由一道题目想到的
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
一道数学题作文
一道数学题作文无论是在学校还是在社会中，大家都跟作文打过交道吧，作文根据体裁的不同可以分为记叙文、说明文、应用文、议论文。
相信很多朋友都对写作文感到非常苦恼吧，下面是店铺精心整理的一道数学题作文10篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一道数学题作文篇1星期五晚上，解开一道小小的数学奥数题，让我明白了一个大大的道理。
有人可能会问，到底是啥回事？这还得从写作业说起。
放学回到家后，我不一会儿就把作业写得差不多了，最后就差一张数学试卷了，数学是我的强项，我心中暗自窃喜。
不一会儿，眼看就要大功告成了。
可是，最后一道题是把6933/25421化成最简分数，这道题看似简单，却偏偏把我给卡住了，再怎么想也想不出来。
无奈之下，只好求助爸爸了。
爸爸看完题目之后，不假思索地说：“这个数字太大了，它们的因数可能有很多，你找找捷径吧，先看分子、分母的尾数，把可能的因数找出来。
”根据爸爸的提示，我猜这个公式中分子6933的尾数是3，因数的尾数可能是1、3、7、9，而分母25421的尾数是1，因数的尾数可能是1、3、7，因此我判断它们约数的尾数有可能是1或7。
于是，我就从7、17、27、37……我一个又一个地试算题目，可还是没办法解开这道题。
爸爸却是满脸的自信，我只好继续试试看。
没过多久，草稿纸就被我用掉两张，我的心里真有点着急，不知道这样要算到猴年马月啊！大概过了二十分钟，还是找不出因数。
我偷偷地瞟了爸爸一眼，原来他正用手机默默地计算着，个性张扬的爸爸只有在不耐烦的时候才会自己动手，好像他也意识到解题思路不对。
又过了一会儿，爸爸就对我说：“如果不行的话，就换一种思路吧，把分子、分母的因数一个一个地找出来。
”我只好用这种方法，咦！这一招还真管用，没想到6933这个数只有1、3、2311、6933四个因数，很快我就得出答案是3/11。
破解了这道奥数题之后，我的心里比吃了蜜还要甜，情绪特别激动。
有人说过：如果一条路走不通，那就换一条试试。
你关注学生的情感体验吗？--由一道题目引发的思考
由一 道 题 目引发 的 思 考
孙
建 １ 马 晓 云
２ １ ２ ０ ０ ０ ）
（ １ 江苏省镇江第一中学 ； ２ 江 苏 省 镇 江 中学 ， 江苏 镇江 从２ ０ ０ ５ 年 开 始 新 一 轮 的 课 程 改 革 以来 ， 我 们 伴 随 新 课 程 已 走过 了 近 三年 的 时 光 。 在 新课 程 实 施 过 程 中 ， 要 求 以知 识 与 能力 、 过程与方法 、 情 感 态 度 和 价 值 观 为 核 心 的 三 大 基 本 目标 有机结合。 但在教学实践过程中 ， 教 师 往 往 对 前 两 个 目标 的把 握更清晰 ， 而 对 于 情 感 态 度 价值 观 这 一 目标 的实 现 ， 则 不 知 所 措。 在教学过程 中， 如何 较 好 地 实 现这 三大 基 本 目标 成 为 关 系 到 课程 改 革 结 果 的 关 键 。我 认 为对 于情 感 目标 的 把 握 尤 为重 要． 同时 这 也 是 目前 课 程 实 施 过 程 中较 薄 弱 的 环 节 。 我们 往 往 最 注 重 对 学 生 知 识 的 要 求 ．其 次 是 追 求 对 学 生 能 力 培 养 和提 高， 最后 才会 考 虑 学 生 的情 感 体 会 。 这 是 目前课 程 实 践过 程 中
人 的生命 （ 俘虏 ） 转眼之 间就从地球上 消失 ， 这 是 个 不 争 的 事 实。” ——《 东史 郎 Ｅ ｔ 记》 （ 日） 材料二 ： 《 南 京大屠 杀 的虚构 》 出版后 ， Ｅ ｔ 本 右翼给 予 了 品． 把牛奶倒入地 沟 。 面包 在 面 包 房 腐 烂 发 霉 等 ， 另 一 方 面 民 众 排 起 长 队 等 待 领取 救济 面包 ， 甚 至好 多人 饿 死 街 头 。 学 生 看 后觉得这种现象好奇怪 ： 有那 么 多 人 在 忍饥 挨饿 ， 资 本 家 为 什 么不卖 （ 送） 给 那 些饥 民 呢 ？ 为 什 么 是 销 毁 而 不降 价 处 理 呢 ？ 为 啥不献爱心？ 这 说 明 了什 么 问 题 呢 ？ 学 生 自然 地 质 疑 一个 又一 个 问题 ， 最后找 到问题的答案 ： 资本 主义 经 济 危 机 爆 发 的原 因 在于资本主义制度本身。 通过语言 、 图片、 视频 等 的 引导 ， 有 意 识 地 点 燃 学 生 创 造 性 思 维 的火 花 ，学 生 的思 维始 终 处 于 活跃 状态 ． 逐渐养 成爱思 、 多思 、 会 思 的 习惯 ， 有 利于发散 思维 ， 有 利 于创 造 性 思 维 的形 成 。 三、 创 设 互 动探 索 的教 学 意 境 任 何 历 史 事 件 的发 生 都 不 是 偶 然 的 ， 都 有 深 刻 的政 治 、 经 济背景 ． 有 内 在 的 联 系 与 规 律 性 。讲 清 事 件 的 背 景 ， 不 仅 有 助 于学 生 明确 历 史 事 件 的连 续 性 ， 理 解 新 旧知 识 的 内在 联 系 ， 而 且 有 利 于学 生 掌 握 历 史 事 件 发 生 的 必 然 性 ，所 以 教 学 中 一 般 把 教学重点放在讲 清事件的背景 上 ， 至于历史现 象（ 过程 ） 及 结 果 则 引导 学 生 展 开 互 动 讨 论 。 自己探 索 。 例 如， 关 于“ 西 安 事 变” 的教学 ． 我认真 、 全 面 地 给 学 生 分 析 了它 发 生 的历 史 背 景 ， 然 后话锋一转 ． 突然发 问 ： 假 如 你 是 张 学 良或 杨 虎城 ， 面对 Ｅ ｔ 寇 入侵 ， 而蒋介石依然剿共 ． 你 会 发 动 西 安 事 变 吗 ？ 如 果 当时 由 你来 处 理 这 一 事 变 ， 你 该 怎 样处 理 ？ 学 生 的 思维 顿 时 活 跃 起 来 。 有人说 ， 立 即处 死 蒋 介 石 。 但 马上 有 人 提 出反 对 ， 理 由是 处 死 了蒋介石 ． 国 民党 内 部 就 会 四分 五 裂 、 群龙无 首 ， 成 了 一 盘 散沙 ， 不 利 于 团 结 抗 日。 如果不处死蒋介石 ， 又有学生反对 ， 认
由一道高考试题谈全错位排列问题
由一道高考试题谈全错位排列问题作者：王常庆来源：《理科考试研究·高中》2018年第10期摘要：错位排列问题是排列组合问题中常见类型之一，解决方法常运用容斥原理但这个方法对大多数中学生来说相对陌生，不符合中学阶段常规思维.本文从中学课堂常规思路出发，步步探究，给出全错位排列问题的一套完整解决方案，以期对开拓学生数学思维有所帮助.关键词：贺卡问题；全错位排列；递推公式；通项公式作者简介：王常庆（1972-），男，山东郓城人，本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教学.一、问题的提出题目同室4人各写一张贺卡，然后收集起来，每人再从中各抽一张，但不能抽取自己写的那一张，问共有几种不同的抽法？象这种“每个元素都不在限定的位置上”的排列问题，通常叫做全错位排列问题.全错位排列作为排列组合中的一类典型题目，难度较高. 笔者从常规思路出发，整理出一套完整的解决方案，现把研究过程及每一阶段的成果展示出来，供大家参考.二、问题的解决法一（顶针法）假设A、B、C、D四人所写的贺卡分别为a、b、c、d，若先由A抽，共有3种抽法（b、c、d），若抽到b，则接下来由B抽，也有3种抽法（a、c、d），最后由C、D二人抽，均只有1种抽法，故由分步计数原理知共有3×3×1×1=9种抽法.法二（列表法/枚举法）把A、B、C、D四人依次抽到的贺卡情况具体列表如下，共有9种方案，如表1：法三（树图法）为防止发生重复或遗漏，可分步画图，如图1：三、问题的探究为方便探究，先对这类全错位排列问题进行定义.