估计及其求法根据总体X 的一个样本来估计参数的真值称为参数的点估计. （1）估计量根据总体X 的一个样本n X X X ,,,21 构造的用其观察值来估计参数θ真值的统计量),,,(ˆ21n X X X θ称为估计量，),,,(ˆ21nx x x θ称为估计值. (2)矩估计法用样本矩作为相应的总体矩估计来求出估计量的方法.其思想是：如果总体中有k 个未知参数，可以用前k 阶样本矩估计相应的前k 阶总体矩，然后利用未知参数与总体矩的函数关系，求出参数的估计量.（3）极大似然估计法设总体X 的密度函数为),(θx p ，其中θ为未知参数， n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，n x x x ,,,21 为一组样本观测值，则总体X 的联合密度函数称为似然函数，记作∏==n i i x p L 1),(θ，取对数 ∑==ni i x p L 1),(ln ln θ，由0ln =θd Ld ，求得似然函数L 的极大值θˆ，即为未知参数θ的极大似然估计.其思想是：在已知总体X 概率分布时，对总体进行n 次观测，得到一个样本，选取概率最大的θ值θˆ作为未知参数θ的真值的估计是最合理的. （4）估计量的优劣标准1）无偏性.设)ˆ(),,,,(ˆˆ21θθθE X X X n=存在，且θθ=)ˆ(E ，则称值θˆ是θ的无偏估计量.否则称为有偏估计量.2）有效性.设1ˆθ和2ˆθ均为参数θ的无偏估计量，如果)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称估计量1ˆθ比2ˆθ有效. 3）一致性（相合性）.设θˆ为θ的估计量，θˆ与样本容量n 有关，记为nθθˆˆ=，对于任意给定的0>ε，都有 1}ˆ{lim =<-∞→εθθnn P ，则称θˆ为参数θ的一致估计量.2、参数的区间估计设总体X 的分布);(θx F 中含有未知参数θ，若存在样本的两个函数),,,(21n X X X θ和),,,(21n X X X θ，使对于给定的)10(<<αα，有αθθθ-=<<1}{P ，则随机区间（θθ,）称为参数θ的置信度为α-1的双侧置信区间.若有αθθ-=<1}{P 或αθθ-=<1}{P ，则定义),(∞θ或),(θ-∞为θ的置信度为α-1的单侧置信区间.（1）单个正态总体均值与方差的置信区间（见表7-1） 表7-1（2）两个正态总体均值差与方差比的置信区间（见表7-2）表7-2第八章 假设检验1、假设检验的基本概念 （1）假设检验对总体的分布提出某种假设，然后利用样本所提供的信息，根据概率论的原理对假设作出“接受”还是“拒绝”的判断，这一类统计推断问题统称为假设检验. 假设检验所依据的原则是：小概率事件在一次试验中是不该发生的. （2）两类错误在根据样本作推断时，由于样本的随机性，难免会作出错误的决定.当原假设0H 为真时，而作出拒绝0H 的判断，称为犯第一类错误；当原假设0H 不真时，而作出接受0H 的判断，称为犯第二类错误.控制犯第一类错误的概率不大于一个较小的数)10(<<αα称为检验的显著性水平. （3）假设检验的基本步骤 1）建立原假设0H ；2）根据检验对象，构造合适的统计量；3）求出在假设0H 成立的条件下，该统计量服从的概率分布； 4）选择显著性水平α，确定临界值；5）根据样本值计算统计量的观察值，由此作出接受或拒绝0H 的结论. 2、单个正态总体的假设检验 设总体),(~2σμN X .关于均值μ的检验（见表8-1） 表8-1（2）关于方差2σ的检验（见表8-2）表8-13、两个正态总体的假设检验设总体),(~211σμN X ，样本容量为1n ；),(~222σμN Y ，样本容量为2n . （1）两个正态总体均值的检验（见表8-3） 表8-3（2）两个正态总体方差的检验（见表8-4）。
概率知识点总结职高
概率知识点总结职高一、基本概率概念1. 随机事件及其概率在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
而该事件发生的可能性大小即为概率。
概率通常用P(A)表示，表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，即0≤P(A)≤1。
2. 样本空间和事件在概率论中，样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合，通常用S表示。
而事件则是样本空间的子集，表示样本空间中满足某一特定条件的结果。
3. 事件的互斥和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生的情况，即事件A和事件B互斥，发生A就不可能发生B，反之亦成立。
而对立事件是指两个事件互为补事件，即事件A发生的概率加上事件A不发生的概率等于1。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率是指在一项随机试验中，所有可能事件出现的概率是相等的，即P(A) = n(A) /n(S)，其中n(A)表示事件A出现的结果数，n(S)表示样本空间的结果数。
2. 几何概率几何概率是指根据几何图形的特性来计算概率的方法。
比如将事件A发生的区域面积除以样本空间的面积。
3. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
表示为P(A|B)，计算方法为P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)代表事件B发生的概率。
