(完整版)题型五二次函数与几何图形综合题

目录

题型五二次函数与几何图形综合题 (2)

类型一与特殊三角形形状有关 (2)

类型二与特殊四边形形状有关 (8)

类型三与三角形相似有关 (18)

类型四与图形面积函数关系式、最值有关 (23)

类型五与线段、周长最值有关 (29)

题型五二次函数与几何图形综合题

类型一与特殊三角形形状有关

针对演练

1. (’16原创)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；

（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.

2. （’15长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（-2,3），顶点为N

（-1, 43

3

），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线解析式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.

3. （’16原创）如图，抛物线y = -1

2

x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴

交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

4. 如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.

（1）写出A、B两点的坐标；

（2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.

①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；

③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.

答案

1. 解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 的对称轴为112

b

x =-=-⨯， 解得b =2，∵抛物线过点C （0,3），∴c =3， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；

（2）由抛物线y =-x 2+2x +3，令y =0得，-x 2+2x +3=0， 解得x 1=-1,x 2=3，∴点A （-1,0），点B （3,0）， 当x =1时，y =-12+2+3=4,∴点D 的坐标为（1,4）. 如解图，过D 作DM ⊥AB 于M ，则OM =1，DM =4， ∴S 四边形ABDC =S △AOC +S 四边形OMDC +S △BMD =12AO ·OC +12（OC +MD ）·OM +12BM ·DM =12×1×3+12×（3+4）×1+12×4×2 =9.

（3）设点P 的坐标为（t ,0），则PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t )2， ∴BC 2=32+32=18， 若△PBC 是等腰三角形，

则有①PC 2=PB 2，即t 2+9=(3-t )2，解得t =0，此时点P 的坐标为（0,0）； ②PC 2=BC 2，则t 2+9=18，解得t =3（舍）或t =-3，此时点P 的坐标为（-3,0）； ③PB 2=BC 2则(3-t )2=18，解得t =3+32或t =3-32， 此时点P 的坐标为（3+32,0）或（3-32,0）. 2. 解：（1）由抛物线的顶点为N （-1,

43

3

），故设抛物线的顶点式为y =a (x +1)2+

43

3

， 将点M （-2,

3）代入解析式得，

a ×(-2+1)2+

3=3，

解得a =3

-

,

∴抛物线的解析式为y = -3 (x +1)2+3

.

即y =2.

（2）对于抛物线y =2-，令y = 0,

得3-

2-3

-x ， 解得x 1=1,x 2=-3，

∴点A （1,0），点B （-3,0），

令抛物线x =0,得y

∴点C 的坐标为（0,

.

∴AB 2=42=16,AC 2=12)2=4,BC 2=32)2=12, ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC 是直角三角形.

(3)由抛物线顶点N （-1,

）知抛物线的对称轴为x =-1， 设点Q 的坐标为（-1,t ），

则BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t )2=t 2-+4，BC 2=12. 要使△BQC 是直角三角形，

(ⅰ) 当∠BQC ＝90°，则BQ 2+QC 2=BC 2,

即4+t 2+t 2-+4=12，

解得t 1

=

2

+2,t 2

=2

-Q 的坐标为（-1

，2

+2

）或（-1

，2

-2

）；

（ⅱ）当∠QBC ＝90°，则BQ 2+BC 2=QC 2，

即4+t 2+12=t 2

-+4，解得t

=-Q 的坐标为（-1，

-； （ⅲ）当∠BCQ = 90°时，则QC 2+BC 2=BQ 2，

即t 2

-+4+12=4+t 2，解得t

=Q 的坐标为（

-1, . 综上，当△QBC 是直角三角形时，点Q 坐标为（-1

，

2

），（-1，

± 3. 解：（1）∵点A （-1,0），C （0,2）在抛物线上，

∴1022m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得322

m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y =-

12x 2+3

2

x +2； （2）△ACD 是等腰三角形. 理由：∵抛物线y =-12x 2+32x +2的对称轴为直线x =3

2

，

∴点D （3

2,0），

∵A （-1,0），C （0,2）， ∴AC

AD =1+

32=5

2

,CD

52=，

∴AD =CD ≠AC ，

∴△ACD 是等腰三角形；

（3）令抛物线y =-12x 2+3

2x +2=0，得x 1=-1,x 2=4,

∴点B 的坐标为（4,0），则BC

= 取BC 的中点为S ，则点S 的坐标为（2,1）；