设n个编号为1，2，3，…，i，…，j，…，n的不同元素a1，a2，a3，…，ai，…，aj，…，an排成一列，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的排列称为全错位排列，排列数记为Tn.探究1 尝试变更元素个数n，依上述解决方法，易得T1=0，T2=1，T3=2.探究2 变更元素个数为5时，其全错位排列数T5的求法如下：（1）顶针法：若先由A抽，共有4种抽法；若抽到b，再由B抽，B抽到a与抽不到a，直接影响其他人的抽法，故而分为两类：①若B抽到a，其余3人再抽取相当于一个独立“3人组”，共有2种抽法；②若B抽不到a，则B有3种抽法（c、d、e），设B抽到c，接下来由C抽，也有3种抽法，共有3×3=9种抽法.故题目最终结论为4×（2+3×3）=44种抽法.（2）列表法、树图法均可解决，但工程庞大，不易操作.探究3 由以上探究过程可知，当元素个数变更为5个时，其全错位排列数的求解已是不易，若是元素个数变更为6个、7个甚至更多时，又该如何计算呢？下面仍先以“4人贺卡问题”为例解析如下：先不考虑4张贺卡的具体归属，由4人随意抽取，共有A44=24种抽法.其中包括以下不合题意的情况：（1）4人中恰有1人取到自己写的贺卡（以下简称自取），其余3人再抽取，相当于一个独立的“3人组”，所以共有C14T3=4×2=8种抽法；（2）4人中恰有2人自取，其余2人再抽，相当于一个独立的“2人组”，共有C24T2=6×1=6种抽法；（3）4人全部自取，共有1种抽法（不可能出现恰有3人自取情况）.故“4人组”贺卡的抽法共有T4 =A44-2×C14-1×C24-1=9种.下面可用同样的方法完成T5的求解：T5=A55-C15T4-C25T3-C35T2-1=44种.小结按上述解法，只要知道了T1，T2，T3，…的结果，依次递推下去，便可求出任意n 个元素的全错位排列数Tn （n∈N*）. 当然，随着人数n的增加，分类越来越多，计算量也越来越大.探究4 为进一步寻求规律、简化计算，笔者受到“斐波那契数列”的启发，把已求得的几个全错位排数Tn及相应元素个数n（n∈N*）列表如下（表2）由这两个递推公式，易得到T6=265及T7=1854，将Tn的计算向前推进了一大步.探究5 上述递推公式是通过不完全归纳法得到的，其正确性有待于证实.下面尝试利用计数原理、数学归纳法的有关知识进行证明.1递推公式1的证明（利用计数原理）首先易得T1=0，T2=1.当n≥2时，总数为n+1个元素的全错位排列可分两步进行：第一步，先从n+1个不同元素中任取一个元素ai，因其不能排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下n 个位置之一，所以ai有n 种排法；第二步，针对ai每一种排法，如果ai排在 j位，原对应j位的元素aj的排位又有两种情况：第1种情况，若aj恰好排在i位上，如表3此时，除ai外的其他n个元素（包括aj）均有一个不能排的位置（aj不排在i位上），问题就转化为其余这n个元素全错位排列，排列数为Tn.故综合上述步骤，由乘法原理和加法原理可得：Tn+1=n （Tn-1+Tn）（n≥2， n∈N*）.2递推公式2的证明（利用数学归纳法）首先，易得T1=0，T2=1，显然当n=2时，Tn=n Tn-1+（-1）n 成立；其次，假设当n=k时（k≥2， k∈N*），Tn=n Tn-1+（-1）n 成立，即Tk=k Tk-1+（-1）k.从而k Tk-1 =Tk -（-1）k=Tk+（-1）k+1.又由递推公式1可得Tk+1=k （Tk-1+Tk）.从而Tk+1=kTk-1+kTk=Tk+（-1）k+1+kTk=（k+1 ）Tk+（-1）k+1.即Tk+1=（k+1 ）T （k+1）-1+（-1）k+1.故当n=k+1时，Tn=n Tn-1+（-1）n亦成立.综合上述步骤可知，Tn=n Tn-1+（-1）n对于任意自然数n（n≥2， n∈N*）均成立.探究6 上述公式虽已获得证明，但毕竟只是递推公式，如果能够利用构造数列的思想，导出{Tn}的通项公式，方才圆满.解析将Tn=n Tn-1+（-1）n的两边同时除以n！得Tn n！ = nTn-1 n！ + （-1）nn！ = Tn -1 （n-1）！ + （-1）nn！.从而有Tnn！-Tn-1（n-1）！=（-1）nn！.于是，T22！-T11！=（-1）22！，T33！-T22！=（-1）33！，…，Tnn！-Tn-1（n-1）！=（-1）nn！.将这n-1个等式累加得Tnn！-T11！=∑ni=2（-1）ii！.又T1=0，故有Tnn！=∑ni=2（-1）ii！.从而有Tn=n！∑ni=2（-1）ni！（n≥2， n∈N*）.在解决排列组合问题时，经常涉及到全错位或部分错位的排列问题，在元素不是很多时，我们可以用枚举或树枝图的方法，也可利用排除的方法对问题进行讨论；但当元素较多时可尝试寻求排列数的递推公式或通项公式，以期对解决这一类问题提供方便.参考文献：[1]李宇襄组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.[2]龚兵全错位排列[J].中学生数学，2011（17）：26[3]程孝刚对错位排列问题的探究[J]高中数学教与学，2009（08）：42-43.。
人生一道题 算好七笔帐
2009年11月10日人生一道题算好七笔帐（县委常委、统战部部长龙银玖）同志们：今天，按照县委的要求，我和大家共同探讨一下腐败给我们生活带来的影响。
今天廉政党课的题目是《人生一道题，算好七笔帐》一、要算好政治帐，志高方能致远革命干部与犯罪分子之间并没有不可逾越的鸿沟；清官与贪官，虽只是一字之差，结局可能是天堂地狱之别；台上与台下，虽只是数米之遥，有时却如万丈深渊之远一个领导干部成长很不容易，既离不开自身努力，也离不开组织培养。
工作十多年甚至干一辈子提个科级干部，可能因为一念之差、一次贪污受贿、一次违法违纪，被开除党籍、开除公职、判刑入狱。
俗话说，‚十年树木，百年树人‛。
党培养一个干部不容易，一旦失足沦为阶下囚，从指点江山到被人戳脊梁骨，于公于私，代价都是十分惨重的。
27岁任曲江县团委书记，36岁任曲江县副县长，38岁任韶关市乡镇企业局局长，39岁任翁源县县委书记，黄福印可谓春风得意。
然而，他并没有好好珍惜这一切，而是大搞权钱交易，最后因卖官受贿43.27万元而被判处有期徒刑13年。
这13年，正是人到中年最宝贵的时光，等到刑满释放的那一天，他已是年过半百之人。
对此，他后悔不已的说，自己不单失去了良好的政治前途，而且失去了在家乡的美好声誉，以后即使回家乡，也无颜面对父老乡亲。
二、要算好经济帐，勤耕方能富足古今中外，没有几个当官的死于饥寒，但却有无数为官者死于贪婪；人不能把金钱带进坟墓，金钱却能把人带进坟墓。
‚良田万顷，日食三餐；广厦万间，夜眠八尺‛5000元开除党籍，1万元刑事立案，3万元判刑，5万元判实行‚双开‛。
在这一点上，鲁国宰相公孙仪的算帐方式颇能给人启示。
韩非子在《外储说右》中说，公孙仪喜欢吃鱼，有许多趋炎附势的人买鱼送给他吃，但公孙仪坚辞不受。
其弟子谏曰：‚夫子嗜鱼而不受者，何也？‛公孙仪解释说：正因为自己爱吃鱼，所以才不接受别人送的鱼。
因为假如收了别人的鱼，就会枉法，会被罢免相位，这时别人就不会再给自己送鱼，自己也无力买鱼了。
由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。
由一道填幻方的中考题所想起的
６ ３
① ② ③ ④
口 口 口 口
图 ５— ５ 图 ５— ６ 图 ５— ７ 图 ５—８
口 口 口 口
图 ５— ９ 图 ５—１ ０ 图 ５— １ １ 图 ５—１ ２
① ＋ ＝ ＋ ， ＋１ ２ｘ ５ ② ③ ④ 得 ９＝ ９ ，