4. 乘法定理乘法定理是指在一个随机试验中，多个事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的乘积。
比如P(AB) = P(A) * P(B|A)。
5. 加法定理加法定理是指在一个随机试验中，事件A和事件B至少有一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去两者同时发生的概率。
表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)。
三、概率分布1. 随机变量随机变量是指对随机现象进行量化的一种方式，可以是离散型的也可以是连续型的。
2. 概率质量函数和概率密度函数对于离散型随机变量，其概率分布函数称为概率质量函数（PMF），而对于连续型随机变量，其概率分布函数称为概率密度函数（PDF）。
概率论知识点
概率论知识点概率论是数学的一个分支，它研究随机现象和不确定情况下的数学模型和分析方法。
在概率论中，我们通过数学方法来描述和分析事件发生的可能性。
下面是概率论中的一些重要知识点：1. 概率的基本定义：在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性。
概率的基本定义是：对于一个随机试验E，其可能的结果为S，事件A是S的一个子集，事件A发生的概率等于A中所有可能结果的概率之和。
2. 事件的性质：在概率论中，我们研究事件的性质和运算。
事件的运算包括并、交、差和补等。
并是指两个事件同时发生的情况，交是指两个事件都发生的情况，差是指一个事件发生而另一个事件不发生的情况，补是指一个事件不发生的情况。
3. 条件概率：条件概率是指在已知某事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，其中A和B分别为两个事件。
条件概率的计算方法是：P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
4. 独立性：在概率论中，如果两个事件A和B的发生与对方无关，即事件B的发生对事件A的发生没有影响，我们称事件A和事件B是独立的。
当事件A和事件B是独立的时候，我们有P(A∩B) = P(A) * P(B)。
5. 随机变量：在概率论中，随机变量是一个函数，它把一个随机试验的结果映射到一个实数。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量的取值是有限个或可数个，连续型随机变量的取值是整个实数区间。
6. 概率分布函数：概率分布函数是描述随机变量概率分布的函数。
对于离散型随机变量X，概率分布函数是一个累积函数，它定义为P(X ≤ x)。
对于连续型随机变量X，概率分布函数是一个密度函数，它定义为f(x) = dF(x) / dx，其中F(x)是X的累积分布函数。
7. 期望值和方差：在概率论中，期望值是随机变量的平均值，方差是随机变量的离散程度的度量。
概率论知识点总结
概率论知识点总结引言概率论是数学中的一个分支，研究随机事件的发生规律以及概率的计算与推理。
本文旨在对概率论的主要知识点进行总结。
基本概念1. 随机试验：具有相同的条件，可以重复进行，结果不确定的试验。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
3. 随机事件：样本空间的子集。
4. 事件的概率：事件发生的可能性大小。
5. 事件的互斥与独立：互斥事件指的是两个事件不能同时发生，独立事件指的是两个事件的发生不会相互影响。
6. 条件概率：在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
概率计算方法1. 古典概型：所有可能的结果都是等可能发生的。
2. 几何概型：通过几何形状的性质计算概率。
3. 组合分析：使用组合数学的方法计算概率。
4. 频率方法：根据大量实验结果的统计规律计算概率。
5. 条件概率计算：根据已知条件和基本概率计算条件概率。
概率分布1. 离散型随机变量：只能取到有限个或可列个数值的随机变量。
2. 连续型随机变量：在某一区间内可以取到任意值的随机变量。
3. 期望值和方差：用于衡量随机变量的平均值和离散程度。
4. 二项分布：描述了重复进行相同试验并且每次试验只有两个可能结果的概率分布。
5. 正态分布：在统计学和自然科学研究中广泛应用的分布。
统计推断1. 参数估计：根据样本数据估计总体分布的未知参数。
2. 假设检验：根据样本数据判断总体分布的某个假设是否成立。
应用领域概率论在各个领域都有广泛的应用，包括金融、保险、工程、生物学、医学等。
结论概率论作为一门基础数学学科，具有重要的理论和实践意义。
通过研究概率论可以更好地理解和应用随机事件的规律，为各行各业的决策提供支持。
以上是对概率论的一个简要总结，希望对您有所帮助。
概率论知识点
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
(完整版)概率论知识点总结
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。
相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A ∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。
用交并补可以表示为B A B A =-。
互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。
