热力学与统计物理习题

第六章作业

由提示知，在晶体中形出现n 个Schottky 缺陷时，在n N +正常位置中出现n 个缺位，这样由于缺位位置的不同，可能得微观状态数为

!!)!(N n n N +=

Ω

所以其熵S 为

!!)!

(ln

ln N n n N k k S +=Ω=

假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T 时平衡态的自由能为极小要求

0F

n

∂=∂ 由自由能F 及熵S 的公式，可得

!!)!

(ln

N n n N kT nW TS nW F +-=-=

0ln =+-=∂∂n

n

N kT W n F 或表示为

kT

W e n

N n

-=+

当N n <<时，上式可以近似为

kT

W Ne

n -≈

以任意速度在单位时间内打到小孔处单位面积上的总分子数

为1

4nv （见课本136页），而在小孔处速率为v v dv −−

→+的分子数为d Γ，由（6.85）式，单位时间内碰到法线方向沿Z 轴的单位面积器壁上，速度在z y x dv dv dv 范围内的分子数为

z y x dv dv fdv d =Γ

在球坐标上式可表示为：

ϕϑϑθd dvd v vcon f d sin 2⋅⋅=Γ

对ϑd 和ϕd 积分，ϑ从0到2

π

，ϕ从0到π2，则有

πϕϑϑϑπ

π

=⎰⎰2

20

sin d d con

单位时间内碰到法线方向沿Z 轴的单位面积器壁上，速率介

于v v dv −−

→+之间的分子数为 dv v e

kT m n v d v kT

m 322

3

2

2)(-

⎪⎭

⎫

⎝⎛=Γππ

所以，一个分子以速率v v dv −−

→+由小孔中射出的概率为（利用（6，82）式）：

22

321()1

24

mv kT

d m

e v dv

kT nv -Γ=

故射出的分子速中，分子的平均速率

224

20

19()2mv kT

m v e v dv kT

-∞

==

⎰

同理，

s

v==

转子的配分函数Z为（只考虑转动，则有0

r=），所以有

222

1

(/sin)

2

2

2

2

2 00

2

exp()[exp()]

22sin

8

p p

kTI

Z e d d dp dp

p

p

d dp dp d

IkT kTI

IkT

θϕ

θ

θϕ

ππϕ

θ

θϕ

θϕ

ϕθ

θπ

-+

+∞+∞

-∞-∞

=

=--

=

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

内能U为

2

ln ln

U N Z NkT Z NkT

T

β

∂∂

=-==

∂∂

从而推得，

()

V V

U

C Nk

T

∂

==

∂

由所给能谱知其相面积是

2222)(22

()x y x y

p p k x y E m E dxdydp dp

++≥+

=∑

⎰

⎰⎰⎰

设：

,,2x y x y p p E E k x y

E

ημ==

== 推得

2222

212

12()()22x

y

x

y

x y x y E E k m E dE dE d d E mE E k ημ

πημ-+++==∑⎰⎰⎰⎰ 所以222

()

4()d E m E E h dE kh

πΩ==∑

可见()E Ω与E 成正比。

第七章作业

(1) 解释Boltzmann 统计、Fermi 统计和Bose 统计,特别是它们之间的差别。它同全同粒子不可分辨性有什么联系？

（2）为什么在高温极限下，上述三种类型的统计之间的差别变得不重要？多高的温度才行？

（3）对于散布在二维平面上的中子集合，温度在什么范围内必需用量子统计？设单位面积上的中子数

122

10/cm

。

（1）Boltzmann 统计：对定域系，粒子是可分辨的，每一个单粒子量子态上所能容纳的粒子数不受限制。能级l E 上的平均粒子数是

l

E l l a e

αβω--=

其中，l ω为第l 能级的简并度，,1/.kT αβμβ=-= Fermi 统计：对于费米子组成的非定域体系，粒子不可分辨，满足泡利不相容原理，能级l E 上的平均粒子数为

1l

l

l E a e

αβω+=

+

Bose 统计：对于玻色子组成的非定域体系，粒子不可分辨，每一个单粒子量子态上所能容纳的粒子数不受限制，能级

l E 上的平均粒子数为

1l

l

l E a e

αβω+=

-