‘
．
．
：ｌ ． ７１
同的位置 ， 如下 图 ５ ：
口 口 口 口
图 ５—１ 图 ５— ２ 图 ５— ３ 图 ５— ４
为解决上 面 的两个 问题 ， 先来 了解 幻方 的两个 性
・ 数学园 ・ 地
十。 ７ （ｌ 第 期． 中 ） ７ 擞・ ２ｏ ２ 初 版 ｏ年
０＋ ｌ 戈 ｋ ｌ Ｃ＋ ＝ ａ ＋ ２ ９＝ ２ ｂ ＋１ ｋ ａ＋２ ９ ｌ 口 ＋ ５＝ｋ 口 ＋ｂ ＋ ５＝ Ｉ ２９ ｋ
（） ２ 中间填上 １０ 由已知 条件不难算得其余空格上 ０，
的数 ， 如图 ８所示
２ ４ １ ８１ ９ ５ ｌ ７１ １０ ０ ２ ９ １５ ０ ｌ ９ １６ ７
口 口 口 口
图 ５—１ ３ 图 ５ —１ ４ 图 ５一ｌ ５ 图 ５—１ ６
开头三个位置 中的 ３个数（ 图 ５—１５— ， — ） 见 ， ２５ ３ ，
列的和相 等 ， 一行 与一个斜对 角的三数 之和相 等 ， 第
可以得到两个方程， 通过解方程组解 出 ｙ的值． ，
解 （） １ 由已知得方程组
性质 ２ 与一个角上的数相邻的两个数之和等于对 角的一个数 的 ２ 倍． 如图 ４ 根据幻方 的定义 ， 照如图 ３ 则有 ， 对 ，
６
图 ３
图１
备用图
ａ ｌ 口 ＋ｎ ＝３ Ｉ＋ 笠 ＂ Ｓ， ０３ ｌ＋ｏ笠 ＋ｎ１ ３：３ Ｓ， ａｌ ２＋ａ ＋ａ ２＝３ 笠 ３ Ｓ，
由一道概率题所引发的对递推数列的思考
由一道概率题所引发的对递推数列的思考
如果你有一道概率题，可以引发对递推数列的思考，那么很可能这道题目要求你利用递推的方法来解决。
递推数列是一种数学工具，可以用来描述一个数列的形式。
它通常由一个初始值和一个递推公式组成，用于计算数列中后续项的值。
例如，你可能有一道概率题，要求你求出掷n次骰子后，每种点数出现的概率。
这道题目可以用递推数列来解决，具体方法如下:
•首先，你需要确定初始值。
在这道题目中，初始值为掷一次骰子后每种点数出现的概率，即1/6。
•然后，你需要确定递推公式。
在这道题目中，掷n次骰子后每种点数出现的概率等于掷n-1次骰子后每种点数出现的概率乘以1/6。
根据初始值和递推公式，你就可以求出掷n次骰子后每种点数出现的概率了。
总之，递推数列是一种非常有用的数学工具，可以帮助你快速解决一些求解数列的问题。
把“根”留住——由一道错题引发的思考
— —
由一 道 错 题 引 发 的 思 考
浙江绍兴市鲁迅小学教育集团（ ２０） 唐彩彩 ３ ００ ． １
直 面 问题 ： 的 教 学 方 式 帮 助 学 生 理解 平 均 分 的 意义 ，获 得平 均 分
的方法 ， 求得平均分的结果 ， 引进除法算 式。而对平均 分的要 领——把 “ 什么东西平均分” 平均分成几份” “ 却 研 究得不多 ， 这恰恰是解决上述几个问题的关键。低年 级 教师 为什 么没有 对这 两个关键 问题 引起 足够 的重
“ 什 么东 西平 均 分 、 分 成 几份 ” 把 平均 。在 指导 学 生 进行 每 一次 平 均 分 的 过 程 中 ，不 断 引 导 学 生体 会平 均 分 时 必须 搞 清 楚 这 两 个 关 键 问 题 。 在 一 次 又 一次 的 操 作 实 践中 ， 师要及 时引导学生把 “ 作经验 ”生活经验 ” 教 操 “ 与 “ 学 问题 ” 行 沟 通 ， 过 梳 理 、 比 ， 发 学 生 从 数 进 通 对 启 生 活 经验 逐 步 上 升 到 用 数 学 的 思 想 方 法 来 认 识 问题 、
题 ” 状 加 以 分 析 ， 时 进 行 必 要 的 梳 理 与整 合 。 学 现 及 使
四、 对照平均分的结果。 养成 自我反思的习惯
的是“ 平均每份有多少” 。在此基础 上， 教师紧接着提 出
一
解决策略 ：
如何找准教学 的“ 本”使我们能 以“ 均分” 根 ， 平 教 学 为 契 机 ，帮 助学 生理 解 除 法 的 意 义 、数 量 之 间 的 关
系 ， 会 分 析 问 题 的 方法 ， 握 策 略 及 提 高 学 生 解 决 问 学 掌 题 的 能力 呢 ？ 我认 为 可 从 以下 三 个 方面 做 尝试
明立意 提素养———由一道2022_年高考数学试题引发的思考
明立意㊀提素养由一道２０２２年高考数学试题引发的思考李㊀彦(江苏省姜堰中学ꎬ江苏泰州２２５５００)摘㊀要:高考承载着为高校选拔人才的重要任务ꎬ新课改背景下高考试题充分体现出考查学生核心素养的重要特征ꎬ高考试题的探究与分析是高中数学课程教学的重要任务之一.本文以２０２２年一道高考数学试题为探究载体ꎬ重点从试题分析㊁变式拓展㊁教学启示三个角度进行阐释.关键词:高中数学ꎻ高考试题ꎻ素养ꎻ能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４０－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:李彦(１９７８.９－)ꎬ江苏姜堰人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.基金项目:泰州市教育学会十四五规划重点立项课题 新课程背景下高中数学高效课堂的建构研究 阶段性研究成果(项目编号:ＴＺ２０２２０１５)㊀㊀高考试题一直是高中教师关注的焦点ꎬ对高考试题形式和考查意图的探究是提升 备考 效率的重要途径.近年来ꎬ高考数学试题中导数问题一直是考查重点内容之一ꎬ多数以初等函数为载体ꎬ以压轴题的形式呈现ꎬ侧重于考查学生的数学学科核心素养.命题专家一直十分青睐导数问题的考查ꎬ给不少学生带来一些困难ꎬ对于高中数学高考复习教学而言ꎬ整体把握导数问题是提升学生解题能力的关键[１].１真题回顾ꎬ多元剖析题目㊀(２０２２年全国高考理科数学第１６题)已知ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２分别是函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)的极小值点和极大值点.若ｘ１<ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围[２]解法１㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ存在两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令函数ｇ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘꎬ当ａ>１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕ(不合题意ꎬ舍去).当０<ａ<１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕ(符合题意)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝２ａｘ(ｌｎａ)２－２ｅ.令ｇᶄ(ｘ０)＝０可得ｘ０＝ｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].由于函数ｇ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)内单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ＋ɕ)内单调递减ꎬ根据题意可令ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ(ｘ０)>０ꎬ即２ａｘ０ｌｎａ－２ｅｘ０>０.即２ａｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２] ｌｎａ>２ｅｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].