对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。
事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P概率的性质： （1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则∑==)|()()|()()()()|(jj i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
概率论知识点
概率论主要知识点 ch 11．事件之间的关系与运算，互不相容事件、对立事件； 2．概率的公理化定义和概率的性质；（公式的应用：)AB (P )B (P )A (P )B A (P -+=⋃)C (P )B (P )A (P )C B A (P ++=⋃⋃)ABC (P )BC (P )AC (P )AB (P +---）3．古典概型的定义和概率的计算；基本事件总数中包含的基本事件个数A nr )A (P ==4．条件概率和三大公式应用；（1）乘法公式)|()()(B A P B P AB P =；)|()|()()(111211-=n n n A A A P A A P A P A A P（2）全概率公式 ∑==n1i i i)B |A (P )B(P )A (P （核心是全概率公式）（3）贝叶斯公式∑===n1i i ij j j j )B |A (P )B(P )B |A (P )B (P )A (P )AB (P )A |B (P5．独立性和贝努利试验和二项概率。
kn k k nn )p 1(p C )k (P --= Ch21． 离散型随机变量及其分布律、分布函数； 2． 几种重要的离散型随机变量：（1）二项分布：)p 1q (n ,2,1,0k qp C )k X (P kn kkn -====-（2）泊松分布：)0(,2,1,0k e !k )k X (P k>===-λλλ（3）超几何分布：n ,2,1,0k CC C )k X (P n Nkn MN kM ==--（4）几何分布： ,2,1k p q )k X (P 1k ===-3． 随机变量的分布函数：)x X (P )x (F ≤=及其性质： 4．连续型随机变量的密度函数及其性质：⎰+∞∞-=≥1dx )x (f )2(;0)x (f )1('()()..;()()x F x f x a e F x f x dx -∞==⎰（主要是变上限的分段函数的积分）5． 几种重要的连续型随机变量的密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它：均匀分布0b x a a b 1)x (f )1( 记为]b ,a [U ~X⎩⎨⎧≤>=-0x 0x e )x (f )2(x λλ指数分布： 记为)(~λπX222)x (e21)x ()3(σμσπϕ--=正态分布： 记为),(~2σμN X6． 关于标准正态分布的结论： ⎰+∞∞-=1dx )x ()1(ϕ21)0()2(=Φ)0x ()x (1)x ()3(>-=-ΦΦ)x ()x X (P )x X (P ),(N ~X )4(2σμΦσμσμσμ-=-≤-=≤7．一维随机变量的函数的分布（1）公式法：X~)x (f X ，设)x (g 处处可导且0)x ('g >或0)x ('g <，则)X (g Y =的分布密度为⎩⎨⎧<<=其它y |)y ('h |)]y (h [f )y (f X Y βα特别地，2X Y =的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+==0y 0y )]y (f )y (f [y21)y ('F )y (f X X Y Y （2）分布函数法：)y )X (g (P )y (F ≤=ch31． 二维离散型随机变量及其分布律、分布函数； 2． 二维均匀分布 3．二维正态分布 ]}V UV 2U [)1(21exp{121)y ,x (f 222221+----=ρρρσπσ(+∞<<∞-+∞<<∞-y ,x ) 其中11x U σμ-=,22y V σμ-=,则称(X,Y)服从二维正态分布.记为 )Y ,X (~);,,(N 22;11ρσμσμ 4．边缘分布关于X 的边缘分布：⋅∞====∑i 1j iji P P}x X {P ；关于Y 的边缘分布为 ∑∞=∙===1}{i j ij j P P y Y P5．对于连续型随机变量： ⎰+∞∞-=dy )y ,x (f )x (f X 为(X,Y)关于X 的边缘密度函数。
概率论知识点
概率论知识点概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律和概率性质。
在现实生活中，概率论的应用广泛，涵盖了统计学、经济学、计算机科学等各个领域。
本文将介绍概率论的一些基本概念和常见应用。
一、基本概念1. 随机事件：随机事件是指在一次试验中可能发生的事件，具有不确定性和不可预测性。
例如，抛一枚硬币的正反面结果就是一个随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指一次随机试验中所有可能结果的集合。
以掷一枚骰子为例，样本空间就是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：事件是样本空间的一个子集，表示一些可能的结果的集合。
例如，掷一枚骰子得到的结果是偶数的事件就是{2, 4, 6}。
4. 概率：概率是描述事件发生可能性大小的数值，范围在0到1之间。
概率越大，事件发生的可能性越高。
例如，正常情况下抛一枚硬币出现正面和反面的概率都是1/2。
二、常见应用1. 条件概率：条件概率是指在一定条件下，某一事件发生的概率。
以抽取一张扑克牌为例，已知抽到一张红心牌的条件下，再次抽到红心牌的概率就是条件概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中A和B为事件。
2. 独立事件：独立事件是指两个事件之间互不影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
例如，抛一枚硬币与掷一颗骰子的结果无关。
若事件A和B是独立事件，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 期望值：期望值是对某个随机变量的平均数的度量。
在离散型随机变量的情况下，期望值的计算公式为E(X) = Σ(x×P(X=x))，其中x为可能的取值，P(X=x)为该取值的概率。
4. 正态分布：正态分布是概率论中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
在统计学中，很多现象都符合正态分布，例如人的身高、智商等。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ√(2π)) × exp(-(x-μ)² / (2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。
概率论期末复习知识点
知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）．(3) 积事件： AB ， 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ= (5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作A B -(或AB ) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义 古典概型：()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质 (1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容，则有121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ，有111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k ni i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P AA -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑.4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =，任意的11k i i n ≤<<≤，若事件1,2,,n A A A 总满足 11()()()k k i i i i P A A P A P A =，则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容，且1ni i A ==Ω，()0i P A >，1,2,,i n =，则1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律(),1,2,,,.i i p P X a i n ===分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质 (1) 0i p ≥， 1,2,,,;i n =(2)11ii p∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ，它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-，其中，0i =或1，01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ，它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中，0,1,2,,i n =，01p <<．(４)** 泊松分布()P λ，它的概率函数为()!iP X i e i λλ-==，其中，0,1,2,,,i n =，0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率，记为.j p ，并有.j p =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y g =的概率函数可由下表求得但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==;由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ．3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<()()xF x f x dx-∞=⎰成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()baf x dx⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为1,;()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中，0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ，它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞，其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密度为22(),x f x x -=-∞<<+∞，标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即22()t xx dt -Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性 ．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。
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第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
§1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。
概率论最基本的概念之一。
人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。
统计概率：在一定条件下，重复做n 次试验，A n 为n 次试验中事件A 发生的次数，如果随着n 逐渐增大，频率n n A 逐渐稳定在某一数值p 附近，则数值p 称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p 。
这个定义成为概率的统计定义。
古典概型：若随机现象有下列两个特征 (1) 试验的可能结果（基本事件）只有有限个；(2)试验中每个可能结果（基本事件）出现的可能性相等.则称这类现象的数学模型为古典概型.古典概率：在古典概型中，如果基本事件的总数为n ，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（ ），则定义事件Ａ的概率 为 .即把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。
古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重复试验。
§1.3 概率的基本运算法则加法公式: 设B A ,为任意两个事件，则)()()()(AB P B P A P B A P -+= .当B A ,满足ΦB A = 时,加法公式为)()()(B P A P B A P += 。
乘法公式：设B A ,为任意两个事件，若0)(>B P ，则))()(B A P B P B A P = 。
同理， 若0)(>A P ，)()()(A B P A P B A P = ，事件的独立性：如果事件A 与B 满足)()(B A P A P =，则称事件A 关于事件B 是独立的。
独立性是相互的性质，即A 关于B 独立，B 一定关于A 独立，或称A 与B 相互独立。
§1.4 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式：设事件组n B B B ,,21是样本空间Ω的一个划分,且0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任意的事件Ω∈A ，有∑==ni i i B A P B P A P 1)/()()(此公式称为全概率公式。
贝叶斯公式：设事件组n B B B ,,21是样本空间Ω的一个划分，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，对任意的事件A ，且0)(>A P ，则 ∑==n i ii j j j B A P B P B A P B P A B P 1)/()()/()()/(， .,,2,1n j =此公式称为贝叶斯公式。
第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量随机变量：设E 是一随机试验，它的样本空间为 {e}Ω=，如果对于Ω内的每一个e ，变量X 都有一个确定的实数值X(e)与之对应，则变量X 是样本点e 的实函数，记作X(e)X =。
这样的变量称为随机变量。
随机变量的分布：要全面了解一个随机变量，不但要知道它取哪些值，而且要知道它取这些值的统计规律，随机变量取值的统计规律就称为它的概率分布，简称分布。
分布函数：设X 是一随机变量，x 是任意实数，由 }{)(x X P x F ≤= 确定的函数称为随机变量X 的分布函数。
如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x 处的函数值就表示X 落在区间),(x -∞上的概率。
对于任意实数21x x <，=≤-≤=≤<}{}{}{1221x X P x X P x X x P )()(12x F x F -，因此分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
离散型随机变量：如果随机变量X 的可能取值只有限个或可列个，则称它为离散型随机变量。
若X 的可能取值为i x ),2,1( =i ，相应的概率i i p x X P ==}{称为离散型随机变量X 的概率函数或分布律。