即１ｌｎａ>ｌｏｇａｅｌｎ２ａ＝ｌｎ(ｅ/ｌｎ２ａ)ｌｎａ.由于ｌｎａ<０则ｌｎｅｌｎ２ａ>１.即１(ｌｎａ)２>１.即０<(ｌｎａ)２<１.则ａ的取值范围为１ｅ<ａ<１.解法２㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬ０４ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即２ａｘｌｎａ＝２ｅｘ.该方程有两个实数根分别为ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ令函数ｙ＝ａｘｌｎａ与函数ｙ＝ｅｘ图象在ｘ０处相切ꎬ可知ａｘ０ｌｎａ＝ｅｘ０ꎬ且ａｘ０(ｌｎａ)２＝ｅ.则ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０.则ａｘ０１ｘ０＝ｅｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅｘ２０.则(ｅ１ｘ０)ｘ０＝ｅｘ２０ꎬ即ｘ０＝ʃ１.(１)在ａ>１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝ｅꎬ若ａ减小ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图１所示).函数ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ的图象如图２所示ꎬ根据前面的分析可知ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去)图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(２)在０<ａ<１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝１ｅꎬ若ａ变大ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图３所示)ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递减ң递增ң递减ꎬ且极小值ｘ１小于极大值ｘ２ꎬ则１ｅ<ａ<１.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４解法３㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即ａｘｘ＝ｅｌｎａ.该方程有两个实根ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ如图４所示ꎬ在ａ>１的情况下ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去).在０<ａ<１的情况下ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａｘｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ａｘ(ｘｌｎａ－１)ｘ２.令ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ｌｎａ＝１ｘ０ꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅ.根据０<ａ<１ꎬｌｎａ<０ꎬ则ｘ０<０ꎬ显然函数ｈ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)上单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ０)上单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｘ０)＝ａｘ０ｘ０＝ｅｘ０.结合题意可得ꎬｅｘ０>ｅｌｎａ.即ｌｎａ>ｘ０.即１ｘ０>ｘ０.则ｘ０<－１.即１ｌｎａ<－１.即ｌｎａ>－１.则１ｅ<ａ<１.点评㊀解法１是直接从函数的性质视角进行探究ꎬ解题思路比较清晰但计算繁琐ꎬ需要学生具有一定的逻辑思维和数学运算能力ꎻ解法２是采取转化思想ꎬ借助于数形结合的方法进行求解ꎬ需要学生具备一定直观想象素养能力ꎻ解法３是采取分离函数㊁等价代换的手段进行求解ꎬ该方法过程简洁运算量不大ꎬ是多数学生优先选择的方法.２洞悉本质ꎬ变式拓展大量实践表明ꎬ机械刷题难以提升学生数学解题能力ꎬ直接影响数学素养的培养与提升.数学教师可以引导学生洞悉数学典型试题的内在本质规律ꎬ呈现多元变式ꎬ在师生共同探究中提升学生数学学１４科核心素养[３].变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２且ｘ２<ｘ１ꎬ试求ａ的取值范围?变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围?变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)无极值点ꎬ试求ａ的取值范围?点评㊀变式训练是提升学生数学解题能力的重要方式ꎬ上述三个变式拓展试题是从函数的内在本质出发ꎬ通过对函数的 极值点 进行探讨ꎬ关注学生数学转化思想在数学解题中的实际运用.三道变式试题随着题设条件的变化ꎬ问题由浅入深ꎬ重点考查学生分析数学综合问题的能力ꎬ有助于学生核心素养的提升.３教学启示ꎬ落实素养第一ꎬ重视数学基本知识与技能训练ꎬ灵活运用数学思想方法.函数是高中数学教学中的重点和难点ꎬ每年高考离不开数学函数的考查ꎬ以函数为背景的命题受到命题专家的特殊青睐.导数引入高中数学函数的探究ꎬ已经成为探究函数问题的重要工具.高中数学函数问题注重考查 函数与方程㊁数形结合㊁分类讨论㊁转化与化归㊁函数构造 等数学思想方法.对于高中数学中的导数问题ꎬ应该关注 分离㊁换元㊁构造 等方法.在高考备考复习教学中ꎬ数学教师可以引导学生从基本的解题方法出发ꎬ积极探究解决众多问题中共同的㊁基本的解题方法ꎬ让学生感受通性通法合理应用于解题的实用性ꎬ尽量较少进行特殊解题技巧和方法的熏陶.第二ꎬ重视一题多解的探究与分析ꎬ从变式训练中提升创新思维能力.数学解题教学是高中数学课程教学的重要内容之一ꎬ学生解题能力的提升离不开典型数学试题的剖析.大量实践表明ꎬ 一题多解 是从多个角度探讨同一问题ꎬ有效采取此教学思路有助于拓宽学生的解题思路ꎬ有助于培养学生的发散思维能力和解题能力.在高中数学教学实践中ꎬ学生的数学思维能力存在着一定的差异性ꎬ将 一题多解 和 变式训练 有机融合ꎬ能够有效激发不同层次学生数学探究的好奇心ꎬ引导学生从不同视角㊁不同维度探究问题ꎬ从多 变 的问题中探寻 不变 的性质与特征ꎬ不断强化学生的应变能力ꎬ发展学生的创新思维能力.第三ꎬ融合信息技术教学手段ꎬ充分呈现数学本质规律.数学图象是帮助学生理解和解决问题的重要手段ꎬ函数图象具有较高的直观性ꎬ有利于学生理解函数的内在本质规律.高中数学函数问题教学中ꎬ可以借助于ＧｅｏＧｅｂｒａ图象软件展示变化中的函数图象ꎬ特别是对函数单调性的增减问题ꎬ能够直观地显现出来ꎬ学生能够直接获得数学结论ꎬ激发学生深入探究的欲望ꎬ强化学生直观想象素养的形成与发展.作为高中数学教师ꎬ一定要给予学生动手操作实践的空间与时间ꎬ让学生在实践中体悟数学的本质魅力.高考试题是高中数学课程教学的重要资源与素材ꎬ对高考典型试题的探究是高考备考的必备动作.作为高中数学教师在平时的教学中ꎬ应该强化对高考试题的剖析与思考ꎬ充分挖掘高考试题中 不变 的本质规律ꎬ灵活运用数学思想方法进行教学方式的优化ꎬ不断促进学生创新思维能力的提升ꎬ尽可能实现高中数学核心素养的真正落地.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]杜斌.一道２０２２年联考导数题的多视角探究[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０２２(０３):４２－４４.[３]季峰.低起点多层次高落差:２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷试卷点评[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３０－３１.[责任编辑:李㊀璟]２４。
一道切点弦方程的题目引发的思考
数学·解题研究一道切点弦方程的题目引发的思考江苏南京师范大学附属实验学校（210046）王庆欢［摘要］文章主要对解析几何切点弦的问题展开讨论，通过不同解法对比，使教师能认识到优化解题方法的重要性，能够注重解题方法的总结，提高学生的解题能力。
［关键词］解析几何；切点弦；思考［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A ［文章编号］1674-6058（2023）14-0027-03一、呈现数学试题，探索解题方法有一道解析几何多选题是这样的：已知抛物线C ：y 2=4x ，其焦点为F ，P 为直线x =-2上任意一点，过P 点作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，斜率分别为k 1、k 2，则（）。
A.k 1·k 2=-12B.||k 1-k 2=2C.AB 过定点（2，0）D.||AF ·||BF 的最小值为8在考试中，学生对于这样的一道多选题，选对选全是很困难的，很多学生即使做对也耗时过多，后面的题目时间就不够用了，造成了隐形失分。
对此，笔者首先尝试了常规解法，具体如下：设P （-2，t ），PA ：y -t =k 1（x +2），PB ：y -t =k 2（x +2），与抛物线方程联立得k 21x 2+（4k 21+2k 1t -4）x +4k 21+4k 1t +t 2=0，因为直线PA 与抛物线相切，所以Δ=0，（4k 21+2k 1t -4）2-4k 21（4k 21+4k 1t +t 2）=0，即2k 21+tk 1-1=0，同理可得2k 22+tk 2-1=0，所以k 1、k 2是方程2k 2+tk -1=0的两根，由韦达定理可得出k 1k 2=-12，由此可知A 选项正确。
对于B 选项，||k 1-k 2=(k 1+k 2)2-4k 1k 2==显然不是定值，由此可知B 选项错误。
对于C 选项，就要求出切点弦AB 的方程，如果按照这个思路做下去，只要由k 21x 2+（4k 21+2k 1t -4）x +4k 21+4k 1t +t 2=0，方程有两个相等的实根得x A =-2-t k 1+2k 12，y A =2k 1，同理x B =-2-t k 2+2k 22，y B =2k 2，当x A ≠x B 时，即t ≠0时，k AB=y B -y A x B -x A =2k 2-2k 12k 22-2k 21-t k 2+t k 1=2k 1k 22（k 1+k 2）-tk 1k 2=-12()-t 2-()-12t =2t，则直线AB 的方程：y -2k 1=2t ()x +2+t k 1-2k 21，化简得y =2t x +4k 1t -4+4k 21tk 21，结合2k 21+tk 1-1=0，AB 的方程为y =2t x -4t ，即y =2t（x -2），当x A =x B ，即t =0时，AB 的方程为x =-2+2k 21=2，所以选项C 正确。
由一道习题引出的“无关”类问题
由一道习题引出的“无关”类问题作者：王华君来源：《初中生世界·七年级》2013年第10期小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的■，我可以知道你计算的结果是2. ”你相信吗？请与同学交流.（义务教育教科书苏科版《数学》七年级上册第93页第18题）解：设任意想的那个数为x，根据题意，得代数式■（2x+8）-■x，化简得2.所以这个代数式的值与x的取值无关，即x取任意一个数，这个代数式的值都是2.在上面的问题中，列出的代数式是与x有关的，但化简后却不含有字母x，我们把这类问题称之为“与某个字母无关”的问题.下面举例说明这类问题的解法.例1 多项式（xyz2+4yx-1）+（-3xy+z2yx-3）-（2xyz2+xy）的值（）.A.与x，y，z的大小无关B.与x，y的大小有关，与z的大小无关C.与x的大小有关与y，z的大小无关D.与x，y，z的大小都有关【解析】先化简，结果中不含哪个字母，代数式的值就与这个字母无关.原式=xyz2+4yx-1-3xy+z2yx-3-2xyz2-xy=（1+1-2）xyz2+（4-3-1）xy+（-1-3）=-4，结果与字母x，y，z的大小无关，所以选A.例2 有这样一道题：“当a=2013，b=-2014时，求多项式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+2013的值.”小明说：本题中a=2013，b=-2014是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有a和b，不给出a、b的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪位同学的观点？请说明理由.【解析】条件是否多余，关键看化简后的代数式是否含有字母a、b.原式=（7+3-10）a3+（-6+6）a3b+（3-3）·a2b+2013=2013，结果不含有a、b，所以小明同学的观点正确，本题中a=2013，b=-2014是多余的条件.例3 已知代数式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-1的值与字母x的取值无关，求a和b的值.【解析】因为代数式的值与字母x的取值无关，所以合并同类项后x2和x项的系数必为0，从而可求出a和b的值.原式=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+5，所以2-2b=0，a+3=0，即a=-3，b=1.由上可见，“无关”类问题是整式加减中的一类重要问题，解决这类问题的基本步骤是：先化简题目给出的代数式，再看化简后的结果中不含有哪一个字母，则这个代数式的值就与这个字母无关.“无关”类问题主要有：（1）直接说明“无关”，如例1；（2）间接说明“无关”，如例2；（3）直接应用“无关”，如例3；（4）间接应用“无关”，如下面的练习题.练习已知P=■m-1，Q=m2-■m（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）.A. P >QB. P =QC. P。
由一道日本历史考题引发的思考
由一道日本历史考题引发的思考作者：栗巍来源：《中国教师》2009年第06期2007年6月22日的《中国青年报》刊登了徐国智的一篇《中日两国历史考题比较》的文章，提到日本教师在历史课上给学生出了一道题目：日本跟中国100年打一次仗，19世纪打了日清战争（甲午战争），20世纪打了一场日中战争（抗日战争），21世纪如果日本跟中国开火，你认为大概是什么时候？可能的远因和近因在哪里？如果日本赢了，是赢在什么地方？输了是输在什么条件上？分析之。
其中有个高中生是这样分析的：我们跟中国很可能在台湾回到中国以后，有一场激战。
台湾如果回到中国，中国会封锁基隆与高雄，台湾海峡就会变成中国的内海，我们的油轮就统统走基隆和高雄的右边。
这样，会增加日本的运油成本。