Bernoulli 试验：只有两个可能结果的随机试验称Bernoulli 试验。
试验的独立性：若是试验E 1的可能结果与E 2的可能结果的发生与否是独立的，则称试验E 1 与E 2是相互独立的。
n 重Bernoulli 试验：把Bernoulli 试验重复独立进行n 次，称为n 重Bernoulli 试验。
n 重Bernoulli 试验是一种非常重要的的概率模型，它是“在相同条件下进行重复试验或观察”的一种数学模型.二项分布：若将Bernoulli 试验中的一个可能结果记为A 且p A P =)()10(<<p ,n 重Bernoulli 试验中A 出现的次数记为X ,则随机变量X 的概率函数为 k n k k n p p C k X P --==)1(}{,n k ,,2,1,0 =X 的分布称为服从参数为p n ,的二项分布,记作),(~p n B X .当1=n 时,X 的概率函数为p X P ==}1{，p X P -==1}0{，)10(<<p ,则称X 服从参数为p 的两点分布（或0-1分布）.泊松分布：若随机变量X 的概率函数为 !}{k e k X P k λλ-==)0(>λ ,2,1,0=k则称X 服从参数为λ的Poisson 分布，记作)(~λP X 。
连续型随机变量：设随机变量X 所有可能取值充满一个区间,如果相应于它的分布函数)(x F 存在非负函数)(x f ，对于任意的实数x 都有⎰∞-=xdx x f x F )()(则称X 为连续型随机变量，)(x f 称为X 的概率密度函数. )(x f 有如下性质：（1）1)(=⎰+∞∞-dx x f ，（2）⎰=≤<21)()(21x x dx x f x X x P均匀分布: 如果随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,,0, ,1)(b x a a b x f 则称X 在区间],[b a 上服从均匀分布,记为),(~b a U X .指数分布: 如果随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0 ,0,)(x x e x f x λλ其中0>λ为常数则称X 服从参数为λ的指数分布, 记为)(~λE X .正态分布: 如果随机变量X 的概率密度函数为222)(21)(σμσπ--=x e x f ，+∞<<-∞x ，其中)0(,>σσμ为常数，则称X 服从参数为2,σμ的正态分布,记为),(~2σμN X .当1,0==σμ时,称X 服从标准正态分布,记为)1,0(~N X .随机向量: 如果21,X X 是是联系于同一样本空间Ω中的两个随机变量，则称),(21X X 为二维随机变量或二维随机向量。
对任意两个实数21,x x ，二元函数),(),(221121x X x X P x x F ≤≤=称为),(21X X 的联合分布函数。
),(),(22121x X X P x F X ≤+∞<=+∞或),(),(21112+∞<≤=+∞X x X P x F X 称为1X 或2X 的边缘分布函数。
常用的随机变量函数的分布：（1）2χ-分布 设独立随机变量n X ,,X X 21均服从标准正态分布N （0,1），则随机变量∑==ni i X 122χ的分布称为服从是自由度为n 的2χ分布,记作)(~22n χχ，其分布密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)2(21)(2122x x e x n x f x n n （2）t -分布 设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量 nY Xt /=所服从的分布称为自由度为n 的t 分布，记作)(~n t t ，其分布密度函数为 212)1()2()21()(+-+Γ+Γ=n n x n n n x f π，+∞<<∞-x 。
（3）F -分布 设)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量21//n Y n X F =所服从的分布称为自由度为),(21n n 的F 分布，记作),(~21n n F F ，其分布密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+ΓΓ+Γ=+--0,00,)1())(()2()2()2()(2212121212121211x x x n n x n n n n n n n n x f n n n 。
第三章 随机变量的数字特征数学期望：随机变量按概率的加权平均,表征其概率分布的中心位置,它反映随机变量平均取值的大小,它是简单算术平均的一种推广。
是随机变量最基本的数学特征之一,又称期望或均值。
离散型随机变量的数学期望：设X 为一离散型堕机变量，其分布列为i i p x X P ==)(,(1,2,)i = ，若级数∑∞=1i i i p x 绝对收敛，则称这级数为X 的数学期望,记为X E ，即∑∞==1i i i p x EX ,否则，称X 的数学期望不存在.连续型随机变量的数学期望：设X 为一连续型随机变量，其密度函数是()f x ，若dx x f x )(⎰+∞∞-收敛，则称 ⎰+∞∞-=dx x xf EX )(为X 的数学期望，否则称X 的数学期望不存在.方差、标准差: 设X 为一随机变量，若2)(EX X E -存在，则称2)(EX X E -为X 的方差，记为)(X V ，即 2)()(EX X E X V -=；SD X V =)(称为X 的标准差。