我们的石油从波斯湾出来跨过印度洋，穿过马六甲海峡，上中国南海，跨台湾海峡进东海，到日本海，这是石油生命线。
中国政府如果把台湾海峡封锁起来，我们的货轮一定要从那里经过，我们的主力舰和驱逐舰就会出动，中国海军一看到日本出兵，马上就会上场，那就打！按照判断，公元2015年至2020年之间，这场战争可能爆发。
所以，我们现在就要做好对华抗战的准备。
其他学生的判断，也都是中国跟日本的摩擦会从东海开始，从台湾海峡开始，时间判断上在2015年至2020年之间。
而我们的历史题目往往是这样出的：“甲午战争是哪一年爆发的？签定了什么条约？割让了多少土地？赔款多少银两？”每个学生都努力做答案。
结果，我们一天到晚忙着记忆什么时候割让辽东半岛，什么时候丢了台湾、澎湖，赔款二万万银两，1894年爆发甲午战争，1895年签定《马关条约》。
对于这样的内容，学生即使背得滚瓜烂熟，又能怎样呢？最关键的问题应当是将来可能会怎样啊！仅就这一点来比较，人家是培养能力，而我们是灌输知识。
我曾看过这样一则材料，在美国的一节小学美术课堂上，美术老师让全班同学画自己心目中最美丽的苹果。
其中有一个小女孩画了方形的苹果，老师紧紧地抱住她，微笑的说：“这是我见过的最棒的苹果！”这种行为不仅保护了学生的积极性，而且还鼓励学生发扬自己的创造思维！若把这样一堂课移到我国，如果出现了方苹果，结果会是怎样呢？很可能老师要么视而不见，要么就会对这名学生嗤之以鼻，甚至还会说出：“你这也叫苹果？”“你会不会绘画？”这样一些带有强烈压制学生创造性思维的话语，会极大地扼杀学生绘画的热情。
由一道习题引出的“无关”类问题
Ｊ ｌ － 一 麓 数攀
思维潮练营
【 例题延展 】
小 明说 ： “ 请 你 任 意 想 一 个 数 ．把 这 个
中 ０ ＝ ２ ０ １ ３ ， ｂ ＝ 一 ２ ０ １ ４是 多 余 的 条 件 ： 小 强
这不可能 。 多 项 式 中 含 有 ａ和 数 乘 ２后 加 ８ ， 然后 除 以 ４ ． 再 减 去 你 原 来 马 上 反 对 说 ：
【 解 析 】 因 为 代 数 式 的 值 与 字 母 Ｘ的
取 值 无 关 所 以 合 并 同 类 项 后 和 Ｘ 项 的 系数必 为 ０ ， 从 而 可 求 出 ａ和 ｂ的 值 ． 原 式 ＝（ ２ — ２ ｂ ） ＋ （ ａ ＋ ３ ） 一 ６ ｙ ＋ ５，所 以
２ －２ ｂ ＝ ０， ａ ＋ ３ ＝ ０， 即 一 ３， ６ ＝１ ．
【 解析 】 条件是否 多余 ， 关 键 看 化 简 后 务 教 育教 科 书 苏科 版 《 数 学》 七 年 级 上 册 的 代 数 式 是 否 含 有 字 母 ａ 、 ｂ ．
原式＝ （ ７ ＋ ３ — １ ０ ） ａ ３ ＋ （ 一 ６ ＋ ６ ） ａ ３ ｂ ＋ （ ３ — ３ ） ・ 解 ：设 任 意 想 的 那 个 数 为 Ｘ，根 据 题 ａ ２ ｂ ＋ ２ ０ １ ３ ＝ ２ ０ １ ３， 结果不含有 ａ 、 ｂ， 所 以 小 明 同 学 的观 点 正 确 ， 本题中ａ ＝ ２ ０ １ ３ ， ６ ＝ 一 ２ ０ １ ４ 是 多余 的 条 件 ．
由上可 见 。 “ 无关” 类 问 题 是 整 式 加 减 中 的一 类 重要 问题 ， 解 决 这 类 问 题 的基 本 步 骤
是： 先 化 简题 目给 出 的代 数 式 ， 再 看 化 简 后
小题目暴露大问题——由一道表达题引出的思索
由一 道表 达 题 引 出的 思 索 。 曹淑 静
用 和某些 空 白处 ）是答 题 内容 的 原版 ，为 能说 明 问题起 见未 作任 何 改动 。 你接触 过 “ 我要 炒 肉丝 ” 这样 的歧 义句 吗？它 有两 种意 思 ， 一种
要保留． 要求 在小 明 的话 的 内容 上加 词 句充 实答 案 ， 而不 是乱 创 情
景、 乱加 发 挥 。 除此 ， 还要 注 意 所 给 的供 填充 语 意 的原 句 形 式 是 ：
．
前两个 句子 应该 写为—— （ ） 日到 了 ， 妈 问 ： 你 吃 １生 妈 “ 什 么鱼 呀？ ” 我要 热 带鱼 ， 天 然 它
识 ， 范答 题形 式 ， 规 提高 答题 水平 ， 取得 优 良成绩 。
国国 圜四
小 明说 ：我要 热带 鱼 。” “ 这句话 可 以有多 种理解 。试在 这句话 的前面 或后 面 设计 适 当的语 境 。使这 句话 能 明确 地表 达 三 种不 同
的意思 ： （） １
（） ２ （） ３
可 口
我 要热 带鱼
这样 ， 如果 在前 面 的横 线上 加 内容 ， 要 注意 让 内容 以逗 号 结 就 尾； 如果 在后 面 的横 线上 加 内容 ， 要注 意 “ 要热 带 鱼 ” 鱼 ” 就 我 的“ 后 加 文字 或标点 ， 而且所 加 内容 写完后 是用 句号 结尾 的 。 分 析 了歧 义所 在 ， 意 了以上几 点 ， 注 我们 在答 题 时 选用 合适 的
（） ２ 妈妈 端 上一 盘凉 的带 鱼 ，
小 明 说 ：我 要 热 带 鱼 。 ” “
这 里 的（ ） ３ 午饭时 间到 了小 明拿着 铲子 说 ：我要 热带 鱼 。” “ 出
醇酒浸润的古典文学——由一道诗句积累题目说开去
121科技咨询导报Sc i e nc e a nd Tec hn ol og y C o ns ul t i ng Her al d 学术论坛2006N O .14Sci en ce an d Tec hno l o gy C o ns ul t i n g H er al d 科技咨询导报在几天前的诗句积累复习中我遇到一道这样的题目中国有源远流长的酒文化李白就有斗酒诗三千的说法写出下列诗人与酒关系的诗句各一句李白:杜甫:李清照:苏轼:杜牧:范仲淹:在这里我没有给学生现成的诗句而是以此为契机引导学生品味感受古典文学的精髓进而升华情感培养美好人格我是这样引导学生的在中国的传统文化中文人与酒有着不解之缘中国古典诗中关于友情送别与感怀这一类的作品最多因此诗中经常流淌着两种液体一是眼泪一是酒失意的时候饮酒是为了自我麻醉得意的时候饮酒是为了神采更加飞扬邀朋会友的时候饮酒是为了畅抒离情别绪酝酿创作的时候饮酒是为了才思泉涌文人的酒是一种寄托是对人生的一种品味激发了他们的情感璀璨了我们的古典文学三国时代的曹操青梅煮酒放眼天下论英雄早已运筹帷幄笑傲天下了酾酒临江横槊赋诗更是英雄的一种豪迈了东晋南北朝时期的淘潜任彭泽令时不为五斗米折腰挂印离去后赋归去来辞以遂其志朝廷多次征召不再为官又有诗文饮酒诗真可谓醉翁之意不在酒而在于寄托他远离尔虞我诈黑暗官场后种花植草终日饮酒作文的惬意采菊东篱下悠然见南山此酒饮的是心胸的宽广和去留无意宠辱不惊的从容酒可以刺激神经产生灵感唤起联想得神来之笔二十来岁即位列初唐四杰之冠的王勃据说在写滕王阁七言古诗和滕王阁序时先磨墨数升继而酣饮然后拉起被子覆面而睡醒来后抓起笔一挥而就一字不易落霞与孤鹜齐飞秋水共长天一色引起人们多少美的遐想唐朝许多大文人都是嗜酒者首推诗酒两仙的李白李白一生热爱自然向往自由放浪形骸桀骜不驯成为盛唐气象的主要代表他的好友杜甫的饮中八仙歌写到李白斗酒诗百篇长安市上酒家眠天子呼来不上船自称臣是酒中仙这是何等的豪气和洒脱李白有追求功业的理想但他不肯摧眉折腰使他无法立足政坛因此便浪迹四方痛饮狂歌在诗酒豪兴中抒发自己的理想爱憎愤懑和忧思喝酒喝的是人生的豪气喝的又是何等的气势喝的又是何等的洒脱酒中难免也流露出了诗人李白感叹人生易老和怀才不遇的悲哀诗人的情感与文思在这一刻如同狂风暴雨势不可挡名篇将进酒一挥而就诗仙李白是豪放之人那么诗圣杜甫应是儒雅之士了但他对酒的亲近也毫不逊色安史之乱中当听到朝廷官军收复河南河北时杜甫欣喜若狂地写下白日放歌须纵酒青春作伴好还乡闻官军收河南河北当住在成都草堂时杜甫生活清贫而安定有朋自远方来光临寒舍他坦诚相告地写下盘飧市远无兼味樽酒家贫只旧醅客至而当离开草堂沿长江顺流而下客居夔州登高望远杜甫忍不住老泪纵横地写下艰难苦恨繁霜鬓潦倒新停浊酒杯登高杜甫一生颠沛流离穷困潦倒他喝下去一半是酒另一半是泪人生感触尽在不言中宋代是一个比较理性的时代中国古代的四大发明在当时得到了广泛的应用科学和文化都走到了世界的前列酒的滋味也被文人们品到了极致文章中写到酒往往更加深沉范仲淹在驻守边关的时候曾有过浊酒一杯家万里燕然未勒归无计渔家傲的惆怅也曾有过酒入愁肠化作相思泪苏幕遮的悲楚而他虽屡遭贬谪却能居庙堂之高则忧其民处江湖之远则忧其君在岳阳楼上把酒临风唱出了先天下之忧而忧后天下之乐而乐的名句并因此而流芳千古欧阳修是妇孺皆知的醉翁他那篇著名的醉翁亭记从头到尾一直也下去贯穿一股酒气无酒不成文无酒不成了乐天乐地乐山乐水乐皆因为有酒一句醉翁之意不在酒在乎山水之间也使天下真嗜酒者为之倾倒他自称醉能同其乐醒能述于文与民同乐的政治理想升华了他的人格苏东坡辛弃疾是豪放派的代表人物苏东坡把酒问青天留下了但愿人长久千里共婵娟的佳话辛弃疾醉里挑灯看剑梦回吹角连营抒发沙场秋点兵都出自破阵子的豪气醉里且贪欢笑要愁哪得工夫西江月又透露出一种玩世的调侃男人如此女人呢请看女词人李清照的诗词当她作为少妇独守空闺寂寞难耐时是昨夜风疏雨骤浓睡不消残酒常记溪亭日暮沉醉不知归路都出自如梦令东篱把酒黄昏後有暗香盈袖莫道不消魂帘卷西风人比黄花瘦醉花阴南渡以后身世坎坷国愁家恨的李清照经常三杯两盏淡酒声声慢在凄风苦雨中追忆温馨的往事把盏畅饮直酣一种境界是情感的归处黄昏面对滚滚东逝水四周青山相对几位友人相邀渚上烫一壶劣酒劣酒即浊酒区别于清酒这样说来虽是实话但有伤情境吟风弄月抒怀言志谈古论今无怪金圣叹先生有临江仙一词一壶浊酒喜相逢古今多少事都付笑谈中已失去了为喝酒而喝酒的意义了酒给了文人们快乐给了文人灵感而文人付酒于生命付酒于灵魂付酒于文化付酒于情思他们饮的酒早已随体内升腾的血液溶化成他们生命中瑰丽的诗篇这样在领会优美诗句的同时学生感受到的是诗人人格的魅力他们的悲天悯人的气度心忧天下的胸怀与诗篇一起流芳万古我们知道文学是人学表现人性人情人道人权和人生表现人对自然和社会的认识和情感文学教育应该给学生打开认识人生自然和社会的天地战时鉴赏真善美的审美领域创设陶冶情操完美人性的艺术环境一个人性的形成人格的完美离不开情感的熏陶审美的体验很难设想一个心灵狭隘思维单调情感枯竭的人会是一个有健康个性和健康人格的人醇酒浸润的古典文学由一道诗句积累题目说开去郭树芹(利津县利津镇二中山东东营257441)中图分类号:I 207.22文献标识码:A 文章编号1673-0534(2006)10(a )-0121-01。
由一道超几何分布题目引发的思考
教学篇•教学反思由一道超几何分布题目引发的思考王运行（甘肃省兰州新区舟曲中学）超几何分布是人教A版选修2-3中的内容，也是概率统计中学生理解起来比较困难的一部分内容。
教材中对于超几何分布是以数学模型的定义形式给出，定义形式与二项式分布极为近似，很容易混淆。
那么超几何分布与二项式分布之间到底有没有联系呢？接下来笔者将引用2017年甘肃省第二次诊断考试18题对此问题进行探究。
这道题的内容是：甘肃省瓜州县自古就以盛产“美瓜”而名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，糖含量达14%~19%，是消暑止渴的佳品，有诗赞曰：冰泉浸玉露，霸刀破黄金：凉冷消晚暑，清甘洗渴心。
调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度、日照时长、温差有极强的相关性，分别用x，y，z表示蜜瓜甜度与海拔高度、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优。
再用综合指标W=x+y+z的值评定蜜瓜的等级，若W≥4，则为一级；若2≤W≤3，则为二级；若0≤W≤1，则为三级。
近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：种植地编号A B C D E（x，y，z）（1，0，0）（2，2，1）（0，1，1）（2，0，2）（1，1，1）种植地编号F G H I J（x，y，z）（1，1，2）（2，2，2）（0，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为一级的蜜瓜种植地的数量；（2）在所取样本的二级和三级蜜瓜种植地中任取两块，X表示取到三级蜜瓜种植地的数量，求随机变量X的分布列及数学期望。
这道题的第（2）问考查内容很简单，分析题目条件就可以发现，这道题是“无放回”抽取，是超几何分布，分布如下：X012P C23C25C13·C12C25C22C25可得E（X）=1×610+2×110=45但是很多学生没有读懂题意，将“无放回”抽取当做了“有放回”抽取，于是把这道题当做一道二项分布去做，分布列如下式：X012P C02·（35）2·（25）0C12·（35）1·（25）1C22·（35）0·（25）2得到此时。
分子势能的变化——由一道题目谈起
[]2012.640关注【数理化研究】自新课改以来，我校全体教师认真学习理论、借鉴经验，在课堂教学方面初步形成了一些规则。
根据我校教师年龄结构老化、思想观念陈旧的现状，结合我校教师课堂教学实际，结合新课改理念，综合这些规则，本人执笔初步拟定了我校课堂教学基本模式———“目标教学”课堂教学模式。
为了实践模式并在实践中完善，我们进行了模式培训学习，研讨其可行性，推出了课堂教学模式引路课，初步试行了课堂教学模式课评价标准。
其中学生为主体的参与时间、数量、效果占分比例为30%。
这就从指挥棒上调动了教师驾驭课堂时注意学生自主、合作、探究的质和量的积极性，从而强化教师形成自觉性。
大家形成了共识，亲历了一次次学生自主学习的实践，教师主导作用发挥得到体现，师生交流相得益彰；教师在备课、上课等各个教学环节中，注重了解和研究学生的差异，让不同层次的学生都能有展示的机会；授课教师注意了自学方法的指导、渗透和积累。
我们欣喜地发现：教师有了激情，学生有了活力！同时对照模式，对照课堂实际，我们也进行了反思。
现根据本人听课和实际授课进行反思：一、每个环节都要“有目标”“有目标”就是“有的放矢”，顾名思义应该是关注“的”和“矢”。
“的”需要教师事先摆好“矢”，需要教师和学生分别射出，而且每个环节都要有“的”，都要预设“矢”。
如环节2“展示提纲，指导自学”，其中的提纲就是“的”，教师如果不能很好地设计提纲，学生的“矢”就不知射向哪里；“指导自学”是师生共同完成的，自学方法需要教师指导，需要交给他们射箭的时间、方向、目标、技巧，以便在自主探究中得心应手地动口、动手、动脑。
二、学生的主体作用尚需开发应多给学生自主时间和空间，是本模式的环节之一，其目的是在民主氛围中给学生探索交流的机会。
另外，小组合作的方式有待再探讨。
三、分层次教学与辅导很重要我校课堂教学模式的“目标”性还主要体现在层次目标的落实上。
学生的学习能力和学习效果不尽相同，有不同层次的要求，所以我们的教学也应有层次要求。
由抄错一道题目所想到的作文(小学三年级500字).doc
由抄错一道题目所想到的作文（小学三年级500字）
在过去的两天里，我们的老师张每天都给我们布置作业。
我不能每天回答张老师的一两个问题，因为我要么抄错了问题，要么上课不听。
我通常不逃课，所以我不能做的大多数话题都是错误的。
今天，还有一个问题我不能回答。
我请父亲教我如何做这件事。
我父亲看了半天，没有声音。
这个三年级的数学问题难道不能让爸爸感到困难吗？你知道，我父亲是初中的数学老师。
我父亲被这个问题弄糊涂了，最后对我说:“你的问题被抄错了！”我仔细地看了又看，检查了又检查，但是我找不出哪个地方是错的。
最后，在我父亲意识到我抄错了题目之前，他向我指出了这一点。
我在问题中写了“几个”这个词，所以这个实际问题变得不可能解决了。
这当然是我的粗心，但抄黑板上的问题的学生也要负责，因为她写的“左”和“十字弯钩”两个笔画太远了。
我想知道其他学生是否像我一样犯过这样的错误。
看来我们必须把字写好，否则我们会造成许多不必要的麻烦和错误。
将来，我必须把题目读清楚，然后再抄一遍，否则，我会抄错题目，做的时候会出错。
怎样理解no（nothing）more（…）than？----由一道高考题所引发的思考
怎样理解no(nothing)more(…)than?----由一道高考题所引发的思考2005年高考试题湖南卷（以下简称05湖南卷）阅读理解部分的D篇和某地高中毕业班第一次诊断性检测题（以下简称某地一诊题）基本上相同。
然而在这篇文章后的阅读理解题目中最后一题的D选项，某地一诊题作了含义完全相反的改动，在题干和其它三个选项含义完全相同的情况下，这两套题所给的正确答案竟然都是D选项。
究竟哪套题出了差错，还得从这篇阅读材料谈起。
From Mr. Ward Hoffman.Sir, I was halfway through Professor Raj Persaud’s article “What’s the tipping point?”(Financial Times Weekend, April 9-10)when it occurred to me that what I was reading was not ironic(讽刺的).If Prof (Professor) Persaud wants to know why Americans tip in restaurants, he need only ask (needs only to ask) the first American he meets in London.Americans tip in restaurants for one reason, and one reason only: we tip to supplement(补贴)the salary of restaurant workers. Quality of service does not enter into it, beyond the fact that one may tip a bit less for poor service, or a little (bit) more for good service.Not tipping at all in a non-fast-food restaurant is not a choice. In the US, one used to tip about 15 per cent for dining(dinning)in a family-style restaurant or in an upmarket(高档的)（a top-level）restaurant. Here, in San Francisco Bay area restaurants, we are encouraged to tip 20 per cent or more, to help restaurant workers live in this very expensive area.After eating at an Italian restaurant in my city, I left a tip of 20 per cent on the non-tax part of our dinner bill. It was expected. There is nothing more complicated(复杂的)than that aboutAmericans(American)tipping in restaurants.Ward Hoffman,Palo Alto, CA94306, USFrom Mr. Philip McBride Johnson.Sir, I agree with most of Raj Persaud’s opinions(opinion)about the doubtful value of tipping, but with one exception(例外).Tips can be very useful when one is a repeat customer or diner.It is only when the tipper is a stranger and likely to remain so that the system does not work to his or her advantage. But frequent a hotel or a restaurant, always tip a bit more (a frequent customer at a hotel or restaurant always tips a bit more), and the difference in service and treatment will be easily felt.Philip McBride Johnson,Great Falls, VA22066, US68. What can we learn from Hoffman’s letter?A Quality of service determines tipping in the US.B. Americans don’t tip i n non-fast-food restaurant.C. Tipping in US upmarket restaurants is unnecessary.D. How to tip in the United States is not complicated.(56. From Hoffman’s letter we can learn_____A. quality of service determines tipping in the US.B. Americans don’t tip in non-fast-food restaurant.C. tipping in us top-level restaurants is not a must.D. how to tip in the USA is very complicated.)以上材料中括号内的内容是某地一诊题与05年湖南卷阅读理解部分D篇的划线部分所不同的地方，但丝毫未改变原文的含义。
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由一道题目想到的
用函数探究实际问题中的最值问题，一种是列出一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是建立二次函数模型，列出二次函数关系式。
①顶点在自变量取值范围内时，整理成顶点式：当二次项系数小于0，有最大值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为顶点的横坐标，当二次项系数大于0，有最小值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为顶点的横坐标．②顶点不在自变量取值范围内时，根据自变量的范围结合二次函数图像的增减性求解。
例如：在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园
m）．
平行于墙的一边长为x（m），花园的面积为y（2
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
m吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；（2）满足条件的花园面积能达到2002